数学概説

Modified : 07/22/13 14:36

お知らせ


期末試験

5/28までの小テスト問題(pdf ファイル), 7/16までの小テスト問題(pdf ファイル)
解答例は示しません.

レポート

中間試験で40点以下の人, および病気その他の理由で受験できなかった人は、必ず提出してください。

テキストの以下の問題の解答をレポート用紙に作成し, 表紙に学科, 番号, 氏名, 提出日を記入して閉じ,

7月26日(金)15:00 までに

数学事務室(理学部B棟7階 B709) のレポート提出用ボックス

に提出してください。

問題1.3, 問題1.4, 問題1.5, 問題1.7,
問題2.1, 問題2.2, 問題2.3, 問題2.4, 問題2.5, 問題2.8


中間試験

5/28までの小テスト問題(pdf ファイル),

質問と回答

Q
小テスト(問題3.10)の解説で, は, ではないですか.
A
その通りです.
Q
AとBが対等であることを示すのに, 全単射は f:A→B, と f:B→A のどちらでもいいのですか.
A
f:A→B が全単射であれば, その逆写像が B から A への全単射なので, どちらでもいいです.
Q
が全射 , が単射 . この2つからが全単射 が成り立つのですか.
A
ご明察! (包含関係が逆になっていたのを訂正しました.)
Q
射影って, としているので, のように次元をひとつ下げているように見えるのですが.
A
良い質問です. 講義で説明しようかと思ったのですが、混乱させてしまうかと思い説明しませんでした. 直積集合から, への射影と, 例えば平面上の点から, その平面内のある直線に垂線を下ろしたときの垂線の足を対応させる射影(直行射影)は, 別のものです. ただし, 点から座標軸への射影は, その像が となりますが, を同一視すれば, 座標軸への直行射影と, からへの射影は同じものと考えることができます.
Q
ではなく, な気がするんですけで...
A
後者は, 上で定義された命題関数なら, が真となるの要素の全体という意味になりますが, は, の要素を用いてと表される要素の全体という意味です. これも, 混乱させるかも知れなくて説明をやめたのですが, 例えば, 数列 があったとして, という集合を, を使う代わりに, 偶数の全体からなる集合をと定義しておいて, と書くのと 同じ表記方法です.
Q
を示す問題で任意の に対して を示せばよいのですが, と同値で続けた場合には一方向で良いですか。
A
良いです. ただし, の両方が真であるという意味なので, 同値関係でつなぐ場合は, その都度両方向の確認をしていることになります.
Q
から がどのように成り立つのかわかりません。
A
については, 左辺も右辺も に等しいからです. 次の は, 直積集合の元が等しいことの定義です.
Q
和集合, 共通集合の具体的な値, 範囲の求め方が分かりません.
A
問題2.11のことだと思いますが, 共通集合については 全ての曲線の共有点を求める問題なので, 例えば (1) であれば, としてふたつの曲線 の共有点を求めて, その点が全ての に含まれるかどうかを確かめれば良いです.
和集合の場合には, が和集合に入るというのは, (2) だと, 「ある が存在して を満たす」ことと同値なので, を変数とする2次方程式が実数解を持つ条件を考えればいいですね.
Q
は何ですか.
A
2次元ユークリッド空間, つまり平面全体を表します.
Q
集合族は, 図形のあつまりを表すときぐらいしか使われないのか?
A
テキストにも書いてありますが, 関数や点列の収束を扱う土台となる「位相空間」や, 長さや面積の一般化を考える上で土台となる「可測空間」を定義するときなど, 数学の様々な分野で, 一定の条件を満たす集合族を使います.
Q
包除定理の証明が知りたい.
A
このような感じです. Σで和をとる範囲をきちんと表現しないと混乱しますね.
Q
の証明は, 定理2.1 のように, ことばで証明するのですか?
A
論理的に正しければ言葉でも構いませんが, の定義と定理2.1 を組み合わせる方が明確に証明できると思います.
Q
と, の違いがわかりません.
A
集合と命題の区別ができていないようです. 集合に対するド・モルガンの公式はで, を用いますが, 命題 に対するド・モルガンの公式はのように を用います. 集合に対して用いる演算記号と, 命題に対して用いる演算記号を区別してください. ちなみに, は命題なので, となります.
Q
どうして発散の定義の イコールはないんですか? (原文通り)
A
質問の真意がよくわからないので,まとはずれかもしれません. 小テストでは発散の定義を と書きましたが, この命題と は同値です. なぜ同値なのか考えてみてください. (実数, 自然数など記号の取りうる範囲は省略しています.)
Q
集合のド・モルガンの公式は証明するのに, 命題のド・モルガンの法則が出ますが, 命題のド・モルガンの法則の方は証明しなくていいのですか?
A
命題のド・モルガンの法則は基本論理演算の定義から真理値表を用いて証明します. テキスト7ページでは証明は問題1.3 になっていますが, 集合のド・モルガンの公式の証明では, 命題の方はすでに証明されたものとして利用しています.
Q
よりは上に有界でないので, に対してとなるが存在する.」ではダメでしょうか?
A
「数列 が単調増加で, かつ, 上に有界でないので発散する.」というのは正しいのですが, 上に有界でないということを示そうとすると結局のようにに関する不等式を示すことになります.
Q
小テストのとありましたが,
A
はい
Q
数列の収束は結局つじつま合わせなんですか.
A
ε, N を用いた数列の収束の定義は, 「大きくなる」とか「近づく」というような直感に訴えることによる曖昧さがないように工夫されたものだと思っています. εに応じて N をとるところから, 「つじつま合わせ」という表現になったのだと思いますが, 逆に, εに無関係に n≧N ならば 誤差が εより小さくなるような N があったとすると, そのような 数列は N 番目から後はずっと極限値と同じ値ということになってしまいます.
Q
|r|<1 のときが収束するのを示すのに, log|r| を使って証明していましたが, r=0 のときはどうするのですか.
A
となるので収束の定義で, N=1でよいです.
Q
小テストの問題で, N を logε/log|r| より大きい自然数としましたが, 本当に N が自然数になるように定めるには, N をどの様におけばいいですか.
A
例えば, N = min {m ; m > logε/log|r| } である自然数}ととれば良いです.
Q
数列の定義を使った証明を具体的にして欲しかった.
A
が収束する証明(εに対してN をどうとれば定義を満たすか) は具体的な例と思います. あなたの言う具体例とはどのようなものですか.
Q
ε=|α-β| ととってはだめなのでしょうか.
A
例1.5 の証明のことだと思いますが, 証明のポイントは, 異なる極限値αとβがあったとして, 区間 (α-ε, α+ε) と(β-ε, β+ε) が重ならないようにεをとると矛盾が起こるというところです. ε=|α-β|では, 区間が重なるので矛盾は起こりません.
Q
証明において,「真理表より同値である」としてもいいですか.
A
論理式が同値であることを示すときは有効な方法と思います.
Q
とかっこをつけて表してもいいのですか.
A
よいですが, 通常はかっこをつけません. を変数とする命題関数に全称記号をつけてできていることを強調するためにテキストではかっこをつけています。
Q
と書いてよいですか.
A
のどちらも使われているようです.
Q
P≡R のとき, P⇔Q≡R⇔Q としても良いのですか.
A
P≡R なので, (P,Q,R) の真偽は, (真,真,真),(真,真,偽),(偽,偽,真),(偽,偽,偽)の4通りとなります. それぞれの場合で P⇔Q と R⇔Q の真偽を調べてみてください.
Q
「P⇔Q」と「P≡Q」の意味合いは "新しい命題をつくる"のと"命題の関連性"の違いだけで, 表現している内容は同じですか?
A
「P≡Q」は「P⇔Q が真である」ということを表しているので「P⇔Q」とは"が真である"の部分だけ違います.
Q
背理法の説明がわかりません.
A
¬(P⇒Q) と P∧¬Q が同値であり, P∧¬Q から矛盾(例えば, R∧¬R が真である)が導かれれば, P∧¬Q は偽ということになり, ¬(P⇒Q) が偽ということは, 排中律から P⇒Q は真ということが示される, という説明でした. 途中の三段論法は, 導くために良く使われる方法の例として挙げたものです.
Q
「P∨¬P が恒真命題であることを排中律と呼ぶ」 と P∨¬P だけのような書き方ですが, 他の命題も恒真命題なら排中律と呼べるのですか?
A
P∨¬P だけを排中律と呼びます.
Q
P∨(Q∧R)のように3つ以上の命題が関わってくる場合に真理表がうまく書けません.
A
P∨S の真理表とQ∧R の真理表を書いて, S=Q∧R とおいて2枚の真理表使って, P∨(Q∧R) の真理表を埋めて行ってはどうでしょうか.
Q
同値について「⇔」という記号があるのに「≡」も必要な理由を知りたい.
A
「⇔」は論理演算子で, 「P ≡ Q」は, 「P⇔Qが真である」ということを表す表現方法です. 「P⇔Q」と書いただけでは, 論理式が真とは限りません.
Q
排中律と三段論法から無矛盾性は導けるのでしょうか.
A
公理体系によると思います.
Q
XOR のところが分かりません.
A
P, Q を命題とするとき, P または Q のどちらか一方のみが真であるときに真, 両方とも真か両方とも偽のとき偽となる命題を P と Q の排他的論理和といいます. 授業では P XOR Q と書きましたが, 論理記号ではPQと書くようです.
Q
含意の真偽のイメージははじめにウソをついたら、ついたもん勝ち(すべて真になる)というので大丈夫でしょうか.
A
覚え方としては良いかもしれません.
Q
PQ は, P と Q が関係性がなくても真偽が一致していれば成立するのですか
A
真偽が一致していれば真となります.
Q
P が偽の場合には, Q の真偽は問わない」「Pが真の場合には, Q の真偽は問わない」?
A
(P) Q という命題は, P が真の場合には Q の真偽に関わらず真となる, という意味で, P が真の場合には Q の真偽は問わないという説明をしました.
Q
{x | P(x) が偽 } だと集合でない?
A
整数について考えているという前提で, P(x) を 「x は奇数」という命題とすれば 質問の集合は すべての偶数からなる集合です.
Q
論理と集合の違いがわかりません.
A
授業のとき, 同じ記号 P, Q で命題と集合の両方を表したので混乱してしまったようです. 命題は, 物事の判断について述べた文章や式, 集合は物事の集まりのことです. 命題を使った集合の表し方として, {x | P(x) は真 } という例を挙げました.

講義の記録

4/9
テキスト6ページまで.
命題, 命題関数, 論理演算, 基本演算(論理和, 論理積, 否定, 含意), 同等, 論理記号, 論理式, 命題変数, 真理表(真理値表), 逆, 裏, 対偶について.
4/16
テキスト8ページまで.
恒真命題, 同値命題, 排中律, 背理法, 定義域
4/23
テキスト11ページまで
任意, 存在, 限定記号, 全称記号, 存在記号, 限定命題, 限定命題の否定
例題1.4 と 問題1.7 は次回もう一度
5/7
テキスト14ページ,例1.5まで
数列の収束の定義, 例
5/14
テキスト 16ページ,例1.7まで
5/21
テキスト 21ページ, ド・モルガンの公式まで(集合と命題の関係は次週)
5/28
テキスト 18ページ〜22ページ 2.3節の終わりまで
集合と命題関数の関係, 分配率,集合の大きさ
6/4
テキスト24ページの終わりまで
6/11
中間試験
6/18
テキスト27ページの注まで
直積集合, 写像と関連する用語の定義(像, 原像, 定義域, 値域)
射影は, 次回
6/25
テキスト30ページ, 問題3.2 まで
7/2
テキスト33ページ, 定理3.3 まで