微分幾何学 III （大学院） 講義ノート 1991/5/22 改訂 1991/11/6

7 Peter-Weyl の定理

7.1 補題. コンパクト位相群 G の単位元の任意の近傍 Uに対して次の条件を満たす G 上の実数値連続関数δが存在する。

(1) δ(x) ≥ 0 (x ∈ G)
(2) supp δ ⊂ U
(3) ∫ δdμ = 1
(4) δ(yxy^{−1}) = δ(x) (x, y ∈ G)
(5) δ(x^{−1}) = δ(x) (x ∈ G)

証明. G は位相空間として正規空間になるので、\overline{U_{1}} ⊂ Uを満たす e の近傍 U_{1}をとることができる。補題 6.1 と群演算の連続性より e の近傍 V で

xV x^{−1} ⊂ U_{1} (x ∈ G)

を満たすものをとる。 Urysohn の補題より [0, 1] に値を持つ G 上の連続関数 a で

supp a ⊂ V ∩ V^{−1}, a(e) = 1

を満たすものが存在する。

b(x) = (P a)(x) + (P a)(x^{−1}) (x ∈ G)

とおくと、 b は [0, 2] に値を持つ G 上の連続関数になり、

b(x) > 0 ⟹ (P a)(x) > 0 または (P a)(x^{−1}) > 0
⟹ ^{∃}y_{1} ∈ G a(y_{1}xy_{1}^{−1}) > 0 または^{∃}y_{2} ∈ G a(y_{2}x^{−1}y_{2}^{−1}) > 0
⟹ y_{1}xy_{1}^{−1} ∈ V または y_{2}x^{−1}y_{2}^{−1} ∈ V^{−1}
⟹ x ∈ U_{1}.

したがって

supp b ⊂ \overline{U_{1}} ⊂ U.

さらに b の定め方より

b(yxy^{−1}) = b(x) (x, y ∈ G)
b(x^{−1}) = b(x) (x ∈ G)

もわかる。 b(e) = 2 だから

C = ∫ δdμ > 0

となり、 δ = b/Cとおくとδは補題の条件 (1) から (5) までを満たす実数値連続関数になる。 7.2 定理 (Peter-Weyl). G をコンパクト位相群とする。 G の各有限次元複素既約表現 (ρ, V) について A_{ρ} : V ⊗ V^{∗} ⟶ K^{ℂ}(G) は単射 G × G 準同型写像になり、

(τ, (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞})) ≃ ⊕_{[ρ,V]∈D_{ℂ}(G)}(ρ ˆ⊗ρ^{∗}, V ⊗ V^{∗})
(τ, L^{2}(G)) ≃ ⊕_{[ρ,V]∈D_{ℂ}(G)}(ρ ˆ⊗ρ^{∗}, V ⊗ V^{∗}) : ユニタリ直和

が成り立つ。また Ch_{ℂ}(G) が生成するベクトル空間は Cl_{ℂ}(G) 内で ∥ ∥_{∞}に関して稠密になる。

証明. G の有限次元複素既約表現 (ρ, V) について A : (ρ⊗ρ^{∗}, V ⊗V^{∗}) ⟶ (τ, K^{ℂ}(G)) は命題 6.3 より G × G 準同型写像になり、定理 1.16 より (ρ ⊗ ρ^{∗}, V ⊗ V^{∗}) は G × G の複素既約表現になる。 A_{ρ} ≠ 0 だから補題 1.6 より A_{ρ}は単射になる。

任意に f ∈ K^{ℂ}(G) を 1 つとる。 fは一様連続だから任意のε > 0 に対して G の単位元の近傍 Uが存在して

yx^{−1} ∈ U ⟹ |f(x) − f(y)| < \frac{ε}{2}

を満たす。この Uに対して補題 7.1 の実数値連続関数δをとる。

k(x, y) = δ(yx^{−1}) (x, y ∈ G)

とおくと、 kは G × G 上の実数値連続関数になる。 kから命題 5.6 で定めた積分作用素を Kとすると、

(Kf)(x) = ∫ k(x, y)f(y)dμy
= ∫ δ(yx^{−1})f(y)dμy
= ∫ δ(z)f(zx)dμz,
f(x) = ∫ δ(z)f(x)dμz

となるので

|f(x) − (Kf)(x)| = |∫ (δ(z)f(x) − δ(z)f(zx))dμz|
≤ ∫ δ(z)|f(x) − f(zx)|dμz.

ここで、任意の z ∈ G に対して (zx)x^{−1} = zでsupp δ ⊂ Uだから、

δ(z)|f(x) − f(zx)| ≤ \frac{ε}{2}δ(z)

となり、補題 7.1 の (3) を使って両辺を積分すると

|f(x) − (Kf)(x)| ≤ \frac{ε}{2}.

したがって

∥f − Kf∥_{∞} ≤ \frac{ε}{2}.

そこで次に Kfを A_{ρ}(V^{∗} ⊗ V) ([ρ, V] ∈ D_{ℂ}(G)) の元の級数で表すことを考える。補題 7.1 の (5) より x, y ∈ G に対して

k(y, x) = δ(xy^{−1}) = δ((yx^{−1})^{−1}) = δ(yx^{−1}) = k(x, y).

さらに補題 7.1 の (4) より g, h ∈ G に対して

k(g^{−1}xh, g^{−1}yh) = δ(g^{−1}yh(g^{−1}xh)^{−1}) = δ(g^{−1}yx^{−1}g)
= δ(yx^{−1}) = k(x, y).

したがって kは定理 5.12 と命題 6.4 の仮定を満たすので

K : (τ, (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞})) ⟶ (τ, (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞}))

は G×G 準同型写像になり、 Kの 0 以外の各固有値λに対応する固有関数 f_{λ} ∈ K^{ℂ}(G) をとり Kfを ∥ ∥_{∞}に関する級数 Kf = ∑_{λ} f_{λ}で表すことができる。さらに Kの固有値λの固有関数空間を E(λ) で表すと 0 でないλに対して E(λ) は有限次元になり、 K は G × G 準同型写像だから各 E(λ) は G × G 不変部分ベクトル空間になる。定理 1.13 より G × G の表現 (τ|_{E(λ)}, E(λ)) を ⟨ , ⟩ に関するユニタリ直和 E(λ) = ∑_{i} X_{i}に既約分解することができる。 X_{i}の 0 でない元 a を 1 つとる。 {τ(h, e)a|h ∈ G} が生成する複素部分ベクトル空間を V とおくと V ⊂ X_{i}となり V は有限次元である。 h ∈ G に対してρ(h) = τ(h, e)|_{V} とすると、定理 1.16 の証明より (ρ, V) は G の有限次元複素既約表現になる。 V の基底 {e_{j}} をとり {e_{j}^{∗}} をその双対基底とする。各 x ∈ G に対して

ρ(x)^{−1}a = ∑_{j} e_{j}^{∗}(ρ(x)^{−1}a)e_{j} = ∑_{j} A_{ρ}(a ⊗ e_{j}^{∗})(x)e_{j}.

したがって

a(x) = (τ(x^{−1}, e)a)(e) = (ρ(x)^{−1}a)(e) = ∑_{j} A_{ρ}(a ⊗ e_{j}^{∗})(x)e_{j}(e)

となり、

a = ∑_{j} e_{j}(e)A_{ρ}(⊗e_{j}^{∗}) ∈ A_{ρ}(V ⊗ V^{∗}).

A_{ρ}は単射だから A_{ρ}(V ⊗ V^{∗}) は既約になり X_{i} = A_{ρ}(V ⊗ V^{∗})。したがって、

∑_{λ≠0} E(λ) = ∑_{[ρ,V]∈D_{ℂ}(G)} A_{ρ}(V ⊗ V^{∗})

が成り立つ。これより ∥Kf − f′∥_{∞} ≤ ε/2 を満たす f′ ∈ ∑_{[ρ,V]∈D_{ℂ}(G)} A_{ρ}(V ⊗ V^{∗}) をとることができる。

∥f − f′∥_{∞} ≤ ∥f − Kf∥_{∞} + ∥Kf − f′∥ ≤ ε

となり、 ∑_{[ρ,V]∈D_{ℂ}(G)} A_{ρ}(V ⊗ V^{∗}) は (K^{ℂ}(G), ∥ ∥_{∞}) において稠密になる。よって ∑_{[ρ,V]∈D_{ℂ}(G)} A_{ρ}(V ⊗ V^{∗}) は (K^{ℂ}(G), ⟨ , ⟩) においても稠密になり、 L^{2}(G) 内で稠密になる。

次に和∑_{[ρ,V]∈D_{ℂ}(G)} A_{ρ}(V ⊗V^{∗}) が ⟨ , ⟩ に関してユニタリ直和になることを証明しよう。上で示したことより、 [ρ, V], [σ, W] ∈ D_{ℂ}(G) に対して A_{ρ}(V ⊗ V^{∗}) ≠ A_{σ}(W ⊗ W^{∗}) が成り立てば、 A_{ρ}(V ⊗ V^{∗}) と A_{σ}(W ⊗ W^{∗}) は直交する。そこで A_{ρ}(V ⊗ V^{∗}) = A_{σ}(W ⊗ W^{∗}) となる場合を考えよう。このときρ ˆ⊗ρ^{∗} ≃ σ ˆ⊗σ^{∗}となり、これらの指標を考えるとρ ≃ σとなることがわかる。したがって和∑_{[ρ,V]∈D_{ℂ}(G)} A_{ρ}(V ⊗V^{∗}) は ⟨ , ⟩ に関してユニタリ直和になっている。

最後に Ch_{ℂ}(G) が生成するベクトル空間は Cl_{ℂ}(G) 内で ∥ ∥_{∞}に関して稠密になっていることを示す。すでに示したことより、任意の f ∈ Cl_{ℂ}(G) とε > 0 に対して有限個の [ρ_{i}, V_{i}] ∈ D_{ℂ}(G) と v_{i} ∈ V_{i}, v_{i}^{∗} ∈ V_{i}^{∗}が存在し、

∥f − ∑_{i} A_{ρ_{i}}(v_{i} ⊗ v_{i}^{∗})∥_{∞} < ε

を満たす。 P f = fだから命題 6.7 の証明中に示したことより、

∥f − ∑_{i} P A_{ρ_{i}}(v_{i} ⊗ v_{i}^{∗})∥_{∞} < ε.

各 x ∈ G に対して、

P A_{ρ_{i}}(v_{i} ⊗ v_{i}^{∗})(x) = ∫ A_{ρ_{i}}(v_{i} ⊗ v_{i}^{∗})(yxy^{−1})dμy
= ∫ v_{i}^{∗}(ρ_{i}(yxy^{−1})^{−1}v_{i})dμy
= ∫ v_{i}^{∗}(ρ_{i}(yx^{−1}y^{−1})v_{i})dμy
= v_{i}^{∗} (∫ ρ_{i}(yx^{−1}y^{−1})dμy(v_{i})) .

ここで G の表現 (ρ_{i}, V_{i}) から例 1.9 で定めた G のHom(V_{i}, V_{i}) への表現をρ̄_{i}で表すと、

∫ ρ_{i}(yx^{−1}y^{−1})dμy = ∫ ρ̄_{i}(y)(ρ_{i}(x)^{−1})dμy

となり、これは命題 2.8 より V_{i}の G 準同型写像になる。 (ρ_{i}, V_{i}) は有限次元複素既約表現だから補題 1.6 よりある c_{i} ∈ ℂ が存在して、

∫ ρ_{i}(yx^{−1}y^{−1})dμy = c_{i}I_{V_{i}}

となる。両辺のtr をとると

c_{i} dim V_{i} = tr(c_{i}I_{V_{i}}) = ∫ tr(ρ_{i}(yx^{−1}y^{−1}))dμy = χ_{ρ_{i}}(x^{−1}) = \overline{χ_{ρ_{i}}(x)}

だから

∫ ρ_{i}(yx^{−1}y^{−1})dμy = \frac{1}{dim V_{i}} \overline{χ_{ρ_{i}}(x)}I_{V_{i}}.

よって

P A_{ρ_{i}}(v_{i} ⊗ v_{i}^{∗})(x) = v_{i}^{∗} (\frac{1}{dim V_{i}} \overline{χ_{ρ_{i}}(x)}I_{V_{i}}(v_{i}))

= \frac{v_{i}^{∗}(v_{i})}{dim V_{i}} \overline{χ_{ρ_{i}}(x)}.

これより

∑_{i} P A_{ρ_{i}}(v_{i} ⊗ v_{i}^{∗}) = ∑_{i} \frac{v_{i}^{∗}(v_{i})}{dim V_{i}} \overline{χ}_{ρ_{i}}

となり、\overline{Ch_{ℂ}(G)}が生成するベクトル空間が Cl_{ℂ}(G) 内で ∥ ∥_{∞}に関して稠密になっていることがわかりる。 Cl_{ℂ}(G) は共役に関して閉じているので、 Ch_{ℂ}(G) が生成するベクトル空間も Cl_{ℂ}(G) 内で ∥ ∥_{∞}に関して稠密になる。

7.3 例. 各 1 ≤ k ≤ n について

π_{k} : T^{n} ⟶ U(1); (u_{1},…, u_{n}) ⟼ u_{k}

とおくと、定理 4.6 より

D_{ℂ}(T^{n}) = {π_{1}^{m_{1}} ⋯ π_{n}^{m_{n}}|m_{k} ∈ ℤ}

とみなせる。 ρ = π_{1}^{m_{1}} ⋯ π_{n}^{m_{n}}としよう。 ρの表現空間は ℂ になり、 1 ∈ ℂ, 1 ∈ ℂ^{∗}をとると、

A_{ρ}(1 ⊗ 1)(x) = ρ(x) (x ∈ T^{n})

となる。さらに、 T^{n}の Haar 測度をμとすると、 |ρ| = 1 だから

∫ |ρ|^{2}dμ = 1.

したがって、定理 7.2 を使うと D_{ℂ}(T^{n}) は L^{2}(T^{n}) の Hilbert 基底になる。つまり、任意の f ∈ L^{2}(T^{n}) は L^{2}(T^{n}) の絶対収束級数

(∗) f = ∑_{m_{1},...,m_{n}∈ℤ}⟨f, π_{1}^{m_{1}} ⋯ π_{n}^{m_{n}}⟩π_{1}^{m_{1}} ⋯ π_{n}^{m_{n}}

で表される。ここで

⟨f, π_{1}^{m_{1}} ⋯ π_{n}^{m_{n}}⟩ = ∫ f\overline{π_{1}^{m_{1}} ⋯ π_{n}^{m_{n}}}dμ = ∫ fπ_{1}^{−m_{1}} ⋯ π_{n}^{−m_{n}}dμ

となる。 (∗) は Fourier 級数展開に他ならない。さらに、 f ∈ K^{ℂ}(T^{n}) のとき定理 7.2 より級数 (∗) は関数級数として絶対一様収束する。