曲面の微分幾何学特徴

ここでは、単一の観測方向から得られた Orthogonal-Range 型[171]の レンジデータを対象とする。レンジデータは、実数行列 $h(x,y)$ に蓄えられている ものとする。ここで、行列の $(x,y)$ 要素は、点 $(x,y)$ での物体表面の $z$-軸 の値である。

このとき、レンジファインダによって観測された３次元曲面 $\eta$ は、次のような パラメータで表すことができる。

$$\eta(x,y)=(x,y,h(x,y))$$ (373)

これは、一般に、グラフ曲面と呼ばれている。

その$1$次および$2$次偏微分は、

$$\eta_x=(1,0,h_x), \hspace*{1cm} \eta_y=(0,1,h_y),$$ (374)

$$\eta_{xx}=(0,0,h_{xx}), \hspace*{1cm} \eta_{xy}=(0,0,h_{xy}), \hspace*{1cm} \eta_{yy}=(0,0,h_{yy}).$$ (375)

となる。

従って、点 $(x,y)$ での法線ベクトルは、

$$N(x,y)=\frac{\eta_x \wedge \eta_y}{\vert\eta_x \wedge \eta_y\vert} =\frac{(-h_x,-h_y,1)}{(1+h_x^2+h_y^2)^{1/2}},$$ (376)

となる。ここで、記号 $\wedge$ はベクトル積を表す。

また、注目点における最大主曲率と最小主曲率の積であるガウス曲率 $K$ とそれら の主曲率の平均である平均曲率 $H$ は、

$$K = \frac{h_{xx}h_{yy} - h_{xy}^2}{(1+h_x^2+h_y^2)^2},$$ (377)

$$H = \frac{(1+h_x^2)h_{yy}+(1+h_y^2)h_{xx}-2h_xh_yh_{xy}} {2(1+h_x^2+h_y^2)^{3/2}}.$$ (378)

で定義される。