微分幾何学 III （大学院） 講義ノート 1991/12/18

18 𝔰𝔩 (2, ℂ) の有限次元複素既約表現 18.1 補題. 𝔰𝔩 (2, ℂ) の元 H, X, Y を

H = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ] ,  X = [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] ,  Y = [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ]

とおくと、これらは 𝔰𝔩 (2, ℂ) の基底になり、

[H, X] = 2X, [H, Y] = −2Y, [X, Y] = H

を満たす。証明. 𝔰𝔩 (2, ℂ) は二次複素正方行列 Xでtr X = 0 を満たすものの全体だから、 H, X, Y は 𝔰𝔩 (2, ℂ) の基底になる。また直接計算することにより

[H, X] = 2X, [H, Y] = −2Y, [X, Y] = H

を確かめることができる。 18.2 命題. λ_{j} = j(k − j + 1) (1 ≤ j ≤ k) とおき、線形写像ρ_{k} : 𝔰𝔩 (2, ℂ) ⟶ 𝔰𝔩 (k + 1, ℂ) を

ρ_{k}(H) = [ \begin{matrix}k \\ & k − 2 \\ & & . & . & . \\ & & & & & −k \end{matrix} ] (j, j) 成分は k + 2 − j (1 ≤ j ≤ k + 1)

ρ_{k}(X) = [ \begin{matrix}0 & λ_{1} & 0 \\ 0 & 0 & λ_{2} \\ & & & . & . & . \\ & & & & & & λ_{k−1} & 0 \\ & & & & & & 0 & λ_{k} \\ & & & & & & 0 & 0 \end{matrix} ] ρ_{k}(Y) = [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ & & . & . & . \\ & & & & & 1 & 0 & 0 \\ & & & & & 0 & 1 & 0 \end{matrix} ]

によって定めると、 ρ_{k}は Lie 環の準同型写像になり、 (ρ_{k}, ℂ^{k+1}) は 𝔰𝔩 (2, ℂ) の複素既約表現になる。証明. まず

[ρ_{k}(H), ρ_{k}(X)] = 2ρ_{k}(X) = ρ_{k}([H, X])
[ρ_{k}(H), ρ_{k}(Y)] = −2ρ_{k}(Y) = ρ_{k}([H, Y])

となる。次に

[ρ_{k}(X), ρ_{k}(Y)] = [ \begin{matrix}λ_{1} \\ & λ_{2} − λ_{1} \\ & & . & . & . \\ & & & & & λ_{k} − λ_{k−1} \\ & & & & & & −λ_{k} \end{matrix} ]

= ρ_{k}(H) = ρ_{k}([X, Y])

となるのでρ_{k}は Lie 環の準同型写像になる。

次に i 成分のみが 1 で他の成分はすべて 0 であるような k + 1 次元縦ベクトルを E_{i}で表す。すると

ρ_{k}(X)E_{1} = 0
ρ_{k}(X)E_{i+1} = λ_{i}E_{i} (1 ≤ i ≤ k)
ρ_{k}(Y)E_{i} = E_{i+1} (1 ≤ i ≤ k)
ρ_{k}(Y)E_{k+1} = 0.

そこで V を {0} ではない ℂ^{k+1}の 𝔰𝔩 (2, ℂ) 不変部分空間とする。 V の 0 ではない元 v をとる。

v = ∑_{i=1}^{k+1} a_{i}E_{i}

とおく。

i_{0} = min{i | a_{i} ≠ 0}

とすると上でみたρ_{k}(Y) の作用より

V ∋ ρ_{k}(Y)^{k+1−i_{0}}v = a_{i_{0}}E_{k+1}

となるので E_{k+1}は V に含まれる。したがって上でみたρ_{k}(X) の作用を E_{k+1}に施すことによって V = ℂ^{k+1}となることがわかる。以上で (ρ_{k}, ℂ^{k+1}) が 𝔰𝔩 (2, ℂ) の複素既約表現になることがわかった。

18.3 補題. (ρ, V) を 𝔰𝔩 (2, ℂ) の有限次元複素表現とし、 V の 0 ではないある元 v_{0}が ρ(H) の固有値λの固有ベクトルになっているとする。

(1) 0 以上の整数 kに対して

ρ(H)ρ(X)^{k}v_{0} = (λ + 2k)ρ(X)^{k}v_{0}
ρ(H)ρ(Y)^{k}v_{0} = (λ − 2k)ρ(Y)^{k}v_{0}

が成り立つ。

(2) ρ(X)v_{0} = 0 が成り立つとき、 0 以上の整数 kに対して v_{k} = ρ(Y)^{k}v_{0}とおくと

ρ(X)v_{k} = k(λ + 1 − k)v_{k−1}

が 1 以上の整数 kに対して成り立つ。

証明. (1) kに関する帰納法で

ρ(H)ρ(X)^{k}v_{0} = (λ + 2k)ρ(X)^{k}v_{0}

を証明する。 k = 0 のとき

ρ(H)v_{0}

は仮定より成り立つ。 kのとき成り立つと仮定する。

ρ(H)ρ(X)^{k+1}v_{0} = ρ(H)ρ(X)ρ(X)^{k}v_{0}
= ρ([H, X])ρ(X)^{k}v_{0} + ρ(X)ρ(H)ρ(X)^{k}v_{0}
= 2ρ(X)^{k+1}v_{0} + (λ + 2k)ρ(X)^{k+1}v_{0}
= (λ + 2(k + 1))ρ(X)^{k+1}v_{0}

となるので、 k + 1 のときも成立する。

ρ(H)ρ(Y)^{k}v_{0} = (λ − 2k)ρ(Y)^{k}v_{0}

も同様に証明することができる。

(2) kに関する帰納法で証明する。 k = 1 のときは

ρ(X)v_{1} = ρ(X)ρ(Y)v_{0}
= ρ([X, Y])v_{0} + ρ(Y)ρ(X)v_{0}
= ρ(H)v_{0}
= λv_{0}

となり成立する。 kのとき成り立つと仮定する。

ρ(X)v_{k+1} = ρ(X)ρ(Y)v_{k}
= ρ([X, Y])v_{k} + ρ(Y)ρ(X)v_{k}
= ρ(H)v_{k} + ρ(Y)k(λ + 1 − k)v_{k−1}
= (λ − 2k)v_{k} + k(λ + 1 − k)v_{k}
= (k + 1)(λ − k)v_{k}

となるので、 k + 1 のときも成立する。

18.4 定理. (ρ, V) を 𝔰𝔩 (2, ℂ) の有限次元複素既約表現とし、 dim V = k + 1 とおく。すると、 ρはρ_{k}と同値になる。

証明. V は複素数体上のベクトル空間だから

ρ(H)v = μv

となる複素数μと V の 0 ではない元 vが存在する。すると補題 18.3 より

ρ(H)ρ(X)^{k}v = (μ + 2k)ρ(X)^{k}v.

したがってρ(X)^{k}vはρ(H) の相異なる固有値の固有ベクトルになる。 V は有限次元だからある k_{0}があり、

ρ(X)^{k_{0}}v ≠ 0, ρ(X)k_{0} + 1v = 0

となる。そこで

v_{0} = ρ(X)^{k_{0}}v, λ = μ + 2k_{0}

とおくと

ρ(H)v_{0} = λv_{0}, ρ(X)v_{0} = 0

となる。自然数 kに対して

v_{k} = ρ(Y)^{k}v_{0}

とおくと補題 18.3 より v_{k}はρ(H) の相異なる固有値の固有ベクトルになる。 V は有限次元だからある lがあり、 v_{l} ≠ 0, v_{l+1} = 0 となる。

W = ∑_{k=0}^{l} ℂv_{k}

とおくと W はρ(𝔰𝔩 (2, ℂ) 不変部分ベクトル空間になる。 (ρ, V) は 𝔰𝔩 (2, ℂ) の複素既約表現だから、 W = V となる。したがって l = kで、 {v_{0}, v_{1},…, v_{l}} は V の基底になる。この基底に関するρ(H), ρ(X), ρ(Y) の表現行列は、命題 18.2 で定めた rho_{k}(H), ρ_{k}(X), ρ_{k}(Y) と等しくなるので、対応 v_{i} ⟼ E_{i+1}から定まる V と ℂ^{k+1}の間の線形同型は (ρ, V) と (ρ_{k}, ℂ^{k+1}) の表現としての同型になる。