群作用と交叉積分公式

横田先生叙勲記念研究集会

「リー群と関連分野」

田崎博之

2008 年 10 月 19 日

1 交叉積分公式

凸体 : コンパクト凸集合 K^{n} : ℝ^{n} 内の凸体全体 μ_{i} : K^{n} → ℝ : 内在的体積 ω_{i} : i 次元単位球体の i 次元体積

\left[{n \atop i}\right] = \frac{ω_{n}}{ω_{i}ω_{n−i}} \binom{n}{i}

内在的体積の幾何学的意味 dim K = i ⇒ μ_{i}(K) : i 次元体積 μ_{n} : n 次元体積 μ_{n−1} : 表面積/2 μ_{n−2} : 表面の平均曲率の積分の定数倍

(滑らかな場合) μ_{1} : 幅の積分の定数倍 μ_{0} : つねに 1

M(ℝ^{n}) = SO(n) ⋉ ℝ^{n} 主交叉積分公式 K, L ∈ K^{n} に対して

∫_{M(ℝ^{n})} μ_{0}(K ∩ gL)dν^{n}(g)

= ∑_{i+j=n} \left[{n \atop i}\right]^{−1}μ_{i}(K)μ_{j}(L)

M(ℝ^{n}) の Haar 測度 ν^{n} の正規化 (A ⊂ ℝ^{n}) :

ν^{n}{g ∈ M(ℝ^{n}) | g(0) ∈ A} = V_{n}(A)

交叉積分公式 K, L ∈ K^{n} に対して

∫_{M(ℝ^{n})} μ_{k}(K ∩ gL)dμ(g)

= ∑_{i+j=n+k} \left[{i \atop k}\right]\left[{n \atop i − k}\right]^{−1}μ_{i}(K)μ_{j}(L)

2 不変連続付値

Hausdorff 距離 δ の定義

δ(K, L) = max {sup_{x∈K} d(x, L), sup_{y∈L} d(y, K)}

(K, L ∈ K^{n}) μ : K^{n} → ℝ : 付値

K, L, K ∪ L ∈ K^{n}

⇒μ(K ∪ L) = μ(K) + μ(L) − μ(K ∩ L)

付値 μ の次数 i

μ(rK) = r^{i}μ(K) (r ≥ 0)

例内在的体積 μ_{i} : 次数 i の連続付値 M(ℝ^{n}) の K^{n} への作用

⇒ 付値への作用 Val^{SO(n)} : M(ℝ^{n}) 不変連続付値全体定理 (Hadwiger 1957) μ_{0}, μ_{1}, …, μ_{n} は Val^{SO(n)} の基底 3 代数構造

G ⊂ SO(n) : コンパクト部分群 Ḡ = G ⋉ ℝ^{n} ⊂ M(ℝ^{n}) Val^{G} : Ḡ 不変連続付値全体定理(Alesker) G : S^{n−1} に推移的作用 ⇒ Val^{G} : 有限次元ベクトル空間 Val^{G} に可換階数付き実代数の構造単位元は Euler 標数 χ (= μ_{0}) ϕ_{1}, …, ϕ_{N} : Val^{G} の基底 ϕ ∈ Val^{G} に対して、 ∃c_{ij}^{ϕ}

∫Ḡ ϕ(K ∩ ḡL)dμ(ḡ)

= ∑_{i,j=1}^{N} c_{ij}^{ϕ}ϕ_{i}(K)ϕ_{j}(L)

さらに ψ ∈ Val^{G} に対して

∫Ḡ(ψ · ϕ)(K ∩ ḡL)dμ(ḡ)

= ∑_{i,j=1}^{N} c_{ij}^{ϕ}(ψ · ϕ_{i})(K)ϕ_{j}(L)

主交叉積分公式の係数 c_{ij}^{χ}、 ϕ_{k} · ϕ_{i} ⇒ すべての交叉積分公式 SO(n) の場合でも理解が深まる G = U(n) の場合 e_{1}, …, e_{n} : ℂ^{n} の標準的ユニタリ基底 k ≤ n に対して (p = [k/2]) ∃T ⊂ G_{k}^{ℝ}(ℂ^{n}) : p 次元平坦トーラス任意の V ∈ G_{k}^{ℝ}(ℂ^{n})

U(n) · V ∩ ΔT : 一点

ΔT : 0 ≤ θ_{1} ≤ ⋯ ≤ θ_{p} ≤ π/2

(θ_{i}) : V の多重 Kähler 角度定理 (T.) ℂ^{n} = ℝ^{2n} : 同一視 1 ≤ k ≤ n, p = [k/2] E ∈ G_{ℝ}(2n, k) の多重 Kähler 角度 θ(E) = (θ_{1}(E), …, θ_{p}(E)) : U(n) 完全不変量 n < k の場合は直交補空間を考える

曲面論の Kähler 角度の拡張定理 (T.) k ≤ n ∃T_{ij}^{k} : 対称行列 A^{k}, B^{2n−k} ⊂ ℂ^{n} : 部分多様体

∫\overline{U(n)} #(A ∩ ḡB) dḡ
= ∑_{ij} T_{ij}^{k} ∫_{A} σ_{i}(cos^{2} Θ(T_{x}A)) dx

· ∫_{B} σ_{j}(cos^{2} Θ(T_{y}B)) dy

σ_{i} 第 i 次基本対称式 ϕ : 偶付値

ϕ(−K) = ϕ(K) (K ∈ K^{n}) 定理 (Klain) ϕ : 次数 i の偶付値 ∀E ∈ G_{ℝ}(n, i) ∃c_{E} ϕ|_{E} = c_{E}V_{i} さらに Kl_{ϕ}(E) = c_{E} は G_{ℝ}(n, i) 上の連続関数

{ 次数 i の偶付値} →^{Kl} C(G_{ℝ}(n, i)) は単射 Bernig-Fu は

τ_{k,q} (0 ≤ q ≤ p := [\frac{k}{2}])

を次の条件式で定義

Kl_{τ_{k,q}}(E) = σ_{q}(cos^{2} θ_{i}(E))

定理 (Bernig-Fu) τ_{k,q} の全体は Val^{U(n)} の基底 τ_{k,q} により\overline{U(n)} 交叉積分公式を記述