微分幾何学 III （大学院） 講義ノート 1991/12/25

19 ウェイトの性質この節では以下の設定条件のもとで議論する。 G を両側不変 Riemann 計量を持っているコンパクト連結 Lie 群とし T を G の 1 つの極大トーラスとする。これらの Lie 環をそれぞれ 𝔤 と 𝔱 で表す。 𝔱 ^{∗}に定義 11.2 のように順序を入れておく。 (ρ, V) を G の有限次元複素表現とする。

19.1 補題. α ∈ Δ(G) とλ ∈ W (ρ, V) に対して

ρ_{∗}(𝔤 _{α})V_{λ} ⊂ V_{λ+α}

が成り立つ。

証明. X ∈ 𝔤 _{α}, v ∈ V_{λ}, H ∈ 𝔱 に対して

ρ_{∗}(H)ρ_{∗}(X)v = ρ_{∗}(X)ρ_{∗}(H)v + ρ_{∗}([H, X])v
= ρ_{∗}(X)\sqrt{−1}λ(H)v + \sqrt{−1}α(H)ρ_{∗}(X)v
= \sqrt{−1}(λ + α)(H)ρ_{∗}(X)v

となるのでρ_{∗}(X)v ∈ V_{λ+α}となり、

ρ_{∗}(𝔤 _{α})V_{λ} ⊂ V_{λ+α}

が成り立つ。

19.2 補題. α ∈ Δ(G) とλ ∈ W (ρ, V) に対して

(λ + ℤα) ∩ W (ρ, V) = {λ + nα | p ≤ n ≤ q}

を満たす整数 p, qが存在し、

−\frac{2λ(H_{α})}{α(H_{α})} = p + q

が成り立つ。特に\frac{2λ(H_{α})}{α(H_{α})}は整数になる。

証明. まず

H = −\frac{2\sqrt{−1}}{α(H_{α})}H_{α}

とおく。次に定理 10.3 より [𝔤 _{α}, 𝔤 _{−α}] = ℂH_{α}だから、

[X, Y] = −\frac{2\sqrt{−1}}{α(H_{α})}H_{α} = H

が成り立つように、 X ∈ 𝔤 _{α}と Y ∈ 𝔤 _{−α}をとることができる。すると

[H, X] = \sqrt{−1}α(H)X = 2X
[H, Y] = −\sqrt{−1}α(H)Y = −2Y

が成り立つ。したがって

𝔥 = ℂX + ℂY + ℂH

とおくと 𝔥 は 𝔤 ^{ℂ}の複素 Lie 部分環になり、しかも 𝔰𝔩 (2, ℂ) と同型になる。 p′ = min{n ∈ ℤ | λ + nα ∈ W (ρ, V)}

q′ = max{n ∈ ℤ | λ + nα ∈ W (ρ, V)}

とおく。 λ + q′α ∈ W (ρ, V) だから V_{λ+q′α} ≠ {0} となり、 0 ではない v_{0}を V_{λ+q′α}からとることができる。そこで

v_{i} = ρ_{∗}(Y)^{i}v_{0} (i = 0, 1, 2,…)

とおくと、補題 18.3 より各 v_{i}は 0 でない限りρ_{∗}(H) の相異なる固有値の固有ベクトルになるので一次独立になる。 V は有限次元だからある i_{0}が存在して v_{i_{0}} = 0 と v_{i_{0}−1} ≠ 0 を満たす。さらに補題 18.3 より各 i について

ρ_{∗}(X)v_{i} = i(\sqrt{−1}(λ − q′α)(H) − i + 1)v_{i−1}

となるので、

\sqrt{−1}(λ − q′α)(H) = i_{0} − 1.

ここで

\sqrt{−1}(λ − q′α)(H) = \sqrt{−1}λ(H) + 2q′

= \frac{2λ(H_{α})}{α(H_{α})} + 2q′

となるので、 0 ≤ i ≤ \frac{2λ(H_{α})}{α(H_{α})} + 2q′に対して

0 ≠ v_{i} ∈ V_{λ+(q′−i)α}.

したがって−\frac{2λ(H_{α})}{α(H_{α})} − q′ ≤ n ≤ q′に対して

λ + nα ∈ W (ρ, V)

となる。これより

p′ ≤ −\frac{2λ(H_{α})}{α(H_{α})} − q′

となり

p′ + q′ ≤ −\frac{2λ(H_{α})}{α(H_{α})}.

−α ∈ Δ(G) について同様の議論をすると

−p′ − q′ ≤ −\frac{−2λ(H_{α})}{α(H_{α})}

となり

p′ + q′ ≥ −\frac{2λ(H_{α})}{α(H_{α})}.

したがって

p′ + q′ = −\frac{2λ(H_{α})}{α(H_{α})}.

が成り立つ。さらに上で示したことより

(λ + ℤα) ∩ W (ρ, V) = {λ + nα | p′ ≤ n ≤ q′}

となる。 19.3 定理. (ρ, V) を G の有限次元複素既約表現としλ ∈ W (ρ, V) の最高ウェイトとする。

(1) dim V_{λ} = 1.

(2) 0 以上の整数全体を ℤ^{+}で表し、 Δ^{+}(G) = {β_{1},…, β_{l}} とする。 V_{λ}の 0 ではない元 vに対して

V = {ρ_{∗}(X_{−β_{1}})^{n_{1}} ⋯ ρ_{∗}(X_{−β_{l}})^{n_{l}}v | n_{1},…, n_{l} ∈ ℤ^{+}}_{ℂ}

が成り立つ。

(3) Δ(G) の単純ルート系を {α_{1},…, α_{r}} とする。このとき各μ ∈ W (ρ, V) に対してある m_{i} ∈ ℤ^{+}が存在し

μ = λ − ∑_{i=1}^{r} m_{i}α_{i}

となる。

証明. G は連結だから (ρ, V) が G の表現として既約であることと、 (ρ_{∗}, V) が 𝔤 の表現として既約であることは同値になる。さらにこれは (ρ_{∗}, V) が 𝔤 ^{ℂ}の表現として既約であることと同値になる。 𝔱 の基底を {H_{1},…, H_{r}} とすると、

W = {ρ_{∗}(X_{1}) ⋯ ρ_{∗}(X_{k})v | X_{i}は X_{±β_{a}}または H_{b}}_{ℂ}

は 𝔤 ^{ℂ}の作用で不変な複素部分空間になる。したがって既約性より W は V に一致する。 Lie 環の普遍包絡環に関する Poincaré-Birkhoff-Witt の定理より、 W の生成元の全体は

ρ_{∗}(X_{−β_{1}})^{n_{1}} ⋯ ρ_{∗}(X_{−β_{l}})^{n_{l}}ρ_{∗}(X_{β_{1}})^{m_{1}} ⋯ ρ_{∗}(X_{β_{l}})^{m_{l}}ρ_{∗}(H_{1})^{a_{1}} ⋯ ρ_{∗}(H_{r})^{a_{r}}v

という形に変形できる。

ρ_{∗}(H_{i})v = \sqrt{−1}λ(H_{i})v

だから、生成元の全体は

ρ_{∗}(X_{−β_{1}})^{n_{1}} ⋯ ρ_{∗}(X_{−β_{l}})^{n_{l}}ρ_{∗}(X_{β_{1}})^{m_{1}} ⋯ ρ_{∗}(X_{β_{l}})^{m_{l}}v

に一致する。さらに補題 19.1 とλが最高ウェイトであることから

ρ_{∗}(X_{β_{j}})v ∈ V_{λ+β_{j}} = {0}

となるので、生成元の全体は

ρ_{∗}(X_{−β_{1}})^{n_{1}} ⋯ ρ_{∗}(X_{−β_{l}})^{n_{l}}v

に一致する。以上で (2) を示すことができた。

補題 19.1 より

ρ_{∗}(X_{−β_{1}})^{n_{1}} ⋯ ρ_{∗}(X_{−β_{l}})^{n_{l}}v

はλ − ∑_{i=1}^{l} n_{i}β_{i}のウェイト空間に含まれる。定理 11.4 を使うと各μ ∈ W (ρ, V) に対してある m_{i} ∈ ℤ^{+}が存在し

μ = λ − ∑_{i=1}^{r} m_{i}α_{i}

となることがわかる。

V の生成元の形と補題 19.1 より V_{λ}に含まれる元は vの定数倍のみになる。したがってdim V_{λ} = 1 が成り立つ。