微分幾何学 III （大学院） 講義ノート 1991/4/24

2 コンパクト位相群の表現環

2.1 命題. G をコンパクト位相群とし G 上の実数値連続関数の全体がつくるベクトル空間を K(G) で表す。

∥f∥_{∞} = sup{|f(x)| |x ∈ G} (f ∈ K(G))

によって ∥ ∥_{∞}を定めると ∥ ∥_{∞}は K(G) 上のノルムになり、このノルムに関して K(G) は Banach 空間になる。さらに

L_{g}^{∗}f(x) = f(g^{−1}x) (g ∈ G, f ∈ K(G), x ∈ G)

とすると L_{g}^{∗}f ∈ K(G) で (L^{∗}, K(G)) は G の表現になる。 G 上の複素数値連続関数の全体がつくるベクトル空間 K^{ℂ}(G) に対しても同様のことが成り立つ。

証明. ∥ ∥_{∞}が K(G) のノルムになることは定義の仕方からわかる。このノルムに関する K(G) の元の列の収束は連続関数の一様収束になるので、 K(G) は Banach 空間になる。次に L_{g}^{∗}f = f ∘ L_{g}^{−1} ∈ K(G) で

∥L_{g}^{∗}f∥_{∞} = ∥f∥_{∞} (f ∈ K(G))

だから L_{g}^{∗}は K(G) の連続線形同型写像になる。 g_{1}, g_{2} ∈ G, f ∈ K(G) に対して L_{g_{1}g_{2}}^{∗}f = L_{g_{1}}^{∗}L_{g_{2}}^{∗}fとなる。最後に

G × K(G) ⟶ K(G); (g, f) ⟼ L_{g}^{∗}f

が連続になることを示しておこう。 (g, f) ∈ G × K(G) をとる。 G はコンパクトだから fは一様連続になる。したがって任意のεに対して G の単位元の近傍 Uが存在して

ba^{−1} ∈ U ⟹ |f(a) − f(b)| < \frac{1}{2}ε

を満たす。そこで G × K(G) における (g, f) の近傍 gU × B_{ε/2}(f) の元 (g′, f′) をとると、 x ∈ G に対して

|L_{g′}^{∗}f′(x) − L_{g}^{∗}f(x)|
=|f′(g′^{−1}x) − f(g^{−1}x)|
≤|f′(g′^{−1}x) − f(g′^{−1}x)| + |f(g′^{−1}x) − f(g^{−1}x)|
<ε.

よって (L^{∗}, K(G)) は G の表現になる。 2.2 定理. G をコンパクト位相群とすると次の条件を満たす線形写像μ : K(G) ⟶ ℝ が一意的に存在する。

μ(L_{g}^{∗}f) = μ(f) (g ∈ G, f ∈ K(G)) (1) f ∈ K(G), f ≥ 0 ⟹ μ(f) ≥ 0 (2) μ(1) = 1 (3)

さらにτ(x) = x^{−1} (x ∈ G) とおくとこのμは次の性質を持つ。

μ(f ∘ R_{g}) = μ(f) (g ∈ G, f ∈ K(G)) (4) μ(f ∘ τ) = μ(f) (f ∈ K(G)) (5) f ∈ K(G), f ≥ 0, f ≠ 0 ⟹ μ(f) > 0 (6) |μ(f)| ≤ μ(|f|) (f ∈ K(G)) (7)

証明. 参考文献の [横] 第 1 章§ 11 不変積分を参照のこと 2.3 定義. 定理 2.2 の線形写像μ : K(G) ⟶ ℝ を G の Harr 積分と呼ぶ。 2.4 例. U(1) の n 個の積を T^{n}で表すと T^{n}はコンパクト Lie 群になる。

μ(f) = \frac{1}{(2π)^{n}} ∫ ⋯ ∫ f(e^{\sqrt{−1}t_{1}},…, e^{\sqrt{−1}t_{n}})dt_{1} ⋯ dt_{n} (f ∈ K(T^{n}))

とおくとμは T^{n}上の Harr 積分になる。 2.5 定理 (Riesz の表現定理). Xを局所コンパクト Hausdorff 空間とし、

K(X) = {f : X ⟶ ℝ|f : 連続, supp f : コンパクト }

とおく。

μ : K(X) ⟶ ℝ

は線形写像で、 f ∈ K(X)^{+} = {f ∈ K(X)|f(x) ≥ 0(x ∈ X)} に対して 0 ≤ μ(f) とする。このとき X上の測度ψが存在し、 X上の実数値連続関数はすべてψ可測になり

μ(f) = ∫ fdψ (f ∈ K(X))

が成り立つ。証明. 参考文献の [F] 第 2 章 2.5 Linear functionals を参照のこと 2.6 定義. コンパクト位相群 G 上の Harr 積分μに定理 2.5 を適用するとμに対応する G 上の測度が存在する。この測度を G の Harr 測度と呼ぶ。 Harr 積分μに対応する Harr 測度を同じ記号μで表すことにする。 2.7 注意. コンパクト位相群上の有限次元ベクトル空間に値を持つ関数の積分は、そのベクトル空間の基底をとることにより実数値関数の積分に帰着できる。 2.8 命題. G をコンパクト位相群としμを G の Harr 測度とする。 G の有限次元表現 (ρ, V) に対してρを G からHom(V, V) への写像とみなして P = ∫ ρdμとおくと P^{2} = P が成り立つ。また

V_{G} = {v ∈ V |ρ(g)(v) = v (g ∈ G)}

とおくとIm P = V_{G}となる。

証明. v ∈ V に対して積分の線形性より

P (v) = ∫ ρ(x)dμx(v) = ∫ ρ(x)(v)dμx

となる。これより v ∈ V_{G}ならば P (v) = vとなり v ∈ Im P 。よって V_{G} ⊂ Im P 。また任意の v ∈ V と g ∈ G について

ρ(g)P (v) = ρ(g) ∫ ρ(x)(v)dμx
= ∫ ρ(g)ρ(x)(v)dμx (ρ(g) の作用の線形性)
= ∫ ρ(gx)(v)dμx
= ∫ ρ(x)(v)dμx (Harr 積分の左不変性)
= P (v)

となるのでIm P ⊂ V_{G}となりIm P = V_{G}がわかる。さらに

P^{2}(v) = ∫ ρ(x)P (v)dμx

= ∫ P (v)dμx (P (v) ∈ V_{G})

= P (v) (Harr 積分の性質 (3))

となるので P^{2} = P が成り立つ。

2.9 命題. (ρ, V) をコンパクト位相群 G の有限次元表現とするとρが直交（ユニタリ）表現になるような V の内積が存在する。

証明. G の Harr 測度をμとしておく。

V が実ベクトル空間の場合 V 上の対称 2 次形式の全体がつくる実ベクトル空間を S(V) で表す。

(ρ_{S}(g)A)(v, w) = A(ρ(g)^{−1}(v), ρ(g)^{−1}(w)) (g ∈ G, A ∈ S(V), v, w ∈ V)

によってρ_{S}を定めると (ρ_{S}, S(V)) は G の表現になる。正定値の元 A_{0} ∈ S(V) を 1 つとる。 P = ∫ ρ_{S}dμとおくと命題 2.8 より P (A_{0}) ∈ S(V)_{G}となる。また任意の v ∈ V について

P (A_{0})(v, v) = ∫ A_{0}(ρ(g)^{−1}(v), ρ(g)^{−1}(v))dμg > 0 (Harr 積分の性質 (6))

となるので P (A_{0}) も正定値になる。この内積 P (A_{0}) によって (ρ, V) は直交表現になる。

V が複素ベクトル空間の場合も V 上の Hermite2 次形式の全体がつくる複素ベクトル空間を考えることにより同様にして証明できる。 2.10 定理. コンパクト位相群の有限次元表現は既約分解することができる。

証明. 命題 2.9 と定理 1.13 からわかる。

2.11 定義. 加法の逆元の存在を除いた可換環の公理を満たすものを可換半環と呼ぶ。ただし可換環と可換半環は加法の単位元と乗法の単位元が等しい場合も許容する。可換半環の準同型写像と同型写像は環の場合と同様に定義する。ただし単位元を単位元に写すものだけを準同型写像と呼ぶことにする。可換半環 Mに対して次の条件を満たす (R(M), ϕ) を Mの Grothendieck 環と呼ぶ。

(1) R(M) は可換環である。

(2) ϕ : M ⟶ R(M) は可換半環の準同型写像である。

(3) 任意の可換環 Rと可換半環の準同型写像ψ : M ⟶ Rに対してψ = ψ̃ ∘ ϕを満たす環の準同型写像ψ̃ : R(M) ⟶ Rが一意的に存在する。

2.12 命題. Mを可換半環とすると Mの Grothendieck 環 (R(M), ϕ) が存在する。また (R′(M), ϕ′) を Mのもう 1 つの Grothendieck 環とすると環の同型写像ψ : R(M) ⟶ R′(M) が存在しψ∘ϕ = ϕ′を満たす。さらに R(M) の任意の元はϕ(a)−ϕ(b) (a, b ∈ M) という形で書き表すことができる。

証明. 参考文献の [横] 第 1 章§ 1 加群を参照のこと

2.13 例. M = {a ∈ ℤ|a ≥ 0} とおき、

a ⊕ b = max{a, b}, a ⊗ b = a × b (a, b ∈ M)

によって Mの加法⊕と乗法⊗を定めると、 Mは加法の単位元 0 と乗法の単位元 1 を持つ可換半環になる。 Mの Grothendieck 環を (R(M), ϕ) で表すと 1 ⊕ 1 = 1 となるのでϕ(1) + ϕ(1) = ϕ(1) が成り立つ。したがってϕ(1) は R(M) の乗法の単位元であると同時に加法の単位元にもなる。特に R(M) = {ϕ(1)} となりϕ : M ⟶ R(M) は単射ではない。

2.14 定義. 位相群 G の有限次元実（複素）表現の同値類の全体を S_{ℝ}(G) (S_{ℂ}(G)) で表し、加法と乗法を

[ρ] + [ρ′] = [ρ ⊕ ρ′], [ρ] · [ρ′] = [ρ ⊗ ρ′]

で定義すると、直和とテンソル積の性質から S_{ℝ}(G) (S_{ℂ}(G)) は可換半環になる。ただし加法の単位元は G が {0} に自明に作用する表現で乗法の単位元は G が ℝ (ℂ) に恒等写像として作用する表現である。この可換半環 S_{ℝ}(G) (S_{ℂ}(G)) の Grothendieck 環を (R_{ℝ}(G), ϕ_{G}) ((R_{ℂ}(G), ϕ_{G})) で表し G の実（複素）表現環と呼ぶ。

2.15 命題. G をコンパクト位相群とし G の有限次元実（複素）既約表現の同値類の全体が生成する自由加群をR̃_{ℝ}(G) (R̃_{ℂ}(G)) で表す。さらに G の有限次元既約表現の同値類 [ρ] と [σ] に対して積 [ρ] · [σ] をρ ⊗ σを既約分解の成分の同値類の和として定めると、 R̃_{ℝ}(G) (R̃_{ℂ}(G)) は可換環になる。さらにψ : S_{ℝ}(G) ⟶ R̃_{ℝ}(G) (ψ : S_{ℂ}(G) ⟶ R̃_{ℂ}(G)) を有限次元表現に対してその既約分解の成分の同値類の和を対応させる写像とすると、 ψは可換半環の準同型写像になる。 ψに対応する可換環の準同型写像ψ̃ : R_{ℝ}(G) ⟶ R̃_{ℝ}(G) (ψ̃ : R_{ℂ}(G) ⟶ R̃_{ℂ}(G)) は同型写像になる。

証明. 証明は同じなので係数体が実数の場合だけ証明する。 R̃_{ℝ}(G) の積の定義は定理 2.10 と定理 1.12 より well-defined になる。また直和とテンソル積の性質からR̃_{ℝ}(G)

が可換環になることがわかる。和と積の定義よりψは可換半環の準同型写像になり Grothendieck 環の定義よりψに対応する可換環の準同型写像ψ̃が存在する。定理 1.12 よりψ̃ ∘ ϕ_{G} = ψは単射になるのでϕ_{G}も単射になる。 D_{ℝ}(G) で有限次元実既約表現の同値類の全体を表すと D_{ℝ}(G) は S_{ℝ}(G) の部分集合になる。 ψ̃をϕ_{G}(S_{ℝ}(G)) に制限すると単射になる。その像は自由加群R̃_{ℝ}(G) の生成系に一致するのでψ̃は加群の同型写像になり環の同型写像にもなる。

2.16 注意. 命題 2.15 の証明中に示したように、コンパクト位相群 G に対して準同型写像ϕ_{G} : S_{ℝ}(G) ⟶ R_{ℝ}(G) (ϕ_{G} : S_{ℂ}(G) ⟶ R_{ℂ}(G)) は単射になる。そこで S_{ℝ}(G) ⊂ R_{ℝ}(G) (S_{ℂ}(G) ⊂ R_{ℂ}(G)) とみなすことにする。これは部分可換半環になる。

2.17 例. 位相群 G の有限次元実（複素）表現の同値類 [ρ, V] に対してdim V を対応させる写像は S_{ℝ}(G) (S_{ℂ}(G)) から ℤ への可換半環の準同型写像になる。したがって Grothendieck 環の定義よりdim から可換環の準同型写像dim : R_{ℝ}(G) (R_{ℂ}(G)) ⟶ ℤ が誘導される。 G がコンパクト位相群の場合は S_{ℝ}(G) ⊂ R_{ℝ}(G) (S_{ℂ}(G) ⊂ R_{ℂ}(G)) とみなしているので、上の誘導された準同型写像は拡張になる。

2.18 定義. G と Hを位相群とし、 f : G ⟶ Hを連続準同型写像とする。 Hの表現 (ρ, V) に対して (ρ ∘ f, V) は G の表現になる。これによる対応 S_{ℝ}(H) ⟶ S_{ℝ}(G); [ρ] ⟼ [ρ ∘ f] は可換半環の準同型写像になるので、表現環の間の準同型写像 f^{∗} : R_{ℝ}(H) ⟶ R_{ℝ}(G) を誘導する。係数体が複素数の場合も同様に準同型写像 f^{∗} : R_{ℂ}(H) ⟶ R_{ℂ}(G) を定めることができる。

2.19 命題. G_{1}, G_{2}, G_{3}を位相群とし、 f_{1} : G_{1} ⟶ G_{2}, f_{2} : G_{2} ⟶ G_{3}を連続準同型写像とする。このとき

(f_{2} ∘ f_{1})^{∗} = f_{1}^{∗} ∘ f_{2}^{∗} : R_{ℝ}(G_{3}) ⟶ R_{ℝ}(G_{1})

が成り立つ。係数体が複素数のときも同じ等式が成り立つ。

証明. 定義 2.18 と Grothendieck 環の定義（定義 2.11）の (3) の一意性より (f_{2}∘f_{1})^{∗} = f_{1}^{∗} ∘ f_{2}^{∗}がわかる。