\documentclass[a4j,12pt,fleqn]{jarticle}
%\textheight=25cm
\usepackage{graphicx}
\usepackage{fancybox}
\pagestyle{empty}
\newcommand{\etoile}[1]{$\! ^{#1}$}
\newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath$#1$}}
\renewcommand{\labelenumi}{\bfseries ��\arabic{enumi}$\!\!$}
\renewcommand{\labelenumiii}{\roman{enumiii}}
\begin{document}
\begin{flushright}
����16�N5��6��
\end{flushright}
\begin{flushleft}
{\bf �d���C�w���K No.3    (�x�N�g����͂̕��K)}
\end{flushleft}
\normalsize
\begin{enumerate}
\item\etoile{*} ���̓������ؖ�����.
\begin{enumerate}
\item $\nabla\cdot(f\mb{A})=(\nabla f)\cdot\mb{A}+(\nabla\cdot\mb{A})f$
\item $\nabla\times(f\mb{A})=(\nabla f)\times\mb{A}+(\nabla\times\mb{A})f$
\item $\nabla\cdot(\mb{A}\times\mb{B})=\mb{B}\cdot(\nabla\times\mb{A})-\mb{A}\cdot  (\nabla\times\mb{B})$
\end{enumerate}
\item\etoile{*}  $\mb{r}=x\mb{i}+y\mb{j}+z\mb{k}$,~$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$�ł���Ƃ�
�ȉ����v�Z����.
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle \nabla \cdot \Bigl(\frac{\mb{r}}{r^3}\Bigr)$
\item $\nabla f(r)$
\item $\nabla\times(\mb{r}f(r))$
\item $\nabla^2 f(r)$
\end{enumerate}
\item\etoile{*}�x�N�g����$\mb{A}(x,y,z)=(x^2-y^2)\mb{i}+2xy\mb{j}+z\mb{k}$�ɑ΂���,~
$x$-,~$y$-�����$z$-����3�ӂƂ����ӂ̒���$a$�̗����̂̓����ɑ΂���ϕ�$\int\!\!\int\!\!\int \nabla\cdot\mb{A} dV$
�Ƃ��̕\�ʂɑ΂���ϕ�$\int\!\!\int \mb{A}\cdot d\mb{S}$�����s��,~�K�E�X�̒藝�����藧���Ă���
���Ƃ��m���߂�.
\item\etoile{*} �Q������ԂŒ�`���ꂽ��$\mb{F}=(2xy,\alpha x^2)$~($\alpha$�͒萔)
�ɑ΂���,

\begin{minipage}[b]{7cm}
\begin{enumerate}
\item �E�}�Ɏ����悤�ȂR�̌o�H,~���Ȃ킿����O$\rightarrow$A$\rightarrow$P,~�~��O$\rightarrow$B$\rightarrow$P ($y=a-\sqrt{a^2-x^2}$),~�܂��O$\rightarrow$C$\rightarrow$D
$\rightarrow$P,~��ʂ��Ď��_���_O$(0,0)$����_P$(a,a)$�Ɉړ�����Ƃ��̎d�������ꂼ���
�o�H�ɂ��ċ��߂�.
\item $\alpha$�������Ȃ�l�̂Ƃ�,~��$\mb{F}$�͕ۑ��͂��H~�܂��A���̂Ƃ���
�|�e���V���������߂�.
\end{enumerate}
\end{minipage}
\includegraphics[width=5.5cm]{EM3path.eps}

\item\etoile{**} �x�N�g����$\mb{A}(x,y,z)=-x^2y\mb{i}+xy^2\mb{j}+z^2\mb{k}$�ɑ΂���,~
$x^2+y^2+z^2=1$,~$z\ge 0$�Ȃ锼���̕\�ʂɑ΂���ϕ�$\int\!\!\int (\nabla \times\mb{A})\cdot d\mb{S}$
�Ƃ��̎��ł���$x$-$y$���ʏ�̉~$x^2+y^2=1$�ɑ΂���ϕ�$\int \mb{A}\cdot d\mb{r}$
���v�Z��,~�X�g�[�N�X�̒藝�����藧���Ă��邱�Ƃ��m���߂�.
\end{enumerate}
\pagebreak
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{(\Alph{enumi})}}
\renewcommand{\labelenumii}{\roman{enumii})}
\begin{flushleft} \textbf{(����)} \end{flushleft}
\begin{enumerate}
\item 3�����f�J���g���W�n��$\mb{i}$,~$\mb{j}$,~$\mb{k}$�����ꂼ��$x$-,~$y$-,~$z$-�������̒P�ʃx�N�g���Ƃ����,~�X�J���[��$f(x,y,z)$�̌��z(gradient),~�x�N�g����$\mb{A}(x,y,z)$�̉�](rotation)����є��U(divergence)�͈ȉ��̂悤�ɒ�`�����.
\begin{enumerate}
\item \textbf{���z:~}
$\displaystyle
   \nabla f=\mathrm{grad} f
                 =\frac{\partial f}{\partial x}\mb{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\mb{j}
                                         +\frac{\partial f}{\partial z}\mb{k}
$
\item \textbf{��]:~}
$\displaystyle
   \nabla\times\mb{A}={\mathrm{rot} \mb{A}}=\left|\begin{array}{ccc}
         \mb{i} & \mb{j} & \mb{k} \\ 
		 \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
		  A_x & A_y & A_z
      \end{array}\right| \\
   ~~~~~~~~~~~~=\Bigl(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\Bigr)\mb{i}
     + \Bigl(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\Bigr)\mb{j}
     + \Bigl(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\Bigr)\mb{k}
$
\item \textbf{���U:~}
$\displaystyle
   \nabla\cdot\mb{A}={\mathrm{div} \mb{A}}
   =\frac{\partial A_x}{\partial x}
     + \frac{\partial A_y}{\partial y}
     + \frac{\partial A_z}{\partial z}
$
\end{enumerate}
\item ~~i)~$g$,~$f$���X�J���[��,~$\mb{A}$,~$\mb{B}$��
�x�N�g����Ƃ���ƈȉ��̌��������藧��.
\begin{eqnarray*}
  &&\nabla (fg)=f\nabla g+(\nabla f)g\\
  &&\nabla\cdot(f\mb{A})=(\nabla f)\cdot\mb{A}+(\nabla\cdot\mb{A})f\\
  &&\nabla\times(f\mb{A})=(\nabla f)\times\mb{A}+(\nabla\times\mb{A})f\\
  &&\nabla\cdot(\mb{A}\times\mb{B})=\mb{B}\cdot(\nabla\times\mb{A})-\mb{A}\cdot      (\nabla\times\mb{B})\\
  &&  \nabla\times(\mb{A}\times\mb{B})=(\mb{B}\cdot\nabla)\mb{A}-\mb{B}(\nabla\cdot\mb{A})-(\mb{A}\cdot\nabla)\mb{B}+\mb{A}(\nabla\cdot\mb{B})\\
 && \nabla(\mb{A}\cdot\mb{B})=(\mb{B}\cdot\nabla)\mb{A}+(\nabla\cdot\mb{A})\mb{B}+\mb{B}\times(\nabla\times\mb{A})+\mb{A}\times(\nabla\times\mb{B})\\
  &&\nabla\times(\nabla f)=\mathrm{rot}~\mathrm{grad} f=0\\
  &&\nabla\cdot(\nabla\times\mb{A})=\mathrm{div}~\mathrm{rot}\mb{A}=0\\
  &&\nabla\times(\nabla\times\mb{A})=\nabla(\nabla\cdot\mb{A})-\nabla^2\mb{A}
\end{eqnarray*}
\item[]~ii)\textbf{�K�E�X�̒藝:}~$V$��C�ӂ̗̈�,~$S$�����̕\�ʂƂ����,~
\[
      \int\!\!\int_S \mb{A}\cdot d\mb{S}=\int\!\!\int\!\!\int_V \nabla\cdot \mb{A}\,dV
\]
\item[] iii) \textbf{�X�g�[�N�X�̒藝:}~$S$��C�ӂ̋Ȗ�,~$C$�����̎��Ƃ����,~
\[
      \int_C \mb{A}\cdot d\mb{r}=\int\!\!\int_S (\nabla\times\mb{A})\cdot d\mb{S}
\]
\item ���z,~��],~���U�͎��̂悤�ɒ�`���邱�Ƃ��ł���.
\begin{enumerate}
\item \textbf{���z:~}
$\Delta\mb{r}$������ψ�,~$\mb{l}$��ψʂ̕����̒P�ʃx�N�g���Ƃ����,
\[
       (\nabla f)\cdot\mb{l}=\lim_{\Delta r\rightarrow 0}
	   \frac{1}{\Delta r}\left\{f(\mb{r}+\Delta\mb{r})-f(\mb{r})\right\}.
\]
����_$\mb{r}$�ł̌��z��,~���̓_�ł�$f$�̒P�ʒ���������̕ω����ő�ƂȂ�
�����������Ă���,~���̐�Βl�͂��̕����ł̒P�ʒ����������$f$�̒l�̕ω���^���Ă���.
���z�̕����͏��$f=$���̖ʂɑ΂��Đ���.
\item \textbf{��]:~}
$\mb{n}$������Ȗʂ̒P�ʖ@���x�N�g��,~$\Delta S$�����̖ʐ�,~$\Delta C$�����̎���
�����,
\[
      (\nabla\times\mb{A})\cdot\mb{n}=\lim_{\Delta S\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta S}\oint_{\Delta C} \mb{A}\cdot d\mb{r}.
\]
������,~$\oint$�͕����Ȑ��ɑ΂�����ϕ���\��,~$\oint_{C}\mb{A}\cdot d\mb{r}$��
$\mb{A}$��$C$�ɉ������z���邢�͉Q�ʂƂ���.~�ۑ���$\mb{F}(\mb{r})$�̏ꍇ�͏z�������Ȃ�
�Ȑ��ɑ΂��Ă��[���ł��邩��,~$\nabla\times \mb{F}$=\mb{0}����ɐ��藧��.
\item \textbf{���U:~}
$\Delta V$������̈�̑̐�,~$\Delta S$�����̕\�ʂƂ����,~���U��,~
\[
   \nabla\cdot\mb{A}=\lim_{\Delta V\rightarrow 0} \frac{1}{\Delta V}\int\!\!\!\int_{\Delta S}\mb{A}\cdot d\mb{S}.
\]
 $\mb{A}$�𗬑̂̑��x��Ƃ݂Ȃ���,~�E�ӂ̐ϕ��͒P�ʎ��ԓ���̔����̈�\��$\Delta S$
 ���痬��o�����̂̑̐ςɑΉ����Ă���.
\end{enumerate}
\item \footnote{�u�������p���w���K�v(�����o��) \textbf{2.3}�͂��Q��}�����Ȑ����W�n��$(u_1,u_2,u_3)$�Ƃ����,~����{��$g_i$�Ƃ͍��W$u_i$�������$\delta u_i$�ω���������,~$u_i$�����ւ̈ʒu�x�N�g���̈ړ�����$\delta s_i$��,~$\delta s_i=g_i\delta u_i$
�Ə�����ʂł���.~�Ⴆ��,~���W�_$(u_1,u_2,u_3)$�ƍ��W�_$(u_1+\delta u_1,u_2,u_3)$�̊Ԃ̋�����
$g_1\delta u_1$�ł���.~����{�ʂ�,~�ȉ��̎�����v�Z�ł���:
\[
     g_i=\sqrt{\Bigl(\frac{\partial x}{\partial u_i}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{\partial y}{\partial u_i}\Bigr)^2+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial u_i}\Bigr)^2}.
\]
$\mb{e}_i$�����W$u_i$�����̒P�ʃx�N�g��,~$A_i$���x�N�g��$\mb{A}$��$u_i$�����̐����Ƃ����,
\begin{enumerate}
\item \textbf{��������:}~$ds=\sqrt{(g_1du_1)^2+(g_2du_2)^2+(g_3du_3)^2}$
\item \textbf{�̐ϗv�f:}~$dV=g_1g_2g_3\,du_1 du_2 du_3$
\item \textbf{���z:}~
$\displaystyle{ 
      \nabla f=\frac{1}{g_1}\frac{\partial f}{\partial u_1}\mb{e}_1+\frac{1}{g_2}\frac{\partial f}{\partial u_2}\mb{e}_2+\frac{1}{g_3}\frac{\partial f}{\partial u_3}\mb{e}_3}
$
\item \textbf{��]:}~$\displaystyle
\nabla\times \mb{A}=\frac{1}{g_1g_2g_3}\left|\begin{array}{ccc}
         {g_1}\mb{e}_1 & {g_2}\mb{e}_2 & {g_3}\mb{e}_3 \\ 
		 \frac{\partial}{\partial u_1} & \frac{\partial}{\partial u_2} & \frac{\partial}{\partial u_3} \\
		  g_1A_1 & g_2A_2 & g_3A_3
      \end{array}\right|$
%       =\frac{1}{g_2g_3}\left(\frac{\partial g_3A_3}{\partial u_2}-\frac{\partial g_2A_2}{\partial u_3}\right)\mb{e}_1+\frac{1}{g_3g_1}\left(\frac{\partial g_1A_1}{\partial u_3}-\frac{\partial g_3A_3}{\partial u_1}\right)\mb{e}_2
%	  +\frac{1}{g_1g_2}\left(\frac{\partial g_2A_2}{\partial u_1}-\frac{\partial g_1A_1}{\partial u_2}\right)\mb{e}_3$
\item \textbf{���U:}~$\displaystyle{
      \nabla\cdot \mb{A}=\frac{1}{g_1g_2g_3}\left(\frac{\partial g_2g_3A_1}{\partial u_1}+\frac{\partial g_3g_1A_2}{\partial u_2}+\frac{\partial g_1g_2A_3}{\partial u_3}\right)}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}

