微分幾何学 III （大学院） 講義ノート 1991/5/1

4 トーラスの表現環

4.1 定義. U(1) の n 個の積を T^{n}で表し T^{n}を n 次元トーラスと呼ぶ。 T^{n}はコンパクト Lie 群になる。

4.2 命題. (ρ, V) を可換位相群 G の有限次元複素既約表現とすると、 dim V = 1 となる。

証明. g, x ∈ G に対して xgx^{−1} = gとなるのでρ(x)ρ(g)ρ(x)^{−1} = ρ(g)。したがって ρ(g) ∈ Hom_{G}(V, V) となり、補題 1.6 よりHom_{G}(V, V) = ℂI_{V} だから、 V のすべての部分ベクトル空間は不変部分ベクトル空間になる。よってdim V = 1 である。

4.3 注意. G を可換位相群とすると命題 4.2 の証明より G の有限次元複素既約表現 (ρ, V) に対してρ(g) = χ_{ρ}(g)I_{V} (g ∈ G) となる。したがって、 G の 2 つの有限次元複素既約表現ρとσが同値になるための必要十分条件はχ_{ρ} = χ_{σ}である。そこで G から ℂ^{×} = ℂ − {0} への連続準同型写像の全体をHom(G, ℂ^{×}) で表すと、

D_{ℂ}(G) ⟶ Hom(G, ℂ^{×}); [ρ] ⟼ χ_{ρ}

は全単射になる。 Hom(G, ℂ^{×}) は値の積によって群構造を持ち、命題 3.2 よりχ_{ρ⊗σ} = χ_{ρ} · χ_{σ}だから、 D_{ℂ}(G) は積

[ρ] · [σ] = [ρ ⊗ σ] ([ρ], [σ] ∈ D_{ℂ}(G))

によって群構造を持つ。さらに G がコンパクトのときは命題 2.9 よりHom(G, ℂ^{×}) = Hom(G, U(1)) となる。

4.4 補題. 各 m ∈ ℤ に対して

p_{m} : U(1) ⟶ U(1); u ⟼ u^{m}

とおくと、 Hom(U(1), U(1)) = {p_{m}|m ∈ ℤ} である。特に D_{ℂ}(U(1)) = {p_{m}|m ∈ ℤ} とみなせる。

証明. p_{m} ∈ Hom(U(1), U(1)) はすぐにわかる。逆に f ∈ Hom(U(1), U(1)) とする。

p : ℝ ⟶ U(1); t ⟼ e^{2π\sqrt{−1}t}

とおくと、これは普遍被覆群になる。したがって ℝ の加法に関する連続準同型写像 f̃: ℝ ⟶ ℝ が存在し p ∘ f̃ = f ∘ p を満たす。有理数全体が ℝ 内で稠密になっていることを使うとf̃に対してある実数 a が存在してf̃(t) = at (t ∈ ℝ) となることがわかる。よって t ∈ ℝ に対して p(at) = f(p(t)) となり、 t = 1 を代入すると e^{2π\sqrt{−1}a} = 1。したがって a ∈ ℤ となり、 f(e^{2π\sqrt{−1}t}) = e^{2π\sqrt{−1}at}だから f = p_{a}。以上で

Hom(U(1), U(1)) = {p_{m}|m ∈ ℤ}

がわかった。 4.5 定理. 各 m ∈ ℤ についてϕ(p_{m}) = X^{m}となるように加群の準同型写像

ϕ : R_{ℂ}(U(1)) ⟶ ℤ[X, X^{−1}]

を定めると、 ϕは環の同型写像になる。

証明. R_{ℂ}(U(1)) の加群の構造は {p_{m}|m ∈ ℤ} が生成する自由加群で、 ℤ[X, X^{−1}] の加群の構造は {X^{m}|m ∈ ℤ} が生成する自由加群である。したがってϕは加群の同型写像である。さらに

ϕ(p_{m} ⊗ p_{n}) = ϕ(p_{m+n}) = X^{m+n} = X^{m} · X^{n} = ϕ(p_{m}) · ϕ(p_{n})

だからϕは環の同型写像になる。

4.6 定理. 各 1 ≤ k ≤ n についてπ_{k}(u_{1},…, u_{n}) = u_{k} とおいてπ_{k} ∈ Hom(T^{n}, U(1)) を定めると

Hom(T^{n}, U(1)) = {π_{1}^{m_{1}} ⋯ π_{n}^{m_{n}}|m_{k} ∈ ℤ}

である。これを D_{ℂ}(T^{n}) と同一視し、 ϕ(π_{1}^{m_{1}} ⋯ π_{n}^{m_{n}}) = X_{1}^{m_{1}} ⋯ X_{n}^{m_{n}} となるように加群の準同型写像

ϕ : R_{ℂ}(T^{n}) ⟶ ℤ[X_{1}, X_{1}^{−1},…, X_{n}, X_{n}^{−1}]

を定めると、 ϕは環の同型写像になる。

証明. π_{1}^{m_{1}} ⋯ π_{n}^{m_{n}} ∈ Hom(T^{n}, U(1)) はすぐにわかる。逆に f ∈ Hom(T^{n}, U(1)) とする。各 1 ≤ k ≤ n について

i_{k} : U(1) ⟶ T^{n}; u ⟼ (1,…, 1, u^{{k \atop ⌣}}, 1,…, 1)

とおくと、 i_{k}は連続準同型写像になる。さらに (i_{1} ∘ π_{1}) ⋯ (i_{n} ∘ π_{n}) は T^{n}の恒等写像になるので、

f = f((i_{1} ∘ π_{1}) ⋯ (i_{n} ∘ π_{n})) = (f ∘ i_{1} ∘ π_{1}) ⋯ (f ∘ i_{n} ∘ π_{n}).

ここで f ∘i_{k} ∈ Hom(U(1), U(1)) だから補題 4.4 よりある m_{k} ∈ ℤ が存在して f ∘i_{k} = p_{m_{k}}となる。したがって

f = (p_{m_{1}} ∘ π_{1}) ⋯ (p_{m_{n}} ∘ π_{n}) = π_{1}^{m_{1}} ⋯ π_{n}^{m_{n}}

次にϕは R_{ℂ}(T^{n}) の自由加群としての生成系を ℤ[X_{1}, X_{1}^{−1},…, X_{n}, X_{n}^{−1}] の自由加群としての生成系に写しているので、 ϕは加群の同型写像になる。さらにテンソル積の性質からϕは環の同型写像になることもわかる。