金沢大学連続講義 (1991 年 1 月 24〜26 日) 講義ノート [改訂版]

4 Currents

4.1 基本事項. Xを可算開基を持つ連結 n 次元多様体とする。 0 ≤ p ≤ n に対して X 上の C^{∞}級 p 次微分形式の全体がつくるベクトル空間を E^{p}(X) で表わす。 Xの座標近傍 O_{i}, U_{i}を

X = ⋃_{i=1}^{∞} O_{i} = ⋃_{i=1}^{∞} U_{i} O_{i} ⊃ \overline{U}_{i} : コンパクト

となるようにとる。 ω ∈ E^{p}(X) に対して

ω = ∑_{j_{1}<···<j_{p}} ω_{j_{1}···j_{p}}dx_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ dx_{j_{p}} on O_{i}

|ω|_{i}^{a} = ∑_{\begin{matrix}a_{1}+···+a_{n}≤a \\ j_{1}<···<j_{p} \end{matrix}} sup_{x∈\overline{U}_{i}} |\frac{∂^{a_{1}+···+a_{n}}ω_{j_{1}···j_{p}}(x)}{(∂x_{1})^{a_{1}} ⋯ (∂x_{n})^{a_{n}}} |

とおくと | |_{i}^{a}は E^{p}(X) のセミノルムになり、 | |_{i}^{a}を使うと命題 1.6 の方法によって E^{p}(X) は局所凸 Fréchet 空間になる。

dω = ∑_{j=1}^{n} ∑_{j_{1}<···<j_{p}} \frac{∂ω_{j_{1}···j_{p}}}{∂x_{j}} dx_{j} ∧ dx_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ dx_{j_{p}} on O_{i}

より |dω|_{i}^{a} ≤ |ω|_{i}^{a+1}となるので

d : E^{p}(X) ⟶ E^{p+1}(X)

は連続。

0 ⟶ E^{0}(X) ⟶^{d} ⋯ ⟶^{d} E^{n}(X) ⟶ 0

を de Rham complex と呼ぶ。

4.2 定義. E^{p}(X) 上の連続線形形式を X上の p 次元 current と呼び、その全体がつくるベクトル空間、つまり E^{p}(X) の双対空間を E′_{p}(X) で表わす。

4.3 注意. T ∈ E′_{p}(X) について T の台spt T は

spt T = X ∼ ∪{V : Xの開集合 |ϕ ∈ E^{p}(X), spt ϕ ⊂ V ⇒ T (ϕ) = 0}

で定義される。 E′_{p}(X) の元はコンパクトな台を持つことがわかる。一般には E′_{p}(X) の元をコンパクトな台を持つ current と呼ぶが、ここでは単に current と呼ぶことにする。

4.4 定義. T ∈ E′_{p}(X) に対して∂T = T ∘ d とすると∂T ∈ E′_{p−1}(X) となり、線形写像 ∂ : E′_{p}(X) ⟶ E′_{p−1}(X) が定まる。 ∂を境界作用素と呼ぶ。 4.5 注意. d^{2} = 0 より∂^{2} = 0 となり

0 ⟵ E′_{0}(X) ⟵^{∂} ⋯ ⟵^{∂} E′_{n}(X) ⟵ 0

も complex になる。 de Rham の定理より

H_{∗}(E′_{∗}(X)) ≅ H_{∗}(X; ℝ).

4.6 基本事項. X上の連続 p 次微分形式の全体がつくるベクトル空間を C^{p}(X) で表わす。 ω ∈ C^{p}(X) に対して

ω = ∑_{j_{1}<···<j_{p}} ω_{j_{1}···j_{p}}dx_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ dx_{j_{p}} on O_{i}

|ω|_{i} = ∑_{j_{1}<···<j_{p}} sup_{x∈\overline{U}_{i}} |ω_{j_{1}···j_{p}}(x)|

とおくと | |_{i}は C^{p}(X) のセミノルムになり、 | |_{i}を使うと命題 1.6 の方法によって C^{p}(X) は局所凸 Fréchet 空間になる。 ω ∈ E^{p}(X) に対して |ω|_{i} = |ω|_{i}^{0} ≤ |ω|_{i}^{a} が成り立つので包含写像ι : E^{p}(X) ⟶ C^{p}(X) は連続。

4.7 定義. C^{p}(X) 上の連続線形形式を X上の積分表示可能な p 次元 current と呼び、その全体がつくるベクトル空間を 𝔪 _{p}(X) で表わす。包含写像ι : E^{p}(X) ⟶ C^{p}(X) は連続だから T ∈ 𝔪 _{p}(X) に対して T ∘ ι ∈ E′_{p}(X)。また E^{p}(X) は C^{p}(X) 内で稠密なので線形写像

𝔪 _{p}(X) ⟶ E′_{p}(X); T ⟼ T ∘ ι

は単射になる。したがって 𝔪 _{p}(X) ⊂ E′_{p}(X) とみなすことができる。

4.8 定義. Xに Riemann 計量を 1 つ入れ固定しておく。各 x ∈ Xにおいて∧^{p}T_{x}^{∗}Xでの comass を ∥ ∥^{∗}で表す。 T ∈ E′_{p}(X) に対して

𝕄(T) = sup{T (ϕ)|ϕ ∈ E^{p}(X), ∥ϕ_{x}∥^{∗} ≤ 1(x ∈ X)}

とおく。 𝕄(T) を T の mass と呼ぶ。各 T ∈ E′_{p}(X) に対して 𝕄(T) ∈ [0, ∞]。

4.9 補題. 1 の分割 {h_{i}} をspt h_{i} ⊂ U_{i}となるようにとる。 T ∈ E′_{p}(X) に対してある kが存在し

T (ϕ) = ∑_{i=1}^{k} T (h_{i}ϕ) for ^{∀}ϕ ∈ E^{p}(X).

証明. T ∈ E′_{p}(X) の台spt T はコンパクトであることに注意しておく。

A_{k} = {x ∈ X |∑_{i=1}^{k} h_{i}(x) = 1}^{∘}

とおくと、 {A_{k}} は Xの開被覆になる。したがってある kが存在しspt T ⊂ A_{k}が成り立つ。任意のϕ ∈ E^{p}(X) に対してψ = ∑_{i=1}^{k} h_{i}ϕ − ϕは A_{k}上で 0 になるので X ∼ spt T ⊃ X ∼ A_{k} ⊃ spt ψ。よって T (ψ) = 0。これより T (ϕ) = ∑_{i=1}^{k} T (h_{i}ϕ) が成り立つ。 4.10 命題. T ∈ 𝔪 _{p}(X) とすると f ∈ C^{0}(X)^{+}に対して

sup{T (ϕ)|ϕ ∈ E^{p}(X), ∥ϕ∥^{∗} ≤ f} < ∞.

証明. T に対して補題 4.9 のように 1 の分割 {h_{i}} と kをとっておく。 ϕ ∈ E^{p}(X), ∥ϕ∥^{∗} ≤ fとする。

|T (ϕ)| ≤ ∑_{i=1}^{k} |T (h_{i}ϕ)| ≤ ∑_{i=1}^{k} A_{i}|h_{i}ϕ|_{i} (T ∈ 𝔪 _{p}(X) だから)

≤ ∑_{i=1}^{k} B_{i} sup_{\overline{U}_{i}} ∥h_{i}ϕ∥^{∗} ≤ ∑_{i=1}^{k} B_{i} sup_{\overline{U}_{i}} ∥ϕ∥^{∗} ≤ ∑_{i=1}^{k} B_{i} sup_{\overline{U}_{i}} f < ∞.

4.11 命題.

𝔪 _{p}(X) = {T ∈ E′_{p}(X)|𝕄(T) < ∞}

証明. T ∈ 𝔪 _{p}(X) に対して命題 4.10 を f = 1 として適用すると 𝕄(T) < ∞ がわかる。逆に T ∈ E′_{p}(X) が 𝕄(T) < ∞ を満たすとする。 T に対して補題 4.9 のように 1 の分割 {h_{i}} と kをとっておく。 ϕ ∈ E^{p}(X), ∥ϕ∥^{∗} ≤ 1 に対して ∥h_{i}ϕ∥^{∗} ≤ 1 だから、

|T (h_{i}ϕ)| ≤ 𝕄(T)

よって任意のϕ ∈ E^{p}(X) に対しては

|T (h_{i}ϕ)| ≤ 𝕄(T) sup_{\overline{U}_{i}} ∥h_{i}ϕ∥^{∗} ≤ 𝕄(T)C_{i}|h_{i}ϕ|_{i}

となり

|T (ϕ)| = |∑_{i=1}^{k} T (h_{i}ϕ)| ≤ ∑_{i=1}^{k} |T (h_{i}ϕ)| ≤ ∑_{i=1}^{k} 𝕄(T)C_{i}|h_{i}ϕ|_{i}.

この評価より T : E^{p}(X) ⟶ ℝ は C^{p}(X) (⊃ E^{p}(X)) の相対位相に関しても連続。したがって定理 1.11’(Hahn-Banach) より T の連続な拡張T̄ : C^{p}(X) ⟶ ℝ が存在する。 𝔪 _{p}(X) ⊂ E′_{p}(X) とみなしているのでT̄ = T となり T ∈ 𝔪 _{p}(X) である。

4.12 定理. T ∈ 𝔪 _{p}(X) に対して X上の測度 ∥T ∥ が存在し X上の実数値連続関数はすべて ∥T ∥ 可測になり

∫_{X} fd∥T ∥ = sup{T (ϕ)|ϕ ∈ E^{p}(X), ∥ϕ∥^{∗} ≤ f} for ^{∀}f ∈ C^{0}(X)^{+}

が成り立つ。特に∫_{X} d∥T ∥ = 𝕄(T)。

証明. f ∈ C^{0}(X)^{+}に対して、

λ(f) = sup{T (ϕ)|ϕ ∈ E^{p}(X), ∥ϕ∥^{∗} ≤ f}

とする。命題 4.10 よりλ(f) < ∞ が成り立つ。任意の f ∈ C^{0}(X) に対しては f^{+} = max{f, 0}, f^{−} = − min{f, 0} とおくと f = f^{+} − f^{−}となり

λ(f) = λ(f^{+}) − λ(f^{−})

として

λ : C^{0}(X) ⟶ ℝ; 線形写像

に拡張できる。 f ∈ K(X)^{+}に対して 0 ≤ λ(f) だから、定理 2.6(Riesz の表現定理) より X上の測度 ∥T ∥ が存在し X上の実数値連続関数はすべて ∥T ∥ 可測になり

∫_{X} fd∥T ∥ = λ(f) for ^{∀}f ∈ K(X).

T の台はコンパクトだから

∫_{X} fd∥T ∥ = λ(f) for ^{∀}f ∈ C^{0}(X).

特に

∫_{X} d∥T ∥ = λ(1) = 𝕄(T).

4.13 定義. ∥T ∥ を T の全変分測度と呼ぶ。

4.14 定理. T ∈ 𝔪 _{p}(X) に対してベクトル束∧^{p}T Xの ∥T ∥ 可測な断面T⃗が一意的に存在し

∫_{X} ∥T⃗_{x}∥d∥T ∥x < ∞, ∥T⃗_{x}∥ = 1 for ∥T ∥ a.a. x ∈ X
T (ϕ) = ∫_{X} ϕ(T⃗_{x})d∥T ∥x for ^{∀}ϕ ∈ C^{p}(X)

を満たす。ここで ∥T⃗_{x}∥ の ∥ ∥ は∧^{p}T_{x}X上の mass である。

証明. T に対して補題 4.9 のように 1 の分割 {h_{i}} と kをとっておく。まず O_{i}を 1 つ固定して考える。 e_{1},…, e_{n}を O_{i}上の正規直交ベクトル場とする。

\begin{aligned}∧^{p}T^{∗}X|_{O_{i}} & ⟷ & O_{i} × ∧^{p}(ℝ^{n})^{∗} \\ ∑_{j_{1}<···<j_{p}} a_{j_{1}...j_{p}}e_{j_{1}}^{∗} ∧ ⋯ ∧ e_{j_{p}}^{∗} & ⟷ & (x, a_{j_{1}...j_{p}}) \end{aligned}

によって∧^{p}T^{∗}X|_{O_{i}}を O_{i} × ∧^{p}(ℝ^{n})^{∗}と同一視して考える。するとϕ ∈ K(U_{i}, ∧^{p}(ℝ^{n})^{∗}) に対してϕ ∈ C^{p}(X) とみなすことができ

T_{i}(ϕ) = T (ϕ) (ϕ ∈ K(U_{i}, ∧^{p}(ℝ^{n})^{∗}))

として T_{i} : K(U_{i}, ∧^{p}(ℝ^{n})^{∗}) ⟶ ℝ を定める。 T ∈ 𝔪 _{p}(X) だから∧^{p}(ℝ^{n})^{∗}の comass から定まる K(U_{i}, ∧^{p}(ℝ^{n})^{∗}) のノルムに関して T_{i}は連続である。したがって定理 2.7 より U_{i}上の測度μ_{i}と U_{i}から∧^{p}ℝ^{n}へのμ_{i}可測写像T⃗_{i}が存在し

∫_{U_{i}} ∥T⃗_{i}∥dμ_{i} < ∞, ∥(T⃗_{i})_{x}∥ = 1 for μ_{i} a.a. x ∈ U_{i}
T_{i}(ϕ) = T (ϕ) = ∫_{U_{i}} ϕ(T⃗_{i})dμ_{i} for ^{∀}ϕ ∈ K(U_{i}, ∧^{p}(ℝ^{n})^{∗}).

k < i のときT⃗_{i} = 0 となることに注意しておく。また ||T || とμ_{i}の定めより

||T || = ∑_{i=1}^{k} h_{i}μ_{i}

となっている。 T⃗_{i}を∧^{p}T X|_{U_{i}} ≅ U_{i} ×∧^{p}ℝ^{n}の ∥T ∥ 可測な断面とみなすと、 U_{i} ∩U_{j} ≠ ∅ となる i, jについて (T⃗_{i})_{x} = (T⃗_{j})_{x}が ||T || に関してほとんどすべての x ∈ U_{i} ∩ U_{j}に対して成り立つ。そこで

T⃗_{x} = (T⃗_{i})_{x} (x ∈ U_{i})

として∧^{p}T Xの ∥T ∥ 可測な断面T⃗を定めることができる。定め方より ||T || に関してほとんどすべての x ∈ Xについて ||T⃗_{x}|| = 1 となる。また

∫_{X} ∥T⃗∥d∥T ∥ = ∑_{i=1}^{k} ∫_{U_{i}} ∥T⃗_{i}∥h_{i}dμ_{i} < ∞.

さらに補題 4.9 を使うとϕ ∈ C^{p}(X) に対して

T (ϕ) = ∑_{i=1}^{k} T (h_{i}ϕ) = ∑_{i=1}^{k} T_{i}(h_{i}ϕ)
= ∑_{i=1}^{k} ∫_{U_{i}} h_{i}ϕ(T⃗_{i})dμ_{i} = ∑_{i=1}^{k} ∫_{U_{i}} ϕ(T⃗)h_{i}dμ_{i}
= ∫_{X} ϕ(T⃗)d∥T ∥.

4.15 注意. 以下では T ∈ 𝔪 _{p}(X) に対して T (ϕ) = ∫_{X} ϕ(T⃗_{x})d∥T ∥x for ^{∀}ϕ ∈ C^{p}(X)

を単に T = T⃗∥T ∥ と書くこともある。