微分幾何学 III （大学院） 講義ノート 1991/5/15 改訂 1991/11/6

6 関数空間上の表現

6.1 補題. G をコンパクト位相群とする。 G の単位元 e の任意の近傍 Uに対して

xV x^{−1} ⊂ U (x ∈ G)

を満たす e の近傍 V が存在する。

証明. 連続写像 F を

F : G × G ⟶ G; (x, y) ⟼ xyx^{−1}

によって定める。 F (G × {e}) = {e} で G はコンパクトだから、 e の近傍 V が存在し F (G × V) ⊂ Uとなる。 F の定義より任意の x ∈ G に対して xV x^{−1} ⊂ Uが成り立つ。

6.2 命題. G をコンパクト位相群とし

(τ(g, h)f)(x) = f(g^{−1}xh) (g, h ∈ G, f ∈ K^{ℂ}(G), x ∈ G)

とするとτ(g, h)f ∈ K^{ℂ}(G) となる。これによって (τ, (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞})) は G × G の表現になり、 (τ, (K^{ℂ}(G), ⟨ , ⟩)) は G × G のユニタリ表現になる。さらに各 g, h ∈ G に対して

τ(g, h) : K^{ℂ}(G) ⟶ K^{ℂ}(G)

は一意的に連続線形同型写像

τ(g, h) : L^{2}(G) ⟶ L^{2}(G)

に拡張することができ、 (τ, L^{2}(G)) も G × G のユニタリ表現になる。

証明. f ∈ K^{ℂ}(G), g, h ∈ G に対して G は位相群だからτ(g, h)f ∈ K^{ℂ}(G) となる。また f_{1}, f_{2} ∈ K^{ℂ}(G), g, h ∈ G に対して

∥τ(g, h)f_{1}∥_{∞} = ∥f_{1}∥_{∞}, ⟨τ(g, h)f_{1}, τ(g, h)f_{2}⟩ = ⟨f_{1}, f_{2}⟩

が成り立つので、 τ(g, h) は (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞}) と (K^{ℂ}(G), ⟨ , ⟩) の連続線形同型写像になる。さらに

τ(g_{1}g_{2}, h_{1}h_{2})f = τ(g_{1}, h_{1})τ(g_{2}, h_{2})f (g_{1}, g_{2}, h_{1}, h_{2} ∈ G, f ∈ K^{ℂ}(G))

が成り立つ。

G × G × (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞}) ⟶ (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞}); (g, h, f) ⟼ τ(g, h)f

が連続になることを示そう。 (g_{1}, h_{1}, f_{1}) ∈ G × G × K^{ℂ}(G) をとる。 f_{1}は一様連続だから任意のε > 0 に対して G の単位元の近傍 Uが存在して

yx^{−1} ∈ U ⟹ |f(x) − f(y)| < \frac{ε}{2}

を満たす。補題 6.1 と群演算の連続性より e の近傍 V が存在し、

u, v ∈ V, w ∈ G ⟹ uwvw^{−1} ∈ U.

そこで g_{2} ∈ g_{1}V^{−1}, h_{2} ∈ V h_{1}, f_{2} ∈ B_{ε/2}(f_{1}) とすると g_{2}^{−1}g_{1} ∈ V, h_{2}h_{1}^{−1} ∈ V となり、

g_{2}^{−1}xh_{2}(g_{1}^{−1}xh_{1})^{−1} = g_{2}^{−1}xh_{2}h_{1}^{−1}x^{−1}g_{1}
=g_{2}^{−1}g_{1}(g_{1}^{−1}x)h_{2}h_{1}^{−1}(g_{1}^{−1}x)^{−1} ∈ U.

各 x ∈ G について

|(τ(g_{1}, h_{1})f_{1})(x) − (τ(g_{2}, h_{2})f_{2})(x)|
=|f_{1}(g_{1}^{−1}xh_{1}) − f_{2}(g_{2}^{−1}xh_{2})|
≤|f_{1}(g_{1}^{−1}xh_{1}) − f_{1}(g_{2}^{−1}xh_{2})| + |f_{1}(g_{2}^{−1}xh_{2}) − f_{2}(g_{2}^{−1}xh_{2})|
≤ε.

したがって ∥τ(g_{1}, h_{1})f_{1} − τ(g_{2}, h_{2})f_{2}∥_{∞} < εとなり (τ, (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞})) は G × G の表現になる。

次に各 g, h ∈ G に対して

τ(g, h) : K^{ℂ}(G) ⟶ K^{ℂ}(G)

は連続線形同型写像であり、定理 5.9 より K^{ℂ}(G) は L^{2}(G) 内で稠密だから一意的に連続線形同型写像

τ(g, h) : L^{2}(G) ⟶ L^{2}(G)

に拡張することができる。さらに

⟨τ(g, h)f_{1}, τ(g, h)f_{2}⟩ = ⟨f_{1}, f_{2}⟩ (f_{1}, f_{2} ∈ K^{ℂ}(G), g, h ∈ G)

だから

⟨τ(g, h)f_{1}, τ(g, h)f_{2}⟩ = ⟨f_{1}, f_{2}⟩ (f_{1}, f_{2} ∈ L^{2}(G), g, h ∈ G)

が成り立つ。後は

G × G × L^{2}(G) ⟶ L^{2}; (g, h, f) ⟼ τ(g, h)f

が連続になることを示せば、 (τ, (K^{ℂ}(G), ⟨ , ⟩)) と (τ, L^{2}(G)) が G × G のユニタリ表現になることがわかる。 (g_{1}, h_{1}, f_{1}) ∈ G × G × L^{2}(G) をとる。 K^{ℂ}(G) は L^{2}(G) 内で稠密だから任意のε > 0 に対して ∥f_{1} − f̃_{1}∥ < ε/4 を満たすf̃_{1} ∈ K^{ℂ}(G) が存在する。上で示したことより G の単位元の近傍 V が存在して

g_{2} ∈ g_{1}V^{−1}, h_{2} ∈ V h_{1}, x ∈ G ⟹ |f̃_{1}(g_{1}^{−1}xh_{1}) − f̃_{1}(g_{2}^{−1}xh_{2})| < \frac{ε}{4}

を満たす。そこで g_{2} ∈ g_{1}V^{−1}, h_{2} ∈ V h_{1}, f_{2} ∈ B_{ε/4}(f_{1}) とすると

∥τ(g_{1}, h_{1})f_{1} − τ(g_{2}, h_{2})f_{2}∥

≤∥τ(g_{1}, h_{1})f_{1} − τ(g_{1}, h_{1})f̃_{1}∥ + ∥τ(g_{1}, h_{1})f̃_{1} − τ(g_{2}, h_{2})f̃_{1}∥
+ ∥τ(g_{2}, h_{2})f̃_{1} − τ(g_{2}, h_{2})f_{2}∥
≤∥f_{1} − f̃_{1}∥ + ∥τ(g_{1}, h_{1})f̃_{1} − τ(g_{2}, h_{2})f̃_{1}∥ + ∥f̃_{1} − f_{2}∥
≤2∥f_{1} − f̃_{1}∥ + ∥f_{1} − f_{2}∥ + ∥τ(g_{1}, h_{1})f̃_{1} − τ(g_{2}, h_{2})f̃_{1}∥
≤\frac{3}{4}ε + ∥τ(g_{1}, h_{1})f̃_{1} − τ(g_{2}, h_{2})f̃_{1}∥.

さらに

∥τ(g_{1}, h_{1})f̃_{1} − τ(g_{2}, h_{2})f̃_{1}∥^{2}
= ∫ |f̃_{1}(g_{1}^{−1}xh_{1}) − f̃_{1}(g_{2}^{−1}xh_{2})|^{2}dμx < (\frac{ε}{4})^{2}

だから

∥τ(g_{1}, h_{1})f_{1} − τ(g_{2}, h_{2})f_{2}∥ < ε.

6.3 命題. コンパクト位相群 G の有限次元複素表現 (ρ, V) に対して A_{ρ} : V ⊗ V^{∗} ⟶ K^{ℂ}(G) を

A_{ρ}(v ⊗ v^{∗})(g) = v^{∗}(ρ(g)^{−1}v) (g ∈ G, v ∈ V, v^{∗} ∈ V^{∗})

によって定めると、 A_{ρ}は (ρ ˆ⊗ρ^{∗}, V ⊗ V^{∗}) から (τ, (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞})) への G × G 準同型写像になり、同時に (ρ ˆ⊗ρ^{∗}, V ⊗ V^{∗}) から (τ, (K^{ℂ}(G), ⟨ , ⟩)) への G × G 準同型写像にもなる。またρの指標の共役\overline{χ}_{ρ}は A_{ρ}(V ⊗ V^{∗}) に含まれる。さらに G の 2 つの有限次元複素表現 (ρ, V) と (σ, W) が同値ならば、 A_{ρ}(V ⊗ V^{∗}) = A_{σ}(W ⊗ W^{∗}) となる。

証明. v ∈ V, v^{∗} ∈ V^{∗}に対して A_{ρ}(v ⊗v^{∗}) ∈ K^{ℂ}(G) は表現の定義からわかる。 V ⊗V^{∗} は有限次元だから、線形写像 A_{ρ} : V ⊗ V^{∗} ⟶ K^{ℂ}(G) は ∥ ∥_{∞}で定まる K^{ℂ}(G) の位相と ⟨ , ⟩ で定まる K^{ℂ}(G) の位相のどちらに関しても連続になる。 (g, h) ∈ G × G, v ∈ V, v^{∗} ∈ V^{∗}, x ∈ G について

A_{ρ}((ρ ⊗ ρ^{∗})(g, h)(v ⊗ v^{∗}))(x)
=A_{ρ}((ρ(g)v) ⊗ (v^{∗} ∘ ρ(h)^{−1}))(x)
=v^{∗} ∘ ρ(h)^{−1}(ρ(x)^{−1} ∘ ρ(g)v)
=v^{∗}(ρ(g^{−1}xh)^{−1}v)
=A_{ρ}(v ⊗ v^{∗})(g^{−1}xh)
=τ(g, h)(A_{ρ}(v ⊗ v^{∗}))(x).

よって A_{ρ} : (ρ ˆ⊗ρ^{∗}, V ˆ⊗V^{∗}) ⟶ (τ, K^{ℂ}(G)) は G × G 準同型写像になる。

(ρ, V) がユニタリ表現になるような V の内積 ( , ) をとる。 {e_{i}} を V のユニタリ基底とし {e_{i}^{∗}} をその双対基底とすると、各 g ∈ G について

\overline{χ}_{ρ}(g) = ∑_{i}(e_{i}, ρ(g)e_{i}) = ∑_{i}(ρ(g)^{−1}e_{i}, e_{i}) = ∑_{i} e_{i}^{∗}(ρ(g)^{−1}e_{i}) ∑_{i} A_{ρ}(e_{i} ⊗ e_{i}^{∗})(g)

だから\overline{χ}_{ρ} ∈ A_{ρ}(V ⊗ V^{∗})。

(ρ, V) と (σ, W) を G の 2 つの同値な有限次元複素表現とすると、 G 同型写像 A : V ⟶ W が存在する。 w^{∗} ∈ W^{∗}, v ∈ V, g ∈ G に対して

A_{σ}(Av ⊗ w^{∗})(g) = w^{∗}(σ(g)^{−1}Av)
= w^{∗}(Aρ(g)^{−1}v)
= (w^{∗} ∘ A)(ρ(g)^{−1}v)
= A_{ρ}(v ⊗ (w^{∗} ∘ A))(g)

となるので、 A_{σ}(Av ⊗ w^{∗}) = A_{ρ}(v ⊗ (w^{∗} ∘ A)) となり、 A_{ρ}(V ⊗ V^{∗}) = A_{σ}(W ⊗ W^{∗}) がわかる。

6.4 命題. G をコンパクト位相群とし k ∈ K^{ℂ}(G × G) が

k(g^{−1}xh, g^{−1}yh) = k(x, y) (g, h, x, y ∈ G)

を満たすとする。このとき kから命題 5.6 と命題 5.10 で定めた積分作用素

K : (τ, (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞})) ⟶ (τ, (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞}))
K : (τ, L^{2}(G)) ⟶ (τ, L^{2}(G))

は G × G 準同型写像になる。

証明. g, h, x ∈ G と f ∈ K^{ℂ}(G) に対して、

(τ(g, h)Kf)(x) = ∫ k(g^{−1}xh, y)f(y)dμy
= ∫ k(x, gyh^{−1})f(y)dμy
= ∫ k(x, z)f(g^{−1}zh)dμy
= (Kτ(g, h)f)(x).

したがって、 τ(g, h)K = Kτ(g, h) となり、

K : (τ, (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞})) ⟶ (τ, (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞}))

は G × G 準同型写像になる。また各 g, h ∈ G について

τ(g, h)Kf = Kτ(g, h)f (f ∈ K^{ℂ}(G))

が成り立ち、定理 5.9 より K^{ℂ}(G) は L^{2}(G) 内で稠密だから

τ(g, h)Kf = Kτ(g, h)f (f ∈ L^{2}(G))

が成り立つ。よって

K : (τ, L^{2}(G)) ⟶ (τ, L^{2}(G))

も G × G 準同型写像になる。 6.5 定義. コンパクト位相群 G に対して

Cl_{ℂ}(G) = {f ∈ K^{ℂ}(G)|f(yxy^{−1}) = f(x) (x, y ∈ G)}

とおく。 Cl_{ℂ}(G) の元を G 上の類関数と呼ぶ。

6.6 例. コンパクト位相群 G に対して Ch_{ℂ}(G) ⊂ Cl_{ℂ}(G) である。

6.7 命題. G をコンパクト位相群とし

(P f)(x) = ∫ f(yxy^{−1})dμy (f ∈ K^{ℂ}(G), x ∈ G)

によって写像

P : (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞}) ⟶ (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞})

を定めると、これは連続線形写像になる。さらに P (K^{ℂ}(G)) ⊂ Cl_{ℂ}(G) が成り立つ。

証明. f ∈ K^{ℂ}(G) に対して P f ∈ K^{ℂ}(G) となることをまず示しておく。 fは一様連続だから任意のε > 0 に対して G の単位元 e の近傍 Uが存在し、

yx^{−1} ∈ U ⟹ |f(x) − f(y)| < ε

を満たす。補題 6.1 より e の近傍 V が存在し xV x^{−1} ⊂ U (x ∈ G) を満たす。そこで yx^{−1} ∈ V とすると、任意の z ∈ G に対して

(zyz^{−1})(zxz^{−1})^{−1} = zyx^{−1}z^{−1} ∈ U.

したがって

|(P f)(x) − (P f)(y)| = |∫ (f(zxz^{−1}) − f(zyz^{−1}))dμz|
≤ ∫ |f(zxz^{−1}) − f(zyz^{−1})|dμz
< ε.

よって P f ∈ K^{ℂ}(G) となる。

P : K^{ℂ}(G) ⟶ K^{ℂ}(G) が線形写像になるのは Haar 積分の線形性からわかる。さらに f ∈ K^{ℂ}(G), x ∈ G に対して

|(P f)(x)| = |∫ f(yzy^{−1})dμy| ≤ ∫ |f(yzy^{−1})|dμy ≤ ∥f∥_{∞}

だから ∥P f∥_{∞} ≤ ∥f∥_{∞}となり P は連続線形写像になる。 f ∈ K^{ℂ}(G), x, y ∈ G に対して

(P f)(yxy^{−1}) = ∫ f(zyxy^{−1}z^{−1})dμz
= ∫ f((zy)x(zy)^{−1})dμz
= ∫ f(wxw^{−1})dμz
= (P f)(x)

となるので P f ∈ Cl_{ℂ}(G)。したがって P (K^{ℂ}(G)) ⊂ Cl_{ℂ}(G)。