微分幾何学 III （大学院） 講義ノート 1991/6/5

9 極大トーラスの共役性

9.1 定義. M, M′をともに n 次元多様体とし、 f : M ⟶ M′を C^{∞}級写像とする。 rank(df_{x}) = n となる Mの点 x を fの正則点と呼び、 rank(df_{x}) < n となる Mの点 x を fの臨界点と呼ぶ。 fの臨界点の fによる像を fの臨界値と呼び、 fの臨界値でない M′の点を fの正則値と呼ぶ。

9.2 補題. M, M′をともに向きのついた n 次元コンパクト連結多様体とし、 f : M ⟶ M′を C^{∞}級写像とする。 fの正則点 x ∈ Mに対して

sign(df_{x}) = \{ \begin{matrix}1 & df_{x}が向きを保つ線形同型写像 \\ −1 & df_{x}が向きを逆にする線形同型写像 \end{matrix}

としてsign(df_{x}) を定める。このとき、 fの正則値 y ∈ M′に対して f^{−1}(y) は Mの有限部分集合になり、

∑_{x∈f^{−1}(y)} sign(df_{x})

は yに依存しない定数になる。

証明. 参考文献の [松] 第 V 章§ 6 写像度または [M] § 5 Oriented manifolds を参照のこと

9.3 定義. M, M′をともに向きのついた n 次元コンパクト連結多様体とし、 f : M ⟶ M′を C^{∞}級写像とする。このとき、 fの正則値 y ∈ M′をとり

deg(f) = ∑_{x∈f^{−1}(y)} sign(df_{x})

とおき、 deg(f) を fの写像度と呼ぶ。

9.4 定理. G をコンパクト連結 Lie 群とし G の極大トーラス T を 1 つとる。このとき、 G, T, G/T に向きを定めることができ、写像

q : (G/T) × T ⟶ G; (gT, t) ⟼ gtg^{−1}

の写像度は G の Weyl 群 W (G) の位数に等しい。特に qは全射になる。

証明. 𝔤 と 𝔱 をそれぞれ G と T の Lie 環とする。 G はコンパクトだから補題 8.1 より G の随伴表現Ad : G ⟶ GL(𝔤) が直交表現になるような 𝔤 の内積 ⟨ , ⟩ が存在する。 G の随伴表現を T に制限すると、 𝔱 は T の作用に関して不変な部分空間になる。 𝔱 の直交補空間を 𝔪 で表すと 𝔪 もまた T の作用に関して不変な部分空間になる。さらに線形同型写像

α : 𝔤 ⟶ T_{e}(G); X ⟼ X_{e}

によって 𝔤 と T_{e}(G) を同一視すると、写像

π : G ⟶ G/T; g ⟼ gT

の単位元 e における微分写像 dπ_{e} : 𝔤 ⟶ T_{π(e)}(G/T) の核は 𝔱 に一致し、

dπ_{e}|_{𝔪} : 𝔪 ⟶ T_{π(e)}(G/T)

は線形同型写像になる。 X_{1},…, X_{n−k}が 𝔪 の基底になり X_{n−k+1},…, X_{n}が 𝔱 の基底になるように 𝔤 の基底 X_{1},…, X_{n}をとる。 X_{1},…, X_{n}は G 上で定義されたベクトル場で、各点の接ベクトル空間で基底になるので、 G に向きを与える。同様に X_{n−k+1},…, X_{n}の T への制限は T に向きを与える。また X_{1},…, X_{n−k}は dπ_{e}|_{𝔪} を通して T_{π(e)}(G/T) に向きを与え、 T は連結だから T の T_{π(e)}(G/T) への作用

t(v) = (dt)_{π(e)}(v) (t ∈ T, v ∈ T_{π(e)}(G/T))

は T_{π(e)}(G/T) の向きを変えない。したがって、この向きを G/T 全体に拡張することができる。よって G/T にも向きがつく。

次に g, g_{1} ∈ G, t_{1} ∈ T が g_{1} = gt_{1}を満たすと g_{1}tg_{1}^{−1} = gt_{1}tt_{1}^{−1}g^{−1} = gtg^{−1}だから写像

q : (G/T) × T ⟶ G; (gT, t) ⟼ gtg^{−1}

を定義することができる。また写像

G × T ⟶ G; (g, t) ⟼ gtg^{−1}

は C^{∞}級写像だから qも C^{∞}級写像になる。写像 qの写像度を求めるためにまず qの微分写像を求めておこう。 g ∈ G に対して

τ(g) : G/T ⟶ G/T; xT ⟼ gxT

とおくと、 τ(g) は G/T の向きを保つ微分同型写像になる。 g ∈ G, t ∈ T と X ∈ 𝔪, Y ∈ 𝔱 に対して

dq_{(gT,t)}((dτ(g))_{π(e)}X, (dL_{t})_{e}Y)
= \frac{d}{ds}q((g exp sX)T, t exp sY)|_{s=0}
= \frac{d}{ds}g exp sXt exp sY (g exp sX)^{−1}|_{s=0}
= \frac{d}{ds}gtg^{−1}gt^{−1} exp sXt exp sY exp(−sX)g^{−1}|_{s=0}
=(dLgtg^{−1})_{e} Ad(g) \frac{d}{ds} exp s Ad(t^{−1})X exp sY exp(−sX)|_{s=0}
=(dL_{q(gT,t)})_{e} Ad(g)((Ad(t^{−1}) − I_{𝔪} )X + Y).

したがって、

dq_{(gT,t)}((dτ(g))_{π(e)} × (dL_{t})_{e}) = (dL_{q(gT,t)})_{e} Ad(g)((Ad(t^{−1})|_{𝔪} − I_{𝔪} ) + I_{𝔱} ).

これより、 (gT, t) が qの正則点になるための必要十分条件はAd(t^{−1})|_{𝔪} − I_{𝔪} が 𝔪 の線形同型写像になることである。

補題 8.6 より {t_{1}^{i}|i ∈ ℕ} が T 内で稠密になるような t_{1} ∈ T が存在する。この t_{1}を使って qの写像度を求めよう。 t_{0} ∈ T を t_{0}^{2} = t_{1}^{−1}となるようにとると、 {t_{0}^{i}|i ∈ ℕ} も T 内で稠密になる。 (gT, t) ∈ q^{−1}(t_{1}) とすると、 gtg^{−1} = t_{1}となるので g^{−1}t_{1}g = t ∈ T 。したがって、各 i ∈ ℕ について g^{−1}t_{1}^{i}g = t^{i} ∈ T となり g^{−1}T g ⊂ T 。 g^{−1}T gも G の極大トーラスになるので g^{−1}T g = T 。これより g ∈ N(T) となり、

q^{−1}(t_{1}) = {(gT, g^{−1}t_{1}g)|g ∈ N(T)}.

よって q^{−1}(t_{1}) の元の個数は G の Weyl 群の位数に等しい。そこで各 (gT, g^{−1}t_{1}g) ∈ q^{−1}(t_{1}) においてsign(dq) = 1 となることを示そう。 X ∈ 𝔪 が (Ad(g^{−1}t_{1}^{−1}g)|_{𝔪} − I_{𝔪} )(X) = 0 を満たすとする。 t_{1}の性質より任意の t ∈ T に対してAd(t)X = Xとなり、 Xは T の中心化部分群の Lie 環の元になる。したがって定理 8.10 より X ∈ 𝔱 となり、 𝔱∩𝔪 = {0} だから X = 0 となる。よってAd(g^{−1}t_{1}^{−1}g)|_{𝔪} −I_{𝔪} は 𝔪 の線形同型写像になる。 Ad(g^{−1}t_{0}g)|_{𝔪} は 𝔪 の等長変換だからAd(g^{−1}t_{0}^{2}g)|_{𝔪} = Ad(g^{−1}t_{1}^{−1}g)|_{𝔪} は行列式 1 の等長変換になる。したがってAd(g^{−1}t_{1}^{−1}g)|_{𝔪} の表現行列が

cos θ_{1} − sin θ_{1}
sin θ_{1} cos θ_{1}
...
cos θ_{k} − sin θ_{k}
sin θ_{k} cos θ_{k}

となるように 𝔪 の基底をとることができる。

det [ \begin{matrix}cos θ_{j} − 1 & − sin θ_{j} \\ sin θ_{j} & cos θ_{j} − 1 \end{matrix} ] = 2(1 − cos θ_{j}) > 0

となり、 Ad(g^{−1}t_{1}^{−1}g)|_{𝔪} −I_{𝔪} の行列式は正になる。したがってsign(dq)_{(gT,g^{−1}t_{1}g)} = 1 となり、

deg(q) = |W (G)|

が成り立つ。特に qは全射になる。

9.5 定理. G をコンパクト連結 Lie 群とし、 T と T′を G の極大トーラスとする。このとき、 T と T′は共役になる。

証明. 補題 8.6 より {t′^{i}|i ∈ ℕ} が T′内で稠密になるような t′ ∈ T をとることができる。定理 9.4 より g ∈ G と t ∈ T で

t′ = q(gT, t) = gtg^{−1}

を満たすものが存在する。よって、 g^{−1}t′g = t ∈ T となり g^{−1}T′g ⊂ T 。 g^{−1}T′gも G の極大トーラスになるので g^{−1}T′g = T 。したがって T と T′は共役になる。

9.6 定義. 定理 9.5 よりコンパクト連結 Lie 群 G の極大トーラスの次元は一定である。 G の極大トーラスの次元を G の階数と呼び、 rank(G) で表す。 9.7 系. G をコンパクト連結 Lie 群とし T を G の極大トーラスとする。 G と T の Lie 環をそれぞれ 𝔤 と 𝔱 で表す。このとき

G = ⋃_{g∈G} gT g^{−1}, 𝔤 = ⋃_{g∈G} Ad(g)𝔱

が成り立つ。

証明. 定理 9.5 の写像 qが全射になることから、

G = ⋃_{g∈G} gT g^{−1}

が成り立つことはすぐにわかる。任意に X ∈ 𝔤 を 1 つとる。 {exp(tX)|t ∈ ℝ} の閉包を Sとおくと、 Sはトーラスと同型な G の閉 Lie 部分群になる。 Sを含む G の極大トーラス T′をとると、定理 9.5 よりある g ∈ G が存在し T′ = gT g^{−1}となる。したがって X ∈ Ad(g)𝔱 となって

𝔤 = ⋃_{g∈G} Ad(g)𝔱

が成り立つ。

9.8 系. G をコンパクト連結 Lie 群とし、 T と T′を G の極大トーラスとする。このとき、 T から定まる G の Weyl 群と T′から定まる G の Weyl 群は同型になる。

証明. 定理 9.5 より g ∈ G が存在し T′ = gT g^{−1}となる。したがって N(T′) = gN(T)g^{−1}となり N(T)/T ≅ (gN(T)g^{−1})/(gT g^{−1}) = N(T′)/T′が成り立つ。よって T から定まる G の Weyl 群と T′から定まる G の Weyl 群は同型になる。

9.9 系. G をコンパクト連結 Lie 群とし Zを G の中心とする。このとき

Z = ∩{T |T : G の極大トーラス }

が成り立つ。

証明. z ∈ Zとすると G の任意の極大トーラス T に対して定理 8.8 より zと T をともに含むトーラス T′が存在するので、 T = T′となり z ∈ T がわかる。

逆に z ∈ ∩{T |T : G の極大トーラス } とする。任意の g ∈ G に対して系 9.7 より gを含む G の極大トーラス T が存在する。したがって zと gは可換になり、 zは G の中心に含まれる。

9.10 定義. G をコンパクト連結 Lie 群とし T を G の極大トーラスとする。定理 8.10 とその証明中に示したことより G の Weyl 群 W (G) は T の自己同型群Aut(T) の部分群とみなせる。 W (G) の T への作用は W (G) の Ch_{ℂ}(T) への作用を誘導する。 W (G) の作用で不変な Ch_{ℂ}(T) の元の全体を Ch_{ℂ}(T)^{W (G)}で表す。また

R_{ℂ}(T)^{W (G)} = χ^{−1}(Ch_{ℂ}(T)^{W (G)})

と表す。 9.11 系. G をコンパクト連結 Lie 群とし T を G の極大トーラスとする。包含写像 ι : T ⟶ G が誘導する表現環の間の準同型写像（定義 2.18） ι^{∗}R_{ℂ}(G) ⟶ R_{ℂ}(T)^{W (G)} は単射になる。

証明. 図式

R_{ℂ}(G) ⟶^{ι^{∗}} R_{ℂ}(T)
χ↓  ↓^{χ}
Ch_{ℂ}(G) ⟶^{ι^{∗}} Ch_{ℂ}(T)

は可換になり、系 3.7 よりχは同型写像になる。したがってι^{∗} : Ch_{ℂ}(G) ⟶ Ch_{ℂ}(T) が単射になることを示せばよい。 f ∈ Ch_{ℂ}(G) がι^{∗}f = 0 を満たすとする。任意の x ∈ G に対して定理 9.7 よりある g ∈ G が存在し gxg^{−1} ∈ T となる。よって f(x) = f(gxg^{−1}) = 0 となり f = 0。これよりι^{∗} : Ch_{ℂ}(G) ⟶ Ch_{ℂ}(T) は単射になる。さらにι^{∗}の像は G 上の類関数の T への制限だから、 W (G) の作用で不変になり ι^{∗}(Ch_{ℂ}(G)) ⊂ Ch_{ℂ}(T)^{W (G)}が成り立つ。

9.12 補題. 連結で完備な Riemann 多様体の基本群の元の代表元として測地線をとることができる。

証明. Mを連結で完備な Riemann 多様体とし、 p : M̃ ⟶ Mを普遍被覆写像とする。 p は局所微分同型だから p が局所等長写像になるようにM̃に Riemann 計量を入れることができる。このときM̃も連結で完備な Riemann 多様体になる。 x ∈ Mを固定して基本群π_{1}(M, x) の元 [c] を 1 つとる。ここで c : [0, 1] ⟶ Mは c(0) = c(1) = x を満たす Mの閉曲線である。 x̃ ∈ p^{−1}(x) をとり c のx̃を通る持ち上げc̃をとる。定理 8.3 よりx̃とc̃(1) を結ぶ測地線γが存在する。 M̃は単連結だから p ∘ c̃ = c と p ∘ γは同じホモトピー類を定める。さらに p ∘ γは Mの測地線になるので、 [c] の代表元として測地線 p ∘ γをとることができる。

9.13 系. G をコンパクト連結 Lie 群とし T を G の極大トーラスとする。包含写像 ι : T ⟶ G が誘導する基本群の間の準同型写像ι_{∗} : π_{1}(T) ⟶ π_{1}(G) は全射になる。

証明. 補題 8.1 より G に両側不変 Riemann 計量を入れることができる。このとき補題 8.2 より G の 1 径数部分群の全体と単位元からでる測地線の全体は一致する。補題 9.12 と合わせるとπ_{1}(G, e) の元の代表元として G の 1 径数部分群をとることができる。さらに系 9.7 よりそれは T の 1 径数部分群と共役になる。 G は連結だからこれらは同じホモトピー類を定める。つまりπ_{1}(G, e) の元の代表元として T の 1 径数部分群をとることができる。したがってι_{∗} : π_{1}(T) ⟶ π_{1}(G) は全射になる。