\documentclass[a4j,11pt,fleqn]{jarticle}
\usepackage{graphicx}
%\textheight=25cm
\pagestyle{empty}
\newcommand{\mb}[1]{\mbox{\boldmath$#1$}}
\newcommand{\etoile}[1]{$\!\! ^{#1}$}
\renewcommand{\labelenumi}{\bfseries ��\arabic{enumi}}
\renewcommand{\labelenumiii}{\roman{enumiii}}
\begin{document}
\begin{flushright}
����17�N5��19��
\end{flushright}
\begin{flushleft}
{\bf �d���C�w���K No.5    (�Ód�|�e���V����,~�N�[�����̖@��)}
\end{flushleft}
\normalsize
\begin{enumerate}
\item\etoile{*}\textbf{(�f���^�֐�)} �ȉ��Œ�`�����֐�$\delta_\alpha(x)$�ɂ��čl����.
\[
           \delta_\alpha(x)=\left\{\begin{array}{ll}
		                                                     0 & (|x| \ge 1/\alpha\mbox{~�̂Ƃ�})\\
																\alpha (1 -\alpha|x|) & (|x| < 1/\alpha\mbox{~�̂Ƃ�})
															\end{array}\right.
\]
\begin{enumerate}
\item $\alpha=1$,~2,~4�̏ꍇ�Ɋ֐�$y=\delta_\alpha(x)$��}������.
\item $\displaystyle{\Theta_\alpha(x)=\int_{-\infty}^x\delta_\alpha(t)\,dt}$��
��`�����֐�$\Theta_\alpha(x)$������,~���̊T�`��$\alpha=1$,~2,~4�̏ꍇ�ɐ}������.
\item $\alpha\rightarrow \infty$�̋Ɍ���,~�֐�$\delta_\alpha(x)$�̓f���^�֐���
��`i),~ii)�𖞑���,~����i)-iv)���������Ă��邱�Ƃ�����(�������Q��).
\end{enumerate}
\item\etoile{*}\textbf{(1�������E�l���:����d��)}
\begin{enumerate}
\item �ɍ��W�ɂ����郉�v���V�A��($\nabla^2$)�̕\����,~�ɍ��W�ɂ�������z�Ɣ��U�̕\�����,~�ȉ���
�悤�ɏ����邱�Ƃ�����.~(�d���C�w���K No.~2�̎������Q�Ƃ���.)
\[
\nabla^2f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\Bigl(r^2\frac{\partial f}{\partial r}\Bigr)
           +\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\Bigl(\sin\theta\frac{\partial f}{\partial \theta}\Bigr)
		   +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2f}{\partial\phi^2}
\]
\item ���a$a$�̋�������.~�������ł͈�l�ȓd�ז��x$\rho$�œd�ׂ����z���Ă���A�O���ɂ͓d�ׂ��Ȃ��Ƃ���.~���̂Ƃ�,~�|�A�b�\�����������������Ƃɂ��,~���̌n�̐Ód�|�e���V����$\varphi(r)$������,~���̒��S����̋���$r$�̊֐��Ƃ��Đ}������.
\item $\mb{E}=-\nabla \varphi(\mb{r})$����,~���̋���d�ׂ̍��d��$\mb{E}$������,~�}������.
\item $\displaystyle{U=\frac{\varepsilon_0}{2}\int E(\mb{r})^2dV}$��p����,~���̋���d�ׂ̐Ód�G�l���M�[$U$�����߂�.~
\end{enumerate}
\item\etoile{*}\textbf{(1�������E�l���:���k�d��)} �^�󒆂ɔ��a$a$�Ɣ��a$b$(������,~$b>a$)�̋��k�d�ɂ�����.~�����̐Ód�|�e���V�����̓[���ł���,~�O���̐Ód�|�e���V������$V$�ł���Ƃ��悤.~���̂Ƃ��Ód�|�e���V�����Ɠd������k�̒��S����̋����̊֐��Ƃ��ċ���,~�}������.
\item\etoile{*}\textbf{(1�������E�l���:��������)} $z$���ɐ����ȓ񖇂̕���$z=0$�����$z=d$�̊ԂɈ�l�ȓd�ז��x$\rho$�̓d�ׂ����z���Ă���.~
\begin{enumerate}
\item ��̕��ʂ̐Ód�|�e���V�������[��($\Phi(0)=0$,~$\Phi(d)=0$)�̂Ƃ�,~
$0<z<d$�ł̐Ód�|�e���V����$\Phi(z)$����ѓd���z����$E_z(z)$������,~������$z$�̊֐��Ƃ��Đ}������.~
\item $\Phi(0)=0$,~$z=d$�̕��ʂ̓����\�ʂœd���z������$E_z=0$�̂Ƃ�,~
��̕��̊Ԃ̐Ód�|�e���V����$\Phi(z)$������,~$z$�̊֐��Ƃ��Đ}������.~
\end{enumerate}
\item\etoile{*}\textbf{(1�������E�l���:�~�����W)} �^�󒆂ɒ��S�������L���锼�a$a$����є��a$b$��
�����ɒ����~�����̂�����($b>a$�Ƃ���).~�O���̓��̂͐ڒn����Ă���.~���̃|�e���V�������[���Ƃ���.~
����A�����̓��̂̃|�e���V������$V$�Ƃ���.
\begin{enumerate}
\item �~�����W�n$(R,\phi,z)$�Ń��v���V�A��($\nabla^2$)�̕\����,~�ȉ��̂悤�ɂȂ邱�Ƃ�����.~~(�d���C�w���K No.~2�̎������Q�Ƃ���.)
\[
    \nabla^2 f=\frac{1}{R} \frac{\partial}{\partial R}\Bigl(R\frac{\partial f}{\partial R}\Bigr)
	                   +\frac{1}{R^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}
\]
\item ���S������̋�����$R$�Ƃ���Ƃ�,~$a<R<b$�ɂ�����|�e���V����$\Phi(R)$�Ɠd��$E_R(R)$��
����,~$R$�̊֐��Ƃ��Đ}������.
\item ���̉~���n�̒P�ʒ���������̐Ód�G�l���M�[�����߂�.~
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{(\Alph{enumi})}}
\renewcommand{\labelenumii}{\roman{enumii})}
\renewcommand{\labelenumiii}{\arabic{enumiii})}
%\rule{\textwidth}{0.1mm}
\begin{flushleft} \textbf{(����)} \end{flushleft}
\begin{enumerate}
\item \textbf{�f���^�֐��̒�`}\\
�ȉ��̐��������֐���(�f�B���b�N��)�f���^�֐�(delta function)�Ƃ���.
\begin{enumerate}
         \item $\delta(x)=0~~(x\neq 0)$
		 \item $\displaystyle{\int_{-\infty}^\infty \delta(x)\,dx}=1$
\end{enumerate}
\item \textbf{�f���^�֐��̐���}
\begin{enumerate}
         \item $\delta(x)=\delta(-x)$
		 \item $\delta(ax)=\delta(x)/|a|$

		 \item $\delta(x)=\frac{d}{dx}\Theta(x)$
		 \item $\displaystyle{\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)\,dx=f(a)}$
\end{enumerate}		 
������$\Theta(x)$�͊K�i�֐�(step function)�ƌĂ΂�,~�ȉ��̗l�ɒ�`�����:
\[
\Theta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0 & (x<0) \\ 1& (x>0) .\end{array}\right.
\]
\item \textbf{�f���^�֐��̗�}\\
�ȉ��̂R�̊֐��͂��ꂼ��$a \rightarrow 0$,~$\gamma \rightarrow 0$,~$\sigma\rightarrow 0$
�̋Ɍ��Ńf���^�֐��ƂȂ�.
\begin{enumerate}
\item $\displaystyle
           f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
		                                                     1/a & (|x| \le a \mbox{~�̂Ƃ�})\\
															0 & (|x| > a\mbox{~�̂Ƃ�})
															\end{array}\right.
$
\item $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\pi}\frac{\gamma}{x^2+\gamma^2} ~~~\mbox{(���[�����c���z�֐�)}$
\item $\displaystyle f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\Bigl(-\frac{x^2}{2\sigma^2} \Bigr)~~~\mbox{(�K�E�X���z�֐�)}$
\end{enumerate}
i),ii)�̊֐��ɂ��āA$a \rightarrow 0$�����$\gamma \rightarrow 0$�̋Ɍ��ŏ�Ŏ������f���^�֐��̒�`����ѐ�������������Ă��邱�Ƃ��m���߂Ă݂�I
\end{enumerate}
\end{document}

