微分幾何学 III （大学院） 講義ノート 1991/5/29

8 極大トーラス

8.1 補題. Lie 群上の左不変 Riemann 計量はその Lie 環上の内積を定める。逆にその Lie 環上の内積は Lie 群上の左不変 Riemann 計量を定める。さらにその Riemann 計量が両側不変になるための必要十分条件はその Lie 群の随伴表現が直交表現になることである。特にコンパクト Lie 群には両側不変 Riemann 計量が存在する。

証明. G を Lie 群とし 𝔤 をその Lie 環とする。

G 上に左不変 Riemann 計量 ⟨ , ⟩ があれば、 X, Y ∈ 𝔤 に対して ⟨X, Y ⟩ が定まる。これは G 上の左不変な関数になるので、定数値関数になる。これによって 𝔤 上の内積が定まる。

逆に 𝔤 上の内積 ⟨ , ⟩ があれば、

α : 𝔤 ⟶ T_{e}(G); X ⟼ X_{e}

が等長的になるように T_{e}(G) に内積を入れることができる。さらに各 g ∈ G に対して (dL_{g})_{e} : T_{e}(G) ⟶ T_{g}(G) が等長的になるように T_{g}(G) に内積を入れると、これは G 上の左不変 Riemann 計量になる。

次に Lie 群 G 上の左不変 Riemann 計量が両側不変になるための必要十分条件を考えてみよう。各 g, x ∈ G と X ∈ 𝔤 に対して

(dR_{g})_{x}((dL_{x})_{e}X) = \frac{d}{dt} exp(tX)g|_{t=0}

= \frac{d}{dt}g exp(t Ad(g)^{−1}X)|_{t=0}

= (dL_{g})_{e}(Ad(g)^{−1}X)_{e}.

よって

(dR_{g})_{x} = (dL_{g})_{e}α Ad(g)^{−1}α^{−1}(dL_{x})_{e}^{−1}

となり G 上の左不変 Riemann 計量が両側不変になるための必要十分条件は G の随伴表現Ad : G ⟶ GL(𝔤) が直交表現になることである。

特に G をコンパクト Lie 群とすると、命題 2.9 より随伴表現Ad : G ⟶ GL(𝔤) が直交表現になるような 𝔤 の内積が存在する。したがって G 上に両側不変 Riemann 計量が存在する。

8.2 補題. G を両側不変 Riemann 計量を持つ Lie 群とし 𝔤 をその Lie 環とする。このとき

⟨[X, Y], Z⟩ + ⟨Y, [X, Z]⟩ = 0 (X, Y, Z ∈ 𝔤)

が成り立つ。共変微分を ∇ で表すと

∇_{X}Y = \frac{1}{2}[X, Y] (X, Y ∈ 𝔤)

が成り立つ。また G の 1 径数部分群の全体と単位元からでる測地線の全体は一致する。

証明. G の両側不変 Riemann 計量を ⟨ , ⟩ で表す。補題 8.1 より G の随伴表現は直交表現だから X, Y, Z ∈ 𝔤 に対して

0 = \frac{d}{dt}⟨Ad(exp tX)Y, Ad(exp tX)Z⟩|_{t=0}

= ⟨[X, Y], Z⟩ + ⟨Y, [X, Z]⟩.

⟨X, Y ⟩ は G 上の定数関数になるので、

0 = X⟨Y, Z⟩ = ⟨∇_{X}Y, Z⟩ + ⟨Y, ∇_{X}Z⟩.

同様にして

0 = Y ⟨Z, X⟩ = ⟨∇_{Y} Z, X⟩ + ⟨Z, ∇_{Y} X⟩
0 = Z⟨X, Y ⟩ = ⟨∇_{Z}X, Y ⟩ + ⟨X, ∇_{Z}Y ⟩.

ここで ∇_{Y} X = [Y, X] + ∇_{X}Y を使うと

2⟨∇_{X}Y, Z⟩ + ⟨Z, [Y, X]⟩ + ⟨∇_{X}Z − ∇_{Z}X, Y ⟩ + ⟨∇_{Y} Z − ∇_{Z}Y, X⟩ = 0.

したがって、

⟨∇_{X}Y, Z⟩ = \frac{1}{2}(⟨[X, Y], Z⟩ + ⟨[Z, X], Y ⟩ − ⟨[Y, Z], X⟩).

すでに導いた等式を使うと

⟨∇_{X}Y, Z⟩ = \frac{1}{2}⟨[X, Y], Z⟩

となり

∇_{X}Y = \frac{1}{2}[X, Y] (X, Y ∈ 𝔤)

が成り立つ。

X ∈ 𝔤 をとり p(t) = exp(tX) とおく。 p(t) は Xの e を通る積分曲線だからṗ(t) = \frac{dp}{dt} とおくと

∇_{ṗ(t)}ṗ(t) = \frac{1}{2}[X, X]_{p(t)} = 0

となり、 p(t) は測地線になる。

逆にγ(0) = e と\frac{dγ}{dt} (0) = X_{e}を満たす測地線γ(t) をとると、測地線の初期値に関する一意性からγ(t) = p(t) となりγ(t) は 1 径数部分群になる。

8.3 定理 (Hopf-Rinow). Mを完備で連結な Riemann 多様体とする。このとき M の任意の 2 点は測地線で結ばれる。

証明. 参考文献の [C-E] 第 1 章 3. The Hopf-Rinow theorem を参照のこと

8.4 定理. コンパクト連結 Lie 群の任意の元に対してその元を通る 1 径数部分群が存在する。

証明. G をコンパクト連結 Lie 群とする。補題 8.1 より G 上には両側不変 Riemann 計量が存在する。 G はコンパクトだから完備になり、 Hopf-Rinow の定理 (定理 8.3) より G の任意の元と単位元を結ぶ測地線が存在する。補題 8.2 よりこの測地線は G の 1 径数部分群になる。 8.5 補題. G を n 次元コンパクト連結可換 Lie 群とすると G は n 次元トーラスと同型になる。

証明. G の Lie 環を 𝔤 とすると G の指数写像exp : 𝔤 ⟶ G は

exp(X + Y) = exp X exp Y (X, Y ∈ 𝔤)

を満たすので、 Lie 群の準同型写像になる。 exp は 0 ∈ 𝔤 の近傍で微分同型写像になるので、 Ker(exp) は 𝔤 の離散部分群になる。したがって、ある線形独立になる 𝔤 の元 X_{1},…, X_{k}が存在し

Ker(exp) = ∑_{i=1}^{k} ℤX_{i}

となる。 G ≅ 𝔤/ Ker(exp) で G はコンパクトだから k = n。さらに

φ : 𝔤/ Ker(exp) ⟶ T^{n}; [∑_{i=1}^{n} x_{i}X_{i}] ⟼ (e^{2π\sqrt{−1}x_{1}},…, e^{2π\sqrt{−1}x_{n}})

は Lie 群の同型写像になる。

8.6 補題. n 次元トーラス T^{n}にはある元 gが存在し {g^{i}|i ∈ ℕ} は T^{n}内で稠密になる。また、このような性質を持つ元の全体は T^{n}内で稠密になる。

証明. T^{n}の可算開基 \{U_{i}\}_{i∈ℕ}を 1 つとる。 ξ = (e^{2π\sqrt{−1}ξ_{1}},…, e^{2π\sqrt{−1}ξ_{n}}) ∈ T^{n}とε > 0 に対して

C(ξ; ε) = \{(e^{2π\sqrt{−1}x_{1}},…, e^{2π\sqrt{−1}x_{n}}) ∈ T^{n}| |x_{i} − ξ_{i}| ≤ ε\}

とおくと、 C(ξ; ε) はξのコンパクト近傍になる。 C(ξ; ε) を任意に 1 つとり、 C_{0} = C(ξ; ε) とおく。以下で {C_{i}}_{i∈ℕ}を帰納的に定める。 C_{i} = C(ξ_{i}; ε_{i}) とする。 2ε_{i}N > 1 となる自然数 Nをとると、写像

C_{i} ⟶ T^{n}; x ⟼ x^{N}

は連続な全射になる。そこで C(ξ_{i+1}; ε_{i+1}) ⊂ C_{i}を

x ∈ C(ξ_{i+1}; ε_{i+1}) ⟹ x^{N} ∈ U_{i+1}

を満たすようにとることができる。 C_{i+1} = C(ξ_{i+1}; ε_{i+1}) とおく。各 C_{i}はコンパクトで C_{i+1} ⊂ C_{i}だから∩_{i}C_{i} ≠ ∅。そこで g ∈ ∩_{i}C_{i}をとると各自然数 i について g ∈ C_{i} だからある自然数 Nが存在して g^{N} ∈ U_{i}となる。したがって {g^{i}|i ∈ ℕ} は T^{n}内で稠密になる。さらに最初の C_{0}のとりかたは任意で g ∈ C_{0}だから、このような gの全体は T^{n}内で稠密になる。

8.7 補題. G を可換位相群とする。 G が位相部分群として n 次元トーラス T^{n}を含み G/T^{n} ≅ ℤ_{m}となると仮定すると、 G にはある元 gが存在し {g^{i}|i ∈ ℕ} は G 内で稠密になる。

証明. 補題 8.6 より t ∈ T^{n}を {t^{i}|i ∈ ℕ} が T^{n}内で稠密になるようにとることができる。次に G/T^{n} ≅ ℤ_{m}だから u ∈ G を

{u^{k}T^{n}|0 ≤ k ≤ m − 1} = G/T^{n}

が成り立つようにとることができる。このとき u^{m} ∈ T^{n}となり t(u^{m})^{−1} ∈ T^{n}が成り立つ。そこで s^{m} = t(u^{m})^{−1}となる s ∈ T^{n}をとる。 g = su とおくと g^{m} = s^{m}u^{m} = t となるので {g^{mi}|i ∈ ℕ} は T^{n}内で稠密になる。また各 0 ≤ k ≤ m − 1 について g^{mi+k} = t^{i}g^{k} = t^{i}s^{k}u^{k}だから {g^{mi+k}|i ∈ ℕ} は u^{k}T^{n}内で稠密になる。したがって {g^{i}|i ∈ ℕ} は G 内で稠密になる。 8.8 定理. G をコンパクト連結 Lie 群とし T をトーラスと同型な G の閉 Lie 部分群とする。

Z(T) = {g ∈ G|gtg^{−1} = t (t ∈ T)}

とおくと、任意の z ∈ Z(T) に対して z ∈ T′と T ⊂ T′を満たすトーラスと同型な G の閉 Lie 部分群 T′が存在する。特に

Z(T) = ∪{T′|T′ : トーラスと同型な G の閉 Lie 部分群, T ⊂ T′}

となり、 Z(T) は連結になる。

証明. まず Z(T) は G の閉 Lie 部分群になることに注意しておく。 z ∈ Z(T) を任意に 1 つとる。 T と zの生成する G の部分群の閉包を A で表すと、 A はコンパクト可換 Lie 部分群になる。さらに A の単位連結成分を A_{0}とすると、 A = ∪_{i}z^{i}A_{0}となる。 A_{0} はコンパクト連結可換 Lie 群になるので、補題 8.5 よりトーラスに同型になる。 A はコンパクトだからある自然数 i が存在し z^{i} ∈ A_{0}となる。そこでそのような自然数の内で最小のものを m とおくと A/A_{0} ≅ ℤ_{m}となる。したがって補題 8.7 よりある元 g が存在し {g^{i}|i ∈ ℕ} は G 内で稠密になる。定理 8.4 より gを通る 1 径数部分群γをとることができる。 γの像の閉包を T′とすると、 T′はコンパクト連結可換 Lie 部分群になるので補題 8.5 よりトーラスと同型になる。さらに A ⊂ T′を満たすので、 z ∈ T′ と T ⊂ T′が成り立つ。したがって T′ ⊂ Z(T) となり

Z(T) = ∪{T′|T′ : トーラスと同型な G の閉 Lie 部分群, T ⊂ T′}

が成り立つ。これより Z(T) が連結になることもわかる。

8.9 定義. G をコンパクト連結 Lie 群とする。トーラスと同型な G の閉 Lie 部分群 T が包含関係に関して極大になっているとき T を G の極大トーラスと呼ぶ。

8.10 定理. G をコンパクト連結 Lie 群とし G の極大トーラス T を 1 つとる。

N(T) = {g ∈ G|gT g^{−1} = T }
Z(T) = {g ∈ G|gtg^{−1} = t (t ∈ T)}

とおくと、 Z(T) = T となりこれは N(T) の単位連結成分になる。特に N(T)/Z(T) は有限群になる。

証明. 定理 8.8 より

Z(T) = ∪{T′|T′ : トーラスと同型な G の閉 Lie 部分群, T ⊂ T′}

となり、 T は極大トーラスだから Z(T) = T となる。

N(T) は G の閉 Lie 部分群になる。 N(T) の単位連結成分を N_{0}(T) で表すと N_{0}(T) も G の閉 Lie 部分群になる。 T の Lie 環を 𝔱 で表すとAut(T) は自然に GL(𝔱) の離散部分群とみなすことができ、

N(T) ⟶ Aut(T); n ⟼ (t ⟼ ntn^{−1})

は連続準同型写像になる。したがって N_{0}(T) は単位元に写る。つまり N_{0}(T) ⊂ Z(T) が成り立つ。 T ⊂ N_{0}(T) ⊂ Z(T) だから T = N_{0}(T) = Z(T) となる。 N(T) はコンパクトだから連結成分の個数は有限個になり、 N(T)/Z(T) は有限群になる。 8.11 定義. G をコンパクト連結 Lie 群とし G の極大トーラス T を 1 つとる。このとき有限群 N(T)/Z(T) を G の Weyl 群と呼び、 W (G) で表す。

8.12 注意. 定義 8.11 において Weyl 群の定義は極大トーラスのとりかたに依存しているが、あとで極大トーラスはすべて共役になることがわかるので、実は Weyl 群は極大トーラスのとりかたによらない。

8.13 例. U(n) の部分群 T を

T = \{[ \begin{matrix}z_{1} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & ... & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & z_{n} \end{matrix} ] | z_{j} ∈ U(1) (1 ≤ j ≤ n)\}

で定めると、 T は U(n) の極大トーラスになる。