金沢大学連続講義 (1991 年 1 月 24〜26 日) 講義ノート [改訂版]

7 主定理の証明の代数的部分

7.1 命題. Fを X上の向きのついた p 次元 foliation とする。 ϕ(F⃗) > 0 となる X上の C^{∞}級 p 次閉微分形式ϕが存在すれば、 X上のある Riemann 計量が存在しその計量に関してϕは Fの calibration になる。

命題 7.1 の証明は補題 7.2 から補題 7.13 までの準備のあとで証明する。以下では Eを n 次元実ベクトル空間とし、 ⟨ , ⟩ を E上の内積とする。

7.2 補題. V を Eの部分ベクトル空間としξ ∈ G(p, E) とする。このとき V の正規直交ベクトル f_{1},…, f_{r}と V^{⊥}の正規直交ベクトル g_{1},…, g_{s}と 0 < θ_{j} < π/2 (j = 1,…, k) が存在し (ただし k ≤ r, s ≤ p, r + s − k = p)

ξ = (cos θ_{1}f_{1} + sin θ_{1}g_{1}) ∧ ⋯ ∧ (cos θ_{k}f_{k} + sin θ_{k}g_{k}) ∧ f_{k+1} ∧ ⋯ ∧ f_{r} ∧ g_{k+1} ∧ ⋯ ∧ g_{s}

を満たす。

証明. P : E ⟶ V を直交射影とする。 span ξ上の半正定値 2 次形式 Bを

B(u, v) = ⟨P (u), P (v)⟩ (u, v ∈ span ξ)

で定義する。 Bを対角化するspan ξの正規直交基底 e_{1},…, e_{p}をとりλ_{1},…, λ_{p}を対応する Bの固有値とする。 ξは unit simple vector だからξ = ±e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{p}となる。任意の u ∈ span ξについて 0 ≤ B(u, u) ≤ |u|^{2}が成り立つので 0 ≤ λ_{j} ≤ 1 が各 j = 1,…, p について成り立つ。 e_{j}の順序を適当にかえて 1 ≤ j ≤ kのとき 0 < λ_{j} < 1 でλ_{k+1} = ⋯ = λ_{r} = 1, λ_{r+1} = ⋯ = λ_{p} = 0 となるようにできる。 1 ≤ j ≤ kに対してλ_{j} = cos^{2} θ_{j}となるように 0 < θ_{j} < π/2 を選んでおく。すると 1 ≤ j ≤ k に対して |P (e_{j})|^{2} = B(e_{j}, e_{j}) = λ_{j} = cos^{2} θ_{j}。したがって一意的に単位ベクトル f_{j} ∈ V, g_{j} ∈ V^{⊥}が存在して e_{j} = cos θ_{j}f_{j} + sin θ_{j}g_{j}と表すことができる。 i ≠ jのとき ⟨P (e_{i}), P (e_{j})⟩ = B(e_{i}, e_{j}) = 0 だから ⟨f_{i}, f_{j}⟩ = 0 となり f_{1},… f_{k}は V の正規直交ベクトルである。さらに

⟨g_{i}, g_{j}⟩ = ⟨e_{i} − P (e_{i}), e_{j} − P (e_{j})⟩ = ⟨e_{i}, e_{j}⟩ − ⟨P (e_{i}), P (e_{j})⟩ = 0

だから g_{1},… g_{k}は V^{⊥}の正規直交ベクトルである。 f_{k+1} = e_{k+1},…, f_{r} = e_{r}, g_{k+1} = e_{r+1},…, g_{s} = e_{p} とおくと f_{1},… f_{r}は V の正規直交ベクトルで、 g_{1},… g_{s}は V^{⊥}の正規直交ベクトルである。 ξ = ±e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{p}だから必要なら f_{1}と g_{1}を−f_{1}と−g_{1}に置き換えることにより補題の等式を満たす。

7.3 定義. ϕ ∈ ∧^{p}E^{∗}に対して部分ベクトル空間 V^{∗} ⊂ E^{∗}がϕ ∈ ∧^{p}V^{∗}を満たしているとき V^{∗}がϕを展開しているという。

7.4 命題. ϕ ∈ ∧^{p}E^{∗}に対して

N(ϕ) = {v ∈ E| v⌋ϕ = 0}
span ϕ = {η⌋ϕ | η ∈ ∧^{p−1}E}

とおくと

N(ϕ) = {v ∈ E| ^{∀}f ∈ span ϕ f(v) = 0}
span ϕ = {f ∈ (E)^{∗}| ^{∀}v ∈ N(ϕ) f(v) = 0}.

証明. v ∈ Eとη ∈ ∧^{p−1}Eに対して

⟨η, v⌋ϕ⟩ = ⟨η ∧ v, ϕ⟩ = (−1)^{p−1}⟨v ∧ η, ϕ⟩ = (−1)^{p−1}⟨v, η⌋ϕ⟩

だから

v ∈ N(ϕ) ⟺ ^{∀}η ∈ ∧^{p−1}E ⟨η, v⌋ϕ⟩ = 0
⟺ ^{∀}η ∈ ∧^{p−1}E ⟨v, η⌋ϕ⟩ = 0
⟺ ^{∀}f ∈ span ϕ ⟨v, f⟩ = 0.

したがって

N(ϕ) = {v ∈ E| ^{∀}f ∈ span ϕ f(v) = 0}.

これより

span ϕ = {f ∈ (E)^{∗}| ^{∀}v ∈ N(ϕ) f(v) = 0}.

7.5 命題. ϕ ∈ ∧^{p}E^{∗}に対してspan ϕはϕを展開している最小の部分ベクトル空間である。

証明. まずspan ϕがϕを展開していることを示す。 Eの基底 e_{1},…, e_{n}を e_{1},…, e_{k}が N(ϕ) の基底になっているようにとると、上で示したことより

span ϕ = ∑_{j=k+1}^{n} ℝe_{j}^{∗}.

ϕをϕ = ∑_{I} a_{I}e_{I}^{∗}と表しておく。 1 ≤ i ≤ kとなっている i を 1 つ固定しておく。 e_{i}⌋ϕ = 0 だから任意のη ∈ ∧^{p−1}Eに対して

0 = ⟨η, e_{i}⌋ϕ⟩ = ∑_{I} a_{I}⟨η, e_{i}⌋e_{I}^{∗}⟩

= (−1)^{p−i} ∑_{I∋i} a_{I}⟨e_{i} ∧ η, e_{I}^{∗}⟩ = (−1)^{p−i} ∑_{I∋i} a_{I}⟨η, e_{I−{i}}^{∗}⟩.

よって i ∈ Iならば a_{I} = 0 となるので

ϕ ∈ ⋀^{p} ( ∑_{j=k+1}^{n} ℝe_{j}^{∗}) = ∧^{p} span ϕ.

次に V^{∗} ⊂ E^{∗}がϕを展開していると仮定しよう。

N(V^{∗}) = {v ∈ E| ^{∀}f ∈ V^{∗} f(v) = 0}

とおくと、 ϕ ∈ ∧^{p}V^{∗}より N(V^{∗}) の元 vに対して v⌋ϕ = 0 となり v ∈ N(ϕ) が成り立つ。したがって N(V^{∗}) ⊂ N(ϕ) でspan ϕ ⊂ V^{∗}。以上でspan ϕはϕを展開している最小の部分ベクトル空間であることがわかった。 7.6 命題. ϕ ∈ ∧^{p}E^{∗}に対して G(ϕ) = {ξ ∈ G(p, E)| ϕ(ξ) = ||ϕ||^{∗}} とおくと G(ϕ) ⊂ ∧^{p}(N(ϕ)^{⊥}) が成り立つ。

証明. η ∈ G(ϕ) に対して V = N(ϕ)^{⊥}とおいて補題 7.2 を適用すると N(ϕ)^{⊥}の正規直交ベクトル f_{1},…, f_{r}と N(ϕ) の正規直交ベクトル g_{1},…, g_{s}と 0 < θ_{j} < π/2 (j = 1,…, k) が存在し (ただし k ≤ r, s ≤ p, r + s − k = p)

η = (cos θ_{1}f_{1} + sin θ_{1}g_{1}) ∧ ⋯ ∧ (cos θ_{k}f_{k} + sin θ_{k}g_{k}) ∧ f_{k+1} ∧ ⋯ ∧ f_{r} ∧ g_{k+1} ∧ ⋯ ∧ g_{s}

を満たす。 g_{j} ∈ N(ϕ) だから g_{j}⌋ϕ = 0。 ϕ(η) = ||ϕ||^{∗}よりまず k = s、したがって r = p でなければならない。さらに

ϕ(η) = cos θ_{1} … cos θ_{k}ϕ(f_{1} ∧ ⋯ ∧ f_{p})

だから k = 0 となってη = f_{1} ∧ ⋯ ∧ f_{p}。したがってη ∈ ∧^{p}(N(ϕ)^{⊥})。

7.7 命題. E = V ⊕ W を直交直和分解とし、 ϕ ∈ ∧^{p−q}V^{∗}をとりψ ∈ ∧^{q}W^{∗}を unit simple vector とする。このときϕ ∧ ψ ∈ ∧^{p}E^{∗}は ∥ϕ ∧ ψ∥^{∗} = ||ϕ||^{∗}を満たし、 η ∈ ∧^{q}W をψの dual unit simple vector とすると

G(ϕ ∧ ψ) = {ξ ∧ η | ξ ∈ G(ϕ)}

が成り立つ。

証明. N(ψ) ⊂ N(ϕ ∧ ψ) より N(ϕ ∧ ψ)^{⊥} ⊂ N(ψ)^{⊥}。よって G(ϕ ∧ ψ) の元を特徴づけるためには命題 7.6 より N(ψ)^{⊥}で考えれば十分。したがって N(ψ) = {0} つまり W^{∗} = span ψとしてよい。 ψは simple vector だからdim span ψ = q。

V と任意のξ ∈ G(p, E) に対して補題 7.2 を適用すると V の正規直交ベクトル f_{1},…, f_{r}と W の正規直交ベクトル g_{1},…, g_{s}と 0 < θ_{j} < π/2 (j = 1,…, k) が存在し (ただし k ≤ r, s ≤ p, r + s − k = p)

ξ = (cos θ_{1}f_{1} + sin θ_{1}g_{1}) ∧ ⋯ ∧ (cos θ_{k}f_{k} + sin θ_{k}g_{k}) ∧ f_{k+1} ∧ ⋯ ∧ f_{r} ∧ g_{k+1} ∧ ⋯ ∧ g_{s}

を満たす。 g_{1},…, g_{s} ∈ W より s ≤ q。 s < qとすると (ϕ ∧ ψ)(ξ) = 0 となる。 s = q のときはψ(g_{1} ∧ ⋯ ∧ g_{q}) = ±1 で、必要ならば f_{i}の符号もかえてψ(g_{1} ∧ ⋯ ∧ g_{q}) = 1 とでき

(ϕ ∧ ψ)(ξ) = ± sin θ_{1} ⋯ sin θ_{k}ϕ(f_{k+1} ∧ ⋯ ∧ f_{r})
≤ sin θ_{1} ⋯ sin θ_{k}||ϕ||^{∗} ≤ ||ϕ||^{∗}.

よって ∥ϕ ∧ ψ∥^{∗} ≤ ||ϕ||^{∗}となる。さらに上の不等式で等号が成立するためには少なくとも k = 0 でなければならない。このときξ = f_{1} ∧ ⋯ ∧ f_{p−q} ∧ g_{1} ∧ ⋯ ∧ g_{q} となり、 (ϕ ∧ ψ)(ξ) = ||ϕ||^{∗}となるための必要十分条件は f_{1} ∧ ⋯ ∧ f_{p−q} ∈ G(ϕ) である。よってこのような元は存在し命題が証明された。

7.8 命題. e_{1},…, e_{n}を Eの正規直交基底とし 2p ≤ n としておく。

ϕ = λe_{1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ e_{p}^{∗} + μe_{p+1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ e_{2p}^{∗} ∈ ∧^{p}E^{∗}

とおくと p ≥ 2 のとき ∥ϕ∥^{∗} = max{|λ|, |μ|} が成り立つ。 7.9 注意. p = 1 のときはλe_{1}^{∗} + μe_{2}^{∗} = (λe_{1} + μe_{2})^{∗}となり、この comass は\sqrt{λ^{2} + μ^{2}} である。

証明. N(ϕ)^{⊥} = span{e_{1},…, e_{2p}} となるので命題 7.6 より n = 2p としても一般性は失われない。 V = span{e_{1},…, e_{p}} とおいてξ ∈ G(p, E) と V に補題 7.2 を適用すると V の正規直交ベクトル f_{1},…, f_{r}と V^{⊥}の正規直交ベクトル g_{1},…, g_{s}と 0 < θ_{j} < π/2 (j = 1,…, k) が存在し (ただし k ≤ r, s ≤ p, r + s − k = p)

ξ = (cos θ_{1}f_{1} + sin θ_{1}g_{1}) ∧ ⋯ ∧ (cos θ_{k}f_{k} + sin θ_{k}g_{k}) ∧ f_{k+1} ∧ ⋯ ∧ f_{r} ∧ g_{k+1} ∧ ⋯ ∧ g_{s}

を満たす。 dim V = dim V^{⊥} = p だから r, s ≤ p。さらに r, s < p のときはϕ(ξ) = 0 となる。 r = p, s < p のときは

ξ = (cos θ_{1}f_{1} + sin θ_{1}g_{1}) ∧ ⋯ ∧ (cos θ_{k}f_{k} + sin θ_{k}g_{k}) ∧ f_{k+1} ∧ ⋯ ∧ f_{p}

となるので

ϕ(ξ) = ±λ cos θ_{1} ⋯ cos θ_{k} ≤ |λ|.

s = p, r < p のときも同様にしてϕ(ξ) ≤ |μ| となる。そこで r = s = p の場合を考えよう。このときは k = p となり

ϕ(ξ) = ±λ cos θ_{1} ⋯ cos θ_{p} ± μ sin θ_{1} ⋯ sin θ_{p}
≤ [cos^{2} θ_{1} + sin^{2} θ_{1}]^{1/2}[λ^{2} cos^{2} θ_{2} ⋯ cos^{2} θ_{p} + μ^{2} sin^{2} θ_{2} ⋯ sin^{2} θ_{p}]^{1/2}
= [λ^{2} cos^{2} θ_{2} ⋯ cos^{2} θ_{p} + μ^{2} sin^{2} θ_{2} ⋯ sin^{2} θ_{p}]^{1/2}
≤ |λ cos θ_{2} ⋯ cos θ_{p}| + |μ sin θ_{2} ⋯ sin θ_{p}|.

以下同じ操作を繰り返すことによりϕ(ξ) ≤ max{|λ|, |μ|} を得る。したがって ∥ϕ∥^{∗} ≤ max{|λ|, |μ|} である。さらにξ = e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{p}またはξ = e_{p+1} ∧ ⋯ ∧ e_{2p}とすると ϕ(ξ) = max{|λ|, |μ|} が成り立ち ∥ϕ∥^{∗} = max{|λ|, |μ|} である。

7.10 補題. e_{1},…, e_{n}を Eの正規直交基底とし、双対基底を e_{1}^{∗},…, e_{n}^{∗}で表す。 I = {i_{1},…, i_{p}} (i_{1} < ⋯ < i_{p}) に対して e_{I}^{∗} = e_{i_{1}}^{∗} ∧ ⋯ ∧ e_{i_{p}}^{∗}とおく。 card(I ∩ J) ≤ p − 2 のとき

∥λe_{I}^{∗} + μe_{J}^{∗}∥^{∗} = max{|λ|, |μ|}

が成り立つ。

証明. card(I ∩ J) ≤ p − 2 だから

e_{I}^{∗} = e_{1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ e_{p}^{∗},
e_{J}^{∗} = e_{1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ e_{p−l}^{∗} ∧ e_{p+1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ e_{p+l}^{∗} (l ≥ 2)

としてよい。

λe_{I}^{∗} + μe_{J}^{∗} = e_{1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ e_{p−l}^{∗} ∧ (λe_{p−l+1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ e_{p}^{∗} + μe_{p+1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ e_{p+l}^{∗})

となり、 l ≥ 2 だから命題 7.8 より

∥λe_{p−l+1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ e_{p}^{∗} + μe_{p+1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ e_{p+l}^{∗}∥^{∗} = max{|λ|, |μ|}

が成り立つ。したがって命題 7.7 より

∥λe_{I}^{∗} + μe_{J}^{∗}∥^{∗} = max{|λ|, |μ|}.

7.11 系. i_{p−1} ≤ p のとき b_{I} = 0 とすると

∥e_{1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ e_{p}^{∗} + ∑_{I} b_{I}e_{I}^{∗}∥^{∗} ≤ max {1, ∑_{I} |b_{I}|}

が成り立つ。

証明. B = ∑_{I} |b_{I}|, ϵ_{I} = sign b_{I}, ϕ = e_{1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ e_{p}^{∗}とおく。

∥ϕ + ∑_{I} b_{I}e_{I}^{∗}∥^{∗} = ∥∑_{I} |b_{I}| (\frac{1}{B} ϕ + ϵ_{I}e_{I}^{∗})∥^{∗} ≤ ∑_{I} |b_{I}| ∥\frac{1}{B} ϕ + ϵ_{I}e_{I}^{∗}∥^{∗} .

仮定より b_{I} ≠ 0 ならばcard({1,…, p} ∩ I) ≤ p − 2 となるので補題 7.10 より

∥\frac{1}{B} ϕ + ϵ_{I}e_{I}^{∗}∥^{∗} = max \{\frac{1}{B} , 1\} .

したがって

∥ϕ + ∑_{I} b_{I}e_{I}^{∗}∥^{∗} ≤ ∑_{I} |b_{I}| max \{\frac{1}{B} , 1\} = max\{1, B\}.

7.12 補題. ξ ∈ ∧^{p}Eを simple vector とし V = span ξとおく。 ϕ ∈ ∧^{p}E^{∗}がϕ(ξ) = 1 を満たすとする。このとき次の条件を満たす V の補空間 W が一意的に存在する。 ξ = v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{p}で v_{p+1},…, v_{n}が W の基底になるような Eの任意の基底 v_{1},…, v_{n}に対して i_{p−1} ≤ p ならば a_{I} = 0 となるような {a_{I}} を使ってϕを

ϕ = v_{1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ v_{p}^{∗} + ∑_{I} a_{I}v_{I}^{∗}

と表すことができる。

証明. η ∈ ∧^{p−1}V, v ∈ Eに対してλ(η)(v) = ϕ(η ∧ v) とおくことによって線形写像

λ : ∧^{p−1}V ⟶ E^{∗}

を定義する。 ξ = v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{p}となる v_{1},…, v_{p} ∈ V をとって 1 ≤ i ≤ p について η_{i} = (−1)^{p−i}v_{1} ∧ ⋯ ∧ v̂_{i} ∧ ⋯ ∧ v_{p} とおく。すると {η_{i}} は∧^{p−1}V の基底になる。 λ_{i} = λ(η_{i}) ∈ E^{∗}とおく。

λ_{i}(v_{j}) =(−1)^{p−i}ϕ(v_{1} ∧ ⋯ ∧ v̂_{i} ∧ ⋯ ∧ v_{p} ∧ v_{j})
=δ_{ij}ϕ(v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{p}) = δ_{ij}

となるので (λ_{1} ∧ ⋯ ∧ λ_{p})(ξ) = 1。したがってλ_{1},…, λ_{p}は 1 次独立になる。そこで W = ∩_{i=1}^{p} ker(λ_{i}) とおくと V ∩ W = {0} であり、 dim V + dim W = n だから E = V ⊕ W 。 v_{p+1},…, v_{n}を W の基底とすると 1 ≤ i ≤ p と p + 1 ≤ j ≤ n に対して v_{j} ∈ W だから

ϕ(v_{1} ∧ ⋯ ∧ v̂_{i} ∧ ⋯ ∧ v_{p} ∧ v_{j}) = (−1)^{p−i}λ_{i}(v_{j}) = 0.

したがって

ϕ = v_{1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ v_{p}^{∗} + ∑_{I} a_{I}v_{I}^{∗}

と表すと i_{p−1} ≤ p ならば a_{I} = 0 となる。 W の一意性は上の W の定め方よりわかる。 7.13 補題. ϕ, V = span ξ, W を補題 7.12 のようにとる。 Eの内積 ⟨ , ⟩ を V ⊥ W と ∥ξ∥ = 1 を満たすようにとる。

C^{2} ≥ ( \begin{matrix}n \\ p \end{matrix} ) ∥ϕ∥^{∗}

を満たす定数 Cに対して E = V ⊕ W 上の内積を

⟨ , ⟩_{1} = ⟨ , ⟩_{V} + C^{2}⟨ , ⟩_{W}

によって定めるとこの内積 ⟨ , ⟩_{1}に関して

∥ϕ∥_{1}^{∗} = 1 and ϕ(ξ) = ∥ξ∥ = 1

が成り立つ。

証明. ∥ξ∥ = 1 だから Eの正規直交基底 {ϵ_{1},…, ϵ_{n}} をξ = ϵ_{1} ∧ ⋯ ∧ ϵ_{p}となるようにとることができる。補題 7.12 より i_{p−1} ≤ p ならば a_{I} = 0 となるような {a_{I}} を使ってϕを

ϕ = ϵ_{1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ ϵ_{p}^{∗} + ∑_{I} a_{I}ϵ_{I}^{∗}

と表すことができる。 |a_{I}| = |ϕ(ϵ_{I})| ≤ ∥ϕ∥^{∗}に注意しておく。

e_{j} = \{ \begin{matrix}ϵ_{j}, & j = 1,…, p \\ \frac{1}{C} ϵ_{j}, & j = p + 1,…, n \end{matrix}

とおくと {e_{j}} は新しい内積 ⟨ , ⟩_{1}に関する正規直交基底になる。 1 ≤ j ≤ p ならば e_{j}^{∗} = ϵ_{j}^{∗}で p + 1 ≤ j ≤ n ならば e_{j}^{∗} = Cϵ_{j}^{∗}だから

ϕ = e_{1}^{∗} ∧ ⋯ ∧ e_{p}^{∗} + ∑_{I} b_{I}e_{I}^{∗}

と表すと、 i_{p−1} ≤ p ならば b_{I} = 0 となる。またϕ(ξ) = 1, ∥ξ∥ = 1 より ∥ϕ∥^{∗} ≥ 1。したがって C ≥ 1 だから |b_{I}| ≤ (1/C^{2})|a_{I}|。系 7.11 より

∥ϕ∥_{1}^{∗} ≤ max \{1, ∑_{I} |b_{I}|\} ≤ max \{1, \frac{1}{C^{2}} ∑_{I} |a_{I}|\} .

ここで |a_{I}| ≤ ∥ϕ∥^{∗}だから

\frac{1}{C^{2}} ∑_{I} |a_{I}| ≤ \frac{1}{C^{2}} ( \begin{matrix}n \\ p \end{matrix} ) ∥ϕ∥^{∗} ≤ 1

となり ∥ϕ∥_{1}^{∗} ≤ 1。他方ϕ(ξ) = 1 だから ∥ϕ∥_{1}^{∗} = 1。

命題 7.1 の証明. f = ϕ(F⃗) ∈ E^{0}(X) とおくと f > 0 だから Xの Riemann 計量に f^{2/p} をかけることができ、この Riemann 計量に関して f^{−1}F⃗が Fに接する unit simple vector field になる。 ϕ(f^{−1}F⃗) = 1 となるので Riemann 計量をとりかえることにより ϕ(F⃗) = 1 とできる。各 x ∈ XにおいてF⃗_{x}, ϕ_{x}に補題 7.12 を適用し W_{x} ⊂ T_{x}Xを定める。 W_{x}が決める plane field をνとする。 X上の局所的な C^{∞}級ベクトル場 v_{1},…, v_{p} をF⃗ = v_{1} ∧ ⋯ ∧ v_{p}を満たすようにとる。補題 7.12 で構成したλ_{i}は X上の局所的な C^{∞}級 1 次微分形式になり、 ν = ∩_{i=1}^{p} ker(λ_{i}) となる。各λ_{i}を T X上の関数とみなすと C^{∞}級になり dλ_{i}は 1 次独立になる。したがって陰関数定理よりνは C^{∞}級 plane field になる。 Fが決める plane field をτとすると T X = τ ⊕ νとなっている。

各 O_{i}上でτ ⊥ νと ∥F⃗∥ = 1 を満たすように取り直した Riemann 計量を g_{i}で表し 1 の分割 {h_{i}} をspt h_{i} ⊂ U_{i}となるようにとり、 g′ = ∑_{i} h_{i}g_{i}とおく。すると g′に関して X全体でτ ⊥ νと ∥F⃗∥ = 1 が成り立つ。

( \begin{matrix}n \\ p \end{matrix} ) ∥ϕ_{x}∥^{∗} ≤ C(x)^{2} (x ∈ X)

を満たす X上の C^{∞}級関数 Cをとり g = g′_{τ} + C^{2}g_{ν}とおくと補題 7.13 よりこの Riemann 計量 gに関して X全体で

∥ϕ∥^{∗} = 1 and ϕ(F⃗) = ∥F⃗∥ = 1

が成り立つ。したがってϕは gに関して Fの calibration になる。

参考文献

R. Harvey and H. B. Lawson Jr., Calibrated geometries, Acta Math. 148 (1982), 47-157.