微分幾何学 III （大学院） 講義ノート 1991/10/30

15 既約ルート系と Dynkin 図形

15.1 命題. ΔとΔ′をそれぞれ有限次元ベクトル空間 V と V′のルート系とする。補題 13.9 と同様に、 α, β ∈ Δに対して n_{β,α} ∈ ℤ、 α′, β′ ∈ Δ′に対して n_{β′,α′} ∈ ℤ を定める。 ΠとΠ′をそれぞれΔとΔ′の基本ルート系とする。 ΠからΠ′への全単射ϕで

n_{β,α} = n_{ϕ(β),ϕ(α)} (α, β ∈ Π)

を満たすものが存在すれば、 ϕは一意的に線形同型写像ϕ : V ⟶ V′に拡張され、 ϕ(Δ) = Δ′と

n_{β,α} = n_{ϕ(β),ϕ(α)} (α, β ∈ Δ)

を満たす。

証明. ルート系の Weyl 群に関する準備が必要になるので、ここでは証明しない。詳しくは、たとえば参考文献の [B-D] 第 5 章 5.2 Dynkin diagrams を参照のこと

15.2 定義. Δを有限次元ベクトル空間 V のルート系とし、 ΠをΔの基本ルート系とする。補題 13.9 と同様に、 α, β ∈ Δに対して n_{β,α} ∈ ℤ を定めておく。各α ∈ Πを頂点∘で表し、 αとβ ∈ Πに対応する頂点を n_{β,α}n_{α,β}本の線分で結んだグラフをΔの Coxeter グラフと呼ぶ。

15.3 例. 例 10.5 と 12.14 と同じ設定条件のもとで SU(n) のルート系について考える。

Δ(SU(n)) = {f_{i} − f_{j}|1 ≤ i, j ≤ n, i ≠ j}

となっているので、 α_{i} = f_{i} − f_{i+1}とおいて

Π = {α_{i}|1 ≤ i ≤ n − 1}

とするとΠはΔ(SU(n)) の基本ルート系になる。

⟨f_{i} − f_{j}, f_{k} − f_{l}⟩ = δ_{i,k} + δ_{j,l} − δ_{i,l} − δ_{j,k}

となる内積 ⟨ , ⟩ を 𝔰𝔱^{∗}にいれると、これは不変内積になる。したがって補題 13.9 より i < jのとき

n_{j,i} = n_{α_{j},α_{i}} = \frac{2⟨α_{j}, α_{i}⟩}{⟨α_{i}, α_{i}⟩} = −δ_{j,i+1}

n_{i,j} = −δ_{j,i+1}

となるので、 SU(n) のルート系の Coxeter グラフは

となる。 15.4 例. 回転群 SO(n) の Lie 環を 𝔬 (n) とすると

𝔬 (n) = {X ∈ 𝔤𝔩 (n, ℝ)| ^{t}X + X = 0}

となるので、

𝔬 (n)^{ℂ} = {X ∈ 𝔤𝔩 (n, ℂ)| ^{t}X + X = 0}

となる。 SO(n) の極大トーラスは n が偶数の場合と奇数の場合で事情が異なるので、以下の議論は場合わけをして行う。まず n が偶数の場合は n = 2kとし、

T = {[ cos t_{1} − sin t_{1} sin t_{1} cos t_{1} ... cos t_{k} − sin t_{k} sin t_{k} cos t_{k} ]| t_{i} ∈ ℝ(1 ≤ i ≤ k)}

とおくと T は SO(2k) の極大トーラスになる。 1 から n までの i, jに対して (i, j) 成分のみが 1 で他の成分はすべて 0 であるような n 次正方行列を E_{i,j}で表し、 H_{i} = E_{2i,2i−1} − E_{2i−1,2i}とおく。すると T の Lie 環 𝔱 は

𝔱 = ∑_{i=1}^{k} ℝH_{i}

となる。 F_{i,j} = E_{i,j} − E_{j,i}とおき

G_{i,j}^{+} = F_{2i−1,2j−1} + F_{2i,2j} + \sqrt{−1}(F_{2i−1,2j} − F_{2i,2j−1})
G_{i,j}^{−} = F_{2i−1,2j−1} − F_{2i,2j} + \sqrt{−1}(F_{2i−1,2j} + F_{2i,2j−1})

とする。

H = ∑_{i=1}^{k} t_{i}H_{i} ∈ 𝔱

に対して

[H, G_{i,j}^{+}] = \sqrt{−1}(t_{i} − t_{j})G_{i,j}^{+} (i ≠ j)
[H, G_{i,j}^{−}] = −\sqrt{−1}(t_{i} + t_{j})G_{i,j}^{+} (i < j)
[H, G_{i,j}^{−}] = \sqrt{−1}(t_{i} + t_{j})G_{i,j}^{+} (i > j).

そこで

e_{i} : 𝔱 ⟶ ℝ; H = ∑_{i=1}^{k} t_{i}H_{i} ⟼ t_{i}

とおくと e_{i} ∈ 𝔱^{∗}となり

Δ(SO(2k)) = {±(e_{i} ± e_{j})|1 ≤< j ≤ k}

がわかる。

α_{i} = e_{i} − e_{i+1} (1 ≤ i ≤ k − 1)
α_{k} = e_{k−1} + e_{k}

とおいて

Π = {α_{i}|1 ≤ i ≤ k}

とするとΠはΔ(SO(2k)) の基本ルート系になる。 {e_{i}} が正規直交基底になる内積 ⟨ , ⟩ を 𝔱^{∗}にいれると、これは不変内積になる。したがって補題 13.9 より i < j ≤ k − 1 のとき

n_{j,i} = n_{α_{j},α_{i}} = \frac{2⟨α_{j}, α_{i}⟩}{⟨α_{i}, α_{i}⟩} = −δ_{j,i+1}

n_{i,j} = −δ_{j,i+1}

となり、 i ≤ k − 1 のとき

n_{i,k} = n_{α_{i},α_{k}} = \frac{2⟨α_{i}, α_{k}⟩}{⟨α_{k}, α_{k}⟩} = −δ_{k,i+2}

n_{k,i} = −δ_{k,i+2}

となるので、 SO(2k) のルート系の Coxeter グラフは

となる。次に n が奇数の場合は n = 2k + 1 とし、

T = {[ cos t_{1} − sin t_{1} sin t_{1} cos t_{1} ... cos t_{k} − sin t_{k} sin t_{k} cos t_{k} 1 ]| t_{i} ∈ ℝ(1 ≤ i ≤ k)}

とおくと T は SO(2k + 1) の極大トーラスになる。 SO(2k) で使った記号をそのまま使うと T の Lie 環 𝔱 は

𝔱 = ∑_{i=1}^{k} ℝH_{i}

となる。

H = ∑_{i=1}^{k} t_{i}H_{i} ∈ 𝔱

に対して

[H, G_{i,j}^{+}] = \sqrt{−1}(t_{i} − t_{j})G_{i,j}^{+} (i ≠ j)

[H, G_{i,j}^{−}] = −\sqrt{−1}(t_{i} + t_{j})G_{i,j}^{+} (i < j)
[H, G_{i,j}^{−}] = \sqrt{−1}(t_{i} + t_{j})G_{i,j}^{+} (i > j)

が成り立つのは SO(2k) の場合と同じである。さらに

D_{i}^{±} = F_{2i−1,2k+1} ± \sqrt{−1}F_{2i,2k+1}

とすると

[H, D_{i}^{±}] = \sqrt{−1}t_{i}D_{i}^{±} (1 ≤ i ≤ k).

したがって

Δ(SO(2k + 1)) = {±(e_{i} ± e_{j})|1 ≤< j ≤ k} ∪ {±e_{i}|1 ≤< j ≤ k}

がわかる。

α_{i} = e_{i} − e_{i+1} (1 ≤ i ≤ k − 1)
α_{k} = e_{k}

とおいて

Π = {α_{i}|1 ≤ i ≤ k}

とするとΠはΔ(SO(2k + 1)) の基本ルート系になる。 {e_{i}} が正規直交基底になる内積 ⟨ , ⟩ を 𝔱^{∗}にいれると、これは不変内積になる。したがって補題 13.9 より i < j ≤ k −1 のとき

n_{j,i} = n_{α_{j},α_{i}} = \frac{2⟨α_{j}, α_{i}⟩}{⟨α_{i}, α_{i}⟩} = −δ_{j,i+1}

n_{i,j} = −δ_{j,i+1}

となり、 i ≤ k − 1 のとき

n_{i,k} = n_{α_{i},α_{k}} = \frac{2⟨α_{i}, α_{k}⟩}{⟨α_{k}, α_{k}⟩} = −2δ_{k,i+1}

n_{k,i} = −δ_{k,i+1}

となるので、 SO(2k + 1) のルート系の Coxeter グラフは

となる。