微分幾何学 III （大学院） 講義ノート 1991/4/17

第 1 部コンパクト位相群の表現

1 位相群の表現

1.1 定義. 位相ベクトル空間 V （係数体は実数または複素数）の連続線形同型写像の全体がつくる群を V の一般線形群と呼び GL(V) で表す。（今後特にことわらない限りベクトル空間の係数体は実数または複素数だけを考える。）

1.2 注意. 有限次元ベクトル空間 V に対しては ℝ^{dim V} または ℂ^{dim V} に同型になる位相が一意的に存在するので、この場合は位相を特に指定する必要がない。また有限次元の場合は部分ベクトル空間は必ず閉集合になることにも注意しておく。

1.3 定義. 位相群 G （位相群の位相は Hausdorff の公理を満たすもののみ考える）から位相ベクトル空間 V の一般線形群 GL(V) への群の準同型写像ρが

G × V ⟶ V; (g, v) ⟼ ρ(g)v : 連続

を満たすときρを G の V 上の表現と呼び、 V をρの表現空間と呼ぶ。 V が有限次元のときρを有限次元表現と呼ぶ。表現空間を明記したいときは表現を (ρ, V) で表すこともある。 V が内積空間で任意の g ∈ G に対してρ(g) が V の等長変換になっているとき係数体が実数の場合にρを直交表現と呼び、係数体が複素数の場合にρをユニタリ表現と呼ぶ。

1.4 定義. 位相群 G の表現 (ρ, V) と (σ, W) に対して V から W への連続線形写像 A が任意の g ∈ G について A ∘ ρ(g) = σ(g) ∘ A を満たすとき A を V から W への G 準同型写像と呼ぶ。 V から W への G 準同型写像の全体をHom_{G}(V, W) で表す。 G 準同型写像が線形同型写像になっているとき G 同型写像と呼ぶ。 V から W への G 同型写像が存在するときρとσを同値な表現といい (ρ, V) ≃ (σ, W) で表す。 (ρ, V) と (σ, W) が直交（ユニタリ）表現で V から W への等長的な G 同型写像が存在するときρとσを直交（ユニタリ）同値な表現という。

1.5 定義. (ρ, V) を位相群 G の表現とし、 W を V の部分ベクトル空間とする。任意の g ∈ G に対してρ(g)W ⊂ W が成り立つとき W を不変部分ベクトル空間と呼ぶ。 V が {0} と V 以外に閉不変部分ベクトル空間を持たないとき表現 (ρ, V) は既約であるという。

1.6 補題 (Schur). (ρ, V) と (σ, W) を位相群 G の有限次元既約表現とすると、 V から W への G 準同型写像は 0 または G 同型写像である。 V の恒等写像を I_{V} で表すと係数体が複素数の場合はHom_{G}(V, V) = ℂI_{V} となる。

証明. A ∈ Hom_{G}(V, W) をとるとKer A とIm A はそれぞれ V と W の不変部分ベクトル空間になる。 V と W は既約だからKer A = V, Im A = {0} またはKer A = {0}, Im A = W となる。したがって A は 0 または G 同型写像である。係数体が複素数の場合、 B ∈ Hom_{G}(V, V) の固有空間は不変部分ベクトル空間になるので、 Bは V をただ 1 つの固有空間として持つ。したがってHom_{G}(V, V) = ℂI_{V} である。 1.7 系. (ρ, V) と (σ, W) を位相群 G の有限次元既約表現とすると次が成り立つ。

dim Hom_{G}(V, W)\{ \begin{matrix}= 0 & (ρ, V) ≄ (σ, W) \\ = 1 & (ρ, V) ≃ (σ, W), 係数体は複素数 \\ ≥ 1 & (ρ, V) ≃ (σ, W), 係数体は実数 \end{matrix}

証明. 補題 1.6 より (ρ, V) ≄ (σ, W) のときはHom_{G}(V, W) = {0} となり、 (ρ, V) ≃ (σ, W) のときはdim Hom_{G}(V, W) ≥ 1。さらに係数体が複素数の場合は 0 ではない元 A, B ∈ Hom_{G}(V, W) を 2 つとると B^{−1} ∘ A ∈ Hom_{G}(V, V) となり、補題 1.6 より A = cB (c ∈ ℂ) となる。したがってdim Hom_{G}(V, W) = 1。

1.8 補題. (ρ, V) を位相群 G の有限次元既約直交（ユニタリ）表現とし、 ⟨ , ⟩ を V の内積とする。 V 上のもう 1 つの内積 h( , ) が

h(ρ(g)v, ρ(g)w) = h(v, w) (v, w ∈ V)

を満たすとすると、ある正の定数 c が存在し h( , ) = c⟨ , ⟩ となる。

証明. 線形写像 A : V ⟶ V を

h(v, w) = ⟨Av, w⟩ (v, w ∈ V)

によって定めると、 A は G 準同型写像になる。 A は正の固有値を持つ自己随伴線形写像になり、 V は既約だから、ある正の定数 c が存在し A = cI_{V} となる。したがって h( , ) = c⟨ , ⟩ となる。

1.9 例. (ρ, V), (ρ_{1}, V_{1}), (ρ_{2}, V_{2}) を位相群 G の有限次元表現とする。 g ∈ G に対して

(ρ^{∗}(g)f)(v) = f(ρ(g^{−1})v) (f ∈ V^{∗}, v ∈ V)
(ρ_{1} ⊕ ρ_{2})(g)(v_{1} ⊕ v_{2}) = (ρ_{1}(g)v_{1}) ⊕ (ρ_{2}(g)v_{2}) (v_{1} ∈ V_{1}, v_{2} ∈ V_{2})
(ρ_{1} ⊗ ρ_{2})(g)(v_{1} ⊗ v_{2}) = (ρ_{1}(g)v_{1}) ⊗ (ρ_{2}(g)v_{2}) (v_{1} ∈ V_{1}, v_{2} ∈ V_{2})

としてρ^{∗}, ρ_{1} ⊕ ρ_{2}, ρ_{1} ⊗ ρ_{2}を定めるとこれらは G の有限次元表現になる。 ρ^{∗}, ρ_{1} ⊕ ρ_{2}, ρ_{1} ⊗ ρ_{2}をそれぞれ (ρ, V) の反傾表現、 (ρ_{1}, V_{1}) と (ρ_{2}, V_{2}) の直和表現、テンソル積表現と呼ぶ。 V_{1}から V_{2}への連続線形写像の全体をHom(V_{1}, V_{2}) で表し、 g ∈ G に対して

(ρ_{3}(g)A)(v_{1}) = ρ_{2}(g) ∘ A ∘ ρ_{1}(g^{−1})(v_{1}) (A ∈ Hom(V_{1}, V_{2}), v_{1} ∈ V_{1})

としてρ_{3}を定めると (ρ_{3}, Hom(V_{1}, V_{2})) は G の有限次元表現になる。これは (ρ_{1}^{∗} ⊗ ρ_{2}, V_{1}^{∗} ⊗ V_{2}) と同値になる。定義 1.4 で定めた G 準同型写像の全体は

Hom_{G}(V_{1}, V_{2}) = {A ∈ Hom(V_{1}, V_{2})|ρ_{3}(g)A = A(g ∈ G)}

と表すことができる。 (ρ, V), (ρ_{1}, V_{1}), (ρ_{2}, V_{2}) が直交（ユニタリ）表現のときは自然にρ^{∗}, ρ_{1} ⊕ ρ_{2}, ρ_{1} ⊗ ρ_{2}も直交（ユニタリ）表現になる。 1.10 注意. 例 1.9 では 2 つの表現の直和表現とテンソル積表現を定義したが、 3 つ以上の表現の直和表現とテンソル積表現も帰納的に定義することができる。その際に表現 (ρ_{1}, V_{1}), (ρ_{2}, V_{2}), (ρ_{3}, V_{3}) に対して ((ρ_{1} ⊕ ρ_{2}) ⊕ ρ_{3}, (V_{1} ⊕ V_{2}) ⊕ V_{3}) と (ρ_{1}⊕(ρ_{2}⊕ρ_{3}), V_{1}⊕(V_{2}⊕V_{3})) とは表現として同値であり、 ((ρ_{1}⊗ρ_{2})⊗ρ_{3}, (V_{1}⊗V_{2})⊗V_{3}) と (ρ_{1} ⊗ (ρ_{2} ⊗ ρ_{3}), V_{1} ⊗ (V_{2} ⊗ V_{3})) とも表現として同値である。したがって直和やテンソル積をとる順序を明記する必要はない。

1.11 定義. (ρ, V) を位相群 G の表現とし (ρ_{i}, V_{i}) を G の表現の族とする。各 i について単射 A_{i} ∈ Hom_{G}(V_{i}, V) が存在し和 V′ = ∑_{i} A_{i}(V_{i}) が直和になりしかも V′が V 内で稠密なとき、 V は (ρ_{i}, V_{i}) の直和に分解されるといい V = ⊕_{i}V_{i}と表す。さらに (ρ, V) と (ρ_{i}, V_{i}) が直交（ユニタリ）表現で各 A_{i}が等長的で V′ = ∑_{i} A_{i}(V_{i}) が直交直和になっているとき、 V は (ρ_{i}, V_{i}) の直交（ユニタリ）直和に分解されるという。また直和分解 V = ⊕_{i}V_{i}の各成分 (ρ_{i}, V_{i}) が既約表現のとき、この分解を既約分解と呼ぶ。

1.12 定理. (ρ_{i}, V_{i}) を位相群 G の互いに同値ではない有限次元既約表現の有限族とする。 m_{i}, n_{i}を 0 以上の整数とし m_{i}V_{i}で V_{i}の m_{i}個の直和を表す。 G の有限次元表現 (ρ, V) が 2 つの既約分解⊕_{i}m_{i}V_{i}と⊕_{i}n_{i}V_{i}を持てばすべての i について m_{i} = n_{i}が成り立つ。

証明. ⊕_{i}m_{i}V_{i} = ⊕_{i}n_{i}V_{i}だから jを 1 つ固定すると

Hom_{G}(V_{j}, ⊕_{i}m_{i}V_{i}) = Hom_{G}(V_{j}, ⊕_{i}n_{i}V_{i})

が成り立つ。したがって

⊕_{i}m_{i} Hom_{G}(V_{j}, V_{i}) = ⊕_{i}n_{i} Hom_{G}(V_{j}, V_{i})

となり系 1.7 より m_{j} Hom_{G}(V_{j}, V_{j}) = n_{j} Hom_{G}(V_{j}, V_{j})。したがって m_{j} = n_{j}である。

1.13 定理. 位相群の有限次元直交（ユニタリ）表現は既約直交（ユニタリ）表現の直交（ユニタリ）直和に分解される。

証明. (ρ, V) を位相群 G の有限次元直交表現とし定理をdim V に関する帰納法で証明する。 dim V = 1 の場合は (ρ, V) 自身が既約になる。そこでdim V より低い次元を持つ G の直交表現に対しては定理の主張が成立していると仮定して、 (ρ, V) に対しても成立することを証明しよう。 (ρ, V) が既約ならば定理の主張は成立している。 (ρ, V) が既約でないならば {0} でも V でもない不変部分ベクトル空間 W をとることができる。 (ρ, V) は直交表現だから W の直交補空間 W^{⊥}も不変部分ベクトル空間になる。 V = W + W^{⊥}は直交直和になり帰納法の仮定より V は既約表現の直交直和に分解される。

有限次元ユニタリ表現の場合も同様にして証明できる。

1.14 定理. 位相群の 2 つの有限次元直交（ユニタリ）表現が同値ならば直交（ユニタリ）同値になる。

証明. (ρ, V) と (σ, W) を位相群 G の有限次元直交表現とする。定理 1.13 よりρとσはそれぞれ直交既約表現 (ρ_{i}, V_{i}) と (σ_{i}, W_{i}) の直交直和に分解される。定理 1.12 よりすべての i について (ρ_{i}, V_{i}) ≃ (σ_{i}, W_{i}) としてよい。 A_{i} : V_{i} ⟶ W_{i}を G 同型写像とし、 V_{i}, W_{i}の内積をそれぞれ ⟨ , ⟩_{i}, ( , )_{i}とすると、 ( , )_{i}の A_{i}による引き戻し A_{i}^{∗}( , )_{i} は G の作用で不変な V_{i}の内積になる。よって補題 1.8 よりある正の定数 c_{i}が存在し A_{i}^{∗}( , )_{i} = c_{i}⟨ , ⟩_{i}となる。これより、 c_{i}^{− \frac{1}{2}} A_{i}は等長的になり (ρ_{i}, V_{i}) と (σ_{i}, W_{i}) は直交同値になる。したがって (ρ, V) と (σ, W) も直交同値になる。

有限次元ユニタリ表現の場合も同様にして証明できる。 1.15 例. (ρ_{1}, V_{1}) を位相群 G_{1}の有限次元表現とし (ρ_{2}, V_{2}) を位相群 G_{2}の有限次元表現とする。 (g_{1}, g_{2}) ∈ G_{1} × G_{2}に対して

(ρ_{1} ˆ⊗ρ_{2})(g_{1}, g_{2})(v_{1} ⊗ v_{2}) = (ρ_{1}(g_{1})v_{1}) ⊗ (ρ_{2}(g_{2})v_{2}) (v_{1} ∈ V_{1}, v_{2} ∈ V_{2})

としてρ_{1} ˆ⊗ρ_{2}を定めるとこれは G_{1} × G_{2}の有限次元表現になる。 ρ_{1} ˆ⊗ρ_{2}をρ_{1}とρ_{2}の外部テンソル積表現と呼ぶ。 (ρ_{1}, V_{1}), (ρ_{2}, V_{2}) が直交（ユニタリ）表現のときは自然に ρ_{1} ˆ⊗ρ_{2}も直交（ユニタリ）表現になる。

1.16 定理. G_{1}, G_{2}を位相群とする。 G_{1} × G_{2}の有限次元既約ユニタリ表現 (ρ, V) に対して G_{i}の有限次元既約ユニタリ表現 (ρ_{i}, V_{i}) が存在し (i = 1, 2)、 (ρ, V) は (ρ_{1} ˆ⊗ρ_{2}, V_{1} ⊗ V_{2}) と同値になる。逆に G_{i}の有限次元既約ユニタリ表現 (ρ_{i}, V_{i}) に対して (ρ_{1} ˆ⊗ρ_{2}, V_{1} ⊗ V_{2}) は有限次元既約ユニタリ表現になる。

証明. (ρ, V) を G_{1} × G_{2}の有限次元既約ユニタリ表現とする。

ρ̃_{1}(g_{1}) = ρ(g_{1}, e) (g_{1} ∈ G_{1})

によって G_{1}の V 上のユニタリ表現ρ̃_{1}を定める。 V は有限次元だから定理 1.13 より (ρ̃_{1}, V) は G_{1}の既約ユニタリ表現の直交直和 V = ⊕_{i=1}^{n}W_{i}に分解される。

S = {U|U : V の G_{1}不変部分ベクトル空間, Hom_{G_{1}}(W_{1}, U) = {0}}

とおいて V の部分ベクトル空間 W = ∑_{U∈S} Uを定める。 (g_{1}, g_{2}) ∈ G_{1} × G_{2}に対して

ρ(g_{1}, g_{2}) = ρ̃_{1}(g_{1}) ∘ ρ(e, g_{2}) = ρ(e, g_{2}) ∘ ρ̃_{1}(g_{1})

だからρ(e, g_{2}) : V ⟶ V は G_{1}同型写像になる。 U ∈ Sをとると

ρ(g_{1}, g_{2})U = ρ̃_{1}(g_{1})(ρ(e, g_{2})U) = ρ(e, g_{2})U

となり、 ρ(e, g_{2})Uは G_{1}不変部分ベクトル空間になる。さらにρ(e, g_{2})|_{U} : U ⟶ ρ(g_{1}, g_{2})Uは G_{1}同型写像だからρ(g_{1}, g_{2})U ∈ S。したがって W は G_{1} × G_{2}不変部分ベクトル空間である。 ρは既約だから W の定め方より W = {0} となる。これより各 W_{i}は G_{1}の表現として W_{1}と同値になる。 V_{1} = W_{1}としρ_{1}をρ̃_{1}の作用の V_{1}への制限とすると (ρ_{1}, V_{1}) は G_{1}の有限次元既約ユニタリ表現になる。 A, B ∈ Hom(V_{1}, V) に対して B^{∗}で Bの随伴線形写像を表し (A, B) = tr(AB^{∗}) によってHom(V_{1}, V) 上の内積を定める。 G_{2}のHom(V_{1}, V) 上への表現ρ̃_{2}を

ρ̃_{2}(g_{2})(A) = ρ(e, g_{2}) ∘ A (g_{2} ∈ G_{2}, A ∈ Hom(V_{1}, V))

によって定めると (ρ̃_{2}, Hom(V_{1}, V)) は有限次元ユニタリ表現になる。そこで V_{2} = Hom_{G_{1}}(V_{1}, V) とすると V_{2}はHom(V_{1}, V) の G_{2}不変部分ベクトル空間になり、 ρ_{2}を ρ̃_{2}の作用の V_{2}への制限とすると (ρ_{2}, V_{2}) は G_{2}の有限次元ユニタリ表現になる。 V の各 G_{1}既約成分がρ_{1}に同値になることと系 1.7 とより V_{2}の次元は G_{1}既約成分の個数 n に等しい。ここで

φ : V_{1} ⊗ V_{2} ⟶ V; v ⊗ A ⟼ A(v)

によって線形写像φ を定めると、 φ は (ρ_{1} ˆ⊗ρ_{2}, V_{1} ⊗ V_{2}) から (ρ, V) への G_{1} × G_{2}準同型写像になる。 V_{1}は V の G_{1}既約成分だから V_{2}には 0 ではない元が存在しφ ≠ 0 がわかる。 (ρ, V) は既約だからφ は全射になる。ところが

dim(V_{1} ⊗ V_{2}) = dim(V_{1})n = dim(V)

だからφ は G_{1} × G_{2}同型写像になる。このことから (ρ_{2}, V_{2}) が既約になることもわかる。

今度は逆に (ρ_{i}, V_{i}) を G_{i}の有限次元既約ユニタリ表現とする。

ρ̃_{1}(g_{1}) = (ρ_{1} ˆ⊗ρ_{2})(g_{1}, e) (g_{1} ∈ G_{1})

によって G_{1}の有限次元ユニタリ表現 (ρ̃_{1}, V_{1} ⊗ V_{2}) を定めると V_{1} ⊗ V_{2} = (dim(V_{2}))V_{1} となる。 W を V_{1} ⊗ V_{2}の {0} ではない G_{1} × G_{2}不変部分ベクトル空間とする。 W と W^{⊥}を既約分解すると（定理 1.13）、定理 1.12 よりある自然数 kが存在して W = kV_{1} となる。次に G_{2}のHom_{G_{1}}(V_{1}, V_{1} ⊗ V_{2}) 上への表現ρ̃_{2}を

ρ̃_{2}(g_{2})(A) = ρ(e, g_{2}) ∘ A (g_{2} ∈ G_{2}, A ∈ Hom_{G_{1}}(V_{1}, V_{1} ⊗ V_{2}))

によって定め、線形写像ψ : V_{2} ⟶ Hom_{G_{1}}(V_{1}, V_{1} ⊗ V_{2}) を

ψ(v_{2})(v_{1}) = v_{1} ⊗ v_{2} (v_{1} ∈ V_{1}, v_{2} ∈ V_{2})

として定めるとψは G_{2}準同型写像になる。またHom_{G_{1}}(V_{1}, W) = k Hom_{G_{1}}(V_{1}, V_{1}) は Hom_{G_{1}}(V_{1}, V_{1} ⊗ V_{2}) の {0} ではない G_{2}不変部分ベクトル空間になる。したがって ψ^{−1}(Hom_{G_{1}}(V_{1}, W)) は V_{2}の {0} ではない G_{2}不変部分ベクトル空間になり、 V_{2}は既約だから V_{2}に一致する。系 1.7 より

k = dim(Hom_{G_{1}}(V_{1}, W)) = dim(Hom_{G_{1}}(V_{1}, V_{1} ⊗ V_{2})) = dim(V_{2})

が成り立つ。よって W = V_{1} ⊗ V_{2}となり (ρ_{1} ˆ⊗ρ_{2}, V_{1} ⊗ V_{2}) は有限次元既約ユニタリ表現である。