陰関数定理の説明

—島根大学集中講義の準備—

田崎博之

2006 年 7 月 8 日

定理 1 (陰関数定理) 平面 R^{2} の開集合 O で定義された二変数関数 f(x, y) は O において微分可能であり、 df を O から R^{2} の双対空間 (R^{2})^{∗} への写像とみなして連続になっていると仮定する。 (x_{0}, y_{0}) ∈ O において

f(x_{0}, y_{0}) = a, f_{y}(x_{0}, y_{0}) ≠ 0

ならば、 x_{0} を含む開区間 I と I 上定義された可微分関数 g(x) が存在し

y_{0} = g(x_{0}), x ∈ I ⇒ (x, g(x)) ∈ O, f(x, g(x)) = a

が成り立つ。さらに、次の等式が成り立つ。

g′(x) = −\frac{f_{x}(x, g(x))}{f_{y}(x, g(x))} (x ∈ I).

g(x) を f(x, y) = a から定まる陰関数と呼ぶ。

注意 2 上の陰関数定理の前半の主張を認めれば、後半の陰関数の微分を表わす等式は簡単に求められる。まず、それを確かめておこう。 x ∈ I に対して等式f(x, g(x)) = a が成り立つので、これを x で微分すると 0 になる。

0 = df_{(x,g(x))} (\frac{d}{dx}(x, g(x))) = df_{(x,g(x))}(1, g′(x)) = f_{x}(x, g(x)) + f_{y}(x, g(x))g′(x).

これより次の等式を得る。

g′(x) = −\frac{f_{x}(x, g(x))}{f_{y}(x, g(x))} (x ∈ I).

上の陰関数定理は f(x, y) = a という二変数 x, y の方程式を (x_{0}, y_{0}) の近傍で解こうとしている。さらに、解の集りを関数 g(x) を使って (x, g(x)) という形の点で表現している。これは、 x_{0} の近傍の元 x を固定すると f(x, y) = a は y を未知数とする方程式とみなすことができ、 y について解いた解を x に対応させ y = g(x) と表していることになる。この主張は次のように考えるとわかりやすくなる。 f_{y}(x_{0}, y_{0}) ≠ 0 という仮定より f_{y}(x_{0}, y_{0}) > 0 または f_{y}(x_{0}, y_{0}) < 0 が成り立つ。 f_{y}(x_{0}, y_{0}) > 0 の場合を考えてみよう。 f_{y}(x, y) の連続性より (x_{0}, y_{0}) の近傍でも f_{y}(x, y) > 0 が成り立つ。よって、 (x_{0}, y_{0}) の近傍で f(x, y) の x を固定して y だけ動かしたとき単調増加になる。これより f(x, y) = a = f(x_{0}, y_{0}) を満たす y_{0} の近くの y が x に対応してただ一つ存在することはわかりやすい。このことが陰関数の存在である。 f_{y}(x_{0}, y_{0}) < 0 の場合も y に関して単調減少になり、単調増加の場合と同様である。

y に関する偏微分係数が正または負になることから、 f(x, y) は y に関して単調増加または単調減少になることがわかり、このことから陰関数の存在を説明 (証明ではない) した。微分という概念は関数を局所的に一次関数とみなす見方なので、関数が最初から一次式の場合は話が簡単になる。この観点から陰関数定理を見てみよう。

関数 f(x, y) が

f(x, y) = Ax + By + C

という一次式になっているとする。 x を固定したときに

Ax + By + C = a

という y を未知数とする方程式は B ≠ 0 のときにただ一つの解を持ち、その解は

y = \frac{1}{B} (a − Ax − C)

となる。 B = f_{y}(x, y) だから、これは陰関数定理の特別の場合になっている。