金沢大学連続講義 (1991 年 1 月 24〜26 日) 講義ノート [改訂版]

3 Mass と comass

3.1 基本事項. V を n 次元実ベクトル空間とし、 · を V 上の内積とする。まず、 ∧^{p}V と∧^{p}V^{∗}に内積を定める。 polarity βを

β : V ⟶ V^{∗}, x · y = ⟨x, β(y)⟩ for x, y ∈ V

によって定める。 βが等長的になるように V^{∗}に内積を入れる。さらに、 β : V ⟶ V^{∗} を代数準同型写像γ : ∧^{∗}V ⟶ ∧^{∗}V^{∗} に拡張する。 γは次数を保つので、 γ_{p} : ∧^{p}V ⟶ ∧^{p}V^{∗} を誘導する。

(∗)  \begin{matrix}∧^{p}V & ⟶^{γ_{p}} & ∧^{p}V^{∗} \\ ^{=}↓ & & ↓≅ \\ ∧^{p}V & ⟶^{β_{p}} & (∧^{p}V)^{∗} \end{matrix}

が可換になるようにβ_{p}を定める。 β_{p}が polarity になるように∧^{p}V に内積を決める。すなわち、

ξ · η = ⟨ξ, β_{p}(η)⟩ for ξ, η ∈ ∧^{p}V.

これは∧^{p}V の内積になることがわかる。 v_{i}, w_{j} ∈ V に対して、

(v_{1∧}…_{∧} v_{p}) · (w_{1∧}…_{∧} w_{p}) = det(v_{i} · w_{j})

が成り立つ。 {e_{1},…, e_{n}} を V の正規直交基底とする。

Λ(n, p) = {λ : {1,…, p} ⟶ {1,…, n} は単調増加 }

とおくと、

{e_{λ} = e_{λ(1)} ∧ ⋯ ∧ e_{λ(p)}|λ ∈ Λ(n, p)}

は∧^{p}V の正規直交基底になる。可換図式 (∗) のすべての写像が等長的になるようにそれぞれの空間に内積をいれておく。これらの内積に関するノルムはすべて | | で表す。

G(p, V) = {v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{p}|v_{1},…, v_{p}は V の正規直交系 }

とおくと、 G(p, V) は V 内の向きのついた p 次元部分ベクトル空間全体がつくる Grassmann 多様体と微分同型になり、特にコンパクトになる。

3.2 定義. ϕ ∈ ∧^{p}V^{∗}に対して

∥ϕ∥^{∗} = sup{ϕ(ξ) | ξ ∈ G(p, V)}

によって comass ∥ ∥^{∗}を定義する。 3.3 命題. Comass ∥ ∥^{∗}は∧^{p}V^{∗}のノルムになる。

証明. ϕ, ψ ∈ ∧^{p}V^{∗}に対して

∥ϕ + ψ∥^{∗} = sup{ϕ(ξ) + ψ(ξ) | ξ ∈ G(p, V)}
≤ sup{ϕ(ξ) | ξ ∈ G(p, V)} + sup{ψ(ξ) | ξ ∈ G(p, V)}
≤∥ϕ∥^{∗} + ∥ψ∥^{∗}.

次に G(p, V) はコンパクトだから、あるξ_{0} ∈ G(p, V) が存在してϕ(ξ_{0}) = ∥ϕ∥^{∗}が成り立つ。そこで r ∈ ℝ をとると

∥rϕ∥^{∗} = sup{rϕ(ξ)| ξ ∈ G(p, V)} ≤ |r|∥ϕ∥^{∗}.

r ≥ 0 のとき rϕ(ξ_{0}) = |r|∥ϕ∥^{∗}となるので ∥rϕ∥^{∗} = |r|∥ϕ∥^{∗}。また r < 0 のときは −ξ_{0} ∈ G(p, V) で rϕ(−ξ_{0}) = |r|∥ϕ∥^{∗}となるので ∥rϕ∥^{∗} = |r|∥ϕ∥^{∗}。

∥ϕ∥^{∗} = 0 とすると、任意のξ ∈ G(p, V) に対してϕ(ξ) = 0 となるので、任意の v_{1},…, v_{p} ∈ V に対してϕ(v_{1},…, v_{p}) = 0 が成り立つ。つまりϕ = 0 となる。以上で ∥ ∥^{∗}が∧^{p}V^{∗}のノルムになることがわかった。

3.4 定義. ∧^{p}V の mass を comass の双対ノルムとして定義する。つまりξ ∈ ∧^{p}V に対して、 ξの mass ∥ξ∥ を

∥ξ∥ = sup{ϕ(ξ) | ϕ ∈ ∧^{p}V^{∗}, ∥ϕ∥^{∗} = 1}

で定める。

3.5 命題. Mass ∥ ∥ は∧^{p}V のノルムになる。

3.6 命題. ϕ ∈ ∧^{p}V^{∗}に対して

∥ϕ∥^{∗} = sup{ϕ(ξ) | ξ ∈ ∧^{p}V, ||ξ|| = 1}

が成り立つ。

3.7 定理 (Wirtinger 不等式). V = ℂ^{n}の場合について考える。内積 · は標準的とする。

Jv = iv for v ∈ ℂ^{n},
ω(u, v) = (Ju) · v

とすると、 ωは U(n) 不変 2 次形式になる。 ∥ω∥^{∗} = 1 となりξ ∈ G(2, ℂ^{n}) に対して

⟨ξ, ω⟩ = 1 ⟺ ξ : canonically oriented J-invariant 2-plane.

さらに 1 ≤ k ≤ n とすると ∥ω^{k}∥^{∗} = k!となりξ ∈ G(2k, ℂ^{n}) に対して、

⟨ξ, ω^{k}⟩ = k! ⟺ ξ : canonically oriented J-invariant 2k-plane.

証明. u, v ∈ ℂ^{n}に対して

⟨u ∧ v, ω⟩ = (Ju) · v ≤ |Ju| · |v| = |u| · |v|

となるので ∥ω∥^{∗} ≤ 1。さらにξ ∈ G(2, ℂ^{n}) に対して ⟨ξ, ω⟩ = 1 が成り立つための必要十分条件はξが canonically oriented J-invariant 2-plane になることである。

ι : ξ ↪ ℂ^{n}とするとι^{∗}ω ∈ ∧^{2}ξ。

∃{v_{1},…, v_{2k}} : orthonormal basis of ξ
∃a_{1},…, a_{k} : nonnegative numbers
s.t. ι^{∗}ω = a_{1}v_{1}^{∗} ∧ v_{2}^{∗} + ⋯ + a_{k}v_{2k−1}^{∗} ∧ v_{2k}^{∗}

ここで、 a_{i} = ω(v_{2i−1}, v_{2i}) となっている。したがって 0 ≤ a_{i} ≤ 1。

ι^{∗}ω^{k} = (ι^{∗}ω)^{k} = k!a_{1} … a_{k}v_{1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ v_{2k}^{∗}.

さらに、 ξ = εv_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{2k}, ε = ±1 だから、

⟨ξ, ω^{k}⟩ = ⟨ξ, ι^{∗}ω^{k}⟩ = εk!a_{1} … a_{k} ≤ k!

となり、

⟨ξ, ω^{k}⟩ = k! ⟺ ε = 1 and a_{i} = 1 for 1 ≤ i ≤ k.

⟺ ξ : canonically oriented, J-invariant.

参考文献

H. Federer, Geometric measure theory, Springer, Berlin, 1969.