\documentclass[a4j,12pt]{jarticle}
\topmargin=-10mm
\textheight=25cm
\thispagestyle{empty}
\newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath$#1$}}
\begin{document}
\begin{flushright}
����17�N4��14��
\end{flushright}
\begin{flushleft}
{\bf �d���C�w���K No.1    (�x�N�g���A���d�ϕ��̕��K)}
\end{flushleft}
\normalsize
\begin{enumerate}
\item[{\bf ��1}]~(�x�N�g��)$^*$ �ȉ��̃x�N�g���֌W�����ؖ�����.
\begin{eqnarray*}
          &~~~~~~ \mb{A}\times (\mb{B}\times\mb{C})=(\mb{A}\cdot\mb{C})\mb{B}- (\mb{A}\cdot\mb{B})\mb{C}\\
		&      \mb{A}\times (\mb{B}\times\mb{C})+\mb{B}\times (\mb{C}\times\mb{A})+\mb{C}\times (\mb{A}\times\mb{B})=0
\end{eqnarray*}
\item[{\bf ��2}]~(���ϕ�)$^*$ ����$L$�̖_������.~���̖_�̐����x(���Ȃ킿,~�P�ʒ����������
����)$\lambda$�͖_�̕В[����̋���$x$�̊֐��Ƃ���,~
\[
   \lambda(x)=\lambda_0+\lambda_1\big(x/L\big)^2
\]
�ŗ^�����Ă���.~���̖_�̎��ʂ����߂�.~������,~$\lambda_0$,~$\lambda_1$�͒萔�ł���.
\item[{\bf ��3}]~(�ʐϕ�)$^{*}$ ���a$R$�̔����~�Ղ�����.~���̉~�Ղ̖ʖ��x�i���Ȃ킿,~
�P�ʖʐϓ�����̎��ʁj$\sigma$�͉~�Ղ̒��S����̋���$r$�̊֐��Ƃ���,
\[
       \sigma(r)=\sigma_0+\sigma_1\exp\Bigl[\left(\frac{r}{R}\right)^2\Bigr]
\]
�ŗ^�����Ă���.~���̉~�Ղ̎��ʂ����߂�B������,~$\sigma_0$,~$\sigma_1$�͒萔�ł���.
\item[{\bf ��4}]~(�x�N�g��)$^{**}$ �x�N�g��$\mb{B}$���x�N�g��$\mb{A}$�ɕ��s�ȃx�N�g��
�Ɛ����ȃx�N�g���̘a�ŏ����\�킷�ƈȉ��̂悤�ɂȂ邱�Ƃ�����.
\[
    \mb{B}=\frac{\mb{A}\cdot \mb{B}}{A^2}\mb{A}+\frac{(\mb{A}\times\mb{B})\times\mb{A}}{A^2}
\]
\item[{\bf ��5}]~(�̐ϐϕ�)$^{**}$ ���x����l�Ȕ���$0<z<\sqrt{a^2-x^2-y^2}$������B���̔����̏d�S�̍��W�����$z$���܂��̊������[�����g�����߂�.
\end{enumerate}
\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{enumerate}
\item[1)]��(*)��̐��͖��̓�Փx��\���Ă��܂�.~
\item[2)]���T���K���(5����x)��z�z����̂�,~���T�܂łɉ�������.~
\item[3)]���T,~���̂����̊�{�I�ȂP��͏������Ƃ��Ďw��̎��Ԃ̂����ɉ���.~
\item[4)]�c��̖���,~�������邢�͎��T�Ɏw�����ꂽ,~�������͎���u�肵���҂����Ă����,~�������.~����I�ɔ��\���������]���������Ȃ�܂�.
\item[5)]���т�,~��������(100),~���Ԏ���(40),~������(30),~���\(30)�̔z�_�ŕ]�����܂�.
\item[6)]��������������,~���������ɓ�����,~����,~���̊w���Ƃ̋c�_,~���ȏ�,~�m�[�g���Q�l�ɂ��Ă��ǂ�.~�ނ���ϋɓI�Ȏ��Ƃւ̎Q�������҂��܂�.~�Ƃ��������Ԓ��Ɋ��S�ɗ�����,~�^�����Ɏc���Ȃ��悤�΂߂邱�ƁI
\item[7)]���ƒ��͌g�ѓd�b���g�p���Ȃ����ƁB�X�C�b�`���I�t�ɂ��邩�A�}�i�[���[�h�ɂ��Ă������ƁB
\end{enumerate}
\pagebreak
\begin{enumerate}
\item[{\bf (����)}]
���W�ϊ�$x=f(u,v)$,~$y=g(u,v)$�ɂ����,~���W�n$(x,y)$����
���W�n$(u,v)$�Ɉڂ�Ƃ�,~���W�n$(x,y)$�ł̗̈�$D$��
���W�n$(u,v)$�ł�$D'$�ɑΉ�����Ƃ����,~
\[
     �@\int\!\!\int_{D} F(x,y) \,dx\,dy=\int\!\!\int_{D'}
F\left(f(u,v),\,g(u,v)\right)\,J(u,v)\,du\,dv 
\]
������$J(u,v)$�̓��R�r�A�����邢�̓��R�u�̍s�񎮂ƌĂ΂�,~
\[
   J(u,v)=\left|\begin{array}{rr}
	    \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\ 
		\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
		       \end{array}\right| .
\]
�Ⴆ��,~2�����f�J���g���W$(x,y)$����ɍ��W$(r,\theta)$�ɍ��W�ϊ�����Ƃ�($x=r\cos\theta$,~
$y=r\sin\theta$),
\begin{eqnarray}
     �@&&\int\!\!\int_{D} f(x,y) \,dx\,dy=\int\!\!\int_{D'}
f(r\cos\theta,r\sin\theta)\,
rdr\,d\theta \nonumber\\
 &&\int\!\!\int_{x^2+y^2 \le R^2} g({\textstyle\sqrt{x^2+y^2}}) \,dx\,dy
     =\int_0^R g(r)\,2\pi r \,dr\nonumber
\end{eqnarray}
�����藧�̂�e�ՂɎ�����.~�i�m���߂�I�܂����̊֌W�̊􉽊w�Ӗ����l���Ă݂�.�j

���l��3������Ԃɂ�������W�ϊ�$x=f(u,v,w)$,~$y=g(u,v,w)$,~$z=h(u,v,w)$�ɑ΂���,~
\[
     �@\int\!\!\int_{D} F(x,y,z) \,dx\,dy\,dz=\int\!\!\int_{D'}
F\left(f(u,v,w),\,g(u,v,w),\,h(u,v,w)\right)\,J(u,v,w)\,du\,dv\,dw 
\]
�ł���,~������$J(u,v,w)$��
\[
        J(u,v,w)=\left|\begin{array}{rrr}
	    \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}& \frac{\partial x}{\partial w}\\ 
        \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}& \frac{\partial y}{\partial w}\\
        \frac{\partial z}{\partial u} & \frac{\partial z}{\partial v}& \frac{\partial z}{\partial w}
		       \end{array}\right|. 
\]
�ł���.~
3�����f�J���g���W$(x,y,z)$����ɍ��W$(r,\theta,\phi)$�ɍ��W�ϊ�
($x=r\cos\phi\sin\theta$,~$y=r\sin\phi\sin\theta$,~$z=r\cos\theta$)����Ƃ�,~
\begin{eqnarray}
     &&\int\!\!\int\!\!\int_{D} h(x,y,z) \,dx\,dy\,dz=\int\!\!\int\!\!\int_{D'}
       h(r\sin\theta\cos\phi,r\sin\theta\sin\phi,r\cos\theta)
       r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\phi \nonumber\\
      &&\int\!\!\int\!\!\int_{x^2+y^2+z^2\le R^2} \rho({\textstyle\sqrt{x^2+y^2+z^2}}) \,dx\,dy\,dz =
      \int_{0}^{R}\rho(r)\,4\pi r^2\,dr~.\nonumber
\end{eqnarray}
��̊֌W���􉽊w�I�ɐ�������.
\end{enumerate}
\end{document}

