弱鏡映部分多様体と austere部分多様体

井川治福島高専
酒井高司首都大学東京
田崎博之筑波大学

鏡映部分多様体(Leung) : Riemann多様体の対合的等長変換(鏡映)の固定点集合の連結成分 M : 鏡映部分多様体 σ : M の鏡映 ∀x ∈ M ∀ξ ∈ T_{x}^{⊥}M

σ(x) = x,
(dσ)_{x}ξ = −ξ,
σ(M) = M

M ⊂ X ∀x ∈ M ∀ξ ∈ T_{x}^{⊥}M ∃σ : X → X : 等長

σ(x) = x,

(dσ)_{x}ξ = −ξ, σ(M) = M

M : 弱鏡映部分多様体 M ⊂ X ∀x ∈ M ∀ξ ∈ T_{x}^{⊥}M A_{ξ}の固有値 : −1倍不変 M : austere部分多様体 (Harvey-Lawson)

鏡映 ⇒ 弱鏡映

⇒ austere ⇒ 極小

弱鏡映部分多様体の例 S^{n} × S^{n} ⊂ S^{2n+1} (√2) (e_{1}, e_{1})における鏡映σ

σ(x, y) = (y, x)

既約対称対の線形イソトロピー群のaustere軌道と弱鏡映軌道(球面内) を分類

詳細は

www.math.tsukuba.ac.jp/˜ tasaki/

内の研究内容の「弱鏡映部分多様体」参照