微分幾何学 III （大学院） 講義ノート 1991/9/18

12 コンパクト半単純 Lie 群

12.1 復習 (昨年度微分幾何学講義ノート第 13 節自己同型群より抜粋). Lie 環 𝔤 の線形変換 p が

p([X, Y]) = [p(X), Y] + [X, p(Y)] (X, Y ∈ 𝔤)

を満たすとき p を 𝔤 の微分と呼ぶ。 𝔤 の微分の全体を 𝔡 (𝔤) で表す。 𝔡 (𝔤) は 𝔤𝔩 (𝔤) の Lie 部分環である。 p ∈ 𝔡 (𝔤), X ∈ 𝔤 に対して [p, ad(X)] = ad(p(X)) が成り立つので、 ad(𝔤) は 𝔡 (𝔤) のイデアルになる。以下では 𝔤 は有限次元であるとする。 𝔤 の自己同型の全体Aut(𝔤) は線形 Lie 群になり、その Lie 環は 𝔡 (𝔤) である。 Aut(𝔤) を 𝔤 の自己同型群と呼ぶ。 𝔤𝔩 (𝔤) の Lie 部分環ad(𝔤) に対応する GL(𝔤) の連結 Lie 部分群を 𝔤 の随伴群と呼びInt(𝔤) で表す。 Int(𝔤) はAut(𝔤) の正規 Lie 部分群である。

B(X, Y) = tr(ad(X) ad(Y)) (X, Y ∈ 𝔤)

とおくと Bは 𝔤 上の対称 2 次形式になる。 Bを 𝔤 の Killing 形式と呼ぶ。

H = {g ∈ GL(𝔤) | B(g(X), g(Y) = B(X, Y) (X, Y ∈ 𝔤)}

とおくと Hは線形 Lie 群になり、その Lie 環 𝔥 は

𝔥 = {T ∈ 𝔤𝔩 (𝔤) | B(T (X), Y) + B(X, T (Y)) = 0 (X, Y ∈ 𝔤)}

で与えられる。さらに 𝔤 の自己同型群Aut(𝔤) は Hの Lie 部分群になる。

12.2 定義. 有限次元 Lie 環 𝔤 の Killing 形式が非退化のとき、 𝔤 を半単純という。半単純 Lie 環 𝔤 が {0} と 𝔤 以外のイデアルを持たないとき、 𝔤 を単純という。 Lie 群 G の Lie 環が半単純のとき、 G を半単純という。

12.3 定理 (E. Cartan). 半単純 Lie 環は単純イデアルの直和に分解される。

証明. 𝔤 を半単純 Lie 環とし、 Bで 𝔤 の Killing 形式を表す。

まず 𝔤 の可換イデアルは {0} しかないことを示しておく。 𝔥 を 𝔤 の可換イデアルとする。 X ∈ 𝔥 と Y ∈ 𝔤 に対して、 ad X ad Y (𝔤) ⊂ 𝔥。さらに、 Z ∈ 𝔥 に対して ad Y (Z) ∈ 𝔥 だからad X ad Y (Z) = 0。よって

B(X, Y) = tr(ad X ad Y) = 0.

Bは非退化だから X = 0 となり 𝔥 = {0}。 𝔤_{1}を 𝔤 のイデアルとし、

𝔤_{1}^{⊥} = {X ∈ 𝔤 |B(X, 𝔤_{1}) = {0}}

とおく。 X ∈ 𝔤_{1}^{⊥}, Y ∈ 𝔤, Z ∈ 𝔤_{1}に対して、 [Y, Z] ∈ 𝔤_{1}だから

B([Y, X], Z) = −B(X, [Y, Z]) = 0.

したがって [Y, Z] ∈ 𝔤_{1}^{⊥}となり 𝔤_{1}^{⊥}は 𝔤 のイデアルになる。これより 𝔤_{1} ∩ 𝔤_{1}^{⊥}もまた 𝔤 のイデアルになる。そこで X, Y ∈ 𝔤_{1} ∩ 𝔤_{1}^{⊥}をとると、 Z ∈ 𝔤 に対して

B([X, Y], Z) = B(X, [Y, Z]) = 0.

Bは非退化だから [X, Y] = 0 となり、 𝔤_{1} ∩ 𝔤_{1}^{⊥}は可換イデアルになる。先に示したことより、 𝔤_{1} ∩ 𝔤_{1}^{⊥} = {0}。よって、 𝔤 はイデアルの直和 𝔤 = 𝔤_{1} ⊕ 𝔤_{1}^{⊥}に分解される。 B のイデアルへの制限はそのイデアルの Killing 形式に一致するので、この操作を繰り返せば、 𝔤 を単純イデアルの直和に分解することができる。 12.4 命題. 半単純 Lie 環の単純イデアルによる直和分解は順序を除いて一意的である。

証明. 𝔤 を半単純 Lie 環とすると、定理 12.3 より 𝔤 の単純イデアルによる直和分解

𝔤 = 𝔤_{1} ⊕ ⋯ ⊕ 𝔤_{n}

が存在する。 𝔥 を 𝔤 の単純イデアルとする。もしすべての i について [𝔥, 𝔤_{i}] = {0} とすると、 [𝔥, 𝔤] = {0} となり特に [𝔥, 𝔥] = {0}。これは 𝔥 が単純であることに矛盾する。したがってある i について [𝔥, 𝔤_{i}] ≠ {0}。 𝔥 と 𝔤_{i}はともに 𝔤 のイデアルだから [𝔥, 𝔤_{i}] は 𝔥 と 𝔤_{i}のイデアルになる。 𝔥 と 𝔤_{i}は単純だから 𝔥 = [𝔥, 𝔤_{i}] = 𝔤_{i}となる。つまり、 𝔤 の単純イデアルの全体は 𝔤_{1},…, 𝔤_{n}になり、分解の一意性がわかる。

12.5 定理. 𝔤 を半単純 Lie 環とするとad(𝔤) = 𝔡 (𝔤) が成り立つ。特にInt(𝔤) はAut(𝔤) の単位元の連結成分に一致し、 Int(𝔤) は線形 Lie 群になる。

証明. 復習 12.1 よりad(𝔤) は 𝔡 (𝔤) のイデアルになっている。 𝔡 (𝔤) の Killing 形式 Bに関するad(𝔤) の直交補空間を 𝔞 で表すと、 𝔞 もまた 𝔡 (𝔤) のイデアルになる。定理 12.3 より 𝔤 の中心は {0} になるのでad : 𝔤 ⟶ 𝔤𝔩 (𝔤) は単射になる。よって ad : 𝔤 ⟶ ad(𝔤) は Lie 環の同型写像になり、 ad(𝔤) も半単純になる。 Bのad(𝔤) への制限はad(𝔤) の Killing 形式に一致し、それに関して 𝔞 ∩ ad(𝔤) はad(𝔤) の直交補空間になるので 𝔞 ∩ ad(𝔤) = {0}。復習 12.1 より p ∈ 𝔞 ⊂ 𝔡 (𝔤), X ∈ 𝔤 に対して

ad(p(X)) = [p, ad(X)] ∈ 𝔞 ∩ ad(𝔤) = {0}

だからad(p(X)) = 0。よって p(X) = 0 がすべての X ∈ 𝔤 について成り立ち p = 0。したがって 𝔞 = {0}。

T : 𝔡 (𝔤) ⟶ (ad(𝔤))^{∗}
; X ⟼ (Y ⟼ B(X, Y))

として線形写像 T を定めると、 ker(T) = 𝔞 = {0} より T は単射になる。したがって

dim 𝔡 (𝔤) ≤ dim(ad(𝔤))^{∗} = dim ad(𝔤)

となり 𝔡 (𝔤) = ad(𝔤) がわかる。

復習 12.1 よりAut(𝔤) は線形 Lie 群であり、その Lie 環は 𝔡 (𝔤) に一致するので、 Aut(𝔤) の単位元の連結成分はInt(𝔤) になる。 Int(𝔤) はAut(𝔤) 内で閉集合になり、線形 Lie 群になる。

12.6 補題. コンパクト半単純 Lie 群の Lie 環の Killing 形式は負定値になる。

証明. G をコンパクト半単純 Lie 群とし G の Lie 環を 𝔤 で表し 𝔤 の Killing 形式を B で表す。

仮定より Bは非退化である。命題 2.9 より随伴表現Ad : G ⟶ GL(𝔤) が直交表現になるような 𝔤 の内積 ⟨ , ⟩ が存在する。各 X ∈ 𝔤 に対してad Xは 𝔤 の交代線形写像になるので、

B(X, X) = tr(ad X ad X) ≤ 0.

したがって Bは負定値になる。 12.7 補題. G を両側不変 Riemann 計量を持つ Lie 群とし G の Lie 環を 𝔤 で表し 𝔤 の Killing 形式を Bで表す。さらに G の曲率テンソルと Ricci テンソルをそれぞれ R, Ric で表すと

R(X, Y)Z = −\frac{1}{4}[[X, Y], Z] (X, Y, Z ∈ 𝔤)

Ric(X, Y) = −\frac{1}{4}B(X, Y) (X, Y ∈ 𝔤)

が成り立つ。

証明. G の共変微分を ∇ で表すと補題 8.2 より X, Y, Z ∈ 𝔤 に対して

R(X, Y)Z = ∇_{X}∇_{Y} Z − ∇_{Y} ∇_{X}Z − ∇_{[X,Y]}Z

= \frac{1}{4}[X, [Y, Z]] − \frac{1}{4}[Y, [X, Z]] − \frac{1}{2}[[X, Y], Z]

= \frac{1}{4}[[X, Y], Z] − \frac{1}{2}[[X, Y], Z]

= −\frac{1}{4}[[X, Y], Z].

次に e_{1},…, e_{n}を 𝔤 の正規直交基底とすると

Ric(X, Y) = ∑_{i=1}^{n}⟨R(e_{i}, X)Y, e_{i}⟩

= −\frac{1}{4} ∑_{i=1}^{n}⟨[[e_{i}, X], Y], e_{i}⟩

= −\frac{1}{4} ∑_{i=1}^{n}⟨e_{i}, ad X ad Y (e_{i})⟩

= −\frac{1}{4}B(X, Y).

12.8 定理 (Myers). Mを完備で連結な Riemann 多様体とし Mの Ricci テンソルを Ric で表す。ある正の定数 c が存在して Mの任意の単位接ベクトル u に対して Ric(u, u) ≥ c が成り立つとすると、 Mの普遍被覆空間はコンパクトになる。特に M の基本群は有限群になる。

証明. 参考文献の [C-E] 第 1 章 9. Ricci curvature and Myers’ and Bonnet’s Theorems を参照のこと

12.9 定理 (Weyl). コンパクト半単純 Lie 群の基本群は有限群になる。

証明. G をコンパクト半単純 Lie 群とし G の Lie 環を 𝔤 で表し 𝔤 の Killing 形式を B で表す。補題 12.6 より−Bは G の両側不変 Riemann 計量になる。 −Bに関する G の Ricci テンソルを Ric で表すと、補題 12.7 より長さ 1 の 𝔤 の元 Xに対して

Ric(X, X) = −\frac{1}{4}B(X, X) = \frac{1}{4}

が成り立つ。したがって定理 12.8 より G の基本群は有限群になる。 12.10 系. 連結 Lie 群 G の Lie 環の Killing 形式が負定値ならば、 G はコンパクト半単純になる。

証明. G の Lie 環を 𝔤 とし、 𝔤 の Killing 形式を Bで表す。 Bは負定値だから特に非退化になり、 𝔤 は半単純である。 ad : 𝔤 ⟶ ad(𝔤) は Lie 環の同型写像になるので、 Int(𝔤) の Lie 環ad(𝔤) を 𝔤 と同一視すると、仮定より−BはInt(𝔤) の両側不変 Riemann 計量になる。 −Bに関するInt(𝔤) の Ricci テンソルを Ric で表すと、補題 12.7 より長さ 1 の 𝔤 の元 Xに対して

Ric(X, X) = −\frac{1}{4}B(X, X) = \frac{1}{4}

が成り立つ。したがって定理 12.8 よりInt(𝔤) はコンパクトになる。以上でInt(𝔤) がコンパクト半単純 Lie 群になることがわかった。 Int(𝔤) の普遍被覆 Lie 群をG̃で表すと、定理 12.9 よりG̃もコンパクトになる。 Int(𝔤) と G はどちらも 𝔤 を Lie 環として持つ連結 Lie 群なので、 G̃は G の普遍被覆 Lie 群にもなる。特に G はコンパクトになる。

12.11 定理. G をコンパクト Lie 群とし G の Lie 環を 𝔤 で表す。 𝔤 の中心を 𝔷 で表すと、 𝔤 は 𝔤 = 𝔷 ⊕ [𝔤, 𝔤] とイデアルの直和に分解される。さらに [𝔤, 𝔤] に対応する G の連結 Lie 部分群はコンパクト半単純 Lie 群になる。

証明. G はコンパクトだから命題 2.9 より随伴表現Ad : G ⟶ GL(𝔤) が直交表現になるような 𝔤 の内積 ⟨ , ⟩ が存在する。 𝔤 の中心 𝔷 の直交補空間を 𝔤_{s}で表す。 𝔷 はad(𝔤) の作用で不変だから、 𝔤_{s}もad(𝔤) の作用で不変になる。したがって 𝔤_{s}は 𝔤 のイデアルになる。各 X ∈ 𝔤 に対してad Xは 𝔤 の交代線形写像になるので、

B(X, X) = tr(ad X ad X) ≤ 0.

さらに B(X, X) = 0 となる必要十分条件はad X = 0、つまり X ∈ 𝔷 になる。よって Bの 𝔤_{s}への制限は負定値になる。 𝔤_{s}は 𝔤 のイデアルだから 𝔤_{s}の Killing 形式は 𝔤 の Killing 形式 Bの 𝔤_{s}への制限に一致する。したがって系 12.10 より 𝔤_{s}に対応する G の連結 Lie 部分群はコンパクト半単純 Lie 群になる。

最後に 𝔤_{s} = [𝔤, 𝔤] が成り立つことを示そう。 [𝔤, 𝔤] = [𝔤_{s}, 𝔤_{s}] となるが、定理 12.3 よりこれは 𝔤_{s}に一致する。

12.12 系. 連結コンパクト Lie 群の普遍被覆 Lie 群は加法群としての Euclid 空間と単連結連結コンパクト単純 Lie 群の有限個の積に同型になる。

証明. G を連結コンパクト Lie 群とし、 G の Lie 環を 𝔤 で表す。定理 12.11 より 𝔤 は中心 𝔷 と半単純イデアル 𝔤_{s}の直和に分解される。定理 12.3 より 𝔤_{s}は単純イデアルの直和 𝔤_{s} = 𝔤_{1} ⊕ ⋯ ⊕ 𝔤_{k}に分解される。 𝔤 の Lie 部分環 𝔷 と各 𝔤_{i}に対応する G の連結 Lie 部分群を G_{z}と G_{i}で表しそれらの普遍被覆 Lie 群をG̃_{z}とG̃_{i}で表す。するとG̃_{z}は加法群としての Euclid 空間に同型になり、各G̃_{i}は定理 12.11 より単連結連結コンパクト単純 Lie 群になる。

π_{z} : G̃_{z} ⟶ G_{z}, π_{i} : G̃_{i} ⟶ G_{i}

を被覆準同型写像とすると、

π_{z} × π_{1} × ⋯ × π_{k} : G̃_{z} × G̃_{1} × ⋯ × G̃_{k} ⟶ G

は核が離散部分群になる Lie 群の全射準同型写像になるので、 G̃_{z} × G̃_{1} × ⋯ × G̃_{k}は G の普遍被覆 Lie 群になる。 12.13 系. 定理 11.4 と同じ設定条件のもとで

𝔱 ∩ [𝔤, 𝔤] = ∑_{α∈Δ(G)} ℝH_{α} = ∑_{i=1}^{r} ℝH_{α_{i}}

が成り立つ。特に H_{α_{1}},…, H_{α_{r}}は 𝔱 ∩ [𝔤, 𝔤] の基底になる。 G が半単純になるための必要十分条件は H_{α} (α ∈ Δ(G)) 全体が 𝔱 を生成することである。

証明. 問題を複素化して考えてみる。

(𝔱 ∩ [𝔤, 𝔤])^{ℂ} = 𝔱^{ℂ} ∩ [𝔤^{ℂ}, 𝔤^{ℂ}]

= ∑_{α∈Δ(G)} ℂH_{α} (定理 10.3)

= ∑_{i=1}^{r} ℂH_{α_{i}} (定理 11.4)

となるので

𝔱 ∩ [𝔤, 𝔤] = ∑_{α∈Δ(G)} ℝH_{α} = ∑_{i=1}^{r} ℝH_{α_{i}}

が成り立つ。

定理 11.4 より H_{α_{1}},…, H_{α_{r}}は 𝔱 ∩ [𝔤, 𝔤] の基底になる。 G が半単純になるための必要十分条件は、定理 12.11 より 𝔱 ⊂ [𝔤, 𝔤] となり、これは H_{α} (α ∈ Δ(G)) 全体が 𝔱 を生成することと同値である。

12.14 例. 例 10.5 と同じ設定条件のもとで 𝔰𝔱^{∗}はΔ(SU(n)) = {f_{i} − f_{j}|1 ≤ i, j ≤ n, i ≠ j} で生成されるので系 12.13 より SU(n) は半単純になる。