微分幾何学 III （大学院） 講義ノート 1991/9/25

13 ルート系

13.1 定義. V を有限次元ベクトル空間とし、 vを V の 0 ではない元とする。 V の自己同型写像 s が次の条件を満たすとき、 s を vに関する鏡像と呼ぶ。 Sは s(v) = −vを満たし、さらにdim H = dim V − 1 となる V のベクトル部分空間 Hが存在し各 h ∈ H に対して s(h) = h。

13.2 補題. V を有限次元ベクトル空間とし、 Δを V の有限生成系とする。 V の 0 ではない元 vに対してΔをΔに写す vに関する鏡像は高々一つしかない。

証明. ΔをΔに写す V の自己同型写像の全体を Sで表す。 Δは V の有限生成系だから Sは有限群になる。そこで Sの V への作用が等長変換になるような V の内積 ⟨ , ⟩ をとる。 ΔをΔに写す vに関する鏡像 s が存在すれば s ∈ Sとなる。特に s は等長変換になる。鏡像の定義より s は重複度 1 の固有値−1 と重複度dim −1 の固有値 1 を持つ。これら二つの固有値の固有空間は互いに直交するので s は vから一意的に決まる。

13.3 定義. 有限次元ベクトル空間 V の有限部分集合Δが次の条件を満たすとき、 Δ を V のルート系と呼ぶ。

(1) Δは V を生成し、 0 を含まない。

(2) α ∈ Δに対して (ℝα) ∩ Δ = {α, −α}。

(3) Δの各元αに対してΔをΔに写すαに関する鏡像 s_{α}が存在する。 (補題 13.2 よりこの鏡像はαから一意的に定まる。 )

(4) α, β ∈ Δに対してβ − s_{α}(β) ∈ ℤαが成り立つ。 V の次元をΔの階数と呼び、 Δの元をルートと呼ぶ。

13.4 補題. G をコンパクト連結 Lie 群とし G の極大トーラス T を 1 つとる。定理 10.1 と同じ設定条件のもとで各α ∈ Δ(G) に対して (𝔤_{α} + 𝔤_{−α}) ∩ 𝔤 の基底 E_{α}, F_{α}が存在し

[H, E_{α}] = α(H)F_{α}, [H, F_{α}] = −α(H)E_{α}, (H ∈ 𝔱)

が成り立つ。このとき G に両側不変 Riemann 計量 ⟨ , ⟩ を入れると、

⟨E_{α}, E_{α}⟩ = ⟨F_{α}, F_{α}⟩

となる。そこで E_{α}と F_{α}を定数倍して単位ベクトルになるようにすると、

[E_{α}, F_{α}] = H_{α}

が成り立つ。

証明. 𝔤_{α}の 0 ではない元 X_{α}をとると、定理 10.3 より\overline{X}_{α} ∈ 𝔤_{−α}となる。したがって

X_{α} + \overline{X}_{α} ∈ (𝔤_{α} + 𝔤_{−α}) ∩ 𝔤

となる。 H ∈ 𝔱 に対して

[H, X_{α} + \overline{X}_{α}] = \sqrt{−1}α(H)X_{α} − \sqrt{−1}α(H)\overline{X}_{α}
= α(H)\sqrt{−1}(X_{α} − \overline{X}_{α}).

よって

\sqrt{−1}(X_{α} − \overline{X}_{α}) ∈ (𝔤_{α} + 𝔤_{−α}) ∩ 𝔤

となり

[H, \sqrt{−1}(X_{α} − \overline{X}_{α})] = \sqrt{−1}(\sqrt{−1}α(H)X_{α} + \sqrt{−1}α(H)\overline{X}_{α})
= −α(H)(X_{α} + \overline{X}_{α}).

そこで

E_{α} = X_{α} + \overline{X}_{α}, F_{α} = \sqrt{−1}(X_{α} − \overline{X}_{α})

とおくと E_{α}, F_{α}は (𝔤_{α} + 𝔤_{−α}) ∩ 𝔤 の基底になり

[H, E_{α}] = α(H)F_{α}, [H, F_{α}] = −α(H)E_{α} (H ∈ 𝔱)

が成り立つ。次に H ∈ 𝔱 に対して

α(H)⟨F_{α}, F_{α}⟩ = ⟨[H, E_{α}], F_{α}⟩ = −⟨E_{α}, [H, F_{α}]⟩
= α(H)⟨E_{α}, E_{α}⟩

となるので、

⟨E_{α}, E_{α}⟩ = ⟨F_{α}, F_{α}⟩

が成り立つ。 E_{α}と F_{α}を定数倍して単位ベクトルになるようにすると、 H ∈ 𝔱 に対して

⟨[E_{α}, F_{α}], H⟩ = −⟨F_{α}, [E_{α}, H]⟩ = ⟨F_{α}, [H, E_{α}]⟩
= ⟨F_{α}, α(H)F_{α}⟩ = α(H)⟨F_{α}, F_{α}⟩
= ⟨H_{α}, H⟩

となるので、

[E_{α}, F_{α}] = H_{α}

が成り立つ。

13.5 補題. G をコンパクト連結 Lie 群とし G の極大トーラス T を 1 つとる。定理 10.3 と同じ設定条件のもとで各α ∈ Δ(G) に対して 𝔱 における H_{α}に関する等長的な鏡像を s_{α}で表すと

s_{α}(H) = H − \frac{2α(H)}{α(H_{α})}H_{α} (H ∈ 𝔱)

となる。さらに G の Weyl 群 W (G)(定義 8.11) を GL(𝔱) の部分群とみなすと (定理 8.10 の証明を参照せよ)、各 s_{α}は W (G) に含まれる。

証明. まず H ∈ 𝔱 に対して

s_{α}(H) = H − \frac{2⟨H, H_{α}⟩}{⟨H_{α}, H_{α}⟩}H_{α}

となる。 H_{α}の定め方より (定理 10.3)、 α(H) = ⟨H, H_{α}⟩ だから

s_{α}(H) = H − \frac{2α(H)}{α(H_{α})}H_{α} (H ∈ 𝔱)

が成り立つ。次に補題 13.4 にあるような E_{α}と F_{α}をとる。

[E_{α}, H_{α}] = −α(H_{α})F_{α}, [E_{α}, F_{α}] = H_{α}

となるので

[F_{α}, H_{α}] = α(H_{α})E_{α}, [F_{α}, E_{α}] = −H_{α}

となるので

[F_{α}, \frac{H_{α}}{\sqrt{α(H_{α})}}] = \sqrt{α(H_{α})}E_{α}, [F_{α}, E_{α}] = −\sqrt{α(H_{α})}\frac{H_{α}}{\sqrt{α(H_{α})}}.

したがって

Ad(exp(tF_{α}))\frac{H_{α}}{\sqrt{α(H_{α})}} = cos(t\sqrt{α(H_{α})})\frac{H_{α}}{\sqrt{α(H_{α})}} − sin(t\sqrt{α(H_{α})})E_{α}

となり

Ad (exp (\frac{πF_{α}}{\sqrt{α(H_{α})}})) H_{α} = −H_{α}.

α(H) = 0 となる H ∈ 𝔱 に対しては

Ad (exp (\frac{πF_{α}}{\sqrt{α(H_{α})}})) H = H.

そこで

n_{α} = exp (\frac{πF_{α}}{\sqrt{α(H_{α})}})

とおくとAd(n_{α})𝔱 ⊂ 𝔱 となるので、 n_{α} ∈ N(T) となる。上で示したことより n_{α}の代表する W (G) の元の 𝔱 への作用は s_{α}に一致する。つまり各 s_{α}は W (G) に含まれることになる。

13.6 定理. G をコンパクト連結 Lie 群とし G の極大トーラス T を 1 つとる。定理 11.1 と同じ設定条件のもとでΔ(G) が生成する 𝔱^{∗}のベクトル部分空間を V とおくと、 Δ(G) は V のルート系になる。

証明. 定義 13.3 の (1) は定め方よりわかる。 (2) は定理 11.1 からわかる。

α ∈ Δ(G) をとり、補題 13.5 で構成した H_{α}に関する鏡像 s_{α}は W (G) の元になるので、ある n_{α} ∈ N(T) が存在して s_{α}はAd(n_{α}) の 𝔱 への作用に一致する。 H ∈ 𝔱 と X ∈ 𝔤_{β} (β ∈ Δ(G)) に対して

[s_{α}(H), Ad(n_{α})X] = Ad(n_{α})[H, X] = \sqrt{−1}β(H) Ad(n_{α})X

となるので、 β ∘ s_{α}^{−1} = β ∘ s_{α} ∈ Δ(G) となりAd(n_{α})𝔤_{β} = 𝔤_{β∘s_{α}}が成り立つ。 v ∈ 𝔱^{∗} と H ∈ 𝔱 に対して

v ∘ s_{α}(H) = v (H − \frac{2α(H)}{α(H_{α})}H_{α})

= v(H) − \frac{2α(H)v(H_{α})}{α(H_{α})}

= (v − \frac{2v(H_{α})}{α(H_{α})}α) (H)

となるので

s_{α}^{∗}(v) = v ∘ s_{α} = v − \frac{2v(H_{α})}{α(H_{α})}α.

したがって s_{α}^{∗}はαに関する鏡像になり、 V のベクトル部分空間

H = {v ∈ V |v(H_{α}) = 0}

を固定する。さらに s_{α}^{∗}はΔ(G) をΔ(G) に写す。以上でΔ(G) が定義 13.3 の (3) を満たすことがわかった。

上で示したことよりα, β ∈ Δ(G) に対して

β − s_{α}^{∗}(β) = \frac{2β(H_{α})}{α(H_{α})}α

となり、 αの係数は定理 11.1 より整数になる。したがってΔ(G) は定義 13.3 の (4) を満たす。

13.7 定義. G をコンパクト連結 Lie 群とし G の極大トーラス T を 1 つとる。 G の Lie 環の複素化 𝔤^{ℂ}の T の Lie 環 𝔱 に関する 0 でないルートの全体Δ(G) を G のルート系と呼ぶ。

13.8 系. G をコンパクト連結半単純 Lie 群とし G の極大トーラス T を 1 つとる。定理 11.1 と同じ設定条件のもとでΔ(G) は 𝔱^{∗}のルート系になる。

証明. 系 12.13 と定理 13.4 よりわかる。

13.9 補題. Δを有限次元ベクトル空間 V のルート系とする。 α, β ∈ Δに対して

s_{α}(β) = β − n_{β,α}α, n_{β,α} ∈ ℤ

とおく。 ΔをΔに写す V の自己同型写像の全体をAut(Δ) で表し、 Aut(Δ) の V への作用が等長変換になるような V の内積 ⟨ , ⟩ をとる。すると

n_{β,α} = \frac{2⟨β, α⟩}{⟨α, α⟩}

が成り立つ。特に ⟨β, α⟩ の符号は内積 ⟨ , ⟩ のとり方によらない。

証明. α ∈ Δに対して s_{α} ∈ Aut(Δ) となるので、 s_{α}は ⟨ , ⟩ に関して等長変換になる。したがって

s_{α}(v) = v − \frac{2⟨v, α⟩}{⟨α, α⟩}α (v ∈ V)

となりβ ∈ Δに対して

n_{β,α} = \frac{2⟨β, α⟩}{⟨α, α⟩}

が成り立つ。 n_{β,α}の符号は ⟨ , ⟩ のとり方によらないので、 ⟨β, α⟩ の符号も ⟨ , ⟩ のとり方によらない。

13.10 定義. Δを有限次元ベクトル空間 V のルート系とし、 Aut(Δ) の V への作用が等長変換になるような V の内積 ⟨ , ⟩ をとる。 Δが

Δ = Δ_{1} ∪ Δ_{2}, ⟨Δ_{1}, Δ_{2}⟩ = {0}

となる自明でない分解を持たないとき、 Δを既約という。

13.11 命題. Δを有限次元ベクトル空間 V のルート系とすると、 V の直交直和分解 V = ⊕V_{i}が存在しΔは V_{i}の既約ルート系Δ_{i}の合併になる。

証明. もしΔが既約でなければ、 Δは

Δ = Δ_{1} ∪ Δ_{2}, ⟨Δ_{1}, Δ_{2}⟩ = {0}

となる自明でない分解を持つ。そこでΔ_{i}の生成するベクトル部分空間を V_{i}とすると、 V は V_{1}と V_{2}の直交直和になり、 Δ_{i}は V_{i}のルート系になる。この操作を繰り返せば結論を得る。