平均と分散

ある確率分布に従う標本列 $\{x_i\vert i=1,\ldots,N\}$ が与えられた場合、(標 本)平均(mean) $\bar{x}$ および(標本)分散(variance) $\sigma^2$ は、

$$\bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N x_i$$

$$\sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \bar{x})^2$$ (1)

で定義される。これらは、標本列から計算される代表的な統計量であり、画像 処理でも多くの応用で利用される基本的な量である。(標本)分散の平方根 $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ は、標準偏差(standard deviation)と呼ばれている。標本が多 変量 $\{\mbox{\boldmath$x$}_i\vert i=1,\ldots,N\}$ の場合には、平均ベクトルおよび分散共 分散行列 $\Sigma$ は、それぞれ

$$\bar{\mbox{\boldmath$x$}} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \mbox{\boldmath$x$}_i$$

$$\Sigma = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (\mbox{\boldmath$x$}_i - \bar{\mbox{\boldmath$x$}}) (\mbox{\boldmath$x$}_i - \bar{\mbox{\boldmath$x$}})^T$$ (2)

で定義される。ここで、 $\mbox{\boldmath$x$}^T$ は $\mbox{\boldmath$x$}$ の転置を表す。