\documentclass[a4j,11pt,fleqn]{jarticle}
\usepackage{graphicx}
%\textheight=25cm
\pagestyle{empty}
\newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath$#1$}}
\newcommand{\etoile}[1]{$\!\! ^{#1}$}
\renewcommand{\labelenumi}{\bfseries ��\arabic{enumi}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\roman{enumiii}}
\begin{document}
\begin{flushright}
����15�N5��8��
\end{flushright}
\begin{flushleft}
{\bf �d���C�w���K No.5    (�ϕ��^�K�E�X�̖@���ƃf���^�֐�)}
\end{flushleft}
\normalsize
\begin{enumerate}
\item\etoile{*} \textbf{(�K�E�X�̖@���̉��p: �����~��)}���a$a$�̖����ɒ����~���̓����݂̂ɓd�ז��x$\rho$(���)�̓d�ׂ����z���Ă���.~���̂Ƃ��̓d��Ɠd�ʂ�,~�K�E�X�̖@�����g���~���̒��S������̋����̊֐��Ƃ��ċ���,~�}������.
\item\etoile{*}\textbf{(�f���^�֐�)} �ȉ��Œ�`�����֐�$\delta_\alpha(x)$�ɂ��čl����.
\[
           \delta_\alpha(x)=\left\{\begin{array}{ll}
		                                                     0 & (|x| \ge 1/\alpha\mbox{~�̂Ƃ�})\\
																\alpha (1 -\alpha|x|) & (|x| < 1/\alpha\mbox{~�̂Ƃ�})
															\end{array}\right.
\]
\begin{enumerate}
\item $\alpha=1$,~2,~4�̏ꍇ�Ɋ֐�$y=\delta_\alpha(x)$��}������.
\item $\displaystyle{\Theta_\alpha(x)=\int_{-\infty}^x\delta_\alpha(t)\,dt}$��
��`�����֐�$\Theta_\alpha(x)$������,~���̊T�`��$\alpha=1$,~2,~4�̏ꍇ�ɐ}������.
\item $\alpha\rightarrow \infty$�̋Ɍ���,~�֐�$\delta_\alpha(x)$�̓f���^�֐���
��`i),~ii)�𖞑���,~����i)-iv)���������Ă��邱�Ƃ�����(�������Q��).
\end{enumerate}
\item\etoile{**} \textbf{(�K�E�X�̖@���̉��p: �������d��)} �d�ז��x�����W$z$�݂̂̊֐��Ƃ���
\[
       \rho(z)=\left\{\begin{array}{ll}\rho_0& (|z|\le z_0) \\
                                             0& (|z| >z_0) \end{array}\right.
\]
�̂悤�ɗ^�����Ă���.~�i���Ȃ킿,~����$2z_0$�̖����ɍL���d�ו�������.)���̓d�ׂ̍��
�d����K�E�X�̖@����p���ċ���,~$z$�̊֐��Ƃ��Đ}������.
�����,~����$m$,~�d��$-e$�̓d�q�����̕��̒��S���畽�ɐ����ɓ����o���Ƃ���.~�d�q��
���̊O�ɏo�邽�߂ɂ͓����o�����x$v$�͂ǂ�قǂłȂ���΂Ȃ�Ȃ���?~������,~$\rho_0>0$
�Ƃ��čl����.
\item\etoile{**}\textbf{(�K�E�X�̖@���̉��p: ���)} �F���S�̂��d�ז��x$\rho$(������,~$\rho>0$)
 �ɑѓd�����K�X�Ŗ�������Ă���Ƃ���.~������,~$z=-z_0$����$z=z_0$�̖����ɍL���������
 ��Ԃɂ̂݃K�X���Ȃ�(�^����)�Ƃ���.~���̂Ƃ�,~�d��Ɠd�ʂ�$z$�̊֐��Ƃ��ċ���,~�}������.~
 �����,~����$m$,~�d��$-e$�̓d�q�����̋󓴂̒��S����󓴖ʂɐ����ɓ����o���Ƃ���.~ �d�q
 �͂ǂ̂悤�ȉ^�������邩���ׂ�.
 \item\etoile{*}\textbf{(�K�E�X�̖@���̉��p: ���ʏ�d��)} ���a$a$�̋��ʏ�ɓd�ׂ��ʓd�ז��x$\sigma$ (���)
�ň�l�ɕ��z���Ă���Ƃ�,~�d������_����̋���$r$�̊֐��Ƃ��ċ���,~�}������.~�����,~���̋�����
����$m$,~�d��$-e$�̓d�q������ꍇ,~�d�q�͂ǂ̂悤�ȉ^�������邩�l����.
\item\etoile{*}\textbf{(�K�E�X�̖@���̉��p: ��)}���a$a$�̋������ɓd�ז��x$\rho$(���)�̓d�ׂ���l��
���z���Ă���.~���̂Ƃ��̓d������_����̋���$r$�̊֐��Ƃ��ċ���,~�}������.~�Ȃ�,~���̊O�ɂ͓d��
�͈�ؑ��݂��Ȃ��Ɖ��肷��.
\end{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{(\Alph{enumi})}}
\renewcommand{\labelenumii}{\roman{enumii})}
\renewcommand{\labelenumiii}{\arabic{enumiii})}
%\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{flushleft} \textbf{(����)} \end{flushleft}
\begin{enumerate}
\item \textbf{�f���^�֐��̒�`}\\
�ȉ��̐��������֐���(�f�B���b�N��)�f���^�֐�(delta function)�Ƃ���.
\begin{enumerate}
         \item $\delta(x)=0~~(x\neq 0)$
		 \item $\displaystyle{\int_{-\infty}^\infty \delta(x)\,dx}=1$
\end{enumerate}
\item \textbf{�f���^�֐��̐���}
\begin{enumerate}
         \item $\delta(x)=\delta(-x)$
		 \item $\delta(ax)=\delta(x)/|a|$

		 \item $\delta(x)=\frac{d}{dx}\Theta(x)$
		 \item $\displaystyle{\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)\,dx=f(a)}$
\end{enumerate}		 
������$\Theta(x)$�͊K�i�֐�(step function)�ƌĂ΂�,~�ȉ��̗l�ɒ�`�����:
\[
\Theta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & (x<0) \\ 1& (x>0) .\end{array}\right.
\]
\item \textbf{�f���^�֐��̗�}\\
�ȉ��̂R�̊֐��͂��ꂼ��$a \rightarrow 0$,~$\gamma \rightarrow 0$,~$\sigma\rightarrow 0$
�̋Ɍ��Ńf���^�֐��ƂȂ�.
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle
           f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
		                                                     1/a & (|x| \le a \mbox{~�̂Ƃ�})\\
															0 & (|x| > a\mbox{~�̂Ƃ�})
															\end{array}\right.
$
\item $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{x^2+\gamma^2} ~~~\mbox{(���[�����c���z�֐�)}$
\item $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\Bigl(-\frac{x^2}{2\sigma^2} \Bigr)~~~\mbox{(�K�E�X���z�֐�)}$
\end{enumerate}
i),ii)�̊֐��ɂ��āA$a \rightarrow 0$�����$\gamma \rightarrow 0$�̋Ɍ��ŏ�Ŏ������f���^�֐��̒�`����ѐ�������������Ă��邱�Ƃ��m���߂Ă݂�I
\end{enumerate}
\end{document}

