微分幾何学 III （大学院） 講義ノート 1991/11/13

16 コンパクト等質空間における Peter-Weyl の定理

16.1 注意. この節は第 1 部のコンパクト位相群の表現に属し、第 7 節 Peter-Weyl の定理に続くものである。

16.2 補題. コンパクト位相群 G に対して命題 6.2 で定めた表現 (τ, (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞})) を使うことにする。 Kを G の閉部分群とし

K^{ℂ}(G)_{K} = {f ∈ K^{ℂ}(G)|τ(e, k)f = f (k ∈ K)}

とおくと、 K^{ℂ}(G)_{K}は K^{ℂ}(G) の閉部分ベクトル空間になり (τ(∗, e), (K^{ℂ}(G)_{K}, ∥ ∥_{∞})) は G の表現になる。自然な射影π : G ⟶ G/Kによって G/Kに商位相をいれ、 a ∈ K^{ℂ}(G/K) に対して

(α(g)a)(π(x)) = a ∘ π(g^{−1}x) (x, g ∈ G)

とするとα(g)a ∈ K^{ℂ}(G/K) となる。これによって (α, (K^{ℂ}(G/K), ∥ ∥_{∞})) は G の表現になり、上で定めた表現 (τ(∗, e), (K^{ℂ}(G)_{K}, ∥ ∥_{∞})) と同値になる。

証明. 各 k ∈ Kについて写像

C_{k} : K^{ℂ}(G) ⟶ K^{ℂ}(G); f ⟼ τ(e, k)f − f

は命題 6.2 より連続線形写像になる。したがって

K^{ℂ}(G)_{K} = ⋂_{k∈K} C_{k}^{−1}(0)

は閉部分ベクトル空間になる。 f ∈ K^{ℂ}(G)_{K}と g ∈ G, k ∈ Kに対して

τ(e, k)τ(g, e)f = τ(g, e)τ(e, k)f = τ(g, e)f

だからτ(g, e)f ∈ K^{ℂ}(G)_{K}となり、 (τ(∗, e), (K^{ℂ}(G)_{K}, ∥ ∥_{∞})) は G の表現になる。

g ∈ G に対して

g : G/K ⟶ G/K; π(x) ⟼ π(gx)

とみなすと、 gは商位相の定め方より G/Kの位相同型写像になる。 α(g)a = a ∘ g^{−1} だからα(g)a ∈ K^{ℂ}(G/K) となる。命題 6.2 と同様にすると (α, (K^{ℂ}(G/K), ∥ ∥_{∞})) が G の表現になることがわかる。

A : K^{ℂ}(G/K) ⟶ K^{ℂ}(G)_{K}; f ⟼ f ∘ π

とおくとπ ∘ τ(e, k) = πだから A の像は K^{ℂ}(G)_{K}に含まれる。さらに A は線形同型写像になる。また

∥A(f)∥_{∞} = ∥f∥_{∞} (f ∈ K^{ℂ}(G/K))

が成り立つので、 A は Banach 空間の同型写像になる。さらに g ∈ G と f ∈ K^{ℂ}(G/K) に対して

A(α(g)f) = α(g)f ∘ π = f ∘ g^{−1} ∘ π = f ∘ πL_{g}^{−1} = τ(g, e)(f ∘ π) = τ(g, e)(A(f))

となるので、 A は表現の間の同型写像になる。 16.3 補題. Kをコンパクト位相群 G の閉部分群とし

L^{2}(G)_{K} = {f ∈ L^{2}(G)|τ(e, k)f = f (k ∈ K)}

とおくと、 L^{2}(G)_{K}は L^{2}(G) の閉部分ベクトル空間になり、 K^{ℂ}(G)_{K}は L^{2}(G)_{K}内で稠密になる。さらに (τ(∗, e), (L^{2}(G)_{K}, ∥ ∥_{∞})) は G の表現になる。

証明. 各 k ∈ Kについて写像

C_{k} : L^{2}(G) ⟶ L^{2}(G); f ⟼ τ(e, k)f − f

は命題 6.2 より連続線形写像になる。したがって

L^{2}(G)_{K} = ⋂_{k∈K} C_{k}^{−1}(0)

は閉部分ベクトル空間になる。 f ∈ L^{2}(G)_{K}と g ∈ G, k ∈ Kに対して

τ(e, k)τ(g, e)f = τ(g, e)τ(e, k)f = τ(g, e)f

だからτ(g, e)f ∈ L^{2}(G)_{K}となり、 (τ(∗, e), L^{2}(G)_{K}) は G の表現になる。最後に K^{ℂ}(G)_{K}が L^{2}(G)_{K}内で稠密になることを示そう。 νを Kの Haar 測度とし、

(P_{K}f)(x) = ∫_{K} f(xk)dνk (f ∈ K^{ℂ}(G), x ∈ G)

によって写像

P_{K} : (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞}) ⟶ (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞})

を定めると、命題 6.7 と同様にして P_{K}は連続線形写像になる。 k ∈ Kに対して τ(e, k)P_{K} = P_{K}だから、 P_{K}(K^{ℂ}(G)) ⊂ K^{ℂ}(G)_{K}が成り立つことがわかる。 f ∈ K^{ℂ}(G) に対して

∥P_{K}f∥^{2} = ∫_{G} |P_{K}f(x)|^{2}dμx
= ∫_{G} |∫_{K} f(xk)dνk|^{2} dμx

≤ ∫_{G} (∫_{K} |f(xk)|dνk)^{2} dμx
≤ ∫_{G} ∫_{K} |f(xk)|^{2}dνkdμx (Cauchy-Schwarz の不等式)
≤ ∫_{K} ∫_{G} |f(xk)|^{2}dμxdνk
= ∥f∥^{2}

となるので

∥P_{K}f∥ ≤ ∥f∥ (f ∈ K^{ℂ}(G))

が成り立ち、 P_{K}は一意的に連続線形写像

P_{K} : L^{2}(G) ⟶ L^{2}(G)

に拡張することができる。

P_{K}f(x) = ∫_{K} f(xk)dνk (f ∈ L^{2}, x ∈ G)

となる。特に L^{2}(G)_{K}上 P_{K}は恒等写像になる。任意の f_{1} ∈ L^{2}(G)_{K}とε > 0 に対してある f_{2} ∈ K^{ℂ}(G) が存在し

∥f_{1} − f_{2}∥ ≤ ε

が成り立つので、

∥f_{1} − P_{K}(f_{2})∥ = ∥P_{K}(f_{1} − f_{2})∥ ≤ ∥f_{1} − f_{2}∥ ≤ ε.

ここで P_{K}(f_{2}) ∈ K^{ℂ}(G)_{K}だから、 K^{ℂ}(G)_{K}は L^{2}(G)_{K}内で稠密になる。

16.4 定理 (Frobenius の相互律). Kをコンパクト位相群 G の閉部分群とし、 (ρ, V) を G の有限次元複素表現とする。

V_{K}^{∗} = {ϕ ∈ V^{∗}|ρ^{∗}(k)ϕ = ϕ (k ∈ K)}

とおいて、写像 B_{ρ} : Hom_{G}(V, K^{ℂ}(G)_{K}) ⟶ V_{K}^{∗}を

B_{ρ}(Φ)(v) = Φ(v)(e) (Φ ∈ Hom_{G}(V, K^{ℂ}(G)_{K}), v ∈ V)

によって定めると、 B_{ρ}はHom_{G}(V, K^{ℂ}(G)_{K}) から V_{K}^{∗}への線形同型写像になる。

証明. まず B_{ρ}の像が V_{K}^{∗}に入ることを確かめる。 Φ ∈ Hom_{G}(V, K^{ℂ}(G)_{K}), v ∈ V, k ∈ Kに対して

B_{ρ}(Φ)(ρ(k)v) = Φ(ρ(k)v)(e) = (τ(k, e)Φ(v))(e)
= Φ(v)(k^{−1}) = Φ(v)(e)
= B_{ρ}(Φ)(v)

となるので B_{ρ}(Φ) ∈ V_{K}^{∗}。 B_{ρ}の定め方から B_{ρ}が線形写像になることがわかる。 B_{ρ}(Φ) = 0 とすると、 v ∈ V と x ∈ G に対して

Φ(v)(x) = (τ(x^{−1}, e)Φ(v))(e) = Φ(ρ(x)^{−1}v)(e) = B_{ρ}(Φ)(ρ(x)^{−1}v) = 0

となり、 Φ = 0。したがって B_{ρ}は単射である。 ϕ ∈ V_{K}^{∗}に対して

Φ(v)(x) = ϕ(ρ(x)^{−1}v) (v ∈ V, x ∈ G)

によってΦ ∈ Hom(V, K^{ℂ}(G)) を定める。 k ∈ Kに対して

Φ(v)(xk) = ϕ(ρ(xk)^{−1}v) = ϕ(ρ(k)^{−1}ρ(x)^{−1}v)ϕ(ρ(x)^{−1}v) = Φ(v)(x)

だからΦ(v) ∈ K^{ℂ}(G)_{K}となり、 Φ ∈ Hom(V, K^{ℂ}(G)_{K})。また g ∈ G に対して

Φ(ρ(g)v)(x) = ϕ(ρ(x)^{−1}ρ(g)v) = ϕ(ρ(g^{−1}x)^{−1}v)
= Φ(v)(g^{−1}x) = (τ(g, e)Φ(v))(x)

となるのでΦ ∈ Hom_{G}(V, K^{ℂ}(G)_{K})。 Φの定め方より B_{ρ}(Φ) = ϕとなり B_{ρ}は全射になる。 16.5 定義. Kをコンパクト位相群 G の閉部分群とし、 (ρ, V) を G の有限次元複素既約表現とする。

V_{K} = {v ∈ V |ρ(k)v = v (k ∈ K)}

とおき、 V_{K} ≠ {0} のとき表現 (ρ, V) を対 (G, K) の球表現と呼ぶ。 dim V_{K}を球表現 (ρ, V) の重複度と呼ぶ。

16.6 命題. Kをコンパクト位相群 G の閉部分群とし、 (ρ, V) を (G, K) の球表現とする。 G を V_{K}^{∗}に自明に作用させ、 (ρ ⊗ 1, V ⊗ V_{K}^{∗}) を G の表現とみなす。このとき写像 A_{ρ} : V ⊗ V_{K}^{∗} ⟶ K^{ℂ}(G)_{K}を

A_{ρ}(v ⊗ v^{∗})(x) = v^{∗}(ρ(x)^{−1}v) (x ∈ G, v ∈ V, v^{∗} ∈ V_{K}^{∗})

によって定めると、 A_{ρ}は (1 ⊗ ρ, V ⊗ V_{K}^{∗}) から (τ(∗, e), (K^{ℂ}(G)_{K}, ∥ ∥_{∞})) への単射 G 準同型写像になり、同時に (1 ⊗ ρ, V ⊗ V_{K}^{∗}) から (τ(∗, e), (K^{ℂ}(G)_{K}, ⟨ , ⟩)) への G 準同型写像にもなる。さらに G の 2 つの球表現 (ρ, V) と (σ, W) が同値ならば、 A_{ρ}(V ⊗ V_{K}^{∗}) = A_{σ}(W ⊗ W_{K}^{∗}) となる。

証明. この命題のほとんどの主張は既に命題 6.3 で証明されている。 A_{ρ}の像が K^{ℂ}(G)_{K} に含まれることを示そう。 x ∈ G, v ∈ V, v^{∗} ∈ V_{K}^{∗}, k ∈ Kに対して

A_{ρ}(v ⊗ v^{∗})(xk) = v^{∗}(ρ(xk)^{−1}v) = v^{∗}(ρ(k)^{−1}ρ(x)^{−1}v)
= v^{∗}(ρ(x)^{−1}v) = A_{ρ}(v ⊗ v^{∗})(x).

したがって A_{ρ}(v ⊗ v^{∗}) ∈ K^{ℂ}(G)_{K}となる。

16.7 定理. Kをコンパクト位相群 G の閉部分群とする。 (G, K) の球表現の同値類の全体を D_{ℂ}(G, K) で表すと

(τ(∗, e), (K^{ℂ}(G)_{K}, ∥ ∥_{∞})) ≃ ⊕_{[ρ,V]∈D_{ℂ}(G,K)}(ρ ⊗ 1, V ⊗ V_{K}^{∗})
(τ(∗, e), L^{2}(G)_{K}) ≃ ⊕_{[ρ,V]∈D_{ℂ}(G,K)}(ρ ⊗ 1, V ⊗ V_{K}^{∗}) : ユニタリ直和

が成り立つ。

証明. 定理 7.2(Peter-Weyl) より (τ(∗, e), (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞})) は G の複素既約表現の直和に分解されるので、単射 G 準同型写像 C_{ρ}を

C_{ρ} : V ⊗ Hom_{G}(V, K^{ℂ}(G)_{K}) ⟶ K^{ℂ}(G)_{K}; v ⊗ Φ ⟼ Φ(v)

によって定めると

K^{ℂ}(G)_{K} ≃ ⊕_{[ρ,V]∈D_{ℂ}(G)}V ⊗ Hom_{G}(V, K^{ℂ}(G)_{K})

が成り立つ。定理 16.4 より

1 ⊗ B_{ρ} : V ⊗ Hom_{G}(V, K^{ℂ}(G)_{K}) ⟶ V ⊗ V_{K}^{∗}

は G 同型写像になる。 v ∈ V, v^{∗} ∈ V_{K}^{∗}, x ∈ G に対して

C_{ρ}((1 ⊗ B_{ρ}^{−1})(v ⊗ v^{∗}))(x) = ((B_{ρ}^{−1}(v^{∗}))(v))(x)

= v^{∗}(ρ(x)^{−1}v) (定理 16.4 の証明の計算)
= A_{ρ}(v ⊗ v^{∗})(x)

となるので C_{ρ}((1 ⊗ B_{ρ}^{−1})(V ⊗ V_{K}^{∗})) = A_{ρ}(V ⊗ V_{K}^{∗}) が成り立ち、

(τ(∗, e), (K^{ℂ}(G)_{K}, ∥ ∥_{∞})) ≃ ⊕_{[ρ,V]∈D_{ℂ}(G,K)}(ρ ⊗ 1, V ⊗ V_{K}^{∗})

となる。

補題 16.3 より K^{ℂ}(G)_{K}は L^{2}(G)_{K}内で稠密になるので、 L^{2}(G)_{K}のユニタリ直和分解

(τ(∗, e), L^{2}(G)_{K}) ≃ ⊕_{[ρ,V]∈D_{ℂ}(G,K)}(ρ ⊗ 1, V ⊗ V_{K}^{∗})

も導かれる。