微分幾何学 III （大学院） 講義ノート 1991/12/11

第 3 部コンパクト Lie 群の表現

17 ウェイト空間分解

17.1 定理. G をコンパクト連結 Lie 群とし G の極大トーラス T を 1 つとる。 𝔤 と 𝔱 をそれぞれ G と T の Lie 環とする。 (ρ, V) を G の有限次元複素表現とし、

V_{λ} = \{v ∈ V | ρ_{∗}(H)v = \sqrt{−1}λ(H)v (H ∈ 𝔱 )\} (λ ∈ 𝔱 ^{∗})
W (ρ, V) = {λ ∈ 𝔱 ^{∗}|V_{λ} ≠ {0}}

とおくと、

V = ∑_{λ∈W (ρ,V)} V_{λ}

が成り立ち、右辺の和は直和になる。

証明. 表現ρ : G ⟶ GL(V) を T に制限した表現ρ : T ⟶ GL(V) を定理 2.10 により既約分解し

𝔤 ^{ℂ} = ⊕_{i=1}^{n}V_{i}

とする。命題 4.2 より各 V_{i}は 1 次元になる。 T ≅ T^{k}とし T と T^{k}を同一視すると定理 4.6 より各 V_{i}について m_{1},…, m_{k} ∈ ℤ が存在し

Ad(t_{1},…, t_{k})|_{V_{i}} = t^{m_{1}} ⋯ t^{m_{k}} (t = (t_{1},…, t_{k}) ∈ T)

となる。 T の指数写像は

exp : 𝔱 = ℝ^{k} ⟶ T = T^{k}
; (x_{1},…, x_{k}) ⟼ (e^{\sqrt{−1}x_{1}},…, e^{\sqrt{−1}x_{k}})

だから

λ_{i}(x_{1},…, x_{k}) = m_{1}x_{1} + ⋯ + m_{k}x_{k} ((x_{1},…, x_{k}) ∈ 𝔱 )

とおくと、 λ_{i} ∈ 𝔱 ^{∗}で

ρ_{∗}(H)v = \sqrt{−1}λ_{i}(H)v (v ∈ V_{i})

が成り立つ。これより V_{i} ⊂ 𝔤 _{λ_{i}}となりλ_{i} ∈ W (ρ, V)。よって

V = ∑_{λ∈W (ρ,V)} V_{λ}

は直和分解になる。 17.2 定義. 定理 17.1 において V_{λ} ≠ {0} となるλ ∈ 𝔱 ^{∗}を (ρ, V) の 𝔱 に関するウェイトと呼び、 V_{λ}をλのウェイト空間と呼ぶ。また、直和分解

V = ∑_{λ∈W (ρ,V)} V_{λ}

を (ρ, V) の 𝔱 に関するウェイト空間分解と呼ぶ。ウェイトλに対して m_{λ} = dim V_{λ}を λの重複度と呼ぶ。

17.3 注意. 第 10 節で定義したルートは随伴表現のウェイトということになる。ルートの場合は 0 を除いて重複度は必ず 1 であったが (定理 10.3)、一般のウェイトの重複度は 1 になるとは限らない。

17.4 例. ユニタリ群 U(n) について例 10.4 と同じ設定条件のもとで U(n) の ℂ^{n}への自然な作用ι : U(n) ⟶ GL(n, ℂ) について考えよう。 i 成分のみが 1 で他の成分はすべて 0 であるような n 次元縦ベクトルを E_{i}で表す。すると x_{1},…, x_{n} ∈ ℝ に対して

ι_{∗} [ \begin{matrix}\sqrt{−1}x_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & \sqrt{−1}x_{n} \end{matrix} ] E_{i} = \sqrt{−1}x_{i}E_{i}.

そこで例 10.4 で定めた e_{i}を使うと

W (ι, ℂ^{n}) = {e_{i}|1 ≤ i ≤ n}

がわかる。さらに上の計算より

ℂ_{e_{i}}^{n} = ℂE_{i}

となり

ℂ^{n} = ∑_{i=1}^{n} ℂE_{i}

が (ι, ℂ^{n}) の 𝔱 に関するウェイト空間分解になる。

17.5 命題. G をコンパクト連結 Lie 群とし G の極大トーラス T を 1 つとる。 𝔤 と 𝔱 をそれぞれ G と T の Lie 環とする。 (ρ_{1}, V_{1}) と (ρ_{2}, V_{2}) を G の有限次元複素表現とすると

W (ρ_{1} ⊕ ρ_{2}, V_{1} ⊕ V_{2}) = W (ρ_{1}, V_{1}) ∪ W (ρ_{2}, V_{2})
W (ρ_{1} ⊗ ρ_{2}, V_{1} ⊗ V_{2}) = {λ_{1} + λ_{2}|λ_{1} ∈ W (ρ_{1}, V_{1}), λ_{2} ∈ W (ρ_{2}, V_{2})}

が成り立つ。また (ρ_{1}, V_{1}) と (ρ_{2}, V_{2}) が同値ならば W (ρ_{1}, V_{1}) = W (ρ_{2}, V_{2}) となる。

証明. (ρ_{1} ⊕ ρ_{2}, V_{1} ⊕ V_{2}) のウェイト空間分解は

V_{1} ⊕ V_{2} = ∑_{λ_{1}∈W (ρ_{1},V_{1})} V_{λ_{1}} ⊕ ∑_{λ_{2}∈W (ρ_{2},V_{2})} V_{λ_{2}}

となるので

W (ρ_{1} ⊕ ρ_{2}, V_{1} ⊕ V_{2}) = W (ρ_{1}, V_{1}) ∪ W (ρ_{2}, V_{2})

が成り立つ。テンソル積の定義より H ∈ 𝔱 , v_{1} ∈ V_{1}, v_{2} ∈ V_{2}に対して

((ρ_{1} ⊗ ρ_{2})_{∗}(H))(v_{1} ⊗ v_{2}) = ((ρ_{1})_{∗}(H)v_{1}) ⊗ v_{2} + v_{1} ⊗ ((ρ_{2})_{∗}(H)v_{2})

となるので、 λ_{1}, λ_{2} ∈ 𝔱 ^{∗}に対して

(V_{1})_{λ_{1}} ⊗ (V_{2})_{λ_{2}} ⊂ (V_{1} ⊗ V_{2})_{λ_{1}+λ_{2}}

が成り立つ。したがって

V_{1} ⊗ V_{2} = ∑_{{λ_{1}∈W (ρ_{1},V_{1}) \atop λ_{1}∈W (ρ_{1},V_{1})}}(V_{1})_{λ_{1}} ⊗ (V_{2})_{λ_{2}} ⊂ ∑_{{λ_{1}∈W (ρ_{1},V_{1}) \atop λ_{1}∈W (ρ_{1},V_{1})}}(V_{1} ⊗ V_{2})_{λ_{1}+λ_{2}}

となるので

V_{1} ⊗ V_{2} = ∑_{{λ_{1}∈W (ρ_{1},V_{1}) \atop λ_{1}∈W (ρ_{1},V_{1})}}(V_{1} ⊗ V_{2})_{λ_{1}+λ_{2}}.

これより

W (ρ_{1} ⊗ ρ_{2}, V_{1} ⊗ V_{2}) = {λ_{1} + λ_{2}|λ_{1} ∈ W (ρ_{1}, V_{1}), λ_{2} ∈ W (ρ_{2}, V_{2})}

がわかる。 φ : V_{1} ⟶ V_{2}を G 同型写像とする。 X ∈ 𝔤 , v_{1} ∈ V_{1}に対して

((ρ_{2})_{∗}X)φv = φ((ρ_{1})_{∗}X)v

となるので、 λ ∈ 𝔱 ^{∗}に対して

φ((V_{1})_{λ}) = (V_{2})_{λ}

となる。したがって W (ρ_{1}, V_{1}) = W (ρ_{2}, V_{2}) となる。

17.6 定理. G, T, 𝔤 , 𝔱 については定理 17.1 と同じ設定条件のもとで、

𝔱 _{e} = {H ∈ 𝔱 | exp H = e}

Λ(G) = ⋃_{[ρ,V]∈D_{ℂ}(G)} W (ρ, V)

とおくと

Λ(G) = {λ ∈ 𝔱 ^{∗}| λ(𝔱 _{e}) ⊂ 2πℤ}
𝔱 _{e} = {H ∈ 𝔱 | Λ(G)H ⊂ 2πℤ}

が成り立つ。

証明. [ρ, V] ∈ D_{ℂ}(G), λ ∈ W (ρ, V), v ∈ V_{λ}と H ∈ 𝔱 に対して

ρ_{∗}(H)v = \sqrt{−1}λ(H)v

となるので

ρ(exp H)v = e^{\sqrt{−1}λ(H)}v

が成り立つ。

そこで H ∈ 𝔱 _{e}とするとexp H = e だから e^{\sqrt{−1}λ(H)} = 1 となりλ(H) ∈ 2πℤ。したがって

Λ(G) ⊂ {λ ∈ 𝔱 ^{∗}| λ(𝔱 _{e}) ⊂ 2πℤ}
𝔱 _{e} ⊂ {H ∈ 𝔱 | Λ(G)H ⊂ 2πℤ}

となる。

以下でそれぞれの逆の包含関係を示す。 λ ∈ 𝔱 ^{∗}がλ(𝔱 _{e}) ⊂ 2πℤ を満たすとする。 χ : T ⟶ ℂ をχ(exp H) = e^{\sqrt{−1}λ(H)}によって定めることができ、 χは準同型写像になる。

K^{ℂ}(G)_{χ} = {f ∈ K^{ℂ}(G)| f(gt^{−1}) = f(g)χ(t) (g ∈ G, t ∈ T)}

とおく。 K^{ℂ}(G)_{χ}は (τ(∗, e), (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞})) の G 不変閉部分空間になる。したがって (τ(∗, e), (K^{ℂ}(G)_{χ}, ∥ ∥_{∞})) も G の複素表現になる。 T の Haar 測度をνで表し、写像

φ : K^{ℂ}(G) ⟶ K^{ℂ}(G)_{χ}

を

(φ(f))(g) = ∫_{T} f(gt)χ(t)dνt (g ∈ G, f ∈ K^{ℂ}(G))

によって定める。すると s ∈ T に対して

(φ(f))(gs^{−1}) = ∫_{T} f(gs^{−1}t)χ(t)dνt
= ∫_{T} f(gs^{−1}t)χ(s^{−1}t)χ(s)dνt
= ∫_{T} f(gt)χ(t)dνtχ(s)
= (φ(f))(g)χ(s)

となるのでφ(f) は K^{ℂ}(G)_{χ}に含まれる。 T 上の連続関数\overline{χ}を G 全体に連続に拡張した関数を\overline{χ}′とすると、

(φ(\overline{χ}′))(e) = ∫_{T} \overline{χ}′(t)χ(t)dνt = ∫_{T} |χ|^{2}dν = 1 ≠ 0

となるので、 K^{ℂ}(G)_{χ} ∋ φ(\overline{χ}′) ≠ 0 で K^{ℂ}(G)_{χ} ≠ \{0\}。そこで Peter-Weyl の定理より K^{ℂ}(G)_{χ}内に G 不変既約部分空間 V をとることができる。 V ≠ {0} だから f(e) ≠ 0 となる V の元 fが存在する。この fに対して

f^{♮}(g) = ∫_{T} f(tg)χ(t)dνt (g ∈ G)

とおく。ここで

f(tg)χ(t) = χ(t)(τ(t^{−1}, e)f)(g) (g ∈ G)

でχ(t)τ(t^{−1}, e)f ∈ V だから f^{♮} ∈ V となる。さらに f ∈ V ⊂ K^{ℂ}(G)_{χ}だから

f^{♮}(e) = ∫_{T} f(t)χ(t)dνt = ∫_{T} f(e)dνf(e) ≠ 0

となり f^{♮} ≠ 0。また s ∈ T に対して

(τ(s, e)f^{♮})(g) = f^{♮}(s^{−1}g)
= ∫_{T} f(ts^{−1}g)χ(t)dνt
= ∫_{T} f(ts^{−1}g)χ(ts^{−1})χ(s)dνt
= ∫_{T} f(tg)χ(t)dνtχ(s)
= χ(s)f^{♮}(g)

となるので

τ(s, e)f^{♮} = χ(s)f^{♮}

が成り立つ。 χの定め方より

τ(exp H, e)f^{♮} = e^{\sqrt{−1}λ(H)}f^{♮} (H ∈ 𝔱 )

となる。この式を微分すると f^{♮} ∈ V_{λ}となりλ ∈ Λ(G) がわかる。以上で

Λ(G) = {λ ∈ 𝔱 ^{∗}| λ(𝔱 _{e}) ⊂ 2πℤ}

を示すことができた。

H ∈ 𝔱 がΛ(G)H ⊂ 2πℤ を満たすとする。このとき任意の [ρ, V] ∈ D_{ℂ}(G), λ ∈ W (ρ, V) と v ∈ V_{λ}について

ρ(exp H) = e^{\sqrt{−1}ρ_{∗}(H)}v = e^{\sqrt{−1}λ(H)}v = v

となり、定理 17.1 より V はウェイト空間の直和になるので

ρ(exp H)w = w (w ∈ V)

が成り立つ。これが任意の [ρ, V] ∈ D_{ℂ}(G) について成り立つのだから、 Peter-Weyl の定理より

τ(exp H, e)f = f

が任意の f ∈ K^{ℂ}(G) について成り立つ。特に

f(e) = (τ(exp H, e)f)(e) = f(exp(−H))

となり−Hは 𝔱 _{e}に含まれる。したがって H ∈ 𝔱 _{e}となる。以上で

𝔱 _{e} = {H ∈ 𝔱 | Λ(G)H ⊂ 2πℤ}

を示すことができた。

17.7 注意. 定理 17.6 において

Λ(G) = ∪{W (ρ, V)| (ρ, V) は G の有限次元複素表現 }

となることが、定理 2.10 と命題 17.5 からわかる。