重み付き最小２乗法による２次曲面のあてはめ

曲率の計算には、参照点での$1$次と$2$次の偏微分値の推定値が必要である。ここで は、 参照点を中心とする $L \times L$ の局所領域内でレンジデータに２次曲面を あてはめ、その２次曲面の参照点での偏微分値を参照点の偏微分値の推定値とする。 ２次曲面のあてはめには、上記の重みを用いた重み付き最小２乗法を用いる。

今、局所領域内の点の$z$方向の距離を $h_k,\ k=1,\ldots,N \ (N=L^2)$ とし、対応する点の重みを $w_k,\ k=1,\ldots,N$とする。また、あてはめる２次曲面を

$$\hat{h}(x,y) = a_1 + a_2 x + a_3 y + a_4 x^2 + a_5 xy + a_6 y^2$$ (390)

とする。ここで、 $a_1,\ldots,a_6$ は、この２次曲面を定めるパラメータである。

このパラメータは、局所領域内のレンジデータと当てはめられる２次曲面との重み付 き２乗誤差

$$\varepsilon^2(\mbox{\boldmath$a$}) = \sum_{k=1}^N w_k \vert h_k - \hat{h}_k\vert^2$$ (391)

が最小となるように決められる。

最適な係数ベクトル $\mbox{\boldmath$a$}$ は、

$$\mbox{\boldmath$a$} = (X^TWX)^{-1}X^TW\mbox{\boldmath$h$}$$ (392)

となる。ここで、

$$\mbox{\boldmath$a$} = (a_1,\ldots,a_6)^T,$$ (393)

$$\mbox{\boldmath$h$} = (h_1,\ldots,h_N)^T,$$ (394)

$$W = \mbox{diag}(w_1,\ldots,w_N)$$ (395)

$$X = \left[ \begin{array}{cccccc} 1 & x_1 & y_1 & x_1^2 & x_1 y_1 & y_... ...&\ldots & & \\ 1 & x_N & y_N & x_N^2 & x_N y_N & y_N^2 \\ \end{array}\right].$$ (396)

である。