金沢大学連続講義 (1991 年 1 月 24〜26 日) 講義ノート [改訂版]

6 主定理の証明の解析的部分

6.1 命題. Fが homologically tight ならば、任意のコンパクト集合 K ⊂ Xに対して X上のある C^{∞}級 p 次閉微分形式ϕが存在し Kのある近傍上でϕ(F⃗) > 0 を満たす。

証明. 𝔪 _{p}(X) の部分集合 B_{K}を

B_{K} = {T ∈ 𝔪 _{p}(X)|T : Fの foliation current, spt T ⊂ K, ∥T ∥(K) = 1}

とおく。まず B_{K}が 𝔪 _{p}(X) の凸部分集合になることを示そう。 S, T ∈ B_{K}をとる。 spt S, spt T ⊂ Kだから t ∈ [0, 1] に対してspt(tS + (1 − t)T) ⊂

K。全変分測度の定め方より

∥tS + (1 − t)T ∥ ≤ ∥tS∥ + ∥(1 − t)T ∥

がわかる。各 x ∈ Xに対してF⃗_{x} ∈ ∧^{p}T_{x}Xの双対ベクトルをF⃗_{x}^{∗} ∈ ∧^{p}T_{x}^{∗}Xで表すと F⃗^{∗} ∈ E^{p}(X) となる。さらに任意の x ∈ Xに対して ∥F⃗_{x}^{∗}∥^{∗} = 1 が成り立つ。 f ∈ C^{0}(X) について

∥tS∥(f) = ∫_{X} f(x)d∥tS∥x = ∫_{X} f(x)F⃗_{x}^{∗}(F⃗_{x})d∥tS∥x
= ∫_{X} f(x)F⃗_{x}^{∗}(S⃗_{x})d∥tS∥x (S : Fの foliation current)
= t ∫_{X} f(x)F⃗_{x}^{∗}(S⃗_{x})d∥S∥x = tS(fF⃗^{∗})

したがって

∥tS∥(f) = tS(fF⃗^{∗}).

同様に

∥(1 − t)T ∥(f) = (1 − t)T (fF⃗^{∗}).

ここで f ∈ E^{0}(X)^{+}とすると fF⃗^{∗} ∈ E^{p}(X), ∥fF⃗^{∗}∥^{∗} = fとなり

(∥tS∥ + ∥(1 − t)T ∥)(f) = (tS + (1 − t)T)(fF⃗^{∗}) ≤ ∥tS + (1 − t)T ∥(f).

E^{0}(X)^{+}は C^{0}(X)^{+}内で稠密だから任意の f ∈ C^{0}(X)^{+}に対して

(∥tS∥ + ∥(1 − t)T ∥)(f) ≤ ∥tS + (1 − t)T ∥(f).

以上で

∥tS∥ + ∥(1 − t)T ∥ ≤ ∥tS + (1 − t)T ∥

がわかり、先の結果とあわせると

∥tS∥ + ∥(1 − t)T ∥ = ∥tS + (1 − t)T ∥

を得る。上の結果より

∥tS + (1 − t)T ∥(K) = ∥tS∥(K) + ∥(1 − t)T ∥(K) = t∥S∥(K) + (1 − t)∥T ∥(K) = 1.

ϕ ∈ C^{p}(X) に対して

(tS + (1 − t)T)(ϕ) = ∫_{X} ϕ(S⃗_{x})d∥tS∥x + ∫_{X} ϕ(T⃗_{x})d∥(1 − t)T ∥x
= ∫_{X} ϕ(F⃗_{x})d∥tS∥x + ∫_{X} ϕ(F⃗_{x})d∥(1 − t)T ∥x
= ∫_{X} ϕ(F⃗_{x})d(∥tS∥ + ∥(1 − t)T ∥)x
= ∫_{X} ϕ(F⃗_{x})d∥tS + (1 − t)T ∥x.

したがって

(tS + (1 − t)T)\overrightarrow{x} = F⃗_{x} for ∥tS + (1 − t)T ∥ a.a. x ∈ X

となり tS + (1 − t)T は Fの foliation current になる。以上で B_{K}は 𝔪 _{p}(X) の凸部分集合になることがわかった。

次に B_{K}は 𝔪 _{p}(X) の弱位相に関してコンパクトになることを示そう。

V = {ϕ ∈ C^{p}(X)| ∥ϕ∥^{∗} ≤ 1 on K}

は C^{p}(X) における 0 の近傍になるので定理 1.15(Banach-Alaoglu) より

{T ∈ 𝔪 _{p}(X)| |T (ϕ)| ≤ 1 for ^{∀}ϕ ∈ V }

は 𝔪 _{p}(X) の弱位相に関してコンパクト。また

{T ∈ 𝔪 _{p}(X)| spt T ⊂ K}
= ∩ {{T ∈ 𝔪 _{p}(X)|T (ϕ) = 0}|ϕ ∈ C^{p}(X), spt ϕ ⊂ X − K}

だから

{T ∈ 𝔪 _{p}(X)| spt T ⊂ K}

は 𝔪 _{p}(X) の弱位相に関して閉集合になる。したがって

B′_{K} = {T ∈ 𝔪 _{p}(X)| spt T ⊂ K, |T (ϕ)| ≤ 1 for ^{∀}ϕ ∈ V }

とおくと B′_{K}は 𝔪 _{p}(X) の弱位相に関してコンパクト。よって

{T ∈ B′_{K}|T (F⃗^{∗}) = 1}

も 𝔪 _{p}(X) の弱位相に関してコンパクト。 T ∈ B′_{K}に対して

T (F⃗^{∗}) = ∫_{X} F⃗_{x}^{∗}(T⃗_{x})d∥T ∥x ≤ ∫_{X} 1d∥T ∥ = ∥T ∥(1) ≤ 1

よって

T (F⃗^{∗}) = 1 ⟺ \{ \begin{matrix}F⃗_{x}^{∗}(T⃗_{x}) = 1 for ∥T ∥ a.a. x ∈ X \\ and \\ ∥T ∥(1) = 1 \end{matrix}

⟺ \{ \begin{matrix}F⃗_{x} = T⃗_{x} for ∥T ∥ a.a. x ∈ X \\ and \\ ∥T ∥(K) = 1. \end{matrix}

したがって

B_{K} = {T ∈ B′_{K}|T (F⃗^{∗}) = 1}

となり、 B_{K}も 𝔪 _{p}(X) の弱位相に関してコンパクト。

E^{p}(X) ↪ C^{p}(X) は連続だから命題 1.13 より 𝔪 _{p}(X) ↪ E′_{p}(X) はそれぞれの弱位相に関して連続になる。よって B_{K}は E′_{p}(X) の弱位相に関してもコンパクトになる。

d : E^{p}(X) ⟶ E^{p+1}(X) は連続だから命題 1.13 より∂ : E′_{p+1}(X) ⟶ E′_{p}(X) はそれぞれの弱位相に関して連続になる。よって

Z_{p}(X) = {T ∈ E′_{p}(X)|∂T = 0}

は E′_{p}(X) の弱位相に関して閉部分ベクトル空間になる。

Z^{p}(X) = {α ∈ E^{p}(X)|dα = 0}

とおくと de Rham の定理より

∂E′_{p+1}(X) = {T ∈ Z_{p}(X)| ^{∀}α ∈ Z^{p}(X) T (α) = 0}

= ⋂_{α∈Z^{p}(X)}{T ∈ E′_{p}(X)|T (α) = 0} ∩ Z_{p}(X)

となるので∂E′_{p+1}(X) は E′_{p}(X) の弱位相に関して閉部分ベクトル空間になる。

B_{K} ∩ ∂E′_{p+1}(X) = ∅ を示そう。もし T ∈ B_{K} ∩ ∂E′_{p+1}(X) とすると∂T = 0 となり T は Fの zero homologous closed foliation current になる。 Fは homologically tight だから T = 0。ところが 0 ∉ B_{K}だからこれは矛盾。したがって B_{K} ∩∂E′_{p+1}(X) = ∅。

命題 1.14 より E′_{p}(X) は弱位相に関して局所凸位相ベクトル空間になり、 B_{K}は E′_{p}(X) のコンパクト凸部分集合で∂E′_{p+1}(X) は E′_{p}(X) の閉部分ベクトル空間である。さらに B_{K} ∩ ∂E′_{p+1}(X) = ∅ で、命題 1.14 より E′_{p}(X) の双対空間は E^{p}(X) だから、定理 1.11(Hahn-Banach) よりあるϕ ∈ E^{p}(X) が存在し

T (ϕ) > 0 for all T ∈ B_{K}
T (ϕ) = 0 for all T ∈ ∂E′_{p+1}(X)

を満たす。

任意の S ∈ E′_{p+1}(X) について 0 = ∂S(ϕ) = S(dϕ)。したがって dϕ = 0 となりϕは閉微分形式である。

各 x ∈ Kに対して x における Dirac 測度をδ_{x}で表すとF⃗δ_{x} ∈ B_{K}となるので

0 < F⃗δ_{x}(ϕ) = ϕ_{x}(F⃗_{x}).

よって K上ϕ(F⃗) > 0 となり Kのある近傍上でもϕ(F⃗) > 0 となる。