微分幾何学 III （大学院） 講義ノート 1991/1/22,29

20 Weyl の指標公式この節では以下の設定条件のもとで議論する。 G を両側不変 Riemann 計量を持っているコンパクト連結 Lie 群とし T を G の 1 つの極大トーラスとする。これらの Lie 環をそれぞれ 𝔤 と 𝔱 で表す。 𝔱 ^{∗}に定義 11.2 のように順序を入れておく。

20.1 定義. Weyl 群 W (G)(定義 9.10) の各元 wを 𝔱 から 𝔱 への線形写像とみなし、その行列式をdet(w) で表すことにする。関数 f : 𝔱 ⟶ ℂ が、各 w ∈ W (G) に対して f ∘ w = fを満たすとき fを対称といい、 f ∘ w = det(w)fを満たすとき fを交代という。 W (G) は T にも作用しているので、 T 上の関数に対しても対称性と交代性を定義することができる。

20.2 注意. W (G) は 𝔱 に等長的に作用しているので、各 w ∈ W (G) に対してdet(w) = ±1 となる。特にdet(w)^{−1} = det(w) が成り立つ。

20.3 定義. 関数 e : ℝ ⟶ ℂ を

e(x) = e^{\sqrt{−1}x} (x ∈ ℝ)

で定める。 𝔱 ^{∗}の元λに対してλの交代和 A(λ) : 𝔱 ⟶ ℂ を

A(λ)(H) = ∑_{w∈W (G)} det(w)e(λw(H)) (H ∈ 𝔱 )

で定義する。

20.4 命題. λ ∈ 𝔱 ^{∗}に対してその交代和 A(λ) は 𝔱 上の交代関数になる。また

A(λ) ∘ w = A(λ ∘ w) (w ∈ W (G))

が成り立つ。

証明. w_{0} ∈ W (G) と H ∈ 𝔱 に対して

A(λ)(w_{0}(H)) = ∑_{w∈W (G)} det(w)e(λww_{0}(H))

= ∑_{w∈W (G)} det(w_{0})^{−1} det(ww_{0})e(λww_{0}(H))

= det(w_{0}) ∑_{w∈W (G)} det(w)e(λw(H))

= det(w_{0})A(λ)(H)

となるので A(λ) は交代関数になる。次に

A(λ) ∘ w_{0} = ∑_{w∈W (G)} det(w)e(λww_{0})

= ∑_{w∈W (G)} det(w)e(λw_{0}w_{0}^{−1}ww_{0})

= ∑_{w∈W (G)} det(w_{0}^{−1}ww_{0})e(λw_{0}(w_{0}^{−1}ww_{0}))

= ∑_{w∈W (G)} det(w)e(λw_{0}w)

= A(λw_{0})

となるので A(λ) ∘ w_{0} = A(λw_{0}) が成り立つ。

20.5 補題. Δ(G) の単純ルート系をΠで表す。すると各α ∈ Πに対して

s_{α}^{∗}(Δ^{+}(G) − {α}) = Δ^{+}(G) − {α}

が成り立つ。

証明. γ ∈ Δ^{+}(G) − {α} に対して定理 11.4 を適用すると、各β ∈ Πについて 0 以上の整数 n_{β}が存在し、

γ = ∑_{β∈Π} n_{β}β

と表すことができる。もしβ ≠ αとなるβ ∈ Πすべてに対して n_{β} = 0 とすると、上の等式よりγはαの正の整数倍になるが、 γはαに等しくないので定理 11.1 よりこのようなことは起こらない。したがってあるβ_{0} ∈ Πに対して n_{β_{0}} > 0 となる。

次にγに s_{α}^{∗}を作用させると

s_{α}^{∗}(γ) = γ − \frac{2⟨λ, α⟩}{⟨α, α⟩}α

= ∑_{β∈Π−\{α\}} n_{β}β + (n_{α} − \frac{2⟨λ, α⟩}{⟨α, α⟩}) α

となる。定理 13.6 より s_{α}^{∗}(γ) はΔ(G) に含まれる。上の等式でβ_{0}の項は第一項に含まれていて、その係数は n_{β_{0}} > 0 だから、定理 11.4 より s_{α}^{∗}(γ) は正のルートになる。したがって s_{α}^{∗}(γ) ∈ Δ^{+}(G) − {α} が成り立つ。

20.6 定理. Weyl 群 W (G) は {s_{α}^{∗} | α ∈ Π} で生成される。また任意のα ∈ Δ(G) に対してある w ∈ W (G) が存在し、 α ∘ w ∈ Πとなる。

証明. 参考文献の [B-D] 第 V 章 4. Bases and Weyl Chambers を参照のこと

20.7 補題. 𝔱 上の関数δを

δ(H) = ∏_{α∈Δ^{+}(G)} (e (\frac{1}{2}α(H)) − e (−\frac{1}{2}α(H))) (H ∈ 𝔱 )

で定義すると、 δは 𝔱 上の交代関数になる。

ρ = \frac{1}{2} ∑_{α∈Δ^{+}(G)} α

とおくと

δ(H) = e(−ρ(H)) ∏_{α∈Δ^{+}(G)}(e(α(H)) − 1) (H ∈ 𝔱 )

が成り立つ。特にδは

SD(G) = ⋃_{α∈Δ(G)}{H ∈ 𝔱 | α(H) ∈ 2πℤ}

上で 0 になり、 𝔱 の他の点では 0 にならない。証明. β ∈ Πと H ∈ 𝔱 に対して

δ(s_{β}(H)) = ∏_{α∈Δ^{+}(G)} (e (\frac{1}{2}α(s_{β}(H))) − e (−\frac{1}{2}α(s_{β}(H))))

= ∏_{α∈Δ^{+}(G)} (e (\frac{1}{2}(s_{β}^{∗}(α))(H)) − e (−\frac{1}{2}(s_{β}^{∗}(α))(H)))

= − ∏_{α∈Δ^{+}(G)} (e (\frac{1}{2}α(H)) − e (−\frac{1}{2}α(H))) (補題 20.5)

= −δ(H)

となる。定理 20.6 より W (G) は {s_{α}^{∗} | α ∈ Π} で生成されるので、

δ(w(H)) = det(w)δ(H) (w ∈ W (G))

が成り立つ。したがってδは交代関数になる。 H ∈ 𝔱 に対して

δ(H) = ∏_{α∈Δ^{+}(G)} (e (\frac{1}{2}α(H)) − e (−\frac{1}{2}α(H)))

= ∏_{α∈Δ^{+}(G)} e (−\frac{1}{2}α(H)) (e(α(H)) − 1)

= e (−\frac{1}{2} ∑_{α∈Δ^{+}(G)} α(H)) ∏_{α∈Δ^{+}(G)}(e(α(H)) − 1)

= e(−ρ(H)) ∏_{α∈Δ^{+}(G)}(e(α(H)) − 1)

となる。 im(e) ⊂ U(1) だから上の式よりδは SD(G) 上でのみ 0 をとる。 20.8 補題. α ∈ Πに対して

s_{α}^{∗}(ρ) = ρ − α

が成り立つ。さらに w ∈ W (G) とα ∈ Πに対してある整数 n_{α}が存在し

ρ ∘ w = ρ − ∑_{α∈Π} n_{α}α

が成り立つ。また任意のα ∈ Πに対して

ρ (\frac{2}{α(H_{α})}H_{α}) = 1

となり、任意のβ ∈ Δ(G) に対して

ρ (\frac{2}{β(H_{β})}H_{β}) ∈ ℤ

が成り立つ。

証明. 補題 20.5 より

s_{α}^{∗}(ρ) = \frac{1}{2} ∑_{\begin{matrix}β∈Δ^{+}(G) \\ β≠α \end{matrix}} β − \frac{1}{2}α = ρ − α

となる。

定理 20.6 より w ∈ W (G) に対してα_{i} ∈ Πが存在し、 w = s_{α_{1}} ⋯ s_{α_{k}}となる。したがって

ρ ∘ w = ρs_{α_{1}} ⋯ s_{α_{k}}

= s_{α_{k}}^{∗} ⋯ s_{α_{1}}^{∗}(ρ) = s_{α_{k}}^{∗} ⋯ s_{α_{2}}^{∗}(ρ − α_{1}) = s_{α_{k}}^{∗} ⋯ s_{α_{3}}^{∗}(ρ − α_{2} − s_{α_{2}}^{∗}(α_{1}))

· · · · · ·

= ρ − ∑_{α∈Π} n_{α}α

となる整数 n_{α}が存在する。次に

ρ (\frac{2}{α(H_{α})}H_{α}) = (ρ − \frac{1}{2}α) (\frac{2}{α(H_{α})}H_{α}) + \frac{1}{2}α (\frac{2}{α(H_{α})}H_{α})

= (ρ − \frac{1}{2}α) (\frac{2}{α(H_{α})}H_{α}) + 1.

ここで

(ρ − \frac{1}{2}α) (\frac{2}{α(H_{α})}H_{α}) = (ρ − \frac{1}{2}α) s_{α} (\frac{2}{α(H_{α})}H_{α})

= − (ρ − \frac{1}{2}α) (\frac{2}{α(H_{α})}H_{α})

となるので

(ρ − \frac{1}{2}α) (\frac{2}{α(H_{α})}H_{α}) = 0

となり

ρ (\frac{2}{α(H_{α})}H_{α}) = 1.

任意のβ ∈ Δ(G) に対して定理 20.6 よりある w ∈ W (G) が存在し、 β ∘ w ∈ Πとなる。 W (G) は 𝔱 に等長的に作用しているので、

β(H_{β}) = (β ∘ w)(H_{β∘w}) H_{β∘w} = w^{−1}H_{β}.

したがって

1 = ρ (\frac{2}{(β ∘ w)(H_{β∘w})}H_{β∘w})

= ρ (\frac{2}{w(H_{β})}w^{−1}H_{β})

= (ρ − ρ ∘ w + ρ ∘ w) (\frac{2}{w(H_{β})}w^{−1}H_{β})

= (ρ − ρ ∘ w) (\frac{2}{w(H_{β})}w^{−1}H_{β}) + ρ ∘ w (\frac{2}{w(H_{β})}w^{−1}H_{β})

= (ρ − ρ ∘ w) (\frac{2}{w(H_{β})}w^{−1}H_{β}) + ρ (\frac{2}{w(H_{β})}H_{β}) .

既に示したことと定理 11.1 より

ρ (\frac{2}{w(H_{β})}H_{β}) ∈ ℤ

がわかる。

20.9 補題. θ : T ⟶ U(1) をトーラス T から U(1) への Lie 群の準同型写像とする。 g ∈ Ch_{ℂ}(T) がker(θ) 上 0 になるとすると、ある h ∈ Ch_{ℂ}(T) が存在し g = h(θ − 1) となる。

証明. T の座標を T = ℝ^{k}/ℤ^{k}となるようにとり、 U(1) = ℝ/ℤ とみなす。すると

ℝ^{k} ⟶^{Θ} ℝ
↓  ↓
T ⟶^{θ} U(1)

が可換図式になるような線形写像Θが存在する。さらにΘ(ℤ^{k}) ⊂ ℤ が成り立つ。 Θ = 0 のときはθ = 1 となりker(θ) = T だから、任意の h ∈ Ch_{ℂ}(T) に対して g = (θ−1)h が成り立つ。そこでΘ ≠ 0 の場合を考える。するとある自然数 n が存在し、 Θ(ℤ^{k}) = nℤ となる。これより完全系列

0 ⟶ ker(Θ) ⟶ ℤ^{k} ⟶^{Θ} nℤ ⟶ 0

を得る。 Θ(z) = n となる z ∈ ℤ^{k}をとり、 ϕ(ni) = izとして準同型写像ϕ : nℤ ⟶ ℤ^{k} を定めると、 Θ∘ϕは nℤ の恒等写像になる。特に上の完全系列は分解する。したがって

\begin{aligned}ℤ^{k} & ≅ & ℤ × ℤ^{k−1} & ⟶^{Θ} & nℤ \\ & & (x_{1},…, x_{k}) & ⟼ & nx_{1} \end{aligned}

とみなすことができる。このとき

\begin{aligned}T & ≅ & U(1) × ⋯ × U(1) & ⟶^{θ} & U(1) \\ & & (z_{1},…, z_{k}) & ⟼ & z_{1}^{n} \end{aligned}

となる。他方、定理 4.6 より

g ∈ ℤ[z_{1}, z_{1}^{−1},…, z_{k}, z_{k}^{−1}]

だからある 0 以上の整数 n_{i}が存在し

z_{1}^{n_{1}} ⋯ z_{k}^{n_{k}}g ∈ ℤ[z_{1},…, z_{k}]

となる。よって z_{1}^{n_{1}} ⋯ z_{k}^{n_{k}}gは z_{1}^{n} − 1 の零点上で 0 になる多項式になるので、ある多項式 h′が存在し

z_{1}^{n_{1}} ⋯ z_{k}^{n_{k}}g = h′(z_{1}^{n} − 1)

となる。したがって h = z_{1}^{−n_{1}} ⋯ z_{k}^{−n_{k}}h′とおくと h ∈ Ch_{ℂ}(T) で

g = z_{1}^{−n_{1}} ⋯ z_{k}^{−n_{k}}h′(z_{1}^{n} − 1) = h(θ − 1)

が成り立つ。

20.10 補題. λ ∈ 𝔱 ^{∗}に対して図式

𝔱 ⟶^{λ} ℝ
exp↓  ↓^{e}
T ⟶^{θ_{λ}} U(1)

を可換にする Lie 群の準同型写像θ_{λ} : T ⟶ U(1) が存在するための必要十分条件は、 λ ∈ Λ(G) となることである。

証明. 上の図式を可換にするθ_{λ}が存在すれば、 H ∈ t_{e}に対して

e(λ(H)) = θ_{λ}(exp(H)) = 1

となるのでλ(H) ∈ 2πℤ。他方定理 17.6 より

Λ(G) = {λ ∈ 𝔱 ^{∗}| λ(𝔱 _{e}) ⊂ 2πℤ}

となるので、 λ ∈ Λ(G)。

逆にλ ∈ Λ(G) とすると、 λ(𝔱 _{e}) ⊂ 2πℤ となるので、上の図式を可換にするθ_{λ}が存在する。 20.11 注意. 注意 17.3 よりΔ(G) ⊂ Λ(G) だから、補題 20.10 よりα ∈ Δ(G) に対してθ_{α} : T ⟶ U(1) が存在する。

20.12 補題. g ∈ Ch_{ℂ}(T) が ∪_{α∈Δ(G)} ker(θ_{α}) 上 0 になるとすると、ある h ∈ Ch_{ℂ}(T)

が存在し

g = h ∏_{α∈Δ^{+}(G)}(θ_{α} − 1)

となる。

証明. Δ^{+}(G) の元の全体を {α_{1},…, α_{m}} で表す。 0 ≤ k ≤ m に対して h_{k} ∈ Ch_{ℂ}(T) が存在し

g = h_{k} ∏_{i=1}^{k}(θ_{α_{i}} − 1)

が成り立つことを kに関する帰納法で証明する。これが証明できれば、補題が証明される。 α ∈ Δ(G) に対してθ_{α} ∈ Ch_{ℂ}(G) だから、補題 20.9 よりある h_{1} ∈ Ch_{ℂ}(G) が存在して

g = h_{1}(θ_{α_{1}} − 1)

となる。 kのときの上の等式を仮定して、 k + 1 の場合の等式を証明しよう。補題の仮定より gはker(θ_{α_{k+1}}) 上 0 になる。したがって kの場合の上の等式より h_{k}は

ker(θ_{α_{k+1}}) − ⋃_{i=1}^{k} ker(θ_{α_{i}})

上で 0 になる。 ker(θ_{α_{k+1}}) は T の余次元 1 の閉 Lie 部分群になり、 ker(θ_{α_{k+1}}) 上で各 θ_{α_{i}} (1 ≤ i ≤ k) は U(1) への非自明な準同型写像になる。したがって各

ker(θ_{α_{k+1}}) ∩ ker(θ_{α_{i}}) (1 ≤ i ≤ k)

はker(θ_{α_{k+1}}) 内の余次元 1 の閉 Lie 部分群になる。特に h_{k}はker(θ_{α_{k+1}}) 上で 0 になる。これより補題 20.9 よりある h_{k+1} ∈ Ch_{ℂ}(G) が存在して

h_{k} = h_{k+1}(θ_{α_{k+1}} − 1)

となり、

g = h_{k+1} ∏_{i=1}^{k+1}(θ_{α_{i}} − 1)

が成り立つ。

20.13 補題.

∑_{α∈Δ(G)} ℤ\frac{4π}{α(H_{α})}H_{α} ⊂ 𝔱 _{e}

証明. α ∈ Δ(G) に対して補題 13.4 のように E_{α}と F_{α}をとる。

Ē_{α} = \frac{2}{\sqrt{α(H_{α})}}E_{α}, F̄_{α} = \frac{2}{\sqrt{α(H_{α})}}F_{α}, H̄_{α} = \frac{2}{α(H_{α})}H_{α}

とおくと

[H̄_{α}, Ē_{α}] = 2F̄_{α}, [H̄_{α}, F̄_{α}] = −2Ē_{α}, [Ē_{α}, F̄_{α}] = 2H̄_{α}

が成り立つ。他方、 𝔰u (2) の基底を

H = [ \begin{matrix}\sqrt{−1} & 0 \\ 0 & −\sqrt{−1} \end{matrix} ] , E = [ \begin{matrix}0 & \sqrt{−1} \\ \sqrt{−1} & 0 \end{matrix} ] , F = [ \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ]

ととると

[H, E] = 2F, [H, F] = −2E, [E, F] = 2H

となる。そこで線形写像ϕ : 𝔰u (2) ⟶ 𝔤 を

ϕ(H) = H_{α}, ϕ(E) = E_{α}, ϕ(F) = F_{α}

となるように定めると、 ϕは Lie 環の準同型写像を定める。 SU(2) は単連結だから、 ϕは Lie 群の準同型写像ϕ̄: SU(2) ⟶ G を誘導する。

exp(2πH) = exp [ \begin{matrix}2π\sqrt{−1} & 0 \\ 0 & −2π\sqrt{−1} \end{matrix} ] = e

となるので、

e = ϕ̄ exp(2πH) = exp(ϕ(2πH)) = exp (\frac{4π}{α(H_{α})}H_{α}) .

したがって

\frac{4π}{α(H_{α})}H_{α} ∈ 𝔱 _{e}

となる。

20.14 命題. λ ∈ 𝔱 ^{∗}に対して

c(λ) = \frac{A(λ)}{δ} : 𝔱 − SD(G) ⟶ ℂ

とおく。 γ ∈ Λ(G) に対して c(γ + ρ) は 𝔱 上の連続対称関数に一意的に拡張される。その拡張も同じ記号 c(γ + ρ) で表すことにすると、図式

𝔱 ⟶^{c(γ+ρ)} ℂ
exp ↓ ↗_{c̄(γ+ρ)}
T

を可換にするc̄(γ + ρ) ∈ Ch_{ℂ}(T) が存在する。

証明. 補題 20.7 より

δ = \frac{∏_{α∈Δ^{+}(G)}(e(α) − 1)}{e(ρ)}

となるので

c(γ + ρ) = \frac{e(ρ)A(γ + ρ)}{∏_{α∈Δ^{+}(G)}(e(α) − 1)}.

この分子について考えてみると

e(ρ)A(γ + ρ) = e(ρ) ∑_{w∈W (G)} det(w)e((γ + ρ) ∘ w)

= ∑_{w∈W (G)} det(w)e(ρ)e(γ ∘ w + ρ ∘ w)

= ∑_{w∈W (G)} det(w)e(ρ + γ ∘ w + ρ ∘ w).

ここで各 w ∈ W (G) に対してγ ∘ w ∈ Λ(G) であり、補題 20.8 より

ρ + ρ ∘ w = (ρ ∘ w − ρ) + 2ρ ∈ Λ(G)

だから、

ρ + γ ∘ w + ρ ∘ w ∈ Λ(G).

したがって補題 20.10 より準同型写像

θ_{ρ+γ∘w+ρ∘w} : T ⟶ U(1)

が存在し

e(ρ + γ ∘ w + ρ ∘ w) = θ_{ρ+γ∘w+ρ∘w} exp

となる。これより

\overline{e(ρ)A(γ + ρ)} = ∑_{w∈W (G)} det(w)θ_{ρ+γ∘w+ρ∘w} ∈ Ch_{ℂ}(T)

とおくと

e(ρ)A(γ + ρ) = \overline{e(ρ)A(γ + ρ)} exp .

次に T 上の関数\overline{e(ρ)A(γ + ρ)}が ∪_{α∈Δ(G)} ker(θ_{α}) 上 0 になることを証明しよう。 x ∈ ∪_{α∈Δ(G)} ker(θ_{α}) とするとあるα ∈ Δ(G) に対して x ∈ ker(θ_{α}) となる。

exp : 𝔱 ⟶ T

は全射だから、 x exp Xとなる X ∈ 𝔱 をとることができる。

1 = θ_{α}(x) = θ_{α}(exp X) = e(α(X))

だからα(X) ∈ 2πℤ。これより

X − s_{α}(X) = \frac{2α(X)}{α(H_{α})}H_{α} ∈ ℤ\frac{4π}{α(H_{α})}H_{α}

となるので、補題 20.13 より

exp(X) = exp(s_{α}(X))

したがって

\overline{e(ρ)A(γ + ρ)}(x) =\overline{e(ρ)A(γ + ρ)}(exp(s_{α}X))
=(e(ρ)A(γ + ρ))(s_{α}X)
=e(ρ(s_{α}X))A(γ + ρ)(s_{α}X).

ここで命題 20.4 より A(γ + ρ) は交代関数だから

A(γ + ρ)(s_{α}X) = det(s_{α})A(γ + ρ)(X) = −A(γ + ρ)(X)

となる。また上で示したように

X − s_{α}(X) ∈ ℤ\frac{4π}{α(H_{α})}H_{α}

となり、補題 20.8 より

ρ (\frac{4π}{α(H_{α})}H_{α}) ∈ 2πℤ.

したがって

e(ρ(X − s_{α}(X))) = 1,

すなわち e(ρ(X)) = e(ρ(s_{α}(X)))。以上より

\overline{e(ρ)A(γ + ρ)}(x)e(ρ(s_{α}X))A(γ + ρ)(s_{α}X) = −e(ρ(X))A(γ + ρ)(X)
= −\overline{e(ρ)A(γ + ρ)}(x)

が成り立ち、\overline{e(ρ)A(γ + ρ)}(x) = 0 となる。これで\overline{e(ρ)A(γ + ρ)}は ∪_{α∈Δ(G)} ker(θ_{α}) 上 0

になることがわかった。 \overline{e(ρ)A(γ + ρ)}に補題 20.12 を適用すると、ある h ∈ Ch_{ℂ}(T) が存在し

\overline{e(ρ)A(γ + ρ)} = h ∏_{α∈Δ^{+}(G)}(θ_{α} − 1)

となる。他方

∏_{α∈Δ^{+}(G)}(e(α) − 1) = ( ∏_{α∈Δ^{+}(G)}(θ_{α} − 1)) ∘ exp

となるので、 𝔱 − SD(G) 上で

c(γ + ρ) = \frac{\overline{e(ρ)A(γ + ρ)}}{∏_{α∈Δ^{+}(G)}(θ_{α} − 1)} ∘ exp = h ∘ exp

が成り立つ。これより c(γ + ρ) は 𝔱 に拡張され、 c̄(γ + ρ) = h となる。

20.15 定理 (Weyl). (φ, V) を G の有限次元複素既約表現とし、 λ ∈ W (φ, V) を最高ウェイトとする。このときφ の指標は

χ_{φ}|_{T} = c̄(λ + ρ)

と表すことができる。さらに A(ρ) = δが成り立つ。