微分幾何学 III （大学院） 講義ノート 1991/6/12

10 ルート空間分解

10.1 定理. G をコンパクト連結 Lie 群とし G の極大トーラス T を 1 つとる。 𝔤 と 𝔱 をそれぞれ G と T の Lie 環とする。

𝔤_{α} = \{X ∈ 𝔤^{ℂ}| [H, X] = \sqrt{−1}α(H)X (H ∈ 𝔱)\} (α ∈ 𝔱^{∗})
Δ(G) = {α ∈ 𝔱^{∗} − {0}|𝔤_{α} ≠ {0}}

とおくと

𝔤^{ℂ} = 𝔱^{ℂ} + ∑_{α∈Δ(G)} 𝔤_{α}

が成り立ち、右辺の和は直和になる。

証明. G の随伴表現Ad : G ⟶ GL(𝔤) を T に制限し複素化した表現Ad : T ⟶ GL(𝔤^{ℂ}) を定理 2.10 により既約分解し

𝔤^{ℂ} = ⊕_{i=1}^{n}V_{i}

とする。命題 4.2 より各 V_{i}は 1 次元になる。 T ≅ T^{k}とし T と T^{k}を同一視すると定理 4.6 より各 V_{i}について m_{1},…, m_{k} ∈ ℤ が存在し

Ad(t_{1},…, t_{k})|_{V_{i}} = t^{m_{1}} ⋯ t^{m_{k}} (t = (t_{1},…, t_{k}) ∈ T)

となる。 T の指数写像は

exp : 𝔱 = ℝ^{k} ⟶ T = T^{k}
; (x_{1},…, x_{k}) ⟼ (e^{\sqrt{−1}x_{1}},…, e^{\sqrt{−1}x_{k}})

だから

α_{i}(x_{1},…, x_{k}) = m_{1}x_{1} + ⋯ + m_{k}x_{k} ((x_{1},…, x_{k}) ∈ 𝔱)

とおくと、 α_{i} ∈ 𝔱^{∗}で

(ad(H))(X) = \sqrt{−1}α_{i}(H)X (X ∈ V_{i})

が成り立つ。これより V_{i} ⊂ 𝔤_{α_{i}}となりα_{i} ∈ Δ(G)。定理 8.10 より T の中心化部分群は T 自身だから 𝔤_{0} = 𝔱^{ℂ}となり、

𝔤^{ℂ} = 𝔱^{ℂ} + ∑_{α∈Δ(G)} 𝔤_{α}

が成り立つ。よってΔ(G) = {α_{i}|α_{i} ≠ 0}。特にΔ(G) は 𝔱^{∗}の有限部分集合になる。したがって H_{0} ∈ 𝔱 をすべてのα(H_{0}) (α ∈ Δ(G)) が異なるようにとることができる。すると上の和はad(H_{0}) の固有空間分解になり、直和になる。 10.2 定義. 定理 10.1 において 𝔤_{α} ≠ {0} となるα ∈ 𝔱^{∗}を 𝔤^{ℂ}の 𝔱 に関するルートと呼び、 𝔤_{α}をαのルート空間と呼ぶ。また、直和分解

𝔤^{ℂ} = 𝔱^{ℂ} + ∑_{α∈Δ(G)} 𝔤_{α}

を 𝔤^{ℂ}の 𝔱 に関するルート空間分解と呼ぶ。

10.3 定理. 定理 10.1 と同じ設定条件のもとでα, β ∈ 𝔱^{∗}に対して

[𝔤_{α}, 𝔤_{β}] ⊂ 𝔤_{α+β}.

G に両側不変 Riemann 計量 ⟨ , ⟩ をいれ、それから定まる 𝔤 上の内積を 𝔤^{ℂ}上の複素双線形形式 ⟨ , ⟩ に拡張する。 α + β ≠ 0 となるα, β ∈ 𝔱^{∗}に対して

⟨𝔤_{α}, 𝔤_{β}⟩ = 0.

𝔤^{ℂ}の 𝔤 に関する複素共役写像を¯で表すとα ∈ Δ(G) に対して−α ∈ Δ(G) で\overline{𝔤_{α}} = 𝔤_{−α} が成り立つ。各α ∈ Δ(G) について H_{α} ∈ 𝔱 を

⟨H, H_{α}⟩ = α(H) (H ∈ 𝔱)

を満たすようにとると

[𝔤_{α}, 𝔤_{−α}] = ℂH_{α} (α ∈ Δ(G))

が成り立つ。さらに

dim 𝔤_{α} = 1 (α ∈ Δ(G))

となる。

証明. α, β ∈ 𝔱^{∗}に対して X_{α} ∈ 𝔤_{α}, X_{β} ∈ 𝔤_{β}をとると、任意の H ∈ 𝔱 について

ad(H)([X_{α}, X_{β}]) = [(ad(H))(X_{α}), X_{β}] + [X_{α}, (ad(H))(X_{β})]
= \sqrt{−1}α(H)[X_{α}, X_{β}] + \sqrt{−1}β(H)[X_{α}, X_{β}]
= \sqrt{−1}(α + β)(H)[X_{α}, X_{β}].

したがって [X_{α}, X_{β}] ∈ 𝔤_{α+β}となり

[𝔤_{α}, 𝔤_{β}] ⊂ 𝔤_{α+β}.

が成り立つ。

α + β ≠ 0 となるα, β ∈ 𝔱^{∗}をとる。すると (α + β)(H) ≠ 0 となる H ∈ 𝔱 が存在する。 X_{α} ∈ 𝔤_{α}, X_{β} ∈ 𝔤_{β}に対して補題 8.2 より

⟨[H, X_{α}], X_{β}⟩ + ⟨X_{α}, [H, X_{β}]⟩ = 0

となり

\sqrt{−1}(α + β)(H)⟨X_{α}, X_{β}⟩ = 0.

したがって ⟨X_{α}, X_{β}⟩ = 0 で

⟨𝔤_{α}, 𝔤_{β}⟩ = 0

がわかる。各α ∈ Δ(G) に対して X_{α} ∈ 𝔤_{α}をとる。

(ad(H))(X_{α}) = \sqrt{−1}α(H)X_{α} (H ∈ 𝔱)

となるので、両辺の共役をとると

(ad(H))(\overline{X}_{α}) = −\sqrt{−1}α(H)\overline{X}_{α} (H ∈ 𝔱).

したがって\overline{X}_{α} ∈ 𝔤_{−α}となり、 −α ∈ Δ(G) で\overline{𝔤}_{α} = 𝔤_{−α}が成り立つ。

各α ∈ Δ(G) について [𝔤_{α}, 𝔤_{−α}] ⊂ 𝔤_{0} = 𝔱^{ℂ} はすでにわかっている。 X_{α} ∈ 𝔤_{α}, X_{−α} ∈ 𝔤_{−α}, H ∈ 𝔱 に対して

⟨[X_{α}, X_{−α}], H⟩ = ⟨X_{α}, [X_{−α}, H]⟩
= ⟨X_{α}, \sqrt{−1}α(H)X_{−α}⟩
= ⟨X_{α}, X_{−α}⟩\sqrt{−1}α(H)
= \sqrt{−1}⟨X_{α}, X_{−α}⟩⟨H_{α}, H⟩
= ⟨\sqrt{−1}⟨X_{α}, X_{−α}⟩H_{α}, H⟩

となるので

[X_{α}, X_{−α}] = \sqrt{−1}⟨X_{α}, X_{−α}⟩H_{α}

が成り立つ。よって

[𝔤_{α}, 𝔤_{−α}] ⊂ ℂH_{α} (α ∈ Δ(G))

が成り立つ。 X_{α}(≠ 0) ∈ 𝔤_{α}に対してα + β ≠ 0 ならば ⟨X_{α}, 𝔤_{β}⟩ = 0 だから ⟨ , ⟩ が非退化であることとルート空間分解よりある X_{−α} ∈ 𝔤_{−α}が存在し ⟨X_{α}, X_{−α}⟩ ≠ 0 となる。したがって

[𝔤_{α}, 𝔤_{−α}] = ℂH_{α}

となることがわかる。

上の考察より各α ∈ Δ(G) について E_{α} ∈ 𝔤_{α}と E_{−α} ∈ 𝔤_{−α}を ⟨E_{α}, E_{−α}⟩ = 1 となるようにとることができる。このとき

[E_{α}, E_{−α}] = \sqrt{−1}⟨E_{α}, E_{−α}⟩H_{α} = \sqrt{−1}H_{α}

となる。 dim 𝔤_{α} = 1 を示すためにdim 𝔤_{α} ≥ 2 と仮定して矛盾を導こう。

𝔤_{α} ⟶ ℂ; X ⟼ ⟨X, E_{−α}⟩

は複素線形写像でdim 𝔤_{α} ≥ 2 だから ⟨D_{α}, E_{−α}⟩ = 0 となる 0 でない D_{α} ∈ 𝔤_{α}が存在する。 0 以上の整数 n に対して

D_{n} = (ad(E_{α}))^{n}(D_{α})

として D_{n}を定めると D_{n} ∈ 𝔤_{(n+1)α}となる。 D_{n}が

(∗)  [E_{−α}, D_{n}] = −\sqrt{−1}\frac{n(n + 1)}{2}α(H_{α})D_{n−1}  (n ≥ 1)

を満たすことを n に関する帰納法で証明しよう。まず n = 1 の場合は

[E_{−α}, D_{1}]
=[E_{−α}, [E_{α}, D_{α}]]
=[[E_{−α}, E_{α}], D_{α}] + [E_{α}, [E_{−α}, D_{α}]]
=[−\sqrt{−1}H_{α}, D_{α}] + [E_{α}, −\sqrt{−1}⟨D_{α}, E_{−α}⟩H_{α}]
= − \sqrt{−1}α(H_{α})D_{α}.

次に (∗) が n の場合に成り立つと仮定して n + 1 の場合にも (∗) が成り立つことを示そう。

[E_{−α}, D_{n+1}]
=[E_{−α}, [E_{α}, D_{n}]]
=[[E_{−α}, E_{α}], D_{n}] + [E_{α}, [E_{−α}, D_{n}]]
=[−\sqrt{−1}H_{α}, D_{n}] + [E_{α}, −\sqrt{−1}\frac{n(n + 1)}{2}α(H_{α})D_{n−1}]
= − \sqrt{−1}(n + 1)α(H_{α})D_{n} − \sqrt{−1}\frac{n(n + 1)}{2}α(H_{α})D_{n}
= − \sqrt{−1}\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}α(H_{α})D_{n}.

したがってすべての n ≥ 1 について (∗) は成立する。 D_{0} = D_{α}は 0 ではなくα(H_{α}) = ⟨H_{α}, H_{α}⟩ も 0 ではないので D_{1}も 0 ではない。同様にして各自然数 n について D_{n}は 0 ではない。ところが D_{n} ∈ 𝔤_{(n+1)α}だから、これは 𝔤 が有限次元であることに矛盾する。したがってdim 𝔤 = 1 が成り立つ。

10.4 例. ユニタリ群 U(n) の Lie 環を 𝔲 (n) とすると

𝔲 (n) = \{X + \sqrt{−1}Y |X, Y ∈ 𝔤𝔩 (n, ℝ), X : 交代, Y : 対称 \}

となるので 𝔲 (n)^{ℂ}は 𝔤𝔩 (n, ℂ) に一致する。例 8.13 にあるように U(n) の極大トーラス T を定め T の Lie 環を 𝔱 とおくと、

𝔱 = \{[ \begin{matrix}\sqrt{−1}x_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & \sqrt{−1}x_{n} \end{matrix} ]| x_{1},… x_{n} ∈ ℝ\} .

1 から n までの互いにことなる i, jに対して (i, j) 成分のみが 1 で他の成分はすべて 0 であるような n 次正方行列を E_{i,j}で表す。すると x_{1},… x_{n} ∈ ℝ に対して

[[ \begin{matrix}\sqrt{−1}x_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & \sqrt{−1}x_{n} \end{matrix} ] , E_{i,j}] = \sqrt{−1}(x_{i} − x_{j})E_{i,j}.

そこで

e_{i} : 𝔱 ⟶ ℝ; [ \begin{matrix}\sqrt{−1}x_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & \sqrt{−1}x_{n} \end{matrix} ] ⟼ x_{i}

とおくと e_{i} ∈ 𝔱^{∗}となり、

Δ(U(n)) = {e_{i} − e_{j}|1 ≤ i, j ≤ n, i ≠ j}

がわかる。さらに上の計算より

𝔲 (n)_{e_{i}−e_{j}} = ℂE_{i,j}

となり

𝔲 (n)^{ℂ} = 𝔱^{ℂ} + ∑_{i≠j} ℂE_{i,j}

が 𝔲 (n)^{ℂ}の 𝔱 に関するルート空間分解になる。 10.5 例. 特殊ユニタリ群 SU(n) の Lie 環を 𝔰𝔲 (n) とすると

𝔰𝔲 (n) = \{X + \sqrt{−1}Y |X, Y ∈ 𝔤𝔩 (n, ℝ), X : 交代, Y : 対称, tr Y = 0\} となるので 𝔰𝔲 (n)^{ℂ}は 𝔰𝔩 (n, ℂ) に一致する。

ST = \{[ \begin{matrix}z_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & z_{n} \end{matrix} ] | \begin{matrix}z_{j} ∈ U(1) (1 ≤ j ≤ n) \\ z_{1} ⋯ z_{n} = 1 \end{matrix} \}

とおくと、 ST は SU(n) の極大トーラスになる。 ST の Lie 環を 𝔰𝔱 とおくと、

𝔰𝔱 = \{[ \begin{matrix}\sqrt{−1}x_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & \sqrt{−1}x_{n} \end{matrix} ]| \begin{matrix}x_{1},… x_{n} ∈ ℝ \\ x_{1} + ⋯ + x_{n} = 0 \end{matrix} \} .

例 10.4 と同じ記号を使い f_{i} = e_{i}|_{𝔰𝔱} とおくと Δ(SU(n)) = {f_{i} − f_{j}|1 ≤ i, j ≤ n, i ≠ j}

𝔰𝔲 (n)_{f_{i}−f_{j}} = ℂE_{i,j}

がわかる。さらに

𝔰𝔲 (n)^{ℂ} = 𝔰𝔱 ^{ℂ} + ∑_{i≠j} ℂE_{i,j}

が 𝔰𝔲 (n)^{ℂ}の 𝔰𝔱 に関するルート空間分解になる。