微分幾何学 III （大学院） 講義ノート 1991/5/1

3 表現の指標

3.1 定義. 位相群 G の有限次元実（複素）表現 (ρ, V) に対して G 上の実（複素）数値連続関数χ_{ρ}を

χ_{ρ}(g) = tr(ρ(g)) (g ∈ G)

で定義する。ただしtr は係数が実数と複素数の場合に応じて考える。 χ_{ρ}を表現ρの指標と呼ぶ。

3.2 命題. 位相群 G の 2 つの有限次元実表現 (ρ, V) と (σ, W) が同値ならばχ_{ρ} = χ_{σ} が成り立つ。これより可換半環の準同型写像

S_{ℝ}(G) ⟶ K(G); [ρ] ⟼ χ_{ρ}

が定まり、この写像は可換環の準同型写像χ : R_{ℝ}(G) ⟶ K(G) を誘導する。 x ∈ G に対して

v_{x} : K(G) ⟶ ℝ; f ⟼ f(x)

とおくと v_{x}は可換環の準同型写像になり、 dim = v_{e} ∘ χが成り立つ。ただしdim は例 2.17 で定めた準同型写像である。係数体が複素数の場合も同じ結果が成り立つ。

証明. A : V ⟶ W を G 同型写像とすると、 g ∈ G に対してσ(g)A = Aρ(g) だから σ(g) = Aρ(g)A^{−1}となり、

χ_{σ}(g) = tr(σ(g)) = tr(Aρ(g)A^{−1}) = tr(ρ(g)) = χ_{ρ}(g).

したがってχ_{ρ} = χ_{σ}である。一般に G の有限次元実表現 (ρ, V), (σ, W) と各 g ∈ G について

χ_{ρ⊕σ}(g) = tr(ρ(g) ⊕ σ(g)) = tr(ρ(g)) + tr(σ(g)) = χ_{ρ}(g) + χ_{σ}(g),
χ_{ρ⊗σ}(g) = tr(ρ(g) ⊗ σ(g)) = tr(ρ(g)) tr(σ(g)) = χ_{ρ}(g)χ_{σ}(g).

また表現空間が {0} の表現の指標は恒等的に 0 になり ℝ に恒等写像として働く表現の指標は恒等的に 1 になる。したがって写像

S_{ℝ}(G) ⟶ K(G); [ρ] ⟼ χ_{ρ}

は可換半環の準同型写像になる。よってこの写像は可換環の準同型写像χ : R_{ℝ}(G) ⟶ K(G) を誘導する。各 [ρ, V] ∈ S_{ℝ}(G) について

v_{e} ∘ χ([ρ]) = χ(e) = tr I_{V} = dim V.

したがって Grothendieck 環の定義より

v_{e} ∘ χ = dim : R_{ℝ}(G) ⟶ ℝ

が成り立つ。係数体が複素数の場合も同様に証明できる。 3.3 命題. (ρ, V) を位相群 G の有限次元表現とすると g, h ∈ G に対して

χ_{ρ}(ghg^{−1}) = χ_{ρ}(h), χ_{ρ^{∗}}(g) = χ_{ρ}(g^{−1})

が成り立つ。

証明.

χ_{ρ}(ghg^{−1}) = tr(ρ(ghg^{−1})) = tr(ρ(g)ρ(h)ρ(g)^{−1}) = tr(ρ(h)) = χ_{ρ}(h).

{e_{1},…, e_{k}} を V の基底とし {e_{1}^{∗},…, e_{k}^{∗}} をその双対基底とすると、

χ_{ρ^{∗}}(g) = tr(ρ^{∗}(g)) = ∑_{i=1}^{k}(ρ^{∗}(g)(e_{i}^{∗}))(e_{i}) = ∑_{i=1}^{k} e_{i}^{∗}(ρ(g^{−1})(e_{i}))
= tr(ρ(g^{−1})) = χ_{ρ}(g^{−1}).

3.4 命題. G をコンパクト位相群としμを G の Harr 測度とする。 G の有限次元表現 (ρ, V) に対して

χ_{ρ^{∗}}(g) = \overline{χ_{ρ}(g)} (g ∈ G)
∫ χ_{ρ}dμ = dim V_{G}

が成り立つ。（V_{G}については命題 2.8 を見よ。）

証明. 命題 2.9 よりρが直交（ユニタリ）表現になるような V の内積 ⟨ , ⟩ が存在する。 {e_{1},…, e_{k}} を ⟨ , ⟩ に関する V の正規直交基底とする。命題 3.3 を使うと各 g ∈ G について

χ_{ρ^{∗}}(g) = χ_{ρ}(g^{−1}) = tr(ρ(g)^{−1}) = ∑_{i=1}^{n}⟨ρ(g)^{−1}(e_{i}), e_{i}⟩

= ∑_{i=1}^{n}⟨e_{i}, ρ(g)(e_{i})⟩ = \overline{tr(ρ(g))} = \overline{χ_{ρ}(g)}.

P = ∫ ρdμとおくと命題 2.8 よりIm P = V_{G}となる。さらに

∫ χ_{ρ}(g)dμg = ∫ tr(ρ(g))dμg = tr (∫ ρ(g)dμg) = tr P
= dim Im P = dim V_{G}.

3.5 定理. G をコンパクト位相群としμを G の Harr 測度とする。 G の有限次元表現 (ρ, V) と (σ, W) に対して

∫ χ_{ρ}\overline{χ_{σ}}dμ = dim Hom_{G}(W, V)

が成り立つ。特に (ρ, V) と (σ, W) がともに G の有限次元複素既約表現のときは、

∫ χ_{ρ}\overline{χ_{σ}}dμ = \{ \begin{matrix}0 & (ρ ≄ σ) \\ 1 & (ρ ≃ σ) \end{matrix}

となる。

証明. g ∈ G に対して、

χ_{ρ}(g)\overline{χ_{σ}(g)} = χ_{ρ}(g)χ_{σ^{∗}}(g) (命題 3.4)
= χ_{ρ⊗σ^{∗}}(g) (命題 3.2)
= χ_{Hom(W,V)}(g) (例 1.9)

だから命題 3.4 より

∫ χ_{ρ}\overline{χ_{σ}}dμ = dim Hom_{G}(W, V).

特に (ρ, V) と (σ, W) が有限次元複素既約表現のときは系 1.7 より

dim Hom_{G}(W, V) = \{ \begin{matrix}0 & (ρ ≄ σ) \\ 1 & (ρ ≃ σ) \end{matrix}

となり定理の結論を得る。

3.6 系. G をコンパクト位相群としμを G の Harr 測度とする。

⟨f_{1}, f_{2}⟩ = ∫ f_{1}\overline{f_{2}}dμ (f_{1}, f_{2} ∈ K(G)(K^{ℂ}(G)))

によって ⟨ , ⟩ を定めると K(G) (K^{ℂ}(G)) は内積空間になる。 D_{ℝ}(G) で G の有限次現実既約表現の同値類の全体を表し D_{ℂ}(G) で G の有限次現複素既約表現の同値類の全体を表す。すると {χ([ρ])|[ρ] ∈ D_{ℝ}(G)} は K(G) の直交系になり、 {χ([ρ])|[ρ] ∈ D_{ℂ}(G)} は K^{ℂ}(G) の正規直交系になる。

証明. ⟨ , ⟩ が K(G) (K^{ℂ}(G)) の内積になることは Harr 積分の線形性と性質 (6) よりわかる。 {χ([ρ])|[ρ] ∈ D_{ℝ}(G)} が K(G) の直交系になり、 {χ([ρ])|[ρ] ∈ D_{ℂ}(G)} が K^{ℂ}(G) の正規直交系になることは定理 3.5 よりわかる。

3.7 系. G をコンパクト位相群とすると、 χ : R_{ℝ}(G) ⟶ K(G) は単射になる。特に G の有限次元表現ρ, σに対してρとσが同値になるための必要十分条件はρ ≃ σである。係数体が複素数の場合も同様の結果が成り立つ。

証明. 命題 2.15 より R_{ℝ}(G) の加群の構造は D_{ℝ}(G) が生成する自由加群になり、系 3.6 よりχ(D_{ℝ}(G)) はベクトル空間 K(G) において線形独立になる。したがって、 χ : R_{ℝ}(G) ⟶ K(G) は単射になる。

係数体が複素数の場合も同様に証明できる。

3.8 定義. 位相群 G に対して Ch_{ℝ}(G) = χ(R_{ℝ}(G)) ⊂ K(G) とおき Ch_{ℝ}(G) を G の実指標環と呼ぶ。 G の複素指標環 Ch_{ℂ}(G) も同様に定義する。系 3.7 より G がコンパクトのときは G の実（複素）表現環と実（複素）指標環は同型になる。