微分幾何学 III （大学院） 講義ノート 1992/2/5,12

21 さらに知りたい人へこの節では以下の設定条件のもとで議論する。 G を両側不変 Riemann 計量を持っているコンパクト連結 Lie 群とし T を G の 1 つの極大トーラスとする。これらの Lie 環をそれぞれ 𝔤 と 𝔱 で表す。 𝔱 ^{∗}に定義 11.2 のように順序を入れておく。

21.1. Weyl の指標公式 (定理 20.15) を証明するためには、次の Weyl の積分公式が必要になる。 μとνをそれぞれ G と T の Haar 測度とする。 G 上の連続関数 fに対して

∫_{G} fdμ = \frac{1}{|W (G)|} ∫_{T} [det(1_{G/T} − Ad(t^{−1})) ∫_{G} f(gtg^{−1})dνg] dνt

が成り立つ。 fが類関数の場合は

∫_{G} fdμ = \frac{1}{|W (G)|} ∫_{T} det(1_{G/T} − Ad(t^{−1}))f(t)dνt

となる。定理 20.15 において指標の単位元での値を調べることにより、

dim V = ∏_{α∈Δ^{+}(G)} \frac{⟨α, λ + ρ⟩}{⟨α, ρ⟩}

が成り立つことがわかる。これを Weyl の次元公式という。

21.2. G の有限次元複素既約表現の全体を次のように記述することができる。

K = {λ ∈ 𝔱 ^{∗} | λ(H_{α}) > 0 (α ∈ Δ^{+}(G))}

とおくと、 G の有限次元複素既約表現の最高ウェイトはK̄ ∩ Λ(G) に含まれる。逆に γ ∈ K̄ ∩ Λ(G) に対してc̄(γ + ρ) は G のある有限次元複素既約表現の指標になる。特にその表現の最高ウェイトはγになる。そこで

Ch_{ℂ}(G)_{T} = {χ|_{T} | χ ∈ Ch_{ℂ}(G)}

とおくと、写像

C : K̄ ∩ Λ(G) ⟶ Ch_{ℂ}(G)_{T}; γ ⟼ c̄(γ + ρ)

が定まり、 CはK̄ ∩ Λ(G) と

{χ_{λ}|_{T} | [V, λ] ∈ D_{ℂ}(G)}

の間の全単射を与える。この対応でK̄ ∩ Λ(G) と D_{ℂ}(G) の間に一対一対応ができる。さらに G が単連結の場合には、あるλ_{1},…, λ_{r} ∈ K̄ ∩ Λ(G) が存在し、任意の λ ∈ K̄ ∩ Λ(G) に対して

λ = ∑_{i=1}^{r} n_{i}λ_{i} (n_{i} ∈ ℤ, n_{i} ≥ 0)

と表示できる。 λ_{1},…, λ_{r}を基本ウェイトと呼び、対応する G の有限次元複素既約表現を基本既約表現と呼ぶ。多項式環 ℤ[X_{1},…, X_{r}] の元 X_{i}に Ch_{ℂ}(G)_{T} の元c̄(λ_{i} + ρ) を対応させる対応を環の準同型写像C̄に拡張すると

C̄ : ℤ[X_{1},…, X_{r}] ⟶ Ch_{ℂ}(G)_{T} ≅ Ch_{ℂ}(G) ≅ R_{ℂ}(G)

は環の同型写像になる。 21.3. コンパクト単連結 Lie 群の有限次元複素表現については、 21.2 に書いた方法で全体を把握することができる。単連結でない場合を考えるためには、その群の局所同型類の中で同型類の全体を把握する必要がある。

Γ_{u} = ∑_{α∈Δ(G)} ℤ\frac{4π}{α(H_{α})}H_{α}

Γ_{a} = {H ∈ 𝔱 | α(H) ∈ 2πℤ (α ∈ Δ(G))}

とおくと

Γ_{u} ⊂ 𝔱 _{e} ⊂ Γ_{a}

が成り立つ。前半の包含関係は補題 20.13 で示した。 G の基本群をπ_{1}(G) で表し、中心を Z(G) で表すと

π_{1}(G) ≅ 𝔱 _{e}/Γ_{u}, Z(G) ≅ Γ_{a}/𝔱 _{e}

となる。 𝔤 が半単純の場合はΓ_{a}も 𝔱 の離散部分群になり、 Γ_{a}/Γ_{u}は有限可換群になる。 𝔤 に対応する単連結コンパクト Lie 群をG̃で表す。

Γ_{u} ⊂ Γ ⊂ Γ_{a}

を満たす部分群Γに対してG̃/ exp(Γ) は 𝔱 _{e} = Γを満たす。上の条件を満たすΓをすべて見つけることは、 Γ_{a}/Γ_{u}の部分群をすべて見つけることと同値になる。 Γ_{u}に対応する Lie 群はG̃になり、 Γ_{a}に対応する Lie 群はInt(𝔤 ) になる。次のような図式で以上の対応を考えることができる。

Γ_{u} ⊂ 𝔱 _{e} ⊂  Γ_{a}
| | |
G̃ ⟶ G ⟶ Int(𝔤 ) = Ad(G)

ただし⟶は被覆写像を表している。

G の有限次元複素既約表現をすべて求めるためには、 G̃の有限次元複素既約表現をすべて求め、その内でG̃の部分群 exp(𝔱 _{e}) に核が含まれる表現をすべて取り出せばよい。

21.4. G を Lie 群とし、 Kをその閉 Lie 部分群とする。 G が等質空間 M = G/K上のベクトル束 Eに Lie 変換群として作用し、 x ∈ Mに対して g ∈ G は x での Eのファイバー E_{x}から gx でのファイバー E_{gx}への線形同型写像になっているとき、 Eを M 上の等質ベクトル束と呼ぶ。

等質空間上の等質ベクトル束は次のようにして Kの有限次元表現から構成することができる。 (E_{0}, τ) を Kの有限次元表現とする。 Kは G × E_{0}に

(g, v)k = (gk, τ(k)^{−1}v) (g ∈ G, v ∈ E_{0}, k ∈ K)

によって右から作用する。この作用の商空間を G ×_{τ} E_{0}で表し、

p : G ×_{τ} E_{0} ⟶ G/K; [g, v] ⟼ gK

とすると、 G ×_{τ} E_{0}は p を射影とし E_{0}を標準ファイバーとする M = G/K上のベクトル束になる。さらに作用 g[g′, v] = [gg′, v] によって G ×_{τ} E_{0}は M = G/K上の等質ベクトル束になる。以上で Kの有限次元表現に対して M上の等質ベクトル束が対応する。逆に M上の等質ベクトル束 Eに対して、 k ∈ Kは Mの原点 o を動かさないので線形同型写像γ(k) : E_{o} ⟶ E_{o}を誘導しγ(k) ∈ GL(E_{o}) となる。 γ : K ⟶ GL(E_{o}) は Kの表現になり (E_{o}, γ) から定まる等質ベクトル束 G ×_{γ} E_{o}は元の等質ベクトル束 Eと同型になる。これらのことから M = G/K上の等質ベクトル束が定める量を対応する表現に関する量で表すことが重要になる。