Theory of Quantum Physics

量子物理学概論

話題：電子論入門「物質の電子状態」

授業日：金曜日５・６時限
教　室：先端科学総合研究棟405Ｎ

" ... there would be a very real difficulty in supposing that the law 1/r² held down to zero values of r. For the force between two charges at zero distance would be infinite; we should have charges of opposite sign continually rushing together and, when once together, no force would be adequate to separate them... Thus the matter in the universe would tend to shrink into nothing or to diminish indefinitely in size... We should however probably be wrong in regarding a molecule as a cluster of electrons and positive charges. A more likely suggestion, put forward by Larmor and others is that the molecule may consist, in part at least, of rings of electrons in rapid orbital motion."

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　J.H. Jeans, 1915

目次
　０．はじめに
 　１．物質科学
 　２．シミュレーション
 　３．Schrödinger方程式を解く

０．はじめに

物質の電子状態と物性（小口多美夫）

　キーワード：量子シミュレーション

　　・原子系
　　・分子系
　　・固体系

１．物質科学

１．１　物質科学とは？

　マクロな性質（物性、構造、．．）をミクロな性質（電子状態）から理解する．

　材料（Materials）：目的を特化した物質群
　　構造材料、機能材料、電子材料、磁性材料、．．．

ここでは、基本的で純粋な物質（Matter）とそれに固有な性質（物性）について考える．

１．２　歴史的経緯

　生活に重要な物質（時代の性格を反映）
　　　石器時代、鉄器時代、青銅器時代　
　　　現代：多種多様な物質（応用を意図していると言う意味で材料）
　　　　　　鉄、軽合金、肥料、半導体、高分子、触媒、医薬品、．．．
　物質の発見・合成
　　　身の回りにあった
　　　偶然に発見された
　　　経験による試行錯誤
　　　（関連する一連の物質を合成して、期待した性質をもたないものを捨てる）
　　　→　化学成分と物質の性質の間の関係を記述する経験的で数量的な法則
　　　　　化学の発展

１．３　物性を支配している物理法則：電子の役割

　ヘールボップ彗星：ニュートンの運動方程式を解くことによりその運動（軌道）が予測できる．
　　　　　　　　　　（古典力学の範疇）

物質が固有にもつ性質（物性）を支配している物理法則は？
　我々は、物質を光学的性質、電気的性質、磁気的性質、融点、固さ、化学的反応の性質に従って分類し、その共通点から法則性を探る．理論的には、これらの物性を決定している方程式を知っていれば、ヘールボップ彗星の軌道を求めるように単にその方程式を解くことによりいかなる物性をも予測することができるはずである．

　19世紀末から20世紀初め（約100年前）にかけて、
「物質の中の電子がその物性を決定するのに重要な役割を果たしている」
ことが発見された．
例えば、
　・分子の形（簡単な分子、複雑な分子、．．、DNA、タンパク質、．．）
　・固体中の原子の配置（結晶構造）
　・原子間に働いている力（弾性的性質）
　・電気的性質（絶縁体、半導体、金属）
　・磁気的性質（強磁性体、．．．）
　・光学的性質（色、透明、反射、．．．）

　すなわち、
電子を支配する法則性を数学的に確立することが、物性を記述し、理解し、さらに予測するために必要
なこととなる．

１．４　量子力学の完成（1920年代）

　電子のような小さな粒子（例えば、電子の質量は9.1x10^-31kg）の運動は古典力学では記述されない．
　基礎方程式：Schrödingerの式　HΨ=EΨ
　　Ψ：波動関数（ギリシャ文字のプサイ）　
　粒子の運動は、古典力学ではその位置座標の時間的変化として記述されるが、量子力学では位置と時間に関する粒子の存在確率（波動関数の絶対値の２乗）として表現される．
　古典力学におけるニュートンの運動方程式はSchrödinger方程式の古典的極限

１．５　量子力学的アプローチの問題点

　相互作用の存在　→　一般に、物質は多電子系
　　・電子は、他のすべての電子と相互作用をし、多電子的な状態をつくっている．

　電子の数
　　・（中性）原子には原子番号と同じだけの個数の電子がある（ウランには92個）
　　・水分子には10個の電子と3個の原子核
　　・固体中に含まれる原子の数：10²³個（アボガドロ数）

　Schrödinger方程式を厳密に解くことはごく少数の例外（水素原子等）を除いて不可能！

　量子力学の形成以来、科学者たちはSchrödinger方程式を解くための近似法に関する研究に取り組んできており、多くのすばらしいアイディアが確立されてきている。

　近似法：具体的な解法を提供
　　　　　有効性と限界を知ることにより物理的概念が形成

２．シミュレーション

　Simulation：模擬実験、つまり本物の代わり

２．１　計算機シミュレーションの役割

（１）実験の代替
　　時間、予算、危険性（例：原子炉シミュレーション）

（２）実験の不可能領域
　　実験不可能な環境、パラメータ（温度、圧力、磁場、．．．）

（３）現象の基本要素への分解
　　複数の要素が原因となっているとき
　　特定のパラメータに注目し、他のパラメータを固定することによって、
　　そのパラメータの現象の依存性を解析
　　　現象を支配する本質的要素を抽出

２．２　物質科学におけるシミュレーション

　物質科学の2本柱
　・理論　単純で理想的な系に関する議論（解析的手法）
　・実験　現実の系に関する複雑な現象
　　ところが、なかなか噛み合わない現実！！！

　・シミュレーション　理論と実験をつなぐ役割　→　第3の科学ともよばれる

　　キーポイント：１．基礎理論の発展
　　　　　　　　　２．方法論（数値計算手法）の発展
　　　　　　　　　３．計算機能力の向上

　　特に、物質科学における量子力学に基づくシミュレーション
　　　　　→　量子シミュレーション

３．Schrödinger方程式を解く

　　" You can not understand it,
　　　　　until you know how to calculate it."

　　　　　　　　　　　　　　　　　J.C. Slater

３．１　厳密に解ける場合

　水素原子、He⁺、．．．　電子がひとつのとき（水素様原子）

３．２　電子がまず満たす法則

　パウリの排他則（電子がフェルミ粒子であることの要請）
　ある電子の占める状態を他の電子が占めることはできない．
ただし、電子には（相対論的な）スピンの自由度があり、ひとつの軌道状態には異なるスピンを持つ電子は同時に占めることができる．　　→　スピン軌道の概念

３．３　一体近似（非常に大胆な近似、でも非常に多くの物理現象が説明できる）

　基本的な考え方：多数の電子がいるから、特定の電子がどこにいるかが問題ではなく、すべての電子がつくる有効場のなかの相互作用のない電子として取り扱う．ただし、フェルミ粒子である性質（パウリの排他則）は満たす．
　　　　ひとつのSlater行列式による多電子波動関数の表現

　一体近似は、一意的ではない．有効場をどのように具体的に記述するかが問題！

　　→　電子構造論（平成１４年度後期開講予定）

３．４　原子では

　水素様原子の軌道に電子を詰めていくのとほぼ同じ
（ただし、水素様原子では軌道角運動量が違っても軌道エネルギーは異ならないが、一般的な一体ポテンシャルの固有状態のエネルギーは軌道角運動量に依存することに注意．）

球対称ポテンシャルに対する一電子Schrödinger方程式を解く

　　　　　　　　↓

球面調和関数による角度依存性：　s軌道　p軌道　d軌道

原子の中の電子の分布は玉葱型　←　動径軌道の直交性

　　　↑　↓
　　　↑　↓
　　　↑　↓
　　　↑　↓
　　　↑　↓　　3d　10個　原子核から遠い　　
　　　↑　↓　　4s　２個　　　　　　　　　K、...
　　　↑　↓
　　　↑　↓
　　　↑　↓　　3p　６個　　　　　　　　　Al、Si、P、S、Cl、Ar
　　　↑　↓　　3s　２個　　　　　　　　　Na、Mg
　　　↑　↓
　　　↑　↓
　　　↑　↓　　2p　６個　　　　　　　　　B、C、N、O、F、Ne
　　　↑　↓　　2s　２個　　　　　　　　　Li、Be
　　　↑　↓　　1s　２個　原子核に近い　　H、He