付録 A.3. deflation

固有方程式

$$\Gamma_\Omega X = P_\Omega X \Lambda$$ (441)

は、変換 $U = P_\Omega^{\frac{1}{2}} X$ を用いると、

$$P_\Omega^{-\frac{1}{2}} \Gamma_\Omega P_\Omega^{-\frac{1}{2}} U = U \Lambda$$ (442)

のように書ける。ラグランジェの定理から、残差行列は、

$$P_\Omega^{-\frac{1}{2}} \Gamma_\Omega P_\Omega^{-\frac{1}{2... ...boldmath$1$}_M \mbox{\boldmath$1$}_M^T P_\Omega^{\frac{1}{2}}$$ (443)

となる。従って、最大固有値 $1$ と対応する固有ベクトル $\mbox{\boldmath$1$}_M$ の影響を含まない固有値問題は、

$$[P_\Omega^{-\frac{1}{2}} \Gamma_\Omega P_\Omega^{-\frac{1}{2}... ... P_\Omega^{\frac{1}{2}}]\tilde{U} = \tilde{U} \tilde{\Lambda}$$ (444)

となる。ここで、$\tilde{U}$ および $\tilde{\Lambda}$ は、それぞれ、 $U$ およ び $\Lambda$ から最大固有値 $1$ と対応する固有ベクトル $\mbox{\boldmath$1$}_M$ の影響を取 り除くことによって得られる行列である。

逆変換 $\tilde{X} = P_\Omega^{-\frac{1}{2}} \tilde{U}$ から、最大固有値 $1$ と対応する固有ベクトル $\mbox{\boldmath$1$}_M$ の影響を取 り除いて得られる $\tilde{X}$ に関する固有方程式は

$$[\Gamma_\Omega - \mbox{\boldmath$p$}_\Omega \mbox{\boldmath$p$}_\Omega^T]\tilde{X} = P_\Omega \tilde{X} \tilde{\Lambda}$$ (445)

となる。