この講演の内容は論文
H. Tasaki,
Antipodal sets in oriented real Grassmann manifolds,
Internat. J. Math. 24 no.8 (2013)
およびその後の進展の解説である。
コンパクト対称空間の二点が互いの点対称の不動点であるとき、
この二点を対蹠的という。
さらにコンパクト対称空間の部分集合の任意の二点が対蹠的であるとき、
その部分集合を対蹠的という。
これはChen-Naganoが導入した概念である。
{1, ..., n} の k 個の元からなる部分集合の全体を P_k(n) で表す。
P_k(n) の元 α, β に対して差集合の元の個数 #(α-β) が偶数になるとき、
α, β は対蹠的であるといい、部分集合 A ⊂ P_k(n) の任意の二元が
対蹠的であるときに、A を対蹠的という。
R^n 内の向きの付いた k 次元部分空間全体が成す有向実Grassmann多様体の
極大対蹠集合の等長変換全体の単位連結成分に関する合同類と、
P_k(n) の極大対蹠的部分集合の対称群 Sym(n) の作用による合同類は、
一対一に対応することがわかる。
これにより、有向実Grassmann多様体の極大対蹠集合の分類は、
P_k(n) の極大対蹠的部分集合の分類に帰着する。
k が 4 以下のときに P_k(n) の極大対蹠的部分集合を分類し、
この分類に現れる極大対蹠的部分集合の系列を拡張する。
さらにこれらの系列を利用して対蹠的部分集合のサイズを評価する。