論理学II（2005.01.26および02.02.）補足＆課題プリント

I. 多項述語

述語は，それにつく項の数によって，単項述語・多項述語（二項述語，三項述語・・・n項述語）に分類される．

1.単項述語

洋隆をa，「・・・は評論家である」をFとすると，

「洋隆は評論家である」は，Fa　［単称命題］

洋子をb，「・・・はよく笑う」をGとすると，

「洋子はよく笑う」は，Gb　［単称命題］

「すべての評論家はよく笑う」は，∀x(Fx⊃Gx)　［全称命題］

「ある評論家はよく笑う」は，∃x(Fx∧Gx)　［存在命題］

2.多項述語

それぞれの多項述語は，個体記号を置く順序が決まっている．

(a)二項述語

太郎をa，次郎をb，「・・・は・・・の兄である」をFとすると，

「太郎は次郎の兄である」は，Fab

ロシアをc，台湾をd，「・・・は・・・より広い」をGとすると，

「ロシアは台湾より広い」は，Gcd

(b)三項述語

太郎をa，洋子をb，次郎をc，「・・・は・・・を・・・に紹介する」をFとすると，

「太郎は洋子を次郎に紹介する」は，Fabc

名古屋をd，東京をe，大阪をf，「・・・は・・・と・・・の間にある」をGとすると，

「名古屋は東京と大阪の間にある」は，Gdef

(c)個体定項を含む二項述語

太郎をa，「・・・は・・・を愛している」をF，個体領域を人間の集合とすると，

「太郎はある人を愛している」は，∃xFax

「ある人は太郎を愛している」は，∃xFxa

「太郎はすべての人を愛している」は，∀xFax

「すべての人は太郎を愛している」は，∀xFxa

3.量化記号の順序

例えば，二項述語の場合，∀x∀yFxy は，∀x(∀yFxy) のカッコを省略したものである．(1)全称記号どうしの場合と(2)存在記号どうしの場合は，それらを入れ替えてもそれらの命題は等値である．

(1) ∀x∀yFxy　「すべての人はすべての人を愛している」

　 ∀y∀xFxy　「すべての人はすべての人を愛している」

個体領域を(a, b)として，上記の命題を展開すると，

∀x∀yFxy≡∀x(∀yFxy)

　　　　　≡∀yFay∧∀yFby

　　　　　≡(Faa∧Fab)∧(Fba∧Fba)

∀y∀xFxy≡∀y(∀xFxy)

　　　　　≡∀xFxa∧∀xFxb

　　　　　≡(Faa∧Fba)∧(Fab∧Fbb)

∴∀x∀yFxy≡∀y∀xFxy

(2) ∃x∃yFxy　「ある人はある人を愛している」

　 ∃y∃xFxy　「ある人はある人を愛している」

問題3(2) 個体領域を(a, b)として，上記の(2)の命題を展開し，等値であることを示しなさい．

次に，全称記号と存在記号が混在する場合は，その順序の違いによって，命題の意味が異なることを示す．

(3) ∀x∃yFxy　「すべての人はある人を愛している」

　 ∃y∀xFxy　「ある人がすべての人によって愛されている」

個体領域を(a, b)として，上記の命題を展開すると，

∀x∃yFxy≡∀x(∃yFxy)

　　　　　≡∃yFay∧∃yFby

　　　　　≡(Faa∨Fab)∧(Fba∨Fbb)

∃y∀xFxy≡∃y(∀xFxy)

　　　　　≡∀xFxa∨∀xFxb

　　　　　≡(Faa∧Fba)∨(Fab∧Fbb)

従って，等値ではない．

(4) ∃x∀yFxy　「ある人はすべての人を愛している」

　 ∀y∃xFxy　「すべての人はある人によって愛されている」

問題3(4) 個体領域を(a, b)として，上記の(2)の命題を展開し，等値でないことを示しなさい．

II. 同一性

1. 同一性の関係

(1)「Bolzanoは，Wissenschaftslehre(4Bde, 1837)の著者である」に関して，

Bolzano(ボルツァーノ)をa，Wissenschaftslehre(4Bde, 1837)の著者をbとすると，上記の文は，「aとbは同一である」と主張していることになる．これを同一性の関係と呼び，記号＝によって，

a＝b

と表すことにする．ところで，(2)「Bolzanoは，哲学者である」という場合，「・・・は哲学者である」をFという述語で表すと，

Fa

となるが，(1)の「・・・である」と(2)の「・・・である」は，意味が異なる．

(1)は，同一性を表す「・・・である」であって，「aはbと同一（人物・もの）である」という意味であるが，(2)の「・・・である」には，同一性の関係を表しておらず，「aは，Fであらわされる集合に属する」という意味である．

さらに，数学では，＝ を等号と呼んで，例えば，二等辺三角形ABCの等しい二辺ABとACについて，

AB＝AC

と表記し，辺ABの長さと辺ACの長さが等しいことだけを表現している．これは，論理学で用いる同一性の ＝ とは意味がことなる．論理学の同一性の意味で理解すれば，辺ABと辺ACが長さだけでなく，辺そのものが同一の辺であることになってしまうからである．

2. 同一性の記号化

(1)同一性は，反射性・対称性・推移性をもつ．

a＝a　は，恒真である．

〜(a＝b)　を　a≠b　と表記する．

∀x(x＝x)　「すべてのものは自分自身と同一である」（反射性）

∀x∀y((x＝y)⊃(y＝x))　（対称性）

∀x∀y∀z(((x＝y)∧(y＝z))⊃(x＝z))　（推移性）

(2)同一性の代入可能性

もし，a＝bであれば，aについて言えることは，bについても言える．

「Croceは，Filosofia dello Spirito(1902-1917)の著者である」

「Croceは，二度文部大臣になった」

Croce（クローチェ）をa，Filosofia dello Spirito(1902-1917)の著者をb，「・・・は二度文部大臣になった」をFで表すと，

「Croce ＝ Filosofia dello Spirito(1902-1917)の著者」であれば，その場合，

「Croceは，二度文部大臣になった」が真であれば，

「Filosofia dello Spirito(1902-1917)の著者は，二度文部大臣になった」も真である．

a＝b，Fa　∴Fb

これは，同一性の代入可能性を表わしている．より一般的には，次のように表現できる．

∀x∀y((x＝y)⊃(Fx≡Fy))

これはまた，外延性の原理とも言われる．すなわち，二つのものが同一であれば，一方について成り立つことは，他方についても成り立つ，という原理である．

(3)数表現の記号化

「少なくとも一つのFがある」は，∃xFx と表現できた．

さらに，「少なくとも二つのFがある」は，＝の否定≠を用いて，次のように表現できる．

∃x∃y(Fx∧Fy∧(x≠y))

「少なくとも三つのFがある」は，同様に次のようになる．

∃x∃y∃z(Fx∧Fy∧Fz∧(x≠y)∧(x≠z)∧(y≠z))

一般に，「少なくともn個のものがFである」は，次のようになる．

∃x₁・・・∃x_n (Fx₁∧・・・∧Fx_n∧(x₁≠x₂)∧・・・∧(x₁≠x_n)∧(x₂≠x₃)∧・・・∧(x₂≠x_n)∧・・・∧(x_n−1≠x_n))

また，「高々（多くても）一つのものがFである」は，「少なくとも二つのものがある」の否定だから，

〜∃x∃y(Fx∧Fy∧(x≠y))

となり，量化子を交換すると，次のようになる．

∀x∀y((Fx∧Fy)⊃(x＝y))

一般に，「高々（多くても）n個のものがFである」は，次のようになる．

∀x₁・・・∀x_n+1((Fx₁∧・・・∧Fx_n+1)⊃((x₁＝x₂)∨・・・∨(x₁＝x_n+1)∨(x₂＝x₃)∨・・・∨(x₂＝x_n+1)∨・・・∨(x_n＝x_n+1))

また，「ちょうど（きっかり）一つのものがFである」は，「少なくとも一つの，そして，高々一つのものがFである」となるから，

∃xFx∧∀x∀y((Fx∧Fy)⊃(x＝y))

となる．これは，次のようにも記号化できる．

∃x(Fx∧∀y(Fy⊃(x＝y)))

「ちょうど二つのものがFである」は，次のようになる．

∃x∃y(Fx∧Fy∧(x≠y)∧∀z(Fz⊃((z＝x)∨(z＝y))))

一般に，「ちょうどn個のものがFである」は，次のようになる．

∃x₁・・・∃x_n(Fx₁∧・・・∧Fx_n∧(x₁≠x₂)∧・・・∧(x₁≠x_n)∧(x₂≠x₃)∧・・・∧(x₂≠x_n)∧・・・∧(x_n≠x_n+1)∧∀x_n+1(Fx_n+1⊃(x_n+1＝x₁)∨・・・∨(x_n+1＝x_n)))

課題：問題3(2)および問題3(4)を解いて，2005年2月15日中にA663まで提出すること．問題の意味，解法について疑問がある場合は，2月15日までに直接質問に来ること．全部解けなくても，必ず提出すること．