複合分布モデル（Population Mixture Models）

クラス数を $K$ とし、第 $j$ 番目のクラスからの分布を $f(g\vert C_j)=f_j(g;\beta_j)$ とする。ここで、$\beta_j$ はこの分布のパラメータを 表すものとする。また、画素 $i$ がどのクラスに関係しているかを表すパラメータ として、その画素がクラス $C_j$ $(j=1,\ldots,K)$ に属しているなら第 $j$ 番目 の要素のみが $1$ で残りの $K-1$ 個の要素は全て $0$ となるような $K$ 次元の２ 値ベクトル $\theta_i$ $(i=1,\ldots,N)$ を用いる。

このとき、$\theta_i$ が与えられたとき画素 $i$ が $g_i$ である条件付き確率分 布は、

$$f(g_i\vert\theta_i;\beta_1,\ldots,\beta_K) = \sum_{j=1}^K \theta_{ji} f_j(g_i;\beta_j),$$ (165)

と書ける。ここで、$\theta_{ji}$ は、$\theta_i$ の $j$ 番目の要素をあらわす。 式(3.12)は、

$$f(g_i\vert\theta_i;\beta_1,\ldots,\beta_K) = \prod_{j=1}^K f_j(g_i;\beta_j)^{\theta_{ji}}.$$ (166)

のように積の形に書き直すことができる。

また、クラス $C_j$ の生起確率を $\pi_j (\sum_{j=1}^K \pi_j = 1)$ とすると、 クラス $C_j$ に属している $\theta_i$ の先験確率は、

$$f(\theta_i;\pi_1,\ldots,\pi_K) = \pi_j = \prod_{l=1}^K \pi_l^{\theta_{li}}$$ (167)

で与えられる。

このとき、同時分布は、

$$f(g_i,\theta_i;\pi_1,\ldots,\pi_K,\beta_1,\ldots,\beta_K) =... ...ta_i) = \prod_{j=1}^K [\pi_j f_j(g_i;\beta_j)]^{\theta_{ji}}$$ (168)

と書ける。

今、$N$ 個のデータ $\{(g_i,\theta_i)\vert i=1,\ldots,N\}$ が独立であると仮定すると、 $N$ 個のデータの各々に対して $\theta$ が与えられたとき、濃淡値 $\{g_i\}$ が 得られるもっともらしさ（尤度）は、

$$L(g_1,\ldots,g_N\vert\theta_1,\ldots,\theta_N;\beta_1,\ldot... ...= \prod_{i=1}^N \prod_{j=1}^K [f_j(g_i,\beta_j)]^{\theta_{ji}}$$ (169)

となる。

一方、 $g$ と $\theta$ との同時分布の尤度は、

$$L(g_1,\ldots,g_N,\theta_1,\ldots,\theta_N;\pi_1,\ldots,\pi_... ...d_{i=1}^N \prod_{j=1}^K [\pi_j f_j(g_i,\beta_j)]^{\theta_{ji}}$$ (170)

で与えられる。