数学研究科

微分幾何学 I

理工学研究科

微分幾何学 ————–

Lie 群と等質空間入門

田崎博之

1995 年度

目次

1 積分多様体 1 1.1 分布と積分多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Frobenius の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 極大連結積分多様体 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 可算開基 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Lie 群と Lie 環 13 2.1 Lie 群と Lie 環 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2 連結 Lie 群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 一般線形群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 一径数部分群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.5 指数写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.6 準同型写像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.7 接束 Lie 群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.8 閉 Lie 部分群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.9 線形 Lie 群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.10 Lie 部分群と Lie 部分環 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 2.11 線形 Lie 群の連結性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.12 自己同型群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3 等質空間 59 3.1 等質空間の多様体構造 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2 線形 Lie 群の等質空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.3 等質空間の Riemann 計量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.4 Lie 群上の Riemann 幾何学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.5 等質空間上の Riemann 幾何学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 3.6 コンパクト等質空間のコホモロジー . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

第 1 章積分多様体

1.1 分布と積分多様体

定義 1.1.1 Mを n 次元多様体とし、 kを 1 ≤ k ≤ n を満たす自然数とする。 Mの各点 x に対して、 T_{x}(M) の k次元部分ベクトル空間 𝔅_{x}を対応させる対応 𝔅 が次の (∗) を満たすとき、 𝔅 を M上の k次元分布と呼ぶ。 (∗) Mの任意の点 x に対して、 x の開近傍 Uと U上のベクトル場 X_{1},…, X_{k}が存在し各点 z ∈ Uにおいて (X_{1})_{z},…, (X_{k})_{z}は 𝔅_{z}の基底になる。 M上のベクトル場 Xと分布 𝔅 が任意の点 x ∈ Mに対して X_{x} ∈ 𝔅_{x}を満たすとき、 Xは 𝔅 に属するという。 M上の分布 𝔅 に属する任意のベクトル場 X, Y に対して [X, Y] もまた 𝔅 に属するとき、 𝔅 は完全積分可能であるという。 Nを Mの部分多様体としι : N ⟶ Mを包含写像とする。 M上の分布 𝔅 に対して

dι_{x}(T_{x}(N)) = 𝔅_{x} (x ∈ N)

が成り立つとき、 Nを 𝔅 の積分多様体と呼ぶ。

逆関数定理より次の補題を証明することができる。

補題 1.1.2 Nを n 次元多様体 Mの k次元部分多様体とする。このとき各 x ∈ Nに対して、 x を含む Mの局所座標近傍 (U; x_{1},…, x_{n}) で x_{i}(x) = 0, (1 ≤ i ≤ n) を満たすものが存在し

V = {z ∈ U|x_{α}(z) = 0 (k + 1 ≤ α ≤ n)}

は Nにおける x の開近傍になり、 x_{1},…, x_{k}の V への制限は Nの局所座標系になる。

命題 1.1.3 Mを多様体とし、 𝔅 を M上の分布とする。 Mの各点 x に対して、 x を含む 𝔅 の積分多様体が存在するならば 𝔅 は完全積分可能である。

証明 Xと Y を 𝔅 に属する M上のベクトル場とする。 Mの各点 x に対して、 [X, Y]_{x} ∈ 𝔅_{x} を示せばよい。 Nを x を含む 𝔅 の積分多様体とする。各 z ∈ Nに対して X_{z} ∈ 𝔅_{z} = dι_{z}(T_{z}(N)) であり dι_{z} : T_{z}(N) ⟶ T_{z}(M) は単射だからただ 1 つ X′_{z} ∈ T_{z}(N) が存在して dι_{z}(X′_{z}) = X_{z}を満たす。 dim M = n, dim N = kとすると補題 1.1.2より x を含む Mの局所座標近傍 (U; x_{1},…, x_{n}) が存在し

V = {z ∈ U|x_{α}(z) = 0 (k + 1 ≤ α ≤ n)}

は Nにおける x の開近傍になり x_{1},…, x_{k}の V への制限 y_{1},…, y_{k}は Nの局所座標系になる。 V も 𝔅 の積分多様体になる。 Xの Uにおける局所表示を

X_{z} = ∑_{i=1}^{n} a_{i}(z) \frac{∂}{∂x_{i}} |_{z} (z ∈ U)

とすると各 a_{i}は U上の C^{∞}級関数である。 z ∈ V に対して

dι_{z} ( \frac{∂}{∂y_{i}} |_{z}) = \frac{∂}{∂x_{i}} |_{z}

だから a_{α}(z) = 0 (k + 1 ≤ α ≤ n) で

X′_{z} = ∑_{i=1}^{k} a_{i} ∘ ι(z) \frac{∂}{∂y_{i}} |_{z} (z ∈ V)

が成り立つ。よって対応 z ⟼ X′_{z}は V 上のベクトル場になり

dι_{z}(X′_{z}) = X_{z} (z ∈ V)

を満たす。同様に Y′も V 上のベクトル場になり

dι_{z}(Y′_{z}) = Y_{z} (z ∈ V)

を満たす。したがって微分写像と Lie ブラケット積の関係から

[X, Y]_{z} = dι_{z}([X′, Y′]_{z}) ∈ dι_{z}(T_{z}(V)) = 𝔅_{z} (z ∈ V)

となる。 x ∈ V だから [X, Y]_{x} ∈ 𝔅_{x}が成り立つ。

補題 1.1.4 F : M ⟶ Nを連結な多様体 Mから多様体 Nへの C^{∞}級写像とする。任意の x ∈ Mに対して dF_{x} = 0 が成り立つならば、 F は定値写像である。

証明 p ∈ F (M) をとる。このとき M = F^{−1}(p) となることを示そう。まず F^{−1}(p) は 1 点の逆像だから閉集合である。次に F^{−1}(p) が開集合になることを示す。 x ∈ F^{−1}(p) をとる。 x ∈ U, F (U) ⊂ V となる Mと Nの局所座標系 (U; x_{1},…, x_{m}) と (V; y_{1},…, y_{n}) をとることができる。さらに Uは連結になるようにとっておく。各 z ∈ Uに対して dF_{z} = 0 だから、各 i, jについて

\frac{∂y_{j} ∘ F}{∂x_{i}} (z) = 0

となって、 F は Uにおいて一定値をとる。よって F (x) = p だから任意の z ∈ Uに対して F(z) = p となり U ⊂ F^{−1}(p)。以上で F^{−1}(p) は開かつ閉集合になり Mは連結だから M = F^{−1}(p) が成り立つ。したがって F は定値写像である。

1.2 Frobenius の定理

定理 1.2.1 (Frobenius) Mを n 次元多様体とし 𝔅 を M上の完全積分可能な k次元分布とする。このとき、 Mの各点 x に対して x を含む局所座標近傍 (U; x_{1},…, x_{n}) が存在し、 U は各座標軸の開区間の積になり

{z ∈ U|x_{i}(z) = c_{i} (k + 1 ≤ i ≤ n)} (各 c_{i}は定数)

は 𝔅 の積分多様体になる。さらに 𝔅 の連結な積分多様体 Nが N ⊂ Uを満たせば上の形の積分多様体のうちの 1 つに含まれる。

証明まず上のような局所座標近傍の存在を分布の次元 kに関する数学的帰納法で証明しよう。 k = 1 の場合 x の開近傍 V と V 上のベクトル場 Xが存在し各点 z ∈ V において X_{z} は 𝔅_{z}の基底になる。特に X_{z} ≠ 0 である。 x を含む Mの局所座標近傍 (V_{1}; y_{1},…, y_{n}) を V_{1} ⊂ V となるようにとる。 V_{1}における Xの局所表示を

X_{z} = ∑_{i=1}^{n} a_{i}(z) \frac{∂}{∂y_{i}} |_{z} (z ∈ V_{1})

とする。 y_{1},…, y_{n}を線形変換によってとりかえて X_{x} = \frac{∂}{∂y_{1}} |_{x}となるようにできる。常微分方程式

\frac{d(y_{i} ∘ c(t))}{dt} = a_{i}(c(t)) (1 ≤ i ≤ n)

の係数 a_{i}は C^{∞}級関数だから、あるε > 0 と R^{n−1}における 0 の開近傍 W が存在し各 (b_{2},…, b_{n}) ∈ W に対して初期条件 (y_{1}(c(0)),…, y_{n}(c(0))) = (0, b_{2},…, b_{n}) を満たす上の常微分方程式の解 c(t) が−ε < t < εにおいて存在する。

\frac{dc(t)}{dt} = ∑_{i=1}^{n} \frac{d(y_{i} ∘ c(t))}{dt} \frac{∂}{∂y_{i}} |_{c(t)} = ∑_{i=1}^{n} a_{i}(c(t)) \frac{∂}{∂y_{i}} |_{c(t)} = X_{c(t)}

となっている。この解を c(t) = c(t; b_{2},…, b_{n}) と書く。初期条件に対する常微分方程式の解の可微分性より

τ : (−ε, ε) × W ⟶ V_{1} ; (x_{1}, x_{2},…, x_{n}) ⟼ c(x_{1}; x_{2},…, x_{n})

は C^{∞}級写像である。 τの定義より

dτ_{0} ( \frac{∂}{∂x_{1}} |_{0}) = \frac{dc}{dt}(0) = X_{x} = \frac{∂}{∂y_{1}} |_{x}
dτ_{0} ( \frac{∂}{∂x_{i}} |_{0}) = \frac{∂}{∂y_{i}} |_{x} (2 ≤ i ≤ n)

となるので逆関数定理より x の開近傍 U ⊂ V_{1}が存在し x_{1},…, x_{n}は Uにおける局所座標系になる。さらに局所座標系によって Uが各座標軸の開区間の積になるように、 Uを取り直すができる。このとき

{z ∈ U|x_{i}(z) = c_{i} (2 ≤ i ≤ n)} (各 c_{i}は定数)

は適当な開区間 Iと微分同型な Mの 1 次元部分多様体である。これらの微分同型な 2 つの多様体を同一視しておく。 ι : I ⟶ Mを包含写像とすると

ι(t) = c(t; c_{2},…, c_{n}) (t ∈ I)

だから

dι_{t} ( \frac{d}{dt}|_{t}) = \frac{dc(t)}{dt} = X_{c(t)} ∈ 𝔅_{c(t)}.

したがって

dι_{z}(T_{z}(I)) = 𝔅_{z} (z ∈ I)

となって Iは 𝔅 の積分多様体である。さらに

\frac{∂}{∂x_{1}} |_{z} = X_{z} (z ∈ U)

が成り立っていることに注意しておく。

k − 1 次元分布に対して定理で述べた局所座標近傍が存在すると仮定して k次元分布の場合を証明しよう。 x の開近傍 V と V 上のベクトル場 X_{1},…, X_{k}が存在し各 z ∈ V において (X_{1})_{z},…, (X_{k})_{z}は 𝔅_{z}の基底になる。特に (X_{1})_{z} ≠ 0 である。 1 次元の場合ですでに示したように、 x を含む局所座標近傍 (V_{1}; y_{1},…, y_{n}) が存在し V_{1} ⊂ V で局所座標系によって V_{1} は各座標軸の開区間の積になり

\frac{∂}{∂y_{1}} |_{z} = (X_{1})_{z} (z ∈ V_{1})

を満たす。 X_{1},…, X_{k}を V_{1}上のベクトル場とみなし

Y_{1} = X_{1}
Y_{i} = X_{i} − X_{i}(y_{1})X_{1} (2 ≤ i ≤ k)

によって V_{1}上のベクトル場 Y_{1},…, Y_{k}を定める。ここで、 X_{i}(y_{1}) は関数 y_{1}に微分作用素とみなした X_{i}を作用して得られる関数である。

[Y_{1} … Y_{k}] = [X_{1} … X_{k}] [ \begin{matrix}1 & −X_{2}(y_{1}) & … & −X_{k}(y_{1}) \\ & 1 \\ . & . & . \\ & & & 1 \end{matrix} ]

だから各 z ∈ V_{1}において (Y_{1})_{z},…, (Y_{k})_{z}は 𝔅_{z}の基底になる。 Y_{i} (2 ≤ i ≤ k) の V_{1}における局所表示を

(Y_{i})_{z} = ∑_{j=1}^{n} a_{i}^{j}(z) \frac{∂}{∂y_{j}} |_{z} (z ∈ V_{1})

とすると

a_{i}^{1} = Y_{i}(y_{1}) = X_{i}(y_{1}) − X_{i}(y_{1})X_{1}(y_{1}) = 0.

したがって Y_{i} (2 ≤ i ≤ k) の V_{1}における局所表示は

(Y_{i})_{z} = ∑_{j=2}^{n} a_{i}^{j}(z) \frac{∂}{∂y_{j}} |_{z} (z ∈ V_{1})

となっている。そこで

S = {z ∈ V_{1}|y_{1}(z) = y_{1}(x)}

とおくと Sは n − 1 次元部分多様体になり y_{2},…, y_{n}の Sへの制限 y′_{2},…, y′_{n}は Sの局所座標系になる。 2 ≤ i ≤ kに対して

(Y′_{i})_{z} = ∑_{j=2}^{n} a_{i}^{j}(z) \frac{∂}{∂y′_{j}} |_{z} (z ∈ S)

は S上のベクトル場になり、包含写像ι : S ⟶ V_{1}に対して

dι_{z}((Y′_{i})_{z}) = (Y_{i})_{z} (z ∈ S)

が成り立つ。また各 z ∈ Sに対して (Y′_{2})_{z},…, (Y′_{k})_{z}は線形独立になる。よって

𝔅′_{z} = R(Y′_{2})_{z} + … + R(Y′_{k})_{z} (z ∈ S)

とおくと 𝔅′は S上の k − 1 次元分布である。

𝔅′が完全積分可能であることを以下で示そう。 𝔅 は完全積分可能だから各 z ∈ V_{1}に対して [Y_{i}, Y_{j}]_{z} ∈ 𝔅_{z}となる。したがって V_{1}上の C^{∞}級関数 c_{ij}^{p}が存在して

[Y_{i}, Y_{j}] = ∑_{p=1}^{k} c_{ij}^{p}Y_{p}

とできる。 2 ≤ i, j ≤ kのとき Y_{i}(y_{1}) = Y_{j}(y_{1}) = 0 より

0 = [Y_{i}, Y_{j}](y_{1}) = ∑_{p=1}^{k} c_{ij}^{p}Y_{p}(y_{1}) = c_{ij}^{1}

だから

[Y_{i}, Y_{j}] = ∑_{p=2}^{k} c_{ij}^{p}Y_{p}

となる。 2 ≤ i, j ≤ kのとき、 z ∈ Sに対して

dι_{z}([Y′_{i}, Y′_{j}]_{z}) = [Y_{i}, Y_{j}]_{z} = ∑_{p=2}^{k} c_{ij}^{p}(z)(Y_{p})_{z} = dι_{z} (∑_{p=2}^{k} c_{ij}^{p} ∘ ι(z)(Y′_{p})_{z}) .

したがって

[Y′_{i}, Y′_{j}]_{z} = ∑_{p=2}^{k} c_{ij}^{p} ∘ ι(z)(Y′_{p})_{z} ∈ 𝔅′_{z}.

S上の 𝔅′に属する任意のベクトル場 Z_{1}, Z_{2}をとる。定義より

Z_{1} = ∑_{p=2}^{k} d_{1}^{p}Y′_{p}, Z_{2} = ∑_{q=2}^{k} d_{2}^{q}Y′_{q}

となる V_{1}上の C^{∞}級関数 d_{1}^{p}, d_{2}^{q}が存在する。 f ∈ C^{∞}(S) に対して

[Z_{1}, Z_{2}](f)
= Z_{1}(Z_{2}(f)) − Z_{2}(Z_{1}(f))
= ∑_{p=2}^{k} d_{1}^{p}Y′_{p}(∑_{q=2}^{k} d_{2}^{q}Y′_{q}(f)) − ∑_{q=2}^{k} d_{2}^{q}Y′_{q}(∑_{p=2}^{k} d_{1}^{p}Y′_{p}(f))
= ∑_{p,q=2}^{k}{d_{1}^{p}Y′_{p}(d_{2}^{q})Y′_{q} − d_{2}^{q}Y′_{q}(d_{1}^{p})Y′_{p} + d_{1}^{p}d_{2}^{q}[Y′_{p}, Y′_{q}]}(f)

したがって

[Z_{1}, Z_{2}] = ∑_{p,q=2}^{k}{d_{1}^{p}Y′_{p}(d_{2}^{q})Y′_{q} − d_{2}^{q}Y′_{q}(d_{1}^{p})Y′_{p} + d_{1}^{p}d_{2}^{q}[Y′_{p}, Y′_{q}]}

となり [Z_{1}, Z_{2}] も 𝔅′に属する。以上で 𝔅′が完全積分可能であることがわかった。

𝔅′は完全積分可能な k − 1 次元分布だから帰納法の仮定から x を含む Sの局所座標近傍 (W; w_{2},…, w_{n}) が存在し局所座標系によって W は各座標軸の開区間の積になり

{z ∈ W |w_{i}(z) = c_{i} (k + 1 ≤ i ≤ n)} (各 c_{i}は定数)

は 𝔅′の積分多様体になる。 z ∈ V_{1}に対して

y_{1}(z′) = y_{1}(x), y_{2}(z′) = y_{2}(z), …, y_{n}(z′) = y_{n}(z)

を満たす z′ ∈ Sがただ 1 つ存在する。この対応をπと書く。

π : V_{1} ⟶ S ; z ⟼ z′

は C^{∞}級写像になり

U = {z ∈ V_{1}|π(z) ∈ W },
x_{1} = y_{1}
x_{i} = w_{i} ∘ π (2 ≤ i ≤ n)

とおくと (U; x_{1},… x_{n}) は Mの x を含む局所座標近傍になり局所座標系によって Uは各座標軸の開区間の積になる。以下では Y_{i}を U上のベクトル場とみなし

Y_{i}(x_{α}) = 0 (1 ≤ i ≤ k, k + 1 ≤ α ≤ n)

となることを証明しよう。 x_{j}の定義から

\frac{∂x_{j}}{∂y_{1}} (z) = δ_{j1} (z ∈ U)

が成り立つ。したがって

(Y_{1})_{z} = (X_{1})_{z} = \frac{∂}{∂y_{1}} |_{z} = \frac{∂}{∂x_{1}} |_{z} (z ∈ U)

だから Y_{1}(x_{α}) = 0 はわかる。 2 ≤ i ≤ kとする。

\frac{∂}{∂x_{1}} (Y_{i}(x_{α})) = Y_{1}(Y_{i}(x_{α})) = [Y_{1}, Y_{i}](x_{α}).

𝔅 は完全積分可能だから U上の C^{∞}級関数 e_{i}^{p}が存在して

[Y_{1}, Y_{i}] = ∑_{p=1}^{k} e_{i}^{p}Y_{p}

が成立する。したがって

\frac{∂}{∂x_{1}} (Y_{i}(x_{α})) = ∑_{p=1}^{k} e_{i}^{p}Y_{p}(x_{α}) = ∑_{p=2}^{k} e_{i}^{p}Y_{p}(x_{α})

これを I = {z ∈ U|x_{2}(z) = c_{2},…, x_{n}(z) = c_{n}} (各 c_{i}は定数) で考えると Y_{i}(x_{α}) (2 ≤ i ≤ k, k + 1 ≤ α ≤ n) は x_{1}の関数になるので上の等式はこれらに関する線形常微分方程式になっている。 Iは W = S ∩ Uと 1 点で交わり z ∈ W において

(Y_{i}(x_{α}))(z) = (Y′_{i})_{z}(x_{α}) = dι_{z}((Y′_{i})_{z})(x_{α}) = (Y′_{i})_{z}(w_{α}).

他方

{z ∈ W |w_{k+1}(z) = c_{k+1},…, w_{n}(z) = c_{n}}

は 𝔅′の積分多様体だから (Y′_{i})_{z}(w_{α}) = 0 となり (Y_{i}(x_{α}))(z) = 0。上の線形常微分方程式は恒等的に 0 になる解を持つので解の一意性より

(Y_{i}(x_{α}))(z) = 0 (z ∈ I, 2 ≤ i ≤ k, k + 1 ≤ α ≤ n)

が成り立つ。 Iを定める定数 c_{2},…, c_{n}を動かすことによって

Y_{i}(x_{α}) = 0 (2 ≤ i ≤ k, k + 1 ≤ α ≤ n)

が U上で成立する。

U上で

Y_{i}(x_{α}) = 0 (1 ≤ i ≤ k, k + 1 ≤ α ≤ n)

が成り立つので Y_{i}の Uにおける局所表示は

(Y_{i})_{z} = ∑_{j=1}^{k} b_{i}^{j}(z) \frac{∂}{∂x_{j}} |_{z} (z ∈ U)

となり

𝔅_{z} = R \frac{∂}{∂x_{1}} |_{z} + ⋯ + R \frac{∂}{∂x_{k}} |_{z} (z ∈ U)

と表せる。したがって

{z ∈ U|x_{α}(z) = c_{α} (k + 1 ≤ α ≤ n)} (各 c_{α}は定数)

は 𝔅 の積分多様体である。

最後に 𝔅 の連結な積分多様体 Nが N ⊂ Uを満たせば上の形の積分多様体のうちの 1 つに含まれることを証明しよう。 ι : N ⟶ Uを包含写像とする。 z ∈ N, k + 1 ≤ α ≤ n に対して

dι_{z}(T_{z}(N)) = 𝔅_{z} = R \frac{∂}{∂x_{1}} |_{z} + ⋯ + R \frac{∂}{∂x_{k}} |_{z}

(dx_{α})_{z} ( \frac{∂}{∂x_{i}} |_{z}) = 0 (1 ≤ i ≤ k)

だから

0 = (dx_{α})_{z} ∘ dι_{z} = d(x_{α} ∘ ι)_{z}.

したがって補題 1.1.4より x_{α} ∘ ιは一定値 c_{α}をとり

N ⊂ {z ∈ U|x_{α}(z) = c_{α} (k + 1 ≤ α ≤ n)}

が成り立つ。

1.3 極大連結積分多様体

定義 1.3.1 Mを多様体とし実数の閉区間 Iから Mへの写像 c : I ⟶ Mが Mの曲線c̄ : J ⟶ Mの Iへの制限になっているとき c を Mの曲線分と呼ぶ。写像γ : [a, b] ⟶ Mに対して a = t_{0} < t_{1} < … < t_{k} = b が存在し各γ|_{[t_{i−1},t_{i}]}が Mの曲線分になるとき、 γを Mの区分的曲線分と呼ぶ。

補題 1.3.2 連結多様体の任意の 2 点は区分的曲線分で結べる。

証明 x ∈ Mをとり Mの任意の点が x と区分的曲線分で結べることを示す。 x と区分的曲線分で結べる Mの点の全体を O_{1}で表し、 x と区分的曲線分で結べない Mの点の全体を O_{2}で表す。任意の y ∈ O_{1}に対して yを含む局所座標近傍 (U; x_{1},…, x_{n}) を局所座標系によって Uと同一視する R^{n}の開集合が中心 (x_{1}(y),…, x_{n}(y)) の開球体になるようにとる。すると Uの任意の点 zは yと曲線分で結ぶことができ、したがって zは x と区分的曲線分で結べることになり U ⊂ O_{1}が成り立つ。よって O_{1}は Mの開集合である。次に任意の y ∈ O_{2} に対して yを含む上と同様な局所座標近傍 (U; x_{1},…, x_{n}) をとる。すると Uの任意の点 z は yと曲線分で結ぶことができ、したがって zは x と区分的曲線分で結べないことになり U ⊂ O_{2}が成り立つ。よって O_{2}は Mの開集合である。 M = O_{1} ∪ O_{2}, O_{1} ∩ O_{2} = ∅, O_{1} ≠ ∅ で Mは連結だから O_{1} = Mとなる。これより Mの任意の点が x と区分的曲線分で結べる。

定義 1.3.3 Mを多様体とし、 𝔅 を M上の分布とする。 𝔅 の連結積分多様体 Nが 𝔅 のどんな連結積分多様体にも真に含まれないとき、 Nを 𝔅 の極大連結積分多様体と呼ぶ。

定理 1.3.4 Mを多様体とし、 𝔅 を M上の完全積分可能な分布とする。各 p ∈ Mに対して p を含む 𝔅 の極大連結積分多様体 Nがただ 1 つ存在する。さらに p を含む 𝔅 の連結積分多様体は Nに含まれる。

証明 dim M = n, dim 𝔅 = kとしておく。 Mの曲線 c : I ⟶ Mの速度ベクトルが各 t ∈ Iに対して 𝔅_{c(t)}に含まれるとき c を 𝔅 の積分曲線と呼ぶ。さらに Mの曲線分 d が 𝔅 のある積分曲線の制限になっているとき d を 𝔅 の積分曲線分と呼ぶことにする。写像 γ : [a, b] ⟶ Mに対して a = t_{0} < t_{1} < … < t_{k} = b が存在し各γ|_{[t_{i−1},t_{i}]}が 𝔅 の積分曲線分になるとき、 γを 𝔅 の区分的積分曲線分と呼ぶことにする。

N = {γ(b)|γ : [a, b] ⟶ Mは 𝔅 の区分的積分曲線分, γ(a) = p}

とおいて Nが p を含む 𝔅 の連結積分多様体になることを示す。各 x ∈ Nに対し定理 1.2.1(Frobenius の定理) より x を含む局所座標近傍 (U; x_{1},…, x_{n}) が存在し、 Uは各座標軸の開区間の積になり

U_{x} = {z ∈ U|x_{i}(z) = x_{i}(x) (k + 1 ≤ i ≤ n)}

は x を含む 𝔅 の積分多様体になる。 U_{x}は開区間の積と微分同型な 𝔅 の積分多様体なので U_{x} の各点と x を 𝔅 の積分曲線分で結ぶことができる。したがって U_{x} ⊂ Nとなる。 x_{1},…, x_{n} は U_{x}の局所座標系になっている。すべての x ∈ Nに対する (U_{x}; x_{1},…, x_{k}) の全体は Nに多様体構造を与え、この多様体構造に関して Nは 𝔅 の積分多様体になる。 Nに含まれる 𝔅 の区分的積分曲線分は Nの位相に関しても連続だから Nは弧状連結になる。特に Nは連結である。

Nが 𝔅 の極大連結積分多様体であることを示す。 N′を p を含む 𝔅 の連結積分多様体とする。補題 10.2 より N′の任意の点は p と N′の区分的曲線分で結べる。 N′は 𝔅 の積分多様体だから N′の区分的曲線分は 𝔅 の区分的積分曲線分になり N′ ⊂ Nが成り立つ。このことから Nは 𝔅 のどんな連結積分多様体にも真に含まれないことがわかる。したがって Nは 𝔅 の極大連結積分多様体である。

極大連結積分多様体の一意性は極大性からわかる。

1.4 可算開基

注意 1.4.1 高々可算を簡単のため単に可算ということにする。

定理 1.4.2 多様体が可算開基を持つこととコンパクト部分集合の可算族の合併になることは同値である。

証明多様体 Mが可算開基 {O_{i}}_{i∈N}を持つと仮定する。 Mの各点 x はコンパクト近傍 U_{x}を持つ。 x ∈ O_{i(x)} ⊂ U_{x}となる O_{i(x)}をとり N′ = {i(x)|x ∈ M} とおくと {O_{i}}_{i∈N′}は M の開被覆になる。\overline{O}_{i(x)} ⊂ U_{x}だから i ∈ N′に対して\overline{O}_{i}はコンパクト。よって Mはコンパクト部分集合の可算族 \{\overline{O}_{i}\}_{i∈N′}の合併になる。

逆に Mがコンパクト部分集合の可算族 {K_{i}}_{i∈N}の合併になると仮定する。各 K_{i}の任意の点は R^{n} (n = dim M) の開集合と位相同型な開近傍を持つ。これらの開近傍は可算開基を持つ。 K_{i}はコンパクトだからこれらの開近傍の有限族の合併に含まれる。 Mは可算開基を持つ開集合の可算族の合併になる。したがって Mは可算開基を持つ。

補題 1.4.3 Mを連結多様体とし Mのある開被覆 {U_{α}}_{α∈A} が存在し

(1) 各 U_{α}は可算開基を持つ、

(2) 各α ∈ A に対して、 {β ∈ A|U_{α} ∩ U_{β} ≠ ∅} は可算

を満たすとする。このとき、 Mは可算開基を持つ。

証明 U_{α_{0}} ≠ ∅ となるα_{0} ∈ A を１つとり固定しておく。

A_{0} = {α_{0}},
A_{i+1} = {α ∈ A|^{∃}β ∈ A_{i} : U_{β} ∩ U_{α} ≠ ∅} (i ≥ 0)

として A の部分集合の列 A_{i}を帰納的に定める。仮定 (2) より A_{1}は可算になり、帰納的にすべての A_{i}も可算になることがわかる。そこで A′ = ∪{A_{i}|i ∈ N} とおくと A′も可算である。 U = ∪{U_{α}|α ∈ A′} とおくと、 Uは Mの開集合になる。また各 U_{α}は可算開基を持つので Uも可算開基を持つ。

M = Uを示すために Uが閉集合になることを示す。 x ∈ \overline{U}とする。 \{U_{α}\}_{α∈A}は Mの開被覆だから、ある U_{α} があって x ∈ U_{α}となる。 U_{α}は x の開近傍だから、 U ∩U_{α} ≠ ∅。 Uの定義より、あるβ ∈ A_{i}があって U_{β} ∪ U_{α} ≠ ∅。したがって、 α ∈ A_{i+1} ⊂ A′となり、 x ∈ U_{α} ⊂ U。 \overline{U} ⊂ Uとなり、 Uは Mの閉集合。 Mは連結だから M = U。よって Mは可算開基を持つ。

補題 1.4.4 多様体の各連結成分は開集合になる。 (一般に位相空間の連結成分は閉集合になる。 )

証明 Mを n 次元多様体とし、 Cを Mの 1 つの連結成分とする。 Cの各点 x は R^{n}の開集合と位相同型になる開近傍を持つので、特に連結な開近傍 V を持つ。したがって V ⊂ C となり Cは Mの開集合である。補題 1.4.5 Mを連結多様体とし Mのある開被覆 {U_{i}}_{i∈N}が存在し各 U_{i}の任意の連結成分が可算開基を持つとする。このとき、 Mは可算開基を持つ。

証明各 U_{i}を連結成分に分解し U_{i} = ∪{U_{i,α}|α ∈ A_{i}} とする。 U_{i}は Mの開集合だから補題 1.4.4より U_{i,α}も Mの開集合である。 {U_{i,α}|i ∈ N, α ∈ A_{i}} は Mの開被覆で各 U_{i,α}は仮定より可算開基を持つ。 i, j ∈ N, α ∈ A_{i}に対して

A_{i,j,α} = {β ∈ A_{j}|U_{i,α} ∩ U_{j,β} ≠ ∅}

が可算であることを示せば {(j, β)|U_{i,α} ∩ U_{j,β} ≠ ∅} も可算になり補題 1.4.3を適用すると M は可算開基を持つことがわかる。

以下で A_{i,j,α}が可算になることを示す。 U_{i,α} ∩ U_{j}は U_{i,α}の開集合で U_{i,α}は可算開基を持つので U_{i,α} ∩ U_{j}の連結成分は可算である。そこで、 U_{i,α} ∩ U_{j} = ∪{V_{k}|k ∈ N} を連結成分への分解とする。 V_{k} ⊂ U_{j}で V_{k}は連結だからただ 1 つβ(k) ∈ A_{j}が定まり V_{k} ⊂ U_{j,β(k)}となる。 V_{k} ⊂ U_{i,α} ∩U_{j,β(k)}だからβ(k) ∈ A_{i,j,α}となる。 β ∈ A_{i,j,α}とすると、 ∅ ≠ U_{i,α} ∩U_{j,β} ⊂ U_{i,α} ∩U_{j} だからある k ∈ N が存在し (U_{i,α} ∩ U_{j,β}) ∩ V_{k} ≠ ∅。よって U_{j,β} ∩ V_{k} ≠ ∅ となり V_{k} ⊂ U_{j,β}。したがってβ = β(k) で A_{i,j,α} = {β(k)|k ∈ N} が成り立ち A_{i,j,α}は可算である。

定理 1.4.6 可算開基を持つ多様体の連結な部分多様体は可算開基を持つ。

証明 M′を可算開基 {O′_{i}}_{i∈N}を持つ多様体とし Mを M′の連結な部分多様体とする。 dim M′ = n, dim M = kとおく。 M′の各点 x は局所座標近傍 U′_{x}を持つ。 x ∈ O′_{i(x)} ⊂ U′_{x}となる O′_{i(x)}をとり N′ = {i(x)|x ∈ M′} とおくと各 i ∈ N′に対して O′_{i}も Mの局所座標近傍で {O′_{i}}_{i∈N′}は M′の開被覆になる。 ι : M ⟶ M′を包含写像とし M_{i} = ι^{−1}(O′_{i}) = M ∩ O′_{i}とおくと {M_{i}}_{i∈N′}は Mの開被覆になる。各 M_{i}の任意の連結成分 Oが可算開基を持つことを示せば、補題 1.4.5を適用することができ Mは可算開基を持つ。

以下で Oが可算開基を持つことを示そう。 O ⊂ M_{i} ⊂ O′_{i}となっている。 O′_{i}の局所座標系を x_{1},…, x_{n}で表す。 y_{j} = x_{j}|_{O} (1 ≤ j ≤ n) とおく。 i = (i_{1},…, i_{k}) (1 ≤ i_{1} < … < i_{k} ≤ n) に対して

O_{i} = {x ∈ O|x のある開近傍 Uが存在し、 (U; y_{i_{1}},…, y_{i_{k}}) は Oの局所座標近傍 }

とおくと、各 O_{i}は Oの開集合である。 Oは部分多様体だから O = ∪{O_{i}|1 ≤ i_{1} < … < i_{k} ≤ n} となる。 O_{i}の任意の連結成分 V に対して

φ : V ⟶ R^{k}; x ⟼ (y_{i_{1}}(x),…, y_{i_{k}}(x))

とおくと、 φ は挿入になる。 R^{k}は各 P_{i}が連結になるような可算開基 {P_{i}}_{i∈N} を持つ。

𝔘_{i} = {U|Uは V の開集合、 φ|_{U} : U ⟶ P_{i}は微分同型}
V_{i} = ∪{U|U ∈ 𝔘 _{i}}

とおく。各 V_{i}は V の開集合になり、 φ は挿入だから V = ∪{V_{i}|i ∈ N}。ここで U, U′ ∈ 𝔘 _{i}, U ∩ U′ ≠ ∅ ならば U = U′になることを示そう。 U ∩ U′ ≠ Uとする。 U ∩ U′は Uの開集合で Uは連結だから、 U ∩U′は Uの閉集合にはならない。よって Uにおける U ∩U′の境界は空集合ではない。そこで Uにおける U ∩ U′の境界点 p ∈ Uをとる。すると点列 q_{n} ∈ U ∩ U′ が存在し p = lim_{n→∞} q_{n} となる。よってφ(p) = lim_{n→∞} φ(q_{n})。 φ|_{U′} : U′ ⟶ P_{i}は微分同型だから、ある q ∈ U′が存在しφ(q) = φ(p)。よってφ(q) = lim_{n→∞} φ(q_{n}) となり q = lim_{n→∞} q_{n} = p。よって p ∈ U ∩ U′となり p のとり方に矛盾する。したがって U ∩ U′ = Uである。同様に U ∩ U′ = U′となり U = U′。

各 U ∈ 𝔘 _{i}は P_{i}と微分同型だから特に連結。したがって、 V_{i} = ∪{U|U ∈ 𝔘 _{i}} は V_{i}の連結成分への分解になる。さらに P_{i}は可算開基を持つので V_{i}の連結成分も可算開基を持つ。したがって V の開被覆 {V_{i}}_{i∈N}に補題 1.4.5を適用することができ、 V は可算開基を持つ。さらに Oの開被覆 {O_{i}|1 ≤ i_{1} < … < i_{k} ≤ n} に補題 1.4.5を適用すると、 Oは可算開基を持つ。

系 1.4.7 R^{n}の連結な部分多様体は可算開基を持つ。

証明 R^{n}は可算開基を持つので定理 1.4.6より R^{n}の連結な部分多様体は可算開基を持つ。

命題 1.4.8 Mを多様体とし、 𝔅 を M上の完全積分可能な分布とする。 Nは 𝔅 の積分多様体であって可算開基を持つとする。多様体 L から Mへの C^{∞}級写像 fが f(L) ⊂ Nを満たせば fを Nへの写像とみなしても f : L ⟶ Nは C^{∞}級写像になる。

証明 dim M = n, dim N = kとしておく。 x ∈ L と Nにおける y = f(x) の開近傍 V をとる。定理 1.2.1(Frobenius の定理) より yを含む Mの局所座標近傍 (U; x_{1},…, x_{n}) が存在し、 Uは各座標軸の開区間の積になり

{z ∈ U|x_{i}(z) = c_{i} (k + 1 ≤ i ≤ n)} (各 c_{i}は定数)

は 𝔅 の積分多様体になる。 p : U ⟶ R^{n−k} ; z ⟼ (x_{k+1}(z),…, x_{n}(z)) とおくと p は C^{∞} 級写像になる。 V′ = p^{−1}(p(y)) は Nにおける yの開近傍になり x_{1},…, x_{k}は V′上の局所座標系である。 Uを取り直して V′ ⊂ V とできる。 f^{−1}(U) は L の開集合になり x を含む f^{−1}(U) の連結成分を Cとすると補題 1.4.4より Cは x の開近傍になる。以下で f(C) ⊂ V′となることを示す。 Nの包含写像をι : N ⟶ Mで表すと N ∩ U = ι^{−1}(U) となり N ∩ Uは Nの開集合である。 N ∩ Uの各連結成分は補題 1.4.4より Nの開集合だから Uに含まれる 𝔅 の連結積分多様体になり、定理 1.2.1より p による 1 点の逆像に含まれる。仮定より Nは可算開基を持つので N ∩ Uも可算開基を持ち N ∩ Uの連結成分の個数は可算になる。したがって p(N ∩ U) は可算である。 f(C) ⊂ N ∩ Uだから p(f(C)) を考えることができ p(f(C)) は R^{n−k}の連結可算部分集合になる。よって p(f(C)) は 1 点だけになる。 p(y) ∈ p(f(C)) だから f(C) ⊂ p^{−1}(p(y)) = V′。 f(C) ⊂ Uで f : L ⟶ Mは C^{∞}級写像だから x_{1} ∘ f,…, x_{k} ∘ f は C上の C^{∞}級関数である。 f(C) ⊂ p^{−1}(p(y)) = V′で x_{1},…, x_{k}は V′上の局所座標系だから f : C ⟶ Nは C^{∞}級写像である。

第 2 章 Lie 群と Lie 環

2.1 Lie 群と Lie 環

定義 2.1.1 可算開基を持つと仮定していない多様体 G が群構造を持ち、その群演算

G × G → G; (x, y) ↦ xy, G → G; x ↦ x^{−1}

が C^{∞}級写像になるとき、 G を Lie 群と呼ぶ。 (特にことわらないかぎり、群の単位元は e で表す。 )

注意 2.1.2 定義 2.1.1では、 Lie 群は可算開基を持つと仮定しなかったが、連結 Lie 群は可算開基を持つことを後で示す (系 2.2.2）。

例 2.1.3 V を有限次元実ベクトル空間とすると、 V の正則線形変換の全体 GL(V) は Lie 群になる。 GL(R^{n}) は GL(n, R) とも書く。 GL(V) を一般線形群と呼ぶ。

証明 dim V = n とする。 End(V) = {f : V → V |fは線形写像 } とおく。 V の基底をとり、 End(V) の元を行列で表現したときの行列の成分を考えれば、 End(V) と n^{2}次元 Euclid 空間の間の微分同型写像になる。表現行列の成分が End(V) の座標になる。 det : End(V) → R は End(V) の座標の多項式で表されるので連続であり、

GL(V) = {f ∈ End(V)|detf ≠ 0}

だから、 GL(V) は End(V) の開集合である。特に、 GL(V) は n^{2}次元多様体になる。群演算

GL(V) × GL(V) → GL(V); (x, y) ↦ xy

は、 End(V) の座標の二次式で表されるので C^{∞}級写像であり、

GL(V) → GL(V); x ↦ x^{−1}

は、 End(V) の座標の分数式で表されるので C^{∞}級写像である (Cramer の公式)。

定義 2.1.4 Lie 群 G の元 gに対して微分同型写像 L_{g}, R_{g}を

L_{g} : G → G; x ↦ gx, R_{g} : G → G; x ↦ xg

によって定め、それぞれ gによる左移動、右移動と呼ぶ。 G 上のベクトル場 Xは、 G の任意の元 gに対して

(dL_{g})_{x}(X_{x}) = X_{gx} (x ∈ G)

を満たすとき左不変ベクトル場と呼ばれ、

(dR_{g})_{x}(X_{x}) = X_{xg} (x ∈ G)

を満たすとき右不変ベクトル場と呼ばれる。

注意 2.1.5 Lie 群 G の単位元 e を含む局所座標近傍 (U; x_{1},…, x_{n}) をとっておけば、各 g ∈ G に対して (L_{g}(U); x_{1} ∘ L_{g}^{−1},…, x_{n} ∘ L_{g}^{−1}) は gを含む局所座標近傍になる。右移動を使っても同様にできる。

定義 2.1.6 実ベクトル空間 𝔤 に双線形写像 [ , ] : 𝔤×𝔤 → 𝔤 があり、すべての元 X, Y, Z ∈ 𝔤 に対して

[X, Y] = −[Y, X], [[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0

を満たすとき、 𝔤 を Lie 環と呼ぶ。 Lie 環 𝔤 の部分ベクトル空間 𝔥 が、演算 [ , ] に関して閉じているとき、 𝔥 を 𝔤 の Lie 部分環と呼ぶ。

例 2.1.7 多様体 M上のベクトル場の全体 𝔛(M) は Lie ブラケット [ , ] に関して Lie 環になる。

例 2.1.8 V をベクトル空間とする。 End(V) の元 X, Y に対して [X, Y] = XY − Y Xと定めると End(V) は Lie 環になる。この Lie 環を 𝔤𝔩(V) で表す。 𝔤𝔩(R^{n}) は 𝔤𝔩(n, R) とも書く。

証明定め方より [ , ] : End(V) × End(V) → End(V) は双線形写像である。 End(V) の元 X, Y, Zに対して

[X, Y] = XY − Y X = −[Y, X],
[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y]
= [XY − Y X, Z] + [Y Z − ZY, X] + [ZX − XZ, Y]
= XY Z − Y XZ − ZXY + ZY X + Y ZX − ZY X − XY Z + XZY
+ZXY − XZY − Y ZX + Y XZ
= 0.

したがって End(V) は [ , ] に関して Lie 環になる。

定理 2.1.9 G を Lie 群とし、 G の左不変ベクトル場の全体を 𝔤 で表す。すると、 𝔤 は Lie 環 𝔛(G) の Lie 部分環になり、写像

α : 𝔤 → T_{e}(G); X ↦ X_{e}

は線形同型写像になる。特に dim 𝔤 = dim T_{e}(G) = dim G が成り立つ。

証明 𝔤 が 𝔛(G) の部分ベクトル空間になることは定義からわかる。 X, Y ∈ 𝔤 とすると任意の g ∈ G に対して

(dL_{g})_{x}(X_{x}) = X_{gx} (dL_{g})_{x}(Y_{x}) = Y_{gx} (x ∈ G)

が成り立つので Lie ブラケット積と微分写像の関係より

(dL_{g})_{x}([X, Y]_{x}) = [X, Y]_{gx} (x ∈ G)

となり、 [X, Y] ∈ 𝔤。よって 𝔤 は 𝔛(G) の Lie 部分環である。

αが線形写像になることは定義からわかる。 X ∈ 𝔤, α(X) = 0 とすると、任意の g ∈ G に対し

X_{g} = (dL_{g})_{e}(X_{e}) = 0

だから、 X = 0。よって Kerα = 0 となり、 αは単射。他方 X ∈ T_{e}(G) に対してX̃_{g} = (dL_{g})_{e}(X) とおき、 X̃が左不変ベクトル場になることを示せば、 αが全射になることがわかる。 (U; x_{1},…, x_{n}) を G の単位元 e を含む局所座標近傍とする。 G × G → G; (x, y) ↦ xy は連続だから、 e を含む開近傍 V で V V = {xy|x, y ∈ V } ⊂ Uを満たすものをとることができる。

X = ∑_{i=1}^{n} ξ^{i} \frac{∂}{∂x_{i}} |_{e}

とおく。注意 2.1.5より任意の g ∈ G に対して、 (L_{g}(V); x_{1} ∘ L_{g}^{−1},…, x_{n} ∘ L_{g}^{−1}) は gを含む局所座標近傍になる。そこで y_{i} = x_{i} ∘ L_{g}^{−1}とおくと gx ∈ L_{g}(V) (x ∈ V) に対して、

X̃_{gx} = (dL_{gx})_{e}(X) = d(L_{g} ∘ L_{x})_{e}(X) = (dL_{g})_{x}(dL_{x})_{e}(X)
= (dL_{g})_{x} ( ∑_{i,j=1}^{n} ξ^{i} \frac{∂(x_{j} ∘ L_{x})}{∂x_{i}}(e) \frac{∂}{∂x_{j}} |_{x})
= ∑_{i,j=1}^{n} ξ^{i} \frac{∂(x_{j} ∘ L_{x})}{∂x_{i}}(e)(dL_{g})_{x} \frac{∂}{∂x_{j}} |_{x} .

ここで

((dL_{g})_{x} \frac{∂}{∂x_{j}} |_{x}) ([L_{g}(U), y_{k}]) = ( \frac{∂}{∂x_{j}} |_{x}) ([U, y_{k} ∘ L_{g}]) = δ_{jk}

だから

(dL_{g})_{x} \frac{∂}{∂x_{j}} |_{x} = \frac{∂}{∂y_{j}} |_{gx}

となり

X̃_{gx} = ∑_{i,j=1}^{n} ξ^{i} \frac{∂(x_{j} ∘ L_{x})}{∂x_{i}}(e) \frac{∂}{∂y_{j}} |_{gx} .

G × G → G; (x, y) ↦ xy = L_{x}(y) は C^{∞}級写像だから、各 i, jに対して

V → R; x ↦ \frac{∂(x_{j} ∘ L_{x})}{∂x_{i}}(e)

は C^{∞}級写像になる。よって、各 jについて

L_{g}(V) → R; gx ↦ ∑_{i=1}^{n} ξ^{i} \frac{∂(x_{j} ∘ L_{x})}{∂x_{i}}(e)

は C^{∞}級写像である。したがってX̃は G 上のベクトル場である。 X̃は定め方より左不変。したがってαは線形同型写像である。

定義 2.1.10 Lie 群 G の左不変ベクトル場の全体からなる Lie 環 𝔤 を Lie 群 G の Lie 環と呼ぶ。

定義 2.1.11 Lie 群の間の C^{∞}級写像 f : G → Hが群の準同型写像でもあるとき、 fを Lie 群の準同型写像と呼ぶ。さらに fが逆写像 f^{−1}を持ち、 f^{−1}も Lie 群の準同型写像であるとき、 fを Lie 群の同型写像と呼び Lie 群 G と Hは同型であるという。 Lie 環の間の線形写像 f : 𝔤 → 𝔥 が

[f(X), f(Y)] = f([X, Y]) (X, Y ∈ 𝔤)

を満たすとき、 fを Lie 環の準同型写像と呼ぶ。さらに fが逆写像 f^{−1}を持つとき、 fを Lie 環の同型写像と呼び、 Lie 環 𝔤 と 𝔥 は同型であるという。

2.2 連結 Lie 群

定理 2.2.1 G を連結 Lie 群とし、 Uを G の単位元 e の近傍とする。このとき G = ∪{U^{n}|n ∈ N} が成り立つ。ただし、 U^{n} = {g_{1} … g_{n}|g_{i} ∈ U}。

証明 U^{−1} = {g^{−1}|g ∈ U} も e の近傍になるので、 V = U ∩ U^{−1}は e の近傍である。 H = ∪{V^{n}|n ∈ N} とおく。 V ⊂ Uだから、 G = Hを示せばよい。 g, h ∈ Hに対してある自然数 m, n があって g ∈ V^{m}, h ∈ V^{n}となる。よって gh ∈ V^{m+n} ⊂ H。 g = g_{1} … g_{m}, g_{i} ∈ V とすると、 g^{−1} = g_{m}^{−1} … g_{1}^{−1}で g_{i}^{−1} ∈ V だから g^{−1} ∈ V^{m} ⊂ H。したがって Hは G の部分群である。 V は e の近傍で V ⊂ Hだから、任意の h ∈ Hに対して L_{h}(V) は h の近傍になり L_{h}(V) ⊂ H。したがって Hは G の開集合である。 G を Hの剰余類によって分解すると、

G = H ∪ (∪{L_{g}(H)|g ∈ G, g ∉ H})

となり各 L_{g}(H) は G の開集合だから、 Hは G の閉集合である。 G は連結だから G = Hが成り立つ。

系 2.2.2 連結 Lie 群は可算開基を持つ。

証明 G を連結 Lie 群とし単位元 e のコンパクト近傍 Uをとる。群演算の連続性より各 U^{n}はコンパクトになり、定理 2.2.1より G = ∪{U^{n}|n ∈ N}。したがって定理 1.4.2より G は可算開基を持つ。命題 2.2.3 G を Lie 群とし G の単位元を含む連結成分を G_{0}とすると、 G_{0}は G の正規部分群であり、さらに Lie 部分群である。

証明 τ : G × G → G; (g, h) ↦ gh^{−1}とすると、 τは連続写像だからτ(G_{0}) は連結になる。 e = τ(e, e) ∈ τ(G_{0}) よりτ(G_{0}) ⊂ G_{0}が成り立つ。したがって、 G_{0}は G の部分群になる。任意の g ∈ G に対して L_{g} ∘ R_{g^{−1}}は連続写像だから L_{g} ∘ R_{g^{−1}}(G_{0}) は連結になり、 e = L_{g} ∘ R_{g^{−1}}(e) ∈ L_{g} ∘ R_{g^{−1}}(G_{0}) より L_{g} ∘ R_{g^{−1}}(G_{0}) ⊂ G_{0}が成り立つ。したがって、 G_{0}は G の正規部分群になる。また補題 1.4.4より G_{0}は G の開集合になるので、特に部分多様体になっている。 τ : G × G ⟶ G は C^{∞}級写像だから G_{0}への制限τ_{G_{0}} : G_{0} × G_{0} ⟶ G_{0}も C^{∞}級写像になり G_{0}は Lie 群である。よって G_{0}は G の Lie 部分群である。

補題 2.2.4 Lie 群が可算開基を持つための必要十分条件は、連結成分の個数が高々可算になることである。

証明 Lie 群が可算開基を持てば連結成分の個数は高々可算になる。逆に Lie 群 G の連結成分の個数が高々可算だとする。 G の単位元の連結成分 G_{0}は命題 2.2.3より連結 Lie 群になるので、系 2.2.2より可算開基を持つ。 G の連結成分は G_{0}の剰余類に一致し G_{0}の各剰余類は G_{0}に微分同型だから可算開基を持つ。したがって G も可算開基を持つ。

2.3 一般線形群

命題 2.3.1 V を n 次元ベクトル空間とすると、 Lie 群 GL(V) と GL(n, R) は同型になり、 Lie 環 𝔤𝔩(V) と 𝔤𝔩(n, R) は同型になる。

証明 v_{1},…, v_{n}を V の基底とし、 f ∈ End(V) に対して fの v_{1},…, v_{n}に関する表現行列を R(f) で表す。つまり、

f[v_{1},…, v_{n}] = [v_{1},…, v_{n}]R(f)

となる。このとき、

R : End(V) → End(R^{n})

は代数の同型写像になる。 Rは線形同型写像だから特に微分同型写像である。以上のことから、 Rは Lie 環の同型写像

R : 𝔤𝔩(V) → 𝔤𝔩(n, R)

を与え、 Rの GL(V) への制限は Lie 群の同型写像

R|_{GL(V)} : GL(V) → GL(n, R)

を与える。補題 2.3.2 多様体 M上のベクトル場 X, Y の局所座標近傍 (U; x_{1},…, x_{n}) における局所表示を

X_{x} = ∑_{i=1}^{n} ξ^{i}(x) \frac{∂}{∂x_{i}} |_{x} , Y_{x} = ∑_{i=1}^{n} η^{i}(x) \frac{∂}{∂x_{i}} |_{x} (x ∈ U)

としたとき、ベクトル場 [X, Y] の Uにおける局所表示は

[X, Y]_{x} = ∑_{i,j=1}^{n} \{ξ^{i}(x)\frac{∂η^{j}}{∂x_{i}} (x) − η^{i}(x)\frac{∂ξ^{j}}{∂x_{i}} (x)\} \frac{∂}{∂x_{j}} |_{x} (x ∈ U)

である。

証明 x ∈ Uに対して、

(X(x_{j}))(x) = X_{x}(x_{j}) = ∑_{i=1}^{n} ξ^{i}(x)\frac{∂x_{j}}{∂x_{i}} (x) = ξ^{j}(x),
(Y (x_{j}))(x) = η^{j}(x).

したがって、

X_{x}([U, Y (x_{j})]) = ∑_{i=1}^{n} ξ^{i}(x)\frac{∂η^{j}}{∂x_{i}} (x),
Y_{x}([U, X(x_{j})]) = ∑_{i=1}^{n} η^{i}(x)\frac{∂ξ^{j}}{∂x_{i}} (x).

これらより、

Z_{x}([U, x_{j}]) = ∑_{i=1} \{ξ^{i}(x)\frac{∂η^{j}}{∂x_{i}} (x) − η^{i}(x)\frac{∂ξ^{j}}{∂x_{i}} (x)\} .

よってベクトル場 [X, Y] の局所表示は、

[X, Y]_{x} = ∑_{i,j=1}^{n} \{ξ^{i}(x)\frac{∂η^{j}}{∂x_{i}} (x) − η^{i}(x)\frac{∂ξ^{j}}{∂x_{i}} (x)\} \frac{∂}{∂x_{j}} |_{x} , (x ∈ U)

になる。

定理 2.3.3 GL(n, R) は例 2.1.3の証明より 𝔤𝔩(n, R) の開集合だから、接ベクトル空間 T_{e}(GL(n, R)) を 𝔤𝔩(n, R) と同一視できる。 Lie 群 GL(n, R) の Lie 環を 𝔤 とし、 X ∈ 𝔤𝔩(n, R) に対して X̃ ∈ 𝔤 をX̃_{g} = (dL_{g})_{e}(X) (g ∈ GL(n, R)) によって定めると、写像

˜ : 𝔤𝔩(n, R) → 𝔤; X ↦ X̃

は Lie 環の同型写像である。

証明定理 2.1.9を GL(n, R) に適用すると˜ = α^{−1}となるので、˜は線形同型写像である。あとは˜が Lie 環の準同型写像になることを示せばよい。 (i, j)-成分のみが 1 で他の成分は 0 になる n 次正方行列を E_{ij}で表すと、 {E_{ij}|1 ≤ i, j ≤ n} は 𝔤𝔩(n, R) の基底になる。その双対基底を {x_{ij}|1 ≤ i, j ≤ n} で表すと、 x_{ij}は 𝔤𝔩(n, R) の座標になる。 GL(n, R) は 𝔤𝔩(n, R) の開集合で e ∈ GL(n, R) だから、 X ∈ 𝔤𝔩(n, R) と十分小さい t ∈ R に対して e + tX ∈ GL(n, R) となることに注意しておく。 g ∈ GL(n, R) に対して、

X̃_{g} = (dL_{g})_{e}(X) = (dL_{g})_{e} ( \frac{d}{dt}(e + tX)|_{t=0})
= \frac{d}{dt}L_{g}(e + tX)|_{t=0} = \frac{d}{dt}(g + tgX)|_{t=0}
= ∑_{i,j=1}^{n} x_{ij}(gX) \frac{∂}{∂x_{ij}} |_{g} = ∑_{i,j=1}^{n} ∑_{k=1}^{n} x_{ik}(g)x_{kj}(X) \frac{∂}{∂x_{ij}} |_{g} .

したがって補題 2.3.2を使うと X, Y ∈ 𝔤𝔩(n, R), g ∈ GL(n, R) に対して、

[X̃, Ỹ]_{g}
= ∑_{i,j,p,q=1}^{n} \{∑_{r=1}^{n} x_{pr}(g)x_{rq}(X)\frac{∂( ∑_{k=1}^{n} x_{ik}(g)x_{kj}(Y))}{∂x_{pq}}

− ∑_{r=1}^{n} x_{pr}(g)x_{rq}(Y)\frac{∂( ∑_{k=1}^{n} x_{ik}(g)x_{kj}(X))}{∂x_{pq}} \} \frac{∂}{∂x_{ij}} |_{g}

= ∑_{i,j=1}^{n} \{ ∑_{k,r=1}^{n} x_{ir}(g)x_{rk}(X)x_{kj}(Y) − ∑_{k,r=1}^{n} x_{ir}(g)x_{rk}(Y)x_{kj}(X)\} \frac{∂}{∂x_{ij}} |_{g}
= ∑_{i,j=1}^{n} x_{ij}(gXY − gY X) \frac{∂}{∂x_{ij}} |_{g}
= ∑_{i,j=1}^{n} x_{ij}(g[X, Y]) \frac{∂}{∂x_{ij}} |_{g}
= ˜ [X, Y]_{g}.

よって、

[X̃, Ỹ] = ˜ [X, Y]

となり、˜は Lie 環の準同型である。

注意 2.3.4 定理 2.3.3の Lie 環の同型写像˜ : 𝔤𝔩(n, R) → 𝔤 によって Lie 環 𝔤𝔩(n, R) と Lie 群 GL(n, R) の Lie 環 𝔤 を同一視し、今後は 𝔤𝔩(n, R) を GL(n, R) の Lie 環とみなすことにする。命題 2.3.1の同型より、有限次元ベクトル空間 V に対しても 𝔤𝔩(V) を GL(V) の Lie 環とみなすことにする。

2.4 一径数部分群

定義 2.4.1 Mを多様体とし、 Xを M上のベクトル場とする。 Iを実数の開区間とし、 M上の曲線 c : I → Mが

\frac{dc}{dt}(t) = X_{c(t)} (t ∈ I)

を満たすとき、 c を Xの積分曲線と呼ぶ。

補題 2.4.2 Mを多様体とし、 Xを M上のベクトル場とする。実数 t_{0}と Mの各点 x ∈ M に対して、 Xの積分曲線 c : I → Mで t_{0} ∈ I, c(t_{0}) = x を満たすものが存在する。また c_{1}, c_{2} : I → Mが c_{1}(t_{0}) = c_{2}(t_{0}) = x を満たす Xの積分曲線ならば c_{1} = c_{2}が成り立つ。

証明 x を含む Mの局所座標近傍 (U; x_{1},…, x_{n}) をとる。 Xの Uにおける局所表示を

X_{x} = ∑_{i=1}^{n} a_{i}(x) \frac{∂}{∂x_{i}} |_{x} (x ∈ U)

とする。 Uにおいて問題になっている等式

\frac{dc}{dt}(t) = X_{c(t)} (t ∈ I)

の局所表示は

∑_{i=1}^{n} \frac{d(x_{i} ∘ c(t))}{dt} \frac{∂}{∂x_{i}} |_{c(t)} = ∑_{i=1}^{n} a_{i}(c(t)) \frac{∂}{∂x_{i}} |_{c(t)}

となる。したがって c は

\frac{d(x_{i} ∘ c(t))}{dt} = a_{i}(c(t)), x_{i} ∘ c(t_{0}) = x_{i}(x) (1 ≤ i ≤ n)

を満たせばよい。これは Euclid 空間の開集合における常微分方程式であり a_{i}は C^{∞}級関数だから t_{0}を含む開区間 Iと c : I → Uが存在し上の常微分方程式を満たす。この曲線 c が求めるものである。

次に積分曲線の一意性を示そう。 Mの局所座標近傍 (U; x_{1},…, x_{n}) で c_{1}(I), c_{2}(I) ⊂ Uを満たすものが存在する場合は、局所座標 x_{1},…, x_{n}を使うと

\frac{dc_{1}}{dt} (t) = X_{c_{1}(t)}, \frac{dc_{2}}{dt} (t) = X_{c_{2}(t)} (t ∈ I)

は Euclid 空間の開集合における常微分方程式になり、常微分方程式の解の一意性から c_{1} = c_{2} となる。 c_{1}(I), c_{2}(I) が Mの 1 つの局所座標近傍に含まれない場合を考えよう。 t_{0} < s, s ∈ I に対して 0 < εと t_{0} < t_{1} < … < t_{k} = s を次の条件を満たすようにとる。 I_{i} = (t_{i−1} − ε, t_{i} + ε) (1 ≤ i ≤ k) とおくと各 i について c_{1}(I_{i}), c_{2}(I_{i}) は Mの 1 つの局所座標近傍に含まれる。先に示したことを使うと c_{1}(t_{1}) = c_{2}(t_{1}),…, c_{1}(t_{k}) = c_{2}(t_{k}) を帰納的に示すことができる。特に c_{1}(s) = c_{2}(s)。 t_{0} > s, s ∈ Iに対しても同様にして c_{1}(s) = c_{2}(s) となり、 c_{1} = c_{2}が成り立つ。定義 2.4.3 実数全体 R を加法に関して Lie 群とみなしたとき、 R から Lie 群 G への Lie 群の準同型写像を G の一径数部分群と呼ぶ。

定理 2.4.4 G を Lie 群とし、その Lie 環を 𝔤 とする。 Lie 環 𝔤 の元全体と G の一径数部分群の全体は次の対応で 1 対 1 に対応する。 X ∈ 𝔤 に対して Xの積分曲線 c : R → G で c(0) = e となるものがただ 1 つ存在し、 c は G の一径数部分群になり、 X ∈ 𝔤 にこの c を対応させる。逆に G の一径数部分群 c に対して、定理 2.1.9によって\frac{dc}{dt}(0) に対応する 𝔤 の元 Xを c に対応させる。

証明次の (1),(2) のステップにわけて定理を証明する。

(1) X ∈ 𝔤 に対して Xの積分曲線 c : R → G で c(0) = e となるものが存在し、 c は G の一径数部分群である。

(2) 定理で定めた 2 つの対応はお互いの逆対応になる。

(1) 補題 2.4.2より、 δ > 0 と Xの積分曲線 a : (−δ, δ) → G で a(0) = e を満たすものが存在する。 |s| < δ/2 となる s を 1 つ固定して

b_{1}(t) = a(s + t), b_{2}(t) = a(s)a(t) (|s| < δ/2)

とおく。すると、 t ↦ b_{1}(t) は Xの積分曲線になり、

\frac{d}{dt}b_{2}(t) = (dL_{a(s)})_{a(t)} (\frac{d}{dt}a(t)) = (dL_{a(s)})_{a(t)}(X_{a(t)}) = X_{a(s)a(t)}

だから t ↦ b_{2}(t) も Xの積分曲線になる。さらに、

b_{1}(0) = a(s) = a(s)e = a(s)a(0) = b_{2}(0)

だから補題 2.4.2の一意性より、

b_{1}(t) = b_{2}(t) (|t| < δ/2).

結局

a(s + t) = a(s)a(t) = a(t)a(s) (|s|, |t| < δ/2)

が成り立つ。任意の t ∈ R に対して |t/k| < δ/2 となるように自然数 kをとり

c(t) = a(\frac{t}{k} )^{k}

として写像 c : R → G を定める。 t ∈ R に対して、 |t/k| < δ/2, |t/l| < δ/2 となる自然数 k, lをとったとき、

a(\frac{t}{k} )^{k} = a(\frac{t}{kl} )^{kl} = a(\frac{t}{l})^{l}

が成り立つので、上の c は kのとり方によらずに定まっている。 c(0) = a(0) = e は明らか。以下で、 c が G の一径数部分群であることを示そう。 t ∈ R に対して |t/k| < δ/2 となる自然数 kをとる。 t を含む開集合 Iで s ∈ Iならば |s/k| < δ/2 となるものをとる。すると s ∈ I に対して c(s) = a(s/k)^{k}となるので、 c は Iにおいて C^{∞}級写像である。よって c : R → G は C^{∞}級写像になる。任意の s, t ∈ R に対して |s/k|, |t/k| < δ/4 となる自然数 kをとると、 |s/k|, |t/k|, |(s + t)/k| < δ/2 となり、

c(s)c(t) = a(\frac{s}{k} )^{k} a(\frac{t}{k} )^{k} = (a(\frac{s}{k} ) a(\frac{t}{k} ))^{k}
= a(\frac{s + t}{k})^{k} = c(s + t).

したがって c : R → G は G の一径数部分群になる。

次に c が Xの積分曲線であることを示そう。 s ∈ R に対して、 t ∈ (s − δ, s + δ) とすると、 c(t) = c(s)c(t − s) = L_{c(s)}(c(t − s)) だから、

\frac{d}{dt}c(t)|_{t=s} = (dL_{c(s)})_{e} ( \frac{d}{dt}c(t)|_{t=0}) = (dL_{c(s)})_{e}(X_{e}) = X_{c(s)}.

したがって c は Xの積分曲線である。

(2) X ∈ 𝔤 に対応する G の一径数部分群 c は\frac{dc}{dt}(0) = X_{e} を満たすので、 c に対応する 𝔤 の元は Xになる。逆に G の一径数部分群 c に対応する 𝔤 の元 Xは X_{e} = \frac{dc}{dt}(0) を満たす。 (1) の最後で示したことは 𝔤 の元 Xと G の一径数部分群 c が\frac{dc}{dt}(0) = X_{e}を満たせば c は X の積分曲線になることである。したがって Xに対応する G の一径数部分群は c になる。

例 2.4.5 GL(n, R) の一径数部分群を求めてみよう。 GL(n, R) の接ベクトルを 𝔤𝔩(n, R) の元と同一視する。 X ∈ 𝔤𝔩(n, R) ≅ T_{e}(GL(n, R)) に対応する GL(n, R) 上の左不変ベクトル場をX̃で表すと、定理 2.1.9の証明中の計算よりX̃_{g} = gX (g ∈ GL(n, R)) となる。したがって、 Xに対応する GL(n, R) の一径数部分群 c は

\frac{dc(t)}{dt} = c(t)X (t ∈ R), c(0) = e

を満たす。行列の指数関数: e^{A} = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}A^{n}を使うと c(t) = e^{tX}となる。

例 2.4.6 行列の指数関数の射影分解による計算法について述べる。 n 次複素正方行列 A の固有多項式をγ_{A}(t) で表す。 γ_{A}(t) を因数分解しγ_{A}(t) = (t − λ_{1})^{p_{1}} … (t − λ_{k})^{p_{k}} とする。次に部分分数展開:

\frac{1}{γ_{A}(t)} = \frac{h_{1}(t)}{(t − λ_{1})^{p_{1}}} + … + \frac{h_{k}(t)}{(t − λ_{k})^{p_{k}}}

を行う。

1 = h_{1}(t)\frac{γ_{A}(t)}{(t − λ_{1})^{p_{1}}} + … + h_{k}(t)\frac{γ_{A}(t)}{(t − λ_{k})^{p_{k}}}

となり、 γ_{A}(t) は (t − λ_{i})^{p_{i}}を因子に持っているので\frac{γ_{A}(t)}{(t − λ_{i})^{p_{i}}} は t の多項式である。そこで

π_{i}(t) = h_{i}(t)\frac{γ_{A}(t)}{(t − λ_{i})^{p_{i}}} とおくとπ_{i}(t) も t の多項式になり

1 = π_{1}(t) + … + π_{k}(t), (t − λ_{i})^{p_{i}}π_{i}(t) = h_{i}(t)γ_{A}(t)

が成り立つ。 P_{i} = π_{i}(A) とおくと

I_{n} = P_{1} + … + P_{k}.

これを射影分解と呼ぶ。 Cayley-Hamilton の定理より

(A − λ_{i}I_{n})^{p_{i}}P_{i} = h_{i}(A)γ_{A}(A) = 0.

以上の結果を使うと

e^{tA} = ∑_{i=1}^{k} e^{tA}P_{i} = ∑_{i=1}^{k} e^{tλ_{i}I_{n}+t(A−λ_{i}I_{n})}P_{i}
= ∑_{i=1}^{k} e^{λ_{i}tI_{n}}e^{t(A−λ_{i}I_{n})}P_{i} = ∑_{i=1}^{k} e^{λ_{i}t} ∑_{j=0}^{∞} \frac{t^{j}}{j!}(A − λ_{i}I_{n})^{j}P_{i}
= ∑_{i=1}^{k} e^{λ_{i}t} ∑_{j=0}^{p_{i}−1} \frac{t^{j}}{j!}(A − λ_{i}I_{n})^{j}P_{i}.

2.5 指数写像

定義 2.5.1 G を Lie 群とし、その Lie 環を 𝔤 とする。 X ∈ 𝔤 に対して定理 2.4.4で存在を示した Xの積分曲線 c : R → G で c(0) = e となるものをとり、 exp X = c(1) とおくことによって写像 exp : 𝔤 → G を定義する。 exp を Lie 群 G の指数写像と呼ぶ。

例 2.5.2 例 2.4.5で示したように GL(n, R) の Lie 環 𝔤𝔩(n, R) の元 Xに対応する一径数部分群は e^{tX}になるので、 GL(n, R) の指数写像は行列の指数関数に一致する。

命題 2.5.3 G を Lie 群とし、その Lie 環を 𝔤 とする。 X ∈ 𝔤 に対して定理 2.4.4の対応で対応する G の一径数部分群は t ↦ exp tXになる。

証明 X ∈ 𝔤 に対して定理 2.4.4の対応で対応する G の一径数部分群を t ↦ c(t, X) と書くことにする。 s ∈ R に対して、

\frac{d}{dt}c(st, X) = sX_{c(st,X)} (t ∈ R)

となるので、 t ↦ c(st, X) は sX ∈ 𝔤 に対応する一径数部分群になる。よって c(st, X) = c(t, sX) となり t = 1 とおくと

c(s, X) = c(1, sX) = exp sX.

これより X ∈ 𝔤 に対応する G の一径数部分群は t ↦ exp tXに一致する。命題 2.5.4 G を Lie 群とし、その Lie 環を 𝔤 とすると、 G の指数写像 exp : 𝔤 → G は C^{∞} 級写像である。

証明 X_{1},…, X_{n}を 𝔤 の基底とし u_{1},…, u_{n}をその双対基底とすると、 u_{1},…, u_{n}は 𝔤 の座標になる。 G の局所座標近傍 (U; x_{1},…, x_{n}) で e ∈ U, x_{1}(e) = … = x_{n}(e) = 0 を満たすものをとっておく。 ∑_{i=1}^{n} u_{i}X_{i} ∈ 𝔤 に対応する一径数部分群を c(t; u_{1},…, u_{n}) と書くことにする。

\frac{d}{dt}c(t; u_{1},…, u_{n}) = ∑_{i=1}^{n} u_{i}(X_{i})_{c(t;u_{1},...,u_{n})}

だから、各 X_{i}の Uにおける局所表示を

(X_{i})_{x} = ∑_{j=1}^{n} a_{ji}(x) \frac{∂}{∂x_{j}} |_{x}

とすると c(t; u_{1},…, u_{n}) は

\frac{d}{dt}x_{j}(c(t; u_{1},…, u_{n})) = ∑_{i=1}^{n} u_{i}a_{ji}(c(t; u_{1},…, u_{n}))

を満たす。常微分方程式の解はパラメーターに関して滑らかだから、写像:

(t, u_{1},…, u_{n}) ↦ (x_{1}(c(t; u_{1},…, u_{n})),…, x_{n}(c(t; u_{1},…, u_{n})))

は 0 の近傍で C^{∞}級写像になる。

exp(∑_{i=1}^{n} u_{i}X_{i}) = c(1; u_{1},…, u_{n})

だから、 exp : 𝔤 → G は 0 のある開近傍 Nで C^{∞}級写像である。任意の X ∈ 𝔤 に対してある自然数 p が存在し\frac{1}{p}X ∈ Nとなる。そこで Xの開近傍 Oを\frac{1}{p}O ⊂ Nとなるようにとると

exp(Z) = exp (\frac{1}{p}Z)^{p} (Z ∈ O)

だから exp は Oにおいて C^{∞}級写像である。したがって、 exp : 𝔤 → G は C^{∞}級写像になる。

定理 2.5.5 Lie 群 G とその Lie 環 𝔤 に対して、 G の指数写像 exp は 𝔤 における 0 のある開近傍と G における e のある開近傍の間の微分同型写像を与える。

証明 X ∈ 𝔤 ≅ T_{0}(𝔤) に対して

d exp_{e}(X) = \frac{d}{dt} exp(tX)|_{t=0} = X_{e} = α(X)

だから d exp_{e} = α : 𝔤 → T_{e}(G)。定理 2.1.9より d exp_{e}は線形同型写像になる。逆関数定理を使うと、 exp は 𝔤 における 0 のある開近傍と G における e のある開近傍の間の微分同型写像を与えることがわかる。定義 2.5.6 G を Lie 群とし、その Lie 環を 𝔤 とする。定理 2.5.5より exp は 𝔤 における 0 のある開近傍と G における e のある開近傍 Uの間の微分同型写像になるので、 𝔤 の基底 X_{1},…, X_{n}をとると exp ( ∑_{i=1}^{n} u_{i}X_{i}) ↦ (u_{1},…, u_{n}) は Uにおける局所座標系になり u_{1}(e) = … = u_{n}(e) = 0 を満たす。 (u_{1},…, u_{n}) を 𝔤 の基底 X_{1},…, X_{n}に関する G の標準座標系と呼び、 (U; u_{1},…, u_{n}) を G の標準座標近傍と呼ぶ。

命題 2.5.7 G を Lie 群とし、その Lie 環を 𝔤 とする。 X, Y ∈ 𝔤, f ∈ C^{∞}(G), g ∈ G に対して

(Xf)(g) = \frac{d}{dt}f(g exp tX)|_{t=0}
([X, Y]f)(g) = \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t}f(g exp sX exp tY (exp sX)^{−1})|_{s=t=0}

が成り立つ。

証明接ベクトル X_{g}は曲線 t ↦ g exp tXの t = 0 における速度ベクトルになっているので

(Xf)(g) = X_{g}(f) = \frac{d}{dt}f(g exp tX)|_{t=0}

が成り立つ。

(XY f)(g) = \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t}f(g exp sX exp tY)|_{s=t=0} (先に示したことより)
= \frac{∂}{∂t} ( \frac{∂}{∂s}f(g exp sX exp tY (exp sX)^{−1} exp sX)|_{s=0})|_{t=0}
= \frac{∂}{∂t} ( \frac{∂}{∂s}f(g exp sX exp tY (exp sX)^{−1})|_{s=0}
+ \frac{∂}{∂s}f(g exp tY exp sX)|_{s=0})|_{t=0} (Leibniz の法則より)
= \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t}f(g exp sX exp tY (exp sX)^{−1})|_{s=t=0}
+(Y Xf)(g).

したがって

([X, Y]f)(g) = \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t}f(g exp sX exp tY (exp sX)^{−1})|_{s=t=0} .

系 2.5.8 Lie 群 G が可換ならば G の Lie 環 𝔤 の任意の元 X, Y に対して [X, Y] = 0 となる。証明 f ∈ C^{∞}(G), g ∈ G に対して

([X, Y]f)(g) = \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t}f(g exp sX exp tY (exp sX)^{−1})|_{s=t=0}
= \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t}f(g exp tY)|_{s=t=0} = 0.

したがって [X, Y] = 0 となる。

定義 2.5.9 Lie 環 𝔤 の任意の元 X, Y に対して [X, Y] = 0 となるとき、 𝔤 は可換であるという。この用語を使うと系 2.5.8は可換 Lie 群の Lie 環は可換になると言い換えることができる。

2.6 準同型写像

命題 2.6.1 Lie 群の準同型写像の合成は Lie 群の準同型写像になる。 Lie 環の準同型写像の合成は Lie 環の準同型写像になる。

定理 2.6.2 G, Hを Lie 群とし、これらの Lie 環をそれぞれ 𝔤, 𝔥 とおく。 f : G → Hを Lie 群の準同型写像とする。定理 2.1.9の線形同型写像をα_{G} : 𝔤 → T_{e}(G), α_{H} : 𝔥 → T_{e}(H) とすると、 df = α_{H}^{−1} ∘ df_{e} ∘ α_{G} : 𝔤 → 𝔥 は Lie 環の準同型写像になる。

証明 X ∈ 𝔤 に対して、 df_{e}(X_{e}) ∈ T_{e}(H) を H上の左不変ベクトル場に拡張したものが df(X) になる。任意の g ∈ G に対して、

df_{g}(X_{g}) = df_{g} ∘ (dL_{g})_{e}(X_{e}) = d(f ∘ L_{g})_{e}(X_{e}).

ここで x ∈ G に対して

(f ∘ L_{g})(x) = f(gx) = f(g)f(x) = (L_{f(g)} ∘ f)(x)

だから、

df_{g}(X_{g}) = d(f ∘ L_{g})_{e}(X_{e}) = d(L_{f(g)} ∘ f)(X_{e})
= (dL_{f(g)})_{e} ∘ df_{e}(X_{e}) = df(X)_{f(g)}.

よって X, Y ∈ 𝔤 に対して

df_{g}(X_{g}) = df(X)_{f(g)}, df_{g}(Y_{g}) = df(Y)_{f(g)} (g ∈ G)

が成り立つので Lie ブラケット積と微分写像の関係を使うと

df_{g}([X, Y]_{g}) = [df(X), df(Y)]_{f(g)} (g ∈ G)

となる。特に

df_{e}([X, Y]_{e}) = [df(X), df(Y)]_{e}

が成立し、定理 2.1.9より [df(X), df(Y)] は H上の左不変ベクトル場だから、

df([X, Y]) = [df(X), df(Y)].

したがって df : 𝔤 → 𝔥 は Lie 環の準同型になる。

定義 2.6.3 Lie 群の準同型写像 f : G → Hに対して、 df = α_{H}^{−1} ∘ df_{e} ∘ α_{G} : 𝔤 → 𝔥 を fの微分と呼ぶ。この用語を使うと定理 2.6.2は Lie 群の準同型写像の微分は Lie 環の準同型写像になると言い換えることができる。

命題 2.6.4 A, B, Cを Lie 群とし、これらの Lie 環をそれぞれ 𝔞, 𝔟, 𝔠 とおく。 A の恒等写像の微分は 𝔞 の恒等写像である。また f : A → B, g : B → C を Lie 群の準同型写像とすると、 d(g ∘ f) = dg ∘ df : 𝔞 → 𝔠 が成り立つ。

証明

d(id_{A}) = α_{A}^{−1} ∘ d(id_{A})_{e} ∘ α_{A} = α_{A}^{−1} ∘ id_{T_{e}(A)} ∘ α_{A} = id
d(g ∘ f) = α_{C}^{−1} ∘ d(g ∘ f)_{e} ∘ α_{A} = α_{C}^{−1} ∘ dg_{e} ∘ df_{e} ∘ α_{A}
= α_{C}^{−1} ∘ dg_{e} ∘ α_{B} ∘ α_{B}^{−1} ∘ df_{e} ∘ α_{A} = dg ∘ df

系 2.6.5 A, Bを Lie 群とし、これらの Lie 環をそれぞれ 𝔞, 𝔟 とおく。 f : A → Bを Lie 群の同型写像とすると、 df : 𝔞 → 𝔟 は Lie 環の同型写像になる。

証明

df ∘ d(f^{−1}) = d(f ∘ f^{−1}) = d(id_{B}) = id

同様にして d(f^{−1}) ∘ df = id となり d(f^{−1}) = df^{−1}。したがって dfは Lie 環の同型写像になる。

命題 2.6.6 G, Hを Lie 群とし、これらの Lie 環をそれぞれ 𝔤 , 𝔥 とおく。 f : G → Hを Lie 群の準同型写像とすると、

f(exp X) = exp(df(X)) (X ∈ 𝔤)

が成り立つ。ただし、左辺の exp は G の指数写像で右辺の exp は Hの指数写像である。

証明 Lie 群の準同型写像の合成は Lie 群の準同型写像になるので (命題 2.6.1)、 t ↦ f(exp tX) は Hの一径数部分群になる。定理 2.4.4よりある Y ∈ 𝔥 が存在して、

f(exp tX) = exp tY (t ∈ R)

となる。 t = 0 で両辺を微分すると、

(左辺) = \frac{d}{dt}f(exp tX)|_{t=0} = df_{e}(X_{e})
(右辺) = \frac{d}{dt} exp tY |_{t=0} = Y_{e}.

したがって、 df_{e}(X_{e}) = Y_{e}となり df(X) = Y 。これより、 f(exp tX) = exp(tdf(X)) が成り立つ。特に t = 1 とすると、 f(exp X) = exp(df(X))。

定義 2.6.7 Lie 群 G と有限次元ベクトル空間 V に対して、 G から GL(V) への Lie 群の準同型写像を G の表現と呼ぶ。 Lie 環 𝔤 とベクトル空間 V に対して、 𝔤 から 𝔤𝔩(V) への Lie 環の準同型写像を 𝔤 の表現と呼ぶ。

命題 2.6.8 Lie 環 𝔤 の元 Xに対して ad(X)(Y) = [X, Y], Y ∈ 𝔤 として ad(X) ∈ 𝔤𝔩(𝔤) を定めると ad : 𝔤 → 𝔤𝔩(𝔤) は Lie 環の表現になる。

証明 X, Y, Z ∈ 𝔤 に対して

[ad(X), ad(Y)](Z) = ad(X)ad(Y)(Z) − ad(Y)ad(X)(Z) = [X, [Y, Z]] − [Y, [X, Z]]
= [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] = −[Z, [X, Y]] (Jacobi 律)
= ad([X, Y])(Z)

となるので [ad(X), ad(Y)](Z) = ad([X, Y]) が成り立ち、 ad は Lie 環の表現になる。

定義 2.6.9 Lie 環 𝔤 に対して定まる表現 ad : 𝔤 → 𝔤𝔩(𝔤) を 𝔤 の随伴表現と呼ぶ。

定理 2.6.10 Lie 群 G の元 gに対して Ad(g) = d(L_{g} ∘ R_{g^{−1}}) とおく。 G の Lie 環を 𝔤 とすると、 Ad(g) ∈ GL(𝔤) となり g exp(X)g^{−1} = exp(Ad(g)X) (g ∈ G, X ∈ 𝔤) が成り立つ。さらに、 Ad : G → GL(𝔤) は Lie 群の表現になり Ad の微分は 𝔤 の随伴表現に一致する。

証明 L_{g} ∘ R_{g^{−1}}は G の自己同型写像だから、系 2.6.5より Ad(g) は 𝔤 の自己同型写像になる。特に Ad(g) ∈ GL(𝔤) となる。命題 2.6.6より

g exp(X)g^{−1} = exp(Ad(g)X) (g ∈ G, X ∈ 𝔤)

が成り立つ。命題 2.6.4を使うと g, h ∈ G に対して

Ad(gh) = d(L_{gh} ∘ R_{(gh)^{−1}}) = d(L_{g} ∘ L_{h} ∘ R_{g^{−1}} ∘ R_{h^{−1}})
= d(L_{g} ∘ R_{g^{−1}} ∘ L_{h} ∘ R_{h^{−1}}) = d(L_{g} ∘ R_{g^{−1}}) ∘ d(L_{h} ∘ R_{h^{−1}})
= Ad(g) ∘ Ad(h)

となるので Ad : G → GL(𝔤) は群の準同型写像である。

次に Ad が C^{∞}級写像になることを示そう。 GL(𝔤) における座標は 𝔤 の基底 X_{1},…, X_{n} とその双対基底θ_{1},…, θ_{n}を使って GL(𝔤) → R; u ↦ θ_{i}(u(X_{j})) と表すことができる。したがって G → R; g ↦ θ_{i}(Ad(g)(X_{j})) が C^{∞}級関数になることを示せばよい。定理 2.1.9の証明と同様、

θ_{i}(Ad(g)(X_{j})) = θ_{i}(α_{G}^{−1} ∘ dL_{g} ∘ dR_{g^{−1}} ∘ α_{G}(X_{j}))

は gに関する C^{∞}級関数になる。

最後に Ad の微分が 𝔤 の随伴表現に一致することを示そう。命題 2.5.7より、 X, Y ∈ 𝔤, f ∈ C^{∞}(G), g ∈ G に対して

([X, Y]f)(g) = \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t}f(g exp sX exp tY (exp sX)^{−1})|_{s=t=0}
= \frac{∂}{∂s} ( \frac{∂}{∂t}f(g exp(Ad(exp sX)tY))|_{t=0})|_{s=0}
= \frac{∂}{∂s} ((Ad(exp sX)Y)f(g))|_{s=0}
= \frac{∂}{∂s} ((Ad(exp sX)Y))|_{s=0} f(g)

したがって

\frac{d}{ds}Ad(exp sX)Y |_{s=0} = [X, Y] = ad(X)(Y)

となり

\frac{d}{ds}Ad(exp sX)|_{s=0} = ad(X)

が成り立つので、 Ad の微分は ad になる。

定義 2.6.11 Lie 群 G に対して定まる表現 Ad : G → GL(V) を G の随伴表現と呼ぶ。

例 2.6.12 有限次元ベクトル空間 V に対する一般線形群 GL(V) の随伴表現を求めてみよう。例 2.5.2より、 GL(V) の指数写像は線形変換の指数関数に一致する。 g ∈ GL(V), X ∈ 𝔤𝔩(V) に対して

Ad(g)X = \frac{d}{dt}(ge^{tX}g^{−1})|_{t=0} = \frac{d}{dt}e^{tgXg^{−1}} |_{t=0} = gXg^{−1}.

2.7 接束 Lie 群

定理 2.7.1 G を Lie 群とする。 G の群演算を

μ : G × G → G ; (g, h) ↦ gh

で表すと、 μは接ベクトル束の間の写像

dμ : T (G × G) → T G

を誘導する。ここで T (G × G) は自然に T G × T G と同型になるので、

dμ : T G × T G → T G

とみなすことができる。同様に逆元を対応させる写像を

ν : G → G ; g ↦ g^{−1}

で表すことにすると、 νは接ベクトル束の間の写像

dν : T G → T G

を誘導する。この dμと dνにより T G は Lie 群になり、 G の単位元 e における接ベクトル 0_{e}が T G の単位元になる。

証明 T G の元 u, v, wに対して G の曲線 a, b, c を

u = \frac{d}{dt}|_{t=0} a(t), v = \frac{d}{dt}|_{t=0} b(t), w = \frac{d}{dt}|_{t=0} c (t)

となるようにとる。

(u · v) · w = dμ(dμ(u, v), w)
= dμ ( \frac{d}{dt}|_{t=0} a(t)b(t), \frac{d}{dt}|_{t=0} c (t))
= \frac{d}{dt}|_{t=0} (a(t)b(t))c (t)
= \frac{d}{dt}|_{t=0} a(t)(b(t)c (t))
= dμ(u, dμ(v, w))
= u · (v · w)

となるので、 dμの定める演算は結合律を満たす。恒等的に G の単位元 e に値を持つ曲線の速度ベクトル 0_{e}は、この演算の単位元になる。

次に

u · dν(u) = dμ ( \frac{d}{dt}|_{t=0} a(t), \frac{d}{dt}|_{t=0} a(t)^{−1})
= \frac{d}{dt}|_{t=0} a(t)a(t)^{−1}
= 0_{e}

となるので、 dν(u) は u の逆元になる。以上で T G が Lie 群になることがわかった。

2.7 接束 Lie 群 31

定義 2.7.2 Lie 群 G の接ベクトル束 T G に定理 2.7.1で定めた Lie 群の構造を入れたものを、 G の接束 Lie 群と呼ぶことにする。

G の単位元 e における接ベクトル空間を G の Lie 環 𝔤 と同一視する。このとき、 T G の単位元 0_{e}における接ベクトル空間は

T_{0_{e}}(T G) ≅ T_{e}G × T_{0}𝔤 ≅ 𝔤 × 𝔤

となる。以後この同型によって T G の 0_{e}における接ベクトル空間と 𝔤 × 𝔤 とを同一視する。

G と T G の指数写像をそれぞれ exp と exp_{T} で表す。命題 2.7.3 (x, y) ∈ 𝔤 × 𝔤 に対して

exp_{T} (x, y) = (d exp)_{x}y

が成り立つ。

証明まず s ↦ (d exp)_{sx}syが T G の一径数部分群であることを示す。 a, b ∈ R に対して

((d exp)_{ax}ay) · ((d exp)_{bx}by)

= ( \frac{d}{dt}|_{t=0} exp(ax + tay)) · ( \frac{d}{dt}|_{t=0} exp(bx + tby))
= dμ ( \frac{d}{dt}|_{t=0} exp(ax + tay), \frac{d}{dt}|_{t=0} exp(bx + tby))
= \frac{d}{dt}|_{t=0} μ(exp(ax + tay), exp(bx + tby))
= \frac{d}{dt}|_{t=0} exp(ax + tay) exp(bx + tby)
= \frac{d}{dt}|_{t=0} exp((a + b)x + t(a + b)y)
= (d exp)_{(a+b)x}(a + b)y.

次に

\frac{d}{dt}|_{t=0} (d exp)_{tx}ty = (x, 0) + (0, y) = (x, y)

となるので、 exp_{T} s(x, y) = (d exp)_{sx}syがわかる。したがって exp_{T} (x, y) = (d exp)_{x}yとなる。補題 2.7.4 u_{g} ∈ T_{g}G と v_{h} ∈ T_{h}G に対して

u_{g} · v_{h} = (dR_{h})_{g}u_{g} + (dL_{g})_{h}v_{h}

が成り立つ。証明

u_{g} · v_{h} = dμ_{(g,h)}(u_{g}, v_{h})
= dμ_{(g,h)}(u_{g}, 0) + dμ_{(g,h)}(0, v_{h})
= (dR_{h})_{g}u_{g} + (dL_{g})_{h}v_{h}

Lie 群の接ベクトル束は自明になる。実際

ι_{R} : G × 𝔤 → T G ; (g, u) ↦ dR_{g}u

によって写像ι_{R}を定めると、 ι_{R}は微分同型写像になる。したがってι_{R}から G × 𝔤 に Lie 群構造が定まる。その Lie 群を G ×_{R} 𝔤 で表し、元を (g, u)_{R}で表すことにする。

命題 2.7.5 (g, u)_{R}, (h, v)_{R} ∈ G ×_{R} 𝔤 に対して

(g, u)_{R} · (h, v)_{R} = (gh, u + Ad(g)v)_{R}

が成り立つ。

証明 ι_{R}通して補題 2.7.4を使って計算すればよい。

ι_{R}((g, u)_{R} · (h, v)_{R}) = dR_{g}u · dR_{h}v
= (dR_{h})_{g}dR_{g}u + (dL_{g})_{h}dR_{h}v
= dR_{gh}u + (dR_{h})_{g}dL_{g}v
= dR_{gh}u + dR_{gh}Ad(g)v
= dR_{gh}(u + Ad(g)v)
= ι_{R}(gh, u + Ad(g)v)_{R}

となるので、

(g, u)_{R} · (h, v)_{R} = (gh, u + Ad(g)v)_{R}

が成り立つ。

ι_{R}と同様に

ι_{L} : G × 𝔤 → T G ; (g, u) ↦ dL_{g}u

によって写像ι_{L}を定めると、 ι_{L}は微分同型写像になる。したがってι_{L}から G × 𝔤 に Lie 群構造が定まる。その Lie 群を G ×_{L} 𝔤 で表し、元を (g, u)_{L}で表すことにする。次の命題 2.7.6 は後で使うわけではないが、命題 2.7.5に対応している。

命題 2.7.6 (g, u)_{L}, (h, v)_{L} ∈ G ×_{L} 𝔤 に対して

(g, u)_{L} · (h, v)_{L} = (gh, Ad(h)^{−1}u + v)_{L}

が成り立つ。証明 ι_{L}通して補題 2.7.4を使って計算すればよい。

ι_{L}((g, u)_{L} · (h, v)_{L}) = dL_{g}u · dL_{h}v
= (dR_{h})_{g}dL_{g}u + (dL_{g})_{h}dL_{h}v
= (dL_{g})_{h}dR_{h}u + dL_{gh}v
= dL_{gh}Ad(h)^{−1}u + dL_{gh}v
= dL_{gh}(Ad(h)^{−1}u + v)

となるので、

(g, u)_{L} · (h, v)_{L} = (gh, Ad(h)^{−1}u + v)_{L}

が成り立つ。

G ×_{R} 𝔤 の指数写像を exp_{R}で表す。

p : G ×_{R} 𝔤 → G ; (g, u)_{R} ↦ g

とおく。

補題 2.7.7 p は Lie 群の準同型写像になり、 p ∘ exp_{R} = exp ∘dp が成り立つ。

証明命題 2.7.5より、 p は Lie 群の準同型写像になる。よって命題 2.6.6より p ∘ exp_{R} = exp ∘dp が成り立つ。

G ×_{R} 𝔤 の指数写像 exp_{R}をさらに詳しく調べるためにアファイン変換群を導入する。有限次元実ベクトル空間 V に対して、 V 上のアファイン変換の全体を A(V) で表す。

A(V) = \{[ \begin{matrix}P & v \\ 0 & 1 \end{matrix} ] | P ∈ GL(V), v ∈ V \}

とみなす。 x ∈ V に対して

[ \begin{matrix}P & v \\ 0 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}x \\ 1 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}P x + v \\ 1 \end{matrix} ]

によって V への作用を定めることにより、 A(V) を V 上のアファイン変換の全体とみなすことができる。 A(V) の指数写像を exp_{A}とおき、これを求めてみよう。 A(V) の Lie 環 𝔞(V) は

𝔞(V) = \{[ \begin{matrix}X & v \\ 0 & 0 \end{matrix} ] | X ∈ 𝔤𝔩(V), v ∈ V \}

となる。 34 第 2 章 Lie 群と Lie 環補題 2.7.8 A(V) の指数写像 exp_{A}は次の式で与えられる。

exp_{A} [ \begin{matrix}X & v \\ 0 & 0 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}e^{X} & ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!}X^{k−1}v \\ 0 & 1 \end{matrix} ] ([ \begin{matrix}X & v \\ 0 & 0 \end{matrix} ] ∈ 𝔞(V)) .

証明各自然数 kに対して

[ \begin{matrix}X & v \\ 0 & 0 \end{matrix} ]^{k} = [ \begin{matrix}X^{k} & X^{k−1}v \\ 0 & 0 \end{matrix} ]

が成り立つことは

[ \begin{matrix}X & v \\ 0 & 0 \end{matrix} ]^{k} [ \begin{matrix}X & v \\ 0 & 0 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}X^{k+1} & X^{k}v \\ 0 & 0 \end{matrix} ]

となることからわかる。したがって

exp_{A} [ \begin{matrix}X & v \\ 0 & 0 \end{matrix} ] = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} [ \begin{matrix}X & v \\ 0 & 0 \end{matrix} ]^{k}
= [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] + ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!} [ \begin{matrix}X^{k} & X^{k−1}v \\ 0 & 0 \end{matrix} ]
= [ \begin{matrix}e^{X} & ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!}X^{k−1}v \\ 0 & 1 \end{matrix} ]

となる。補題 2.7.9 G ×_{R} 𝔤 から A(𝔤) への写像ρ_{R}を

ρ_{R}(g, u)_{R} = [ \begin{matrix}Ad(g) & u \\ 0 & 1 \end{matrix} ] ((g, u)_{R} ∈ G ×_{R} 𝔤)

で定めると、 ρ_{R}は Lie 群の準同型写像になる。

証明命題 2.7.5より

(g, u)_{R} · (h, v)_{R} = (gh, u + Ad(g)v)_{R}.

他方

[ \begin{matrix}Ad(g) & u \\ 0 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}Ad(h) & v \\ 0 & 1 \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}Ad(gh) & u + Ad(g)v \\ 0 & 1 \end{matrix} ]

となるので、 ρ_{R}は準同型写像になる。

2.7 接束 Lie 群 35

定理 2.7.10 G ×_{R} 𝔤 の指数写像 exp_{R}は次で与えられる。

exp_{R}(x, y) = (exp x, ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!}(adx)^{k−1}y)_{R} ((x, y) ∈ 𝔤 × 𝔤).

証明補題 2.7.7より、 exp_{R}(x, y) の第一成分は exp x になる。次に補題 2.7.8と補題 2.7.9 より

ρ_{R} exp_{R}(x, y) = exp_{A} dρ_{A}(x, y)
= exp_{A} [ \begin{matrix}adx & y \\ 0 & 0 \end{matrix} ]
= [ \begin{matrix}exp x & ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!}(adx)^{k−1}y \\ 0 & 1 \end{matrix} ]

となり、 exp_{R}(x, y) の第二成分は∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!}(adx)^{k−1}yになる。したがって

exp_{R}(x, y) = (exp x, ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!}(adx)^{k−1}y)_{R}

となる。定理 2.7.11 x, y ∈ 𝔤 に対して

(d exp)_{x}y = dR_{exp x} (∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!}(adx)^{k−1}y)

が成り立つ。

証明命題 2.7.3と定理 2.7.10より

(d exp)_{x}y = exp_{T} (x, y)
= exp_{T} dι_{R}(x, y)
= ι_{R}(exp_{R}(x, y))
= ι_{R} (exp x, ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!}(adx)^{k−1}y)
= dR_{exp x} (∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!}(adx)^{k−1}y)

が成り立つ。 36 第 2 章 Lie 群と Lie 環補題 2.7.12 次の収束冪級数の等式が成り立つ。

e^{−t} ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!}t^{k−1} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!}(−t)^{k−1} (t ∈ R).

証明任意の t ∈ R に対して

e^{−t} ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!}t^{k−1} = e^{−t} \frac{e^{t} − 1}{t} = \frac{1 − e^{−t}}{t} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!}(−t)^{k−1}

が成り立つ。定理 2.7.13 x, y ∈ 𝔤 に対して

(d exp)_{x}y = dL_{exp x} (∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!}(−adx)^{k−1}y)

が成り立つ。

証明定理 2.7.11と補題 2.7.12より

(d exp)_{x}y = dR_{exp x} (∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!}(adx)^{k−1}y)
= dL_{exp x}Ad(exp x)^{−1} (∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!}(adx)^{k−1}y)
= dL_{exp x} (e^{−adx} ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!}(adx)^{k−1}y)
= dL_{exp x} (∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!}(−adx)^{k−1}y) .

が成り立つ。

2.8 閉 Lie 部分群

定義 2.8.1 Lie 群 Hが Lie 群 G の Lie 部分群であるとは、 Hが G の部分多様体であり同時に Hが G の部分群であることをいう。補題 2.8.2 G を Lie 群とし、その Lie 環を 𝔤 とする。 G の Lie 部分群 Hの包含写像を ι : H → G とすると dι : 𝔥 → dι(𝔥) は Lie 環の同型写像になる。

証明 ιの微分 dι : 𝔥 → 𝔤 は定理 2.6.2より Lie 環の準同型写像になり、 Hが G の部分多様体であることから単射になる。したがって dι : 𝔥 → dι(𝔥) は Lie 環の同型写像になる。定義 2.8.3 補題 2.8.2において、 dι(𝔥) を Lie 部分群 Hに対応する Lie 部分環と呼ぶ。今後、 dιによって 𝔥 と dι(𝔥) を同一視する。

命題 2.8.4 G を Lie 群とし、 Hを G の Lie 部分群とする。 G, Hの Lie 環をそれぞれ 𝔤, 𝔥 とし、指数写像を exp_{G}, exp_{H}とする。このとき X ∈ 𝔥 に対して exp_{G}(X) = exp_{H}(X) が成り立つ。

証明包含写像をι : H → G とするとιは Lie 群の準同型写像になる。命題 2.6.6より X ∈ 𝔥 に対してι(exp_{H}(X)) = exp_{G}(dι(X)) が成り立つ。 ιと dιによる同一視をすると exp_{G}(X) = exp_{H}(X)。

補題 2.8.5 G を Lie 群とし、その Lie 環を 𝔤 とする。 𝔤 = 𝔞 + 𝔟 を 𝔤 の直和分解とする。 φ(X, Y) = exp(X) exp(Y) によって C^{∞}級写像φ : 𝔞 × 𝔟 → G を定めると 𝔞, 𝔟 における 0 の開近傍 U, V と G における e の開近傍 W が存在しφ は U × V と W の間の微分同型を与える。

証明 (X, Y) ∈ 𝔞 × 𝔟 に対して

dφ_{0}(X + Y) = \frac{d}{dt} exp(tX) exp(tY)|_{t=0}
= \frac{d}{dt} exp(tX))|_{t=0} + \frac{d}{dt} exp(tY)|_{t=0}
= X_{e} + Y_{e} = α(X + Y)

となるので dφ_{0} = α : 𝔤 → T_{e}(G) が成り立ち定理 2.1.9より dφ_{0}は線形同型写像である。逆関数定理を使うと、 𝔞, 𝔟 における 0 の開近傍 U, V と G における e の開近傍 W が存在しφ は U × V と W の間の微分同型を与えることがわかる。

定理 2.8.6 G を Lie 群とし Hを G の部分群とする。 Hが G の閉集合ならば、 Hは相対位相に関して Lie 部分群になる。

証明 𝔤 上のノルム | | を 1 つとっておく。

S = \{X ∈ 𝔤 |X_{n} ∈ 𝔤 − \{0\}, exp X_{n} ∈ H, lim_{n→∞} X_{n} = 0, lim_{n→∞} \frac{X_{n}}{|X_{n}|} = X \}

とおく。まず X ∈ Sに対して exp tX ∈ H (t ∈ R) が成り立つことを示そう。 X_{n} ∈

𝔤 − \{0\}, exp X_{n} ∈ H, lim_{n→∞} X_{n} = 0, lim_{n→∞} \frac{X_{n}}{|X_{n}|} = X としておく。 t ∈ R に対して t =

m_{n}|X_{n}| + r_{n}, 0 ≤ r_{n} < |X_{n}| となる整数 m_{n}と実数 r_{n}をとる。すると lim_{n→∞} X_{n} = 0 だから

lim_{n→∞} r_{n} = 0 となって lim_{n→∞} m_{n}|X_{n}| = t。したがって

tX = lim_{n→∞} m_{n}|X_{n}| lim_{n→∞} \frac{X_{n}}{|X_{n}|} = lim_{n→∞} m_{n}X_{n}.

exp は連続だから

exp tX = lim_{n→∞} exp m_{n}X_{n} = lim_{n→∞}(exp X_{n})^{m_{n}} ∈ H (Hは閉集合).

次に 𝔥 = {tX|t ∈ R, X ∈ S} とおいて 𝔥 が 𝔤 の部分ベクトル空間になることを示す。そのためには 𝔥 が加法について閉じていることを示せば十分。 X, Y ∈ 𝔥 − {0} とすると exp tX, exp tY ∈ H (t ∈ R)。曲線 t ↦ exp tX exp tY は t = 0 で e を通り像は Hに含まれている。定理 2.5.5より、 exp は 𝔤 における 0 のある開近傍と G における e のある開近傍の間の微分同型写像を与えるので、 0 を含むある開区間 Iで定義された 𝔤 の曲線 c : I → 𝔤 が存在し c(0) = 0, exp(c(t)) = exp tX exp tY (t ∈ I) となる。この両辺を t = 0 で微分すると

α (\frac{dc}{dt}(0)) = X_{e} + Y_{e} = α(X + Y)

となる。定理 2.1.9より\frac{dc}{dt}(0) = X + Y 。したがってlim_{t→0} \frac{c(t)}{t} = X + Y 。十分大きい n に対しては\frac{1}{n} ∈ Iとなるので Z_{n} = c(\frac{1}{n}) とおくと Z_{n} ≠ 0 で

exp Z_{n} = exp (c (\frac{1}{n})) ∈ H,

lim_{n→∞} Z_{n} = lim_{n→∞} c (\frac{1}{n}) = c(0) = 0,

lim_{n→∞} \frac{Z_{n}}{|Z_{n}|} = lim_{n→∞} \frac{c (\frac{1}{n})}{|c (\frac{1}{n})|} = lim_{n→∞} \frac{c (\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} |\frac{\frac{1}{n}}{c (\frac{1}{n})}| = \frac{X + Y}{|X + Y |}

が成り立つ。したがって\frac{X+Y}{|X+Y |} ∈ Sとなり X + Y ∈ 𝔥。これで 𝔥 が 𝔤 の部分ベクトル空間であることがわかった。

Hの位相は相対位相を考えることにし、 Hに G の部分多様体になるような多様体構造が存在することを示そう。 𝔤 における 𝔥 の補空間 𝔥′を 1 つとり直和分解: 𝔤 = 𝔥 + 𝔥′をつくると、補題 2.8.5より、 𝔥, 𝔥′における 0 の開近傍 U, V と G における e の開近傍 W が存在しφ : 𝔥 × 𝔥′ → G; (X, Y) ↦ exp(X) exp(Y) は U × V と W の間の微分同型を与える。 𝔥 における 0 の近傍 Nをとると exp(N) は Hにおける e の近傍になることを示す。 exp(N) が Hにおける e の近傍にならないと仮定して矛盾を導こう。系 2.2.2と命題 2.2.3より、 G の単位元の連結成分は可算開基を持つので、特に e は可算基本近傍系を持つ。したがって、 e に収束する点列 g_{n}が存在し g_{n} ∈ H, g_{n} ∉ exp(N) を満たす。 U ⊂ N, g_{n} ∈ W となるように Uと g_{n}をとりなおすと、 X_{n} ∈ U, Y_{n} ∈ V が存在し g_{n} = exp X_{n} exp Y_{n}を満たす。 g_{n} ∉ exp(N) だから Y_{n} ≠ 0。\frac{Y_{n}}{|Y_{n}|}のノルムは 1 だから部分列をとりなおすことにより\frac{Y_{n}}{|Y_{n}|}は収束列になる。 X = lim_{n→∞} \frac{Y_{n}}{|Y_{n}|} ∈ 𝔥′とおく。 exp Y_{n} = (exp X_{n})^{−1}g_{n} ∈ H, lim_{n→∞} Y_{n} = 0 が成り立つので X ∈ S ⊂ 𝔥 となり矛盾。特に exp(U) は Hにおける e の開近傍になる。 𝔥 の基底 X_{1},…, X_{k}をとり x ∈ exp(U) に対して exp^{−1}(x) = ∑_{i=1}^{k} x_{i}(x)X_{i}とおく。 Hは G の部分群だ

から各 h ∈ Hに対して L_{h}(exp(U)) ⊂ Hとなり {(L_{h}(exp(U)); x_{1} ∘ L_{h}^{−1},…, x_{k} ∘ L_{h}^{−1})}_{h∈H} は Hに多様体の構造を与える。さらにこの多様体構造に関して Hは G の部分多様体になっている。

上で定めた多様体構造に関して Hが Lie 群であることを示す。 τ : G × G → G; (g, h) ↦ gh^{−1}とすると、 τは連続写像で Hの位相は相対位相だからτの Hへの制限τ_{H} : H × H → H も連続になる。 (h_{1}, h_{2}) ∈ H × Hに対して、逆関数定理を使うと、 τ_{H}(h_{1}, h_{2}) = h_{1}h_{2}^{−1}を含む G の局所座標近傍 (W; x_{1},…, x_{n}) が存在し

V = {z ∈ W |x_{i}(z) = 0 (k + 1 ≤ i ≤ n)}

は Hにおける h_{1}h_{2}^{−1}の開近傍になり、 x_{1},…, x_{k}のそこへの制限は Hの局所座標系になることがわかる。 τ_{H}は Hの位相に関して連続だから (h_{1}, h_{2}) の H × Hにおける開近傍 Uが存在しτ_{H}(U) ⊂ V となる。 U → W; (x, y) ↦ xy^{−1}は C^{∞}級写像になるので (x, y) ↦ x_{i}(xy^{−1}) は U上の C^{∞}級関数になる。したがってτ_{H} : U → V は C^{∞}級写像である。これでτ_{H}が C^{∞}級写像になることがわかり、 Hは Lie 群である。以上より Hは G の Lie 部分群である。

定義 2.8.7 定理 2.8.6より、 Lie 群の閉部分群は相対位相に関して Lie 部分群になるので、この Lie 部分群の構造を持っている閉部分群を閉 Lie 部分群と呼ぶことにする。

命題 2.8.8 Lie 群 G とその Lie 部分群 Hの Lie 環をそれぞれ 𝔤, 𝔥 とおくと

𝔥 = {X ∈ 𝔤| exp tX ∈ H(t ∈ R), t ↦ exp tXは Hの位相に関して連続}

が成り立つ。 Hが閉 Lie 部分群の場合は

𝔥 = {X ∈ 𝔤| exp tX ∈ H(t ∈ R)}

が成り立つ。

証明

𝔥′ = {X ∈ 𝔤| exp tX ∈ H(t ∈ R), t ↦ exp tXは Hの位相に関して連続}

とおいておく。 𝔥 ⊂ 𝔥′は補題 2.8.2と定義 2.8.3よりわかる。 X ∈ 𝔥′, s ∈ R に対して、 exp sX を含む G の局所座標近傍 (W; x_{1},…, x_{n}) が存在し

V = {z ∈ W |x_{i}(z) = 0 (k + 1 ≤ i ≤ n)}

は Hにおける exp sXの開近傍になり、 x_{1},…, x_{k}のそこへの制限は Hの局所座標系になる。 t ↦ exp tXは Hの位相に関して連続だから s を含む開区間 Iが存在し exp tX ∈ V (t ∈ I) となる。 I → W; t ↦ exp tXは C^{∞}級写像になるので t ↦ x_{i}(exp tX) は I上の C^{∞}級関数になる。したがって t ↦ exp tXは Hの多様体構造に関して C^{∞}級写像である。これで X ∈ 𝔥 がわかり、 𝔥′ ⊂ 𝔥 である。以上より 𝔥 = 𝔥′である。さらに Hが閉 Lie 部分群の場合は Hの位相は相対位相だから X ∈ 𝔤 が exp tX ∈ H(t ∈ R) を満たせば t ↦ exp tXは Hの位相に関して連続になり 𝔥 = {X ∈ 𝔤| exp tX ∈ H(t ∈ R)} が成り立つ。系 2.8.9 Lie 群 G の閉 Lie 部分群 H, Kの Lie 環をそれぞれ 𝔥, 𝔨 とおくと H ∩ Kは G の閉 Lie 部分群になりその Lie 環は 𝔥 ∩ 𝔨 である。

定義 2.8.10 一般線形群の閉 Lie 部分群を線形 Lie 群と呼ぶ。

例 2.8.11 G を一般線形群 GL(V) の閉 Lie 部分群とし、 G の Lie 環を 𝔤 とおく。例 2.5.2より GL(V) の指数写像は指数関数になるので、 X ∈ 𝔤 に対して exp_{G}(X) = e^{X}が成り立つ。さらに g ∈ G, X ∈ 𝔤 に対して

Ad_{G}(g)X = \frac{d}{dt}(ge^{tX}g^{−1})|_{t=0} = \frac{d}{dt}e^{tgXg^{−1}} |_{t=0} = gXg^{−1}.

2.9 線形 Lie 群

補題 2.9.1 Lie 環 𝔤 の表現ρ : 𝔤 → 𝔤𝔩(V) と v ∈ V に対して 𝔥 = {X ∈ 𝔤|ρ(X)v = 0} とおくと 𝔥 は 𝔤 の Lie 部分環になる。

証明 a, b ∈ R, X, Y ∈ 𝔥 に対して

ρ(aX + bY)v = aρ(X)v + bρ(Y)v = 0,
ρ([X, Y])v = ρ(X)ρ(Y)v − ρ(Y)ρ(X)v = 0

だから aX + bY, [X, Y] ∈ 𝔥 となり 𝔥 は 𝔤 の Lie 部分環である。

補題 2.9.2 Lie 群 G の表現ρ : G → GL(V) と v ∈ V に対して

H = {g ∈ G|ρ(g)v = v}

とおくと Hは G の閉 Lie 部分群になる。 𝔥 を Hの Lie 環とすると

𝔥 = {X ∈ 𝔤|dρ(X)v = 0}

が成り立つ。

証明 g, h ∈ Hに対してρ(gh^{−1})v = ρ(g)ρ(h^{−1})v = vだから gh^{−1} ∈ Hとなり Hは G の部分群である。次にρ : G → GL(V) は C^{∞}級写像だからρ_{v} : G → V; g ↦ ρ(g)v とおくと ρ_{v}も C^{∞}級写像になる。よって H = ρ_{v}^{−1}(v) は G の閉集合である。したがって Hは G の閉 Lie 部分群である (定理 2.8.6と定義 2.8.7)。

命題 2.8.8より、 X ∈ 𝔥 をとると、任意の t ∈ R に対して exp tX ∈ Hとなるので ρ(exp tX)v = v。両辺を t = 0 で微分し命題 2.6.6を使うと

0 = \frac{d}{dt}ρ(exp tX)v|_{t=0} = \frac{d}{dt}e^{tdρ(X)}v|_{t=0} = dρ(X)v.

逆に dρ(X)v = 0 となる X ∈ 𝔤 をとると任意の t ∈ R に対して

ρ(exp tX)v = exp(tdρ(X))v = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}(tdρ(X))^{n}v = v

だから exp tX ∈ Hとなり命題 2.8.8より X ∈ 𝔥。

補題 2.9.3 有限次元実ベクトル空間 V に対して det : GL(V) → GL(R) = R − {0} は GL(V) の表現になり、 det の微分は tr : 𝔤𝔩(V) → 𝔤𝔩(R) = R である。

証明行列式の性質より det : GL(V) → GL(R) = R − {0} は GL(V) の表現になる。 X ∈ 𝔤𝔩(V) に対して X : V → V の固有値をλ_{i} (1 ≤ i ≤ k) とし、各固有値の重複度を p_{i}とすると、例 2.4.6より、

det(e^{tX}) = ∏_{i=1}^{k}(e^{λ_{i}t})^{p_{i}} = ∏_{i=1}^{k} e^{p_{i}λ_{i}t}.

したがって、

\frac{d}{dt} det(e^{tX})|_{t=0} = \frac{d}{dt} ∏_{i=1}^{k} e^{p_{i}λ_{i}t}|_{t=0} = ∑_{i=1}^{k} p_{i}λ_{i} = tr(X)

となり、 det の微分は tr になる。

定義 2.9.4 V を有限次元実ベクトル空間とし、 SL(V) = {g ∈ GL(V)|detg = 1} と表すと、補題 2.9.2と補題 2.9.3より SL(V) は線形 Lie 群になる。 SL(V) を特殊線形群と呼ぶ。 SL(V) の Lie 環を 𝔰𝔩(V) で表すと、補題 2.9.2と補題 2.9.3より

𝔰𝔩(V) = {X ∈ 𝔤𝔩(V)|trX = 0}

となる。 R^{n}における特殊線形群とその Lie 環を SL(n, R), 𝔰𝔩(n, R) とも書く。

命題 2.9.5 V を有限次元ベクトル空間とし A : V × V → R を双線形写像とする。

G = {g ∈ GL(V)|A(gu, gv) = A(u, v) (u, v ∈ V)}

とおくと G は線形 Lie 群になる。 𝔤 を G の Lie 環とすると

𝔤 = {X ∈ 𝔤𝔩(V)|A(Xu, v) + A(u, Xv) = 0 (u, v ∈ V)}

が成り立つ。

証明 V × V から R への双線形写像の全体を M^{2}(V, R) で表す。 b, c ∈ R, B, C ∈ M^{2}(V, R) に対して (bB + cC)(u, v) = bB(u, v) + cC(u, v) (u, v ∈ V) によって bB + cC ∈ M^{2}(V, R) を定めるとこの演算によって M^{2}(V, R) はベクトル空間になる。 g ∈ GL(V), B ∈ M^{2}(V, R) に対して

(ρ(g)B)(u, v) = B(g^{−1}u, g^{−1}v) (u, v ∈ V)

としてρ(g)B ∈ M^{2}(V, R) を定めるとρ(g) ∈ GL(M^{2}(V, R))。 g, h ∈ GL(V), u, v ∈ V について

(ρ(gh)B)(u, v) = B((gh)^{−1}u, (gh)^{−1}v) = B(h^{−1}g^{−1}u, h^{−1}g^{−1}v)
= (ρ(h)B)(g^{−1}u, g^{−1}v) = (ρ(g)(ρ(h)B))(u, v)

だからρ(gh) = ρ(g)ρ(h) となりρ : GL(V) → GL(M^{2}(V, R)) は群の準同型写像である。各 u, v ∈ V, B ∈ M^{2}(V, R) について g ↦ (ρ(g)B)(u, v) は C^{∞}級関数だからρは C^{∞}級写像になる。したがってρは Lie 群の準同型写像である。 ρの定義より G = {g ∈ GL(V)|ρ(g)A = A}。補題 2.9.2を適用すると G は線形 Lie 群になる。

G の Lie 環を求めるためにρの微分を計算する。 X ∈ 𝔤𝔩(V), B ∈ M^{2}(V, R), u, v ∈ V について

(dρ(X)B)(u, v) = \frac{d}{dt}(ρ(e^{tX})B)(u, v)|_{t=0} = \frac{d}{dt}B(e^{−tX}u, e^{−tX}v)|_{t=0}
= −B(Xu, v) − B(u, Xv)

だから補題 2.9.2より

𝔤 = {X ∈ 𝔤𝔩(V)|dρ(X)A = 0}
= {X ∈ 𝔤𝔩(V)|A(Xu, v) + A(u, Xv) = 0 (u, v ∈ V)}.

定義 2.9.6 V を有限次元ベクトル空間とし A を V 上の正定値内積とする。 V の A に関する直交変換の全体を O(V) = O(V; A) で表すと命題 2.9.5より O(V) は線形 Lie 群になる。 O(V) を直交群と呼ぶ。 O(V) の Lie 環を 𝔬(V) = 𝔬(V; A) で表すと命題 2.9.5より

𝔬(V) = {X ∈ 𝔤𝔩(V)|A(Xu, v) + A(u, Xv) = 0 (u, v ∈ V)}

となる。 R^{n}の標準内積に関する直交群とその Lie 環を O(n), 𝔬(n) とも書く。

注意 2.9.7 O(n) は n 次直交行列の全体であり 𝔬(n) は n 次交代行列の全体である。

定義 2.9.8 V を有限次元ベクトル空間とし A を V 上の正定値内積とする。

SO(V) = SO(V; A) = SL(V) ∩ O(V; A)

と表すと、系 2.8.9より SO(V) は線形 Lie 群になる。 SO(V) を回転群または特殊直交群と呼ぶ。 SO(V) の Lie 環を 𝔰𝔬(V) = 𝔰𝔬(V; A) で表すと系 2.8.9より 𝔰𝔬(V) = 𝔰𝔩(V)∩𝔬(V) = 𝔬(V) となる。 R^{n}の標準内積に関する回転群とその Lie 環を SO(n), 𝔰𝔬(n) とも書く。

定義 2.9.9 V を有限次元複素ベクトル空間とし、 I : V → V; v ↦ \sqrt{−1}vとする。 V の実正則線形変換の全体を GL_{R}(V)、その Lie 環を 𝔤𝔩_{R}(V) で表す。例 2.6.12より g ∈ GL_{R}(V) に対して Ad(g)I = gIg^{−1}だから V の複素正則線形変換の全体 GL_{C}(V) は

{g ∈ GL_{R}(V)|Ad(g)I = I}

に一致し、系 2.8.9より線形 Lie 群になる。 GL_{C}(V) を複素一般線形群と呼ぶ。 GL_{C}(V) の Lie 環を 𝔤𝔩_{C}(V) で表す。定理 2.6.10より

dAd(X)T = ad(X)(T) = XT − T X (X, T ∈ 𝔤𝔩_{R}(V))

だから、

GL_{C}(V) = {g ∈ GL_{R}(V)|gI = Ig},
𝔤𝔩_{C}(V) = {X ∈ 𝔤𝔩_{R}(V)|XI = IX}

となっている。 𝔤𝔩_{C}(V) は V の複素線形変換の全体である。 GL_{C}(C^{n}), 𝔤𝔩_{C}(C^{n}) は GL(n, C), 𝔤𝔩(n, C) とも書く。

定義 2.9.10 Lie 群 G と複素有限次元ベクトル空間 V に対して、 G から GL_{C}(V) への Lie 群の準同型写像を G の複素表現と呼ぶ。 Lie 環 𝔤 とベクトル空間 V に対して、 𝔤 から 𝔤𝔩_{C}(V) への Lie 環の準同型写像を 𝔤 の複素表現と呼ぶ。

命題 2.9.11 Lie 群 G の複素表現の微分は、 G の Lie 環 𝔤 の複素表現になる。

証明 ρ : G → GL_{C}(V) を G の複素表現とし、 Iを V の複素構造とする。命題 2.6.6より、 X ∈ 𝔤 に対して

I exp(tdρ(X))I^{−1} = Iρ(exp tX)I^{−1} = ρ(exp tX) = exp(tdρ(X))

が成り立つ。両辺を t = 0 で微分すると

Idρ(X)I^{−1} = dρ(X)

となり、 dρ(X) ∈ 𝔤𝔩_{C}(V)。したがって、 dρ : 𝔤 → 𝔤𝔩_{C}(V) は 𝔤 の複素表現になる。

補題 2.9.12 複素有限次元実ベクトル空間 V に対して det_{C} : GL_{C}(V) → GL_{C}(C) = C − {0} は GL_{C}(V) の複素表現になり、 det_{C}の微分は tr_{C} : 𝔤𝔩_{C}(V) → 𝔤𝔩_{C}(C) = C である。

証明補題 2.9.3と同様に証明することができる。

定義 2.9.13 V を有限次元複素ベクトル空間とし det_{C}で複素行列式を表す。 SL_{C}(V) = {g ∈ GL_{C}(V)|det_{C}g = 1} と表すと補題 2.9.2と補題 2.9.3より、 SL_{C}(V) は線形 Lie 群になる。 SL_{C}(V) を複素特殊線形群と呼ぶ。 SL_{C}(V) の Lie 環を 𝔰𝔩_{C}(V) で表すと補題 2.9.2と補題 2.9.3より、

𝔰𝔩_{C}(V) = {X ∈ 𝔤𝔩_{C}(V)|tr_{C}X = 0}

となる。 C^{n}における複素特殊線形群とその Lie 環を SL(n, C), 𝔰𝔩(n, C) とも書く。定義 2.9.14 V を有限次元複素ベクトル空間とし A を V 上の正定値 Hermite 内積とする。 V の A に関するユニタリ変換の全体を U(V) = U(V; A) で表すと命題 2.9.5より U(V) は線形 Lie 群になる。 U(V) をユニタリ群と呼ぶ。 U(V) の Lie 環を 𝔲(V) = 𝔲(V; A) で表すと命題 2.9.5より

𝔲(V) = {X ∈ 𝔤𝔩_{C}(V)|A(Xu, v) + A(u, Xv) = 0 (u, v ∈ V)}

となる。 C^{n}の標準 Hermite 内積に関するユニタリ群とその Lie 環を U(n), 𝔲(n) とも書く。

注意 2.9.15 U(n) は n 次ユニタリ行列の全体であり 𝔲(n) は n 次交代 Hermite 行列の全体である。

定義 2.9.16 V を有限次元複素ベクトル空間とし A を V 上の正定値 Hermite 内積とする。 SU(V) = SU(V; A) = SL_{C}(V) ∩ U(V; A) と表すと系 2.8.9より SU(V) は線形 Lie 群になる。 SU(V) を特殊ユニタリ群と呼ぶ。 SU(V) の Lie 環を 𝔰𝔲(V) = 𝔰𝔲(V; A) で表すと系 2.8.9より 𝔰𝔲(V) = 𝔰𝔩_{C}(V) ∩ 𝔲(V) となる。 C^{n}の標準 Hermite 内積に関する特殊ユニタリ群とその Lie 環を SU(n), 𝔰𝔲(n) とも書く。

2.10 Lie 部分群と Lie 部分環

定理 2.10.1 Lie 群 G の Lie 環を 𝔤 とする。 𝔤 の Lie 部分環 𝔥 に対して G の連結な Lie 部分群で対応する Lie 部分環が 𝔥 になるものが一意に存在する。

証明 dim𝔥 = kとしておく。各 g ∈ G に対して ℌ_{g} = d(L_{g})_{e}(α(𝔥)) とおくと、 ℌ_{g}は T_{g}(G) の k次元部分ベクトル空間になる。 g ∈ G に対して ℌ_{g}を対応させる対応 ℌ が G 上の k次元分布になることを示す。 𝔤 の基底 X_{1},…, X_{n}を X_{1},…, X_{k} ∈ 𝔥 となるようにとる。各 X_{i}は G 上の左不変ベクトル場だから 1 ≤ i ≤ kに対して (X_{i})_{g} ∈ ℌ_{g}(g ∈ G) が成り立ち、 ℌ は G 上の k次元分布である。 X, Y を ℌ に属するベクトル場とすると、 f_{i}, g_{i} ∈ C^{∞}(G) が存在

し X = ∑_{i=1}^{k} f_{i}X_{i}, Y = ∑_{i=1}^{k} g_{i}X_{i} と書ける。 f ∈ C^{∞}(G) に対して、

[X, Y](f) = ∑_{i,j=1}^{k}[f_{i}X_{i}, g_{j}X_{j}](f) = ∑_{i,j=1}^{k}{f_{i}X_{i}(g_{j}X_{j}(f)) − g_{j}X_{j}(f_{i}X_{i}(f))}
= ∑_{i,j=1}^{k}{f_{i}(X_{i}g_{j})(X_{j}f) + f_{i}g_{j}X_{i}X_{j}f − g_{j}(X_{j}f_{i})(X_{i}f) − g_{j}f_{i}X_{j}X_{i}f}
= ∑_{i,j=1}^{k}{f_{i}(X_{i}g_{j})X_{j} − g_{j}(X_{j}f_{i})X_{i} + f_{i}g_{j}[X_{i}, X_{j}]}(f)

となるので、

[X, Y] = ∑_{i,j=1}^{k}{f_{i}(X_{i}g_{j})X_{j} − g_{j}(X_{j}f_{i})X_{i} + f_{i}g_{j}[X_{i}, X_{j}]}.

𝔥 は 𝔤 の Lie 部分環だから [X_{i}, X_{j}] ∈ 𝔥 となり、 [X, Y] は ℌ に属する。よって ℌ は G 上の完全積分可能な k次元分布である。定理 1.3.4より G の単位元 e を含む ℌ の極大連結積分多様体 Hが存在する。 g ∈ G に対して L_{g}(H) は G の部分多様体になり各 x ∈ Hについて

T_{gx}(L_{g}(H)) = d(Lg)_{x}T_{x}(H) = d(L_{g})_{x}ℌ_{x} = d(L_{g})_{x}d(L_{x})_{e}(α(𝔥))
= d(L_{gx})_{e}(α(𝔥)) = ℌ_{gx}

が成り立つので L_{g}(H) は ℌ の連結積分多様体である。そこで g ∈ Hに対して L_{g^{−1}}(H) を考えると L_{g^{−1}}(H) は ℌ の連結積分多様体になり L_{g^{−1}}(H) ∋ L_{g^{−1}}(g) = e。したがって Hの極大性より L_{g^{−1}}(H) ⊂ H。よって Hは G の部分群である。

Hが G の Lie 部分群であることを証明しよう。 Hは連結だから G の単位元の連結成分 G_{0}に含まれる。命題 2.2.3より G_{0}は連結 Lie 群になるので、系 2.2.2より可算開基を持つ。 Hは G_{0} の連結部分多様体だから、定理 1.4.6より可算開基を持つ。 τ_{H} : H×H ⟶ G; (g, h) ⟼ gh^{−1} は C^{∞}級写像で、 Hは G の部分群だからτ_{H}(H × H) ⊂ H。 Hは可算開基を持つ ℌ の積分多様体なので、命題 1.4.8よりτ_{H} : H × H ⟶ Hは C^{∞}級写像である。したがって Hは Lie 群になり G の Lie 部分群である。 Hの構成法より Hに対応する Lie 部分環は 𝔥 である。

最後に一意性を証明する。 H′も G の連結な Lie 部分群で対応する Lie 部分環が 𝔥 になるとする。命題 2.8.4より H,H′の指数写像は G の指数写像の制限になる。定理 2.5.5より Hと H′ は恒等写像によって微分同型になる単位元の開近傍 Uを持つ。したがって H = ∪{U^{n}|n ∈ N} = H′となり (定理 2.2.1)、 Hと H′は集合として一致する。恒等写像ι : H ⟶ H′は群の同型写像で単位元の開近傍 Uにおいて微分同型を与える。各 h ∈ Hに対して L_{h^{−1}} ∘ι = ι∘L_{h^{−1}} となるのでιは L_{h}(U) において微分同型を与える。したがってι : H ⟶ H′は Lie 群の同型写像になる。

系 2.10.2 Lie 群 G とその Lie 部分群 Hの Lie 環をそれぞれ 𝔤, 𝔥 とする。各 g ∈ G に対して ℌ_{g} = d(L_{g})_{e}(α(𝔥)) とおくと、対応 ℌ は G 上の完全積分可能な分布になる。さらに Hは ℌ の積分多様体になっている。

定義 2.10.3 𝔤 を Lie 環とする。 𝔤 の部分ベクトル空間 𝔥 が任意の X ∈ 𝔤, Y ∈ 𝔥 に対して [X, Y] ∈ 𝔥 を満たすとき、 𝔥 を 𝔤 のイデアルと呼ぶ。

命題 2.10.4 f : 𝔤 ⟶ 𝔥 を Lie 環の準同型写像とすると、 kerfは 𝔤 のイデアルになる。

証明 X ∈ 𝔤, Y ∈ kerfに対して、 f([X, Y]) = [f(X), f(Y)] = 0。したがって [X, Y] ∈ kerfとなり、 kerfは 𝔤 のイデアルである。

命題 2.10.5 f : G ⟶ Hを Lie 群の準同型写像とすると、 kerfは G の正規閉 Lie 部分群 (正規部分群でかつ閉 Lie 部分群) になる。 G の Lie 環を 𝔤 とすると kerfに対応する 𝔤 の Lie 部分環は kerdfで 𝔤 のイデアルになる。さらに G が連結の場合は f(G) は Hの Lie 環の Lie 部分環 df(𝔤) に対応する Hの連結 Lie 部分群に一致する。

証明 fは群の準同型写像だから kerfは G の正規部分群である。 kerfは 1 点の逆像だから、定理 2.8.6より閉 Lie 部分群になる。 kerfに対応する 𝔤 の Lie 部分環を 𝔥 とおくと、命題 2.8.8より X ∈ 𝔤 が 𝔥 の元になるための必要十分条件は exp tX ∈ kerf (t ∈ R) である。命題 2.6.6より f(exp tX) = exp(tdf(X)) だから、 f(exp tX) = e (t ∈ R) の必要十分条件は df(X) = 0 となり X ∈ kerdf。したがって 𝔥 = kerdf。定理 2.6.2より dfは Lie 環の準同型になり、命題 2.10.4より kerdfは 𝔤 のイデアルになる。

G が連結の場合を考えよう。定理 2.5.5より、 exp(𝔤) は G における単位元の近傍になる。また定理 2.2.1より G = ∪{exp(𝔤)^{n}|n ∈ N} だから

f(G) = f(∪{(exp 𝔤)^{n}|n ∈ N})
= ∪{(f(exp 𝔤))^{n}|n ∈ N}
= ∪{(exp(df(𝔤)))^{n}|n ∈ N} (命題 2.6.2より)

となり f(G) は df(𝔤) に対応する連結 Lie 部分群に一致する。

例 2.10.6 有限次元実ベクトル空間 V に対して det_{R} : GL_{R}(V) ⟶ GL_{R}(R) は Lie 群の準同型写像だから (補題 2.9.3)、 SL_{R}(V) = ker(det_{R}) は GL_{R}(V) の正規閉 Lie 部分群になる。 SL_{R}(V) に対応する Lie 部分環 𝔰𝔩_{R}(V) は 𝔤𝔩_{R}(V) のイデアルになる。また有限次元複素ベクトル空間 W に対しても det_{C} : GL_{C}(W) ⟶ GL_{C}(C) は Lie 群の準同型写像だから、 SL_{C}(W) = ker(det_{C}) は GL_{C}(W) の正規閉 Lie 部分群になる。 SL_{C}(W) に対応する Lie 部分環 𝔰𝔩_{C}(W) は 𝔤𝔩_{C}(W) のイデアルになる。

命題 2.10.7 Lie 群 G の Lie 部分群 Hが可算個の連結成分を持つとする。 G と Hの Lie 環をそれぞれ 𝔤, 𝔥 とおくと 𝔥 = {X ∈ 𝔤| exp tX ∈ H(t ∈ R)} が成り立つ。

証明命題 2.8.8より

𝔥 = {X ∈ 𝔤| exp tX ∈ H(t ∈ R), t ⟼ exp tXは Hの位相に関して連続}

が成り立つので exp tX ∈ H(t ∈ R) となる X ∈ 𝔤 に対して t ⟼ exp tXが Hの位相に関して連続になることを示せばよい。 f : R ⟶ G; t ⟼ exp tXは C^{∞}級写像で f(R) ⊂ H。 Hは可算個の連結成分を持つので、補題 2.2.4より Hは可算開基を持つ。また系 2.10.2より Hは G 上の完全積分可能な分布の積分多様体になっている。したがって命題 1.4.8を適用することができ、 fを Hへの写像とみなしても f : R ⟶ Hは C^{∞}級写像になる。特に H の位相に関して連続になる。

定理 2.10.8 G を Lie 群とし Hをその Lie 部分群とする。 Hの連結成分の個数は可算であるか、または Hは閉 Lie 部分群であると仮定する。 G, Hの Lie 環をそれぞれ 𝔤, 𝔥 としておく。このとき、 Hが G の正規部分群ならば 𝔥 は 𝔤 のイデアルである。

証明 X ∈ 𝔤, Y ∈ 𝔥 とすると、 Hは G の正規部分群だから定理 2.6.10を使うと

exp(Ad(exp sX)(tY)) = exp(sX) exp(tY) exp(sX)^{−1} ∈ H (s, t ∈ R)

が成り立ち、命題 2.8.8または 2.10.7より Ad(exp sX)Y ∈ 𝔥 となる。

\frac{d}{ds}Ad(exp sX)Y |_{s=0} = [X, Y] (定理 2.6.10)

だから [X, Y] ∈ 𝔥 となり、 𝔥 は 𝔤 のイデアルになる。

定理 2.10.9 G を連結 Lie 群とし Hをその連結 Lie 部分群とする。 G, Hの Lie 環をそれぞれ 𝔤, 𝔥 としておく。このとき、 Hが G の正規部分群になるための必要十分条件は 𝔥 が 𝔤 のイデアルになることである。

証明定理 2.10.8より Hが G の正規部分群ならば 𝔥 は 𝔤 のイデアルになる。逆に 𝔥 が 𝔤 のイデアルとする。定理 2.5.5より G における単位元の開近傍 Uと 𝔤 における 0 の開近傍 V が存在し exp : V ⟶ Uは微分同型写像になる。さらに exp(V ∩ 𝔥) は Hにおける単位元の開近傍になる。 X ∈ 𝔤, Y ∈ 𝔥 に対して

(exp X)(exp Y)(exp X)^{−1} = exp(Ad(exp X)Y)

ここで命題 2.6.6を Ad に適用すると定理 2.6.10より

Ad(exp X)Y = e^{adX}Y = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}(adX)^{n}Y ∈ 𝔥

だから (exp X) exp(V ∩ 𝔥)(exp X)^{−1} ⊂ H。したがって定理 2.2.1より

(exp X)H(exp X)^{−1} = ⋃_{n=1}^{∞}(exp X) exp(V ∩ 𝔥)^{n}(exp X)^{−1}
= ⋃_{n=1}^{∞}((exp X) exp(V ∩ 𝔥)(exp X)^{−1})^{n} ⊂ H

であり G = ∪{U^{n}|n ∈ N} だから任意の g ∈ G に対して gHg^{−1} ⊂ Hが成り立つ。よって Hは G の正規部分群である。

定義 2.10.10 𝔤 を Lie 環とする。 ker(ad) = {X ∈ 𝔤 | 任意のY ∈ 𝔤 に対して[X, Y] = 0} を 𝔤 の中心と呼ぶ。 (命題 2.10.4より中心はイデアルになる。 )

補題 2.10.11 f, gを連結 Lie 群から Lie 群への Lie 群の準同型写像とする。もし df = dgならば f = gが成り立つ。

証明 f, gを連結 Lie 群 G から Lie 群 Hへの Lie 群の準同型写像とする。 X ∈ 𝔤 に対して命題 2.6.6より

f(exp X) = exp(df(X)) = exp(dg(X)) = g(exp X)

となるので fと gは exp(𝔤) において一致する。定理 2.5.5と定理 2.2.1を使うと G = ∪{exp(𝔤)^{n}|n ∈ N} となるので fと gは G 全体で一致する。定理 2.10.12 連結 Lie 群 G の Lie 環を 𝔤 とする。 G の中心は随伴表現 Ad の核に一致する。特に G の中心は正規閉 Lie 部分群になり対応する Lie 部分環は 𝔤 の中心である。

証明 G の中心を Zで表す。随伴表現の定義 (定理 2.6.10, 定義 2.6.11) より Z ⊂ kerAd はすぐにわかる。 g ∈ kerAd とすると d(L_{g} ∘ R_{g}^{−1}) は 𝔤 の恒等写像になるので、補題 2.10.11より L_{g} ∘ R_{g}^{−1}は G の恒等写像になる。したがって g ∈ Zとなり Z = kerAd がわかった。命題 2.10.5より Zは G の正規閉 Lie 部分群になり Zに対応する 𝔤 の Lie 部分環は kerdAd = kerad で (定理 2.6.10)、 𝔤 の中心である。

系 2.10.13 連結 Lie 群が可換になるための必要十分条件はその Lie 環が可換になることである。

証明 G を連結 Lie 群としその Lie 環を 𝔤 とする。 G が可換ならば 𝔤 も可換になることは系 2.5.8で示した。そこで 𝔤 が可換であると仮定すると 𝔤 の中心は 𝔤 に一致する。定理 2.10.12より G の中心は G に一致し G は可換になる。

2.11 線形 Lie 群の連結性

定理 2.11.1 ユニタリ群 U(n) の指数写像 exp : 𝔲(n) ⟶ U(n) は全射である。特に U(n) は連結である。

証明 U(n) の任意の元 u は正規行列だからユニタリ行列によって対角化可能である。つまり、ある g ∈ U(n) と a_{1},…, a_{n} ∈ C が存在して

g^{−1}ug = [ \begin{matrix}a_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & a_{n} \end{matrix} ]

となる。 g^{−1}ug ∈ U(n) だから |a_{1}| = … = |a_{n}| = 1。よってθ_{1},…, θ_{n} ∈ R が存在して a_{i} = e^{\sqrt{−1}θ_{i}} (1 ≤ i ≤ n) となる。

u = g [ \begin{matrix}a_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & a_{n} \end{matrix} ] g^{−1} = exp Ad(g) [ \begin{matrix}\sqrt{−1}θ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & \sqrt{−1}θ_{n} \end{matrix} ] .

ここで注意 2.9.15より

[ \begin{matrix}\sqrt{−1}θ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & \sqrt{−1}θ_{n} \end{matrix} ] ∈ 𝔲(n)

で g ∈ U(n) だから

Ad(g) [ \begin{matrix}\sqrt{−1}θ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & \sqrt{−1}θ_{n} \end{matrix} ] ∈ 𝔲(n)

となり U(n) の指数写像は全射になる。 𝔲(n) は連結だから U(n) も連結。

定理 2.11.2 特殊ユニタリ群 SU(n) の指数写像 exp : 𝔰𝔲(n) ⟶ SU(n) は全射である。特に SU(n) は連結である。

証明定理 2.11.1の証明と同様に SU(n) の任意の元 u に対して、ある g ∈ U(n) と θ_{1},…, θ_{n} ∈ R が存在して

(∗) u = g exp [ \begin{matrix}\sqrt{−1}θ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & \sqrt{−1}θ_{n} \end{matrix} ] g^{−1}.

ここで detu = 1 だからθ_{1} + … + θ_{n} = 2πk (k ∈ Z)。 e^{\sqrt{−1}θ_{1}} = e^{\sqrt{−1}(θ_{1}−2πk)}よりθ_{1}をθ_{1} − 2πk に置き換えても上の (∗) は成立しθ_{1} + … + θ_{n} = 0 となる。定義 2.9.16より

[ \begin{matrix}\sqrt{−1}θ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & \sqrt{−1}θ_{n} \end{matrix} ] ∈ 𝔰𝔲(n)

で g ∈ U(n) だから

Ad(g) [ \begin{matrix}\sqrt{−1}θ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & \sqrt{−1}θ_{n} \end{matrix} ] ∈ 𝔰𝔲(n).

したがって SU(n) の指数写像は全射になる。 𝔰𝔲(n) は連結だから SU(n) も連結。

定理 2.11.3 回転群 SO(n) の指数写像 exp : 𝔰𝔬(n) ⟶ SO(n) は全射である。特に SO(n) は連結である。

証明 SO(n) ⊂ U(n) だから定理 2.11.1の証明と同様に SO(n) の任意の元 u に対して、ある g ∈ U(n) とθ_{1},…, θ_{n} ∈ R が存在して

u = g [ \begin{matrix}e^{\sqrt{−1}θ_{1}} \\ & . & . & . \\ & & & & e^{\sqrt{−1}θ_{n}} \end{matrix} ] g^{−1}.

u の固有多項式は実係数だから u の固有値に共役な値も u の固有値になる。 gの縦ベクトルの順序を適当にかえて

(∗) u = g [ \begin{matrix}e^{\sqrt{−1}θ_{1}} \\ & e^{−\sqrt{−1}θ_{1}} \\ & & . & . & . \\ & & & & & e^{\sqrt{−1}θ_{k}} \\ & & & & & & e^{−\sqrt{−1}θ_{k}} \\ & & & & & & & ε_{2k+1} \\ & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & ε_{n} \end{matrix} ] g^{−1}

とできる。ただしθ_{i} ∉ πZ (1 ≤ i ≤ k), ε_{j} = ±1 (2k + 1 ≤ j ≤ n)。 g = [g_{1} … g_{n}] と表すと ug_{2i−1} = e^{\sqrt{−1}θ_{i}}g_{2i−1} (1 ≤ i ≤ k)。 u は実行列だから uḡ_{2i−1} = e^{−\sqrt{−1}θ_{i}} ḡ_{2i−1} (1 ≤ i ≤ k)。そこで g_{2i}をḡ_{2i−1}に置き換えても g ∈ U(n) となり (∗) は成り立つ。またε_{j} ∈ R だから g_{j} ∈ R^{n} とすることができる。さらに detu = 1 だからε_{j} = −1 となるε_{j}の個数は偶数。よって gの縦ベクトルの順序を適当にかえてε_{2k+1} = … = ε_{2l} = −1, ε_{2l+1} = … = ε_{n} = 1 とできる。 1 ≤ i ≤ kに対して

h_{2i−1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(g_{2i−1} + ḡ_{2i−1}), h_{2i} = \frac{1}{\sqrt{−2}}(g_{2i−1} − ḡ_{2i−1})

とおき h_{j} = g_{j} (2k + 1 ≤ j ≤ n) とすると h = [h_{1} … h_{n}] ∈ U(n) で h は実行列になる。したがって h ∈ O(n)。 1 ≤ i ≤ kに対して

uh_{2i−1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(e^{\sqrt{−1}θ_{i}}g_{2i−1} + e^{−\sqrt{−1}θ_{i}} ḡ_{2i−1}) = cos θ_{i}h_{2i−1} − sin θ_{i}h_{2i}
uh_{2i} = \frac{1}{\sqrt{−2}}(e^{\sqrt{−1}θ_{i}}g_{2i−1} − e^{−\sqrt{−1}θ_{i}} ḡ_{2i−1}) = sin θ_{i}h_{2i−1} + sin θ_{i}h_{2i}

となるので

θ_{i} = π (k + 1 ≤ i ≤ l)

R_{i} = [ \begin{matrix}cos θ_{i} & sin θ_{i} \\ − sin θ_{i} & cos θ_{i} \end{matrix} ] (1 ≤ i ≤ l)

とおくと

u = h [ \begin{matrix}R_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & R_{l} \\ & & & & & 1 \\ & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & 1 \end{matrix} ] h^{−1}.

ところが X_{i} = [ \begin{matrix}0 & θ_{i} \\ −θ_{i} & 0 \end{matrix} ] (1 ≤ i ≤ l) とおくと exp X_{i} = R_{i} となるので

u = exp Ad(h) [ \begin{matrix}X_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & X_{l} \\ & & & & & 0 \\ & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & 0 \end{matrix} ] .

ここで注意 2.9.7と定義 2.9.8より

Ad(h) [ \begin{matrix}X_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & X_{l} \\ & & & & & 0 \\ & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & 0 \end{matrix} ] ∈ 𝔬(n) = 𝔰𝔬(n)

だから SO(n) の指数写像は全射になる。 𝔰𝔬(n) は連結だから SO(n) も連結。系 2.11.4 直交群 O(n) は 2 つの連結成分 SO(n) と {g ∈ O(n)|detg = −1} を持つ。

証明 det(O(n)) = {±1} だから SO(n) と {g ∈ O(n)|detg = −1} はどちらも O(n) の開かつ閉集合。定理 2.11.3より SO(n) は連結で、 deth = −1 となる h ∈ O(n) をとると

{g ∈ O(n)|detg = −1} = L_{h}(SO(n))

となりこれも連結。したがって SO(n) と L_{h}(SO(n)) はどちらも O(n) の連結成分になり O(n) = SO(n) ∪ L_{h}(SO(n)) は O(n) の連結成分への分解になっている。定理 2.11.5 GL(n, C) と SL(n, C) は連結である。

証明 X ∈ 𝔤𝔩(n, C) の (i, j) 成分を X_{ij}で表すことにする。

T (n, C) = {X ∈ 𝔤𝔩(n, C)|X_{ii} > 0(1 ≤ i ≤ n), X_{ij} = 0(i > j)}

とおくと、 T (n, C) は 𝔤𝔩(n, C) の凸部分集合になる。特に T (n, C) は連結である。さらに、 X ∈ T (n, C) に対して detX = ∏_{i=1}^{n} X_{ii} > 0 だから X ∈ GL(n, C)。したがって T (n, C) ⊂ GL(n, C)。さらに T (n, C) は GL(n, C) の部分群になる。

P : U(n) × T (n, C) ⟶ GL(n, C); (a, X) ⟼ aX とおくと P は連続になる。さらに P が全射になることを示そう。任意の g ∈ GL(n, C) に対して g = [g_{1} … g_{n}] と縦ベクトル g_{i} ∈ C^{n}を使って表す。 g_{1},…, g_{n}は C^{n}の基底になる。 C^{n}の標準的な Hermite 内積に関して g_{1},… g_{n}に Gram-Schmidt の直交化を行う。 b_{1} = g_{1}, a_{1} = \frac{1}{|b_{1}|}b_{1} とし、 b_{k}, a_{k}(k ≥ 2) を次のように帰納的に定める。

b_{k} = g_{k} − ∑_{i=1}^{k−1}⟨g_{k}, a_{i}⟩a_{i}, a_{k} = \frac{1}{|b_{k}|}b_{k}.

すると a_{1},…, a_{n}は C^{n}の正規直交基底になる。各 a_{k}は g_{1},…, g_{k}の線形結合になっていて、その線形結合の g_{k}の係数は 1/|b_{k}| > 0 である。そこで基底の変換を

(∗) [a_{1} … a_{n}] = [g_{1} … g_{n}]X

で表すと X ∈ T (n, C) となる。 a = [a_{1} … a_{n}] とおくと a ∈ U(n) で a = gX。 g = aX^{−1}になり X^{−1} ∈ T (n, C) だから g = P (a, X^{−1})。したがって P は全射である。定理 2.11.1より U(n) は連結で T (n, C) も連結だから GL(n, C) は連結である。

S : GL(n, C) ⟶ SL(n, C); X ⟼ X [ \begin{matrix}\frac{1}{detX} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 1 & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 \end{matrix} ]

とおく。 Sは連続になり S(X) = X (X ∈ SL(n, C)) だから S(GL(n, C)) = SL(n, C)。よって SL(n, C) も連結になる。

定理 2.11.6 GL(n, R) は 2 つの連結成分

GL^{+}(n, R) = {g ∈ GL(n, R)|detg > 0}, {g ∈ GL(n, R)|detg < 0}

を持つ。 SL(n, R) は連結である。

証明定理 2.11.5の証明で使った記号を使うことにする。 det : GL(n, R) → GL(1, R) = R − {0} は連続だから GL^{+}(n, R) は GL(n, R) の開部分群になる。特に、 GL^{+}(n, R) は GL(n, R) の Lie 部分群である。 T (n, R) = 𝔤𝔩(n, R)∩T (n, C) とおくと、 T (n, R) は 𝔤𝔩(n, R) の凸部分集合になる。特に T (n, R) は連結である。さらに T (n, R) は GL^{+}(n, R) の部分群になる。以下で P (SO(n) × T (n, R)) = GL^{+}(n, R) を示そう。定理 2.11.5の証明と同様にすると、任意の g ∈ GL^{+}(n, R) に対してある a ∈ O(n) と X ∈ T (n, R) が存在し a = gXとなる。 detg > 0, detX > 0 だから deta = 1 になり a ∈ SO(n)。 g = aX^{−1}になり X^{−1} ∈ T (n, R)。したがって P (SO(n) × T (n, R)) = GL^{+}(n, R) である。定理 12.3 より SO(n) は連結で T (n, R) も連結だから GL^{+}(n, R) は連結である。

det^{−1}({t ∈ R|t > 0}) = GL^{+}(n, R),
det^{−1}({t ∈ R|t < 0}) = {g ∈ GL(n, R)|detg < 0}

はどちらも GL(n, R) の開かつ閉の連結部分集合になる。したがってこれら 2 つが GL(n, R) の連結成分である。

次に ST (n, R) = T (n, R) ∩ ST (n, C) とおくと S(T (n, R)) = ST (n, R) となり T (n, R) は連結だから ST (n, R) も連結になる。任意の g ∈ SL(n, R) に対して a = gX, a ∈ SO(n), X ∈ T (n, R) となり detg = 1 より detX = 1。したがって P (SO(n) × ST (n, R)) = SL(n, R)。 SO(n) は連結だから SL(n, R) も連結になる。

系 2.11.7 V を n 次元実ベクトル空間とし、

B_{R}(V) = {(v_{1},…, v_{n}) ∈ V^{n}|v_{1},…, v_{n}は V の基底 }

として V の基底の全体 B_{R}(V) を定義すると B_{R}(V) は V^{n}の開集合で GL_{R}(V) と微分同型になる。特に B_{R}(V) は 2 つの連結成分を持つ。 n 次元複素ベクトル空間 W に対して同様に W の基底全体 B_{C}(W) を定義すると B_{C}(W) は W^{n}の開集合で GL_{C}(W) と微分同型になる。特に B_{C}(W) は連結になる。

証明 V の基底 e_{1},…, e_{n}を 1 つ固定しておく。

T : 𝔤𝔩_{R}(V) ⟶ V^{n}; g ⟼ (g(e_{1}),…, g(e_{n}))

とおくと、 T は線形同型写像になり T (GL_{R}(V)) = B_{R}(V)。したがって B_{R}(V) は V^{n}の開集合になり GL_{R}(V) と微分同型になる。定理 2.11.6より B_{R}(V) は 2 つの連結成分を持つ。

複素ベクトル空間 W の場合も T と同様の写像を定義することにより、 B_{C}(W) は W^{n}の開集合で GL_{C}(W) と微分同型になることがわかる。定理 2.11.5より B_{C}(W) は連結になる。

定義 2.11.8 有限次元実ベクトル空間 V の基底の全体 B_{R}(V) の 1 つの連結成分を V の向きと呼ぶ。系 2.11.7より V は 2 つの向きを持っている。

系 2.11.9 n 次元実ベクトル空間 V の 2 つの基底 u_{1},…, u_{n}と v_{1},…, v_{n}が V の同じ向きに属するための必要十分条件は、基底の変換行列 X ∈ GL(n, R)(つまり (u_{1} … u_{n}) = (v_{1} … v_{n})X) が GL^{+}(n, R) に属することである。

系 2.11.10 内積を持つ n 次元実ベクトル空間 V の 2 つの正規直交基底 u_{1},…, u_{n}と v_{1},…, v_{n} が V の同じ向きに属するための必要十分条件は、基底の変換行列 X ∈ O(n)(つまり (u_{1} … u_{n}) = (v_{1} … v_{n})X) が SO(n) に属することである。

2.12 自己同型群

定義 2.12.1 Lie 環 𝔤 の線形変換 p が

p([X, Y]) = [p(X), Y] + [X, p(Y)] (X, Y ∈ 𝔤)

を満たすとき p を Lie 環 𝔤 の微分と呼ぶ。 𝔤 の微分の全体を 𝔡(𝔤) で表す。補題 2.12.2 Lie 環 𝔤 の微分の全体 𝔡(𝔤) は 𝔤𝔩(𝔤) の Lie 部分環である。さらに ad(𝔤) は 𝔡(𝔤) のイデアルになる。

証明 p, q ∈ 𝔡(𝔤), a, b ∈ R, X, Y ∈ 𝔤 に対して

(ap + bq)([X, Y]) = ap([X, Y]) + bq([X, Y])
= a([p(X), Y] + [X, p(Y)]) + b([q(X), Y] + [X, q(Y)])
= [(ap + bq)(X), Y] + [X, (ap + bq)(Y)],
[p, q] ([X, Y]) = pq([X, Y]) − qp([X, Y])
= p([q(X), Y] + [X, q(Y)]) − q([p(X), Y] + [X, p(Y)])
= [pq(X), Y] + [q(X), p(Y)] + [p(X), q(Y)] + [X, pq(Y)]
−[qp(X), Y] − [p(X), q(Y)] − [q(X), p(Y)] − [X, qp(Y)]
= [[p, q](X), Y] + [X, [p, q](Y)]

となるので 𝔡(𝔤) は 𝔤𝔩(𝔤) の Lie 部分環になる。 X, Y, Z ∈ 𝔤 に対して

(ad(X))([Y, Z]) = [X, [Y, Z]] = −[Y, [Z, X]] − [Z, [X, Y]]
= [Y, (ad(X))(Z)] + [(ad(X))(Y), Z].

したがって ad(X) は 𝔤 の微分になり ad(𝔤) ⊂ 𝔡(𝔤)。 p ∈ 𝔡(𝔤), X, Y ∈ 𝔤 に対して

[p, ad(X)](Y) = pad(X)(Y) − ad(X)p(Y) = p([X, Y]) − [X, p(Y)]
= [p(X), Y] = ad(p(X))(Y)

だから [p, ad(X)] = ad(p(X))。これより ad(𝔤) は 𝔡(𝔤) のイデアルになる。

定理 2.12.3 有限次元 Lie 環 𝔤 の自己同型の全体 Aut(𝔤) は線形 Lie 群になり、その Lie 環は 𝔡(𝔤) である。

証明 𝔤 × 𝔤 から 𝔤 への双線形写像の全体を M^{2}(𝔤, 𝔤) で表すと M^{2}(𝔤, 𝔤) は命題 2.9.5 の証明中の M^{2}(V, R) と同様にベクトル空間になる。 g ∈ GL(𝔤), B ∈ M^{2}(𝔤, 𝔤) に対して (ρ(g)B)(X, Y) = gB(g^{−1}X, g^{−1}Y) (X, Y ∈ 𝔤) としてρ(g)B ∈ M^{2}(𝔤, 𝔤) を定めると ρ(g) ∈ GL(M^{2}(𝔤, 𝔤))。 g, h ∈ GL(𝔤), X, Y ∈ 𝔤 について

(ρ(gh)B)(X, Y) = ghB((gh)^{−1}X, (gh)^{−1}Y) = g(hB(h^{−1}g^{−1}X, h^{−1}g^{−1}Y))
= g((ρ(h)B)(g^{−1}X, g^{−1}Y)) = (ρ(g)(ρ(h)B))(X, Y)

だからρ(gh) = ρ(g)ρ(h) となりρ : GL(𝔤) ⟶ GL(M^{2}(𝔤, 𝔤)) は群の準同型写像である。各 X, Y ∈ 𝔤, B ∈ M^{2}(𝔤, 𝔤) について g ⟼ (ρ(g)B)(X, Y) は C^{∞}級関数だからρは C^{∞}級写像になる。したがってρは Lie 群の準同型写像である。 [ , ] ∈ M^{2}(𝔤, 𝔤) とみなすとρの定義より Aut(𝔤) = {g ∈ GL(𝔤)|ρ(g)[ , ] = [ , ]}。補題 2.9.2を適用すると Aut(𝔤) は線形 Lie 群になる。

Aut(𝔤) の Lie 環を 𝔞 とおいておく。 𝔞 を求めるためにρの微分を計算する。 p ∈ 𝔤𝔩(𝔤), B ∈ M^{2}(𝔤, 𝔤), X, Y ∈ 𝔤 について

(dρ(p)B)(X, Y) = \frac{d}{dt}(ρ(e^{tp})B)(X, Y)|_{t=0} = \frac{d}{dt}e^{tp}B(e^{−tp}X, e^{−tp}Y)|_{t=0}
= pB(X, Y) − B(pX, Y) − B(X, pY)

だから補題 2.9.2より

𝔞 = {p ∈ 𝔤𝔩(𝔤)|dρ(p)[ , ] = 0}
= {p ∈ 𝔤𝔩(𝔤)|p([X, Y]) = [pX, Y] + [X, pY] (X, Y ∈ 𝔤)}
= 𝔡(𝔤).

定義 2.12.4 有限次元 Lie 環 𝔤 の自己同型の全体 Aut(𝔤) を 𝔤 の自己同型群と呼ぶ。 𝔤𝔩(𝔤) の Lie 部分環 ad(𝔤) に対応する GL(𝔤) の連結 Lie 部分群を 𝔤 の随伴群と呼び Int(𝔤) で表す。 (定理 2.10.1よりこのような連結 Lie 部分群は一意的に存在する。 )

命題 2.12.5 有限次元 Lie 環 𝔤 の随伴群 Int(𝔤) は 𝔤 の自己同型群 Aut(𝔤) の正規 Lie 部分群である。

証明 Int(𝔤) は連結だから定理 2.5.5と 2.2.1より Int(𝔤) = ∪{(exp(ad(𝔤)))^{n}|n ∈ N} となる。補題 2.12.2より ad(𝔤) ⊂ 𝔡(𝔤) だから Int(𝔤) ⊂ Aut(𝔤) となる。 ι : Int(𝔤) ⟶ GL(𝔤) を包含写像とする。定理 2.12.3より Aut(𝔤) の位相は GL(𝔤) の相対位相になるのでι : Int(𝔤) ⟶ Aut(𝔤) は連続になる。したがって C^{∞}級写像になり、 Int(𝔤) は Aut(𝔤) の Lie 部分群である。

Int(𝔤) が Aut(𝔤) の正規部分群になることを示すためには任意の a ∈ Aut(𝔤) に対して a(exp(ad(𝔤)))a^{−1} ⊂ exp(ad(𝔤)) を示せば十分。 X ∈ 𝔤 に対して ae^{ad(X)}a^{−1} = e^{aad(X)a^{−1}}。任意の Y ∈ 𝔤 について

aad(X)a^{−1}(Y) = a[X, a^{−1}(Y)] = [a(X), Y] = ad(a(X))(Y)

となるので aad(X)a^{−1} = ad(a(X)) となり ae^{ad(X)}a^{−1} = e^{ad(a(X))}。したがって

a(exp(ad(𝔤)))a^{−1} ⊂ exp(ad(𝔤))

となり Int(𝔤) は Aut(𝔤) の正規部分群である。

定義 2.12.6 有限次元 Lie 環 𝔤 に対して

B(X, Y) = tr(ad(X)ad(Y)) (X, Y ∈ 𝔤)

とおくと Bは 𝔤 上の対称 2 次形式になる。 Bを 𝔤 の Killing 形式と呼ぶ。命題 2.12.7 有限次元 Lie 環 𝔤 の Killing 形式を Bとし、

H = {g ∈ GL(𝔤) | B(g(X), g(Y) = B(X, Y) (X, Y ∈ 𝔤)}

とおくと Hは線形 Lie 群になり、その Lie 環 𝔥 は

𝔥 = {T ∈ 𝔤𝔩(𝔤) | B(T (X), Y) + B(X, T (Y)) = 0 (X, Y ∈ 𝔤)}

で与えられる。さらに 𝔤 の自己同型群 Aut(𝔤) は Hの Lie 部分群になる。

証明命題の前半の主張は Killing 形式 Bに命題 2.9.5を適用すればよい。命題 2.12.5の証明中示したように a ∈ Aut(𝔤), X ∈ 𝔤 に対して ad(a(X)) = aad(X)a^{−1}が成り立つので、 Y ∈ 𝔤 とすると、

B(a(X), a(Y)) = tr(ad(a(X))ad(a(Y))) = tr(aad(X)a^{−1}aad(Y)a^{−1})
= tr(ad(X)ad(Y)) = B(X, Y)

となり a ∈ H。したがって、 Aut(𝔤) ⊂ H。 Hは線形 Lie 群だから包含写像 Aut(𝔤) ⟶ H は C^{∞}級写像になり、 Aut(𝔤) は Hの Lie 部分群である。

定義 2.12.8 Lie 群 G の自己同型の全体を G の自己同型群と呼び Aut(G) で表す。 G の内部自己同型の全体を G の内部自己同型群と呼び Int(G) で表す。

命題 2.12.9 G を連結 Lie 群としその Lie 環を 𝔤 とする。

d : Aut(G) ⟶ Aut(𝔤); a ⟼ da

は群の単射準同型写像になり d(Int(G)) = Ad(G) = Int(𝔤) が成り立つ。特に Int(𝔤) = Aut(𝔤) ならば Int(G) = Aut(G) となる。

証明系 2.6.5より a ∈ Aut(G) に対して da ∈ Aut(𝔤)。命題 2.6.4より a, b ∈ Aut(G) に対して d(a ∘ b) = da ∘ db となるので d は群の準同型写像である。補題 2.10.11より d は単射になる。随伴表現の定義 (定理 2.6.10、定義 2.6.11) より d(Int(G)) = Ad(G)。 Ad : G ⟶ GL(𝔤) は Lie 群の準同型写像であり G は連結だから命題 2.10.5より Ad(G) は dAd(𝔤) = ad(𝔤) に対応する GL(𝔤) の連結 Lie 部分群に一致する。したがって Ad(G) = Int(𝔤)。 Int(𝔤) = d(Int(G)) ⊂ d(Aut(G)) ⊂ Aut(𝔤) だからもし Int(𝔤) = Aut(𝔤) ならば d(Int(G)) = d(Aut(G)) となり Int(G) = Aut(G) が成り立つ。

補題 2.12.10 3 次回転群 SO(3) の Lie 環 𝔰𝔬(3) と 2 次特殊ユニタリ群 SU(2) の Lie 環 𝔰𝔲(2) は、 Lie 環として同型になる。証明

e_{1} = [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] , e_{2} = [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 0 \end{matrix} ] , e_{3} = [ \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix} ]

とおくと e_{1}, e_{2}, e_{3}は 𝔰𝔬(3) の基底になり

[e_{1}, e_{2}] = e_{3}, [e_{2}, e_{3}] = e_{1}, [e_{3}, e_{1}] = e_{2}

が成り立つ。次に

f_{1} = [ \begin{matrix}\sqrt{−1}/2 & 0 \\ 0 & −\sqrt{−1}/2 \end{matrix} ] , f_{2} = [ \begin{matrix}0 & 1/2 \\ −1/2 & 0 \end{matrix} ] , f_{3} = [ \begin{matrix}0 & \sqrt{−1}/2 \\ \sqrt{−1}/2 & 0 \end{matrix} ]

とおくと f_{1}, f_{2}, f_{3}は 𝔰𝔲(2) の基底になり

[f_{1}, f_{2}] = f_{3}, [f_{2}, f_{3}] = f_{1}, [f_{3}, f_{1}] = f_{2}

が成り立つ。

そこで F (e_{i}) = f_{i} (1 ≤ i ≤ 3) となるように線形写像 F : 𝔰𝔬(3) → 𝔰𝔲(2) を定めると、上の Lie 環の計算から F は Lie 環の間の同型写像になる。

定理 2.12.11 Int(𝔰𝔬(3)) = Aut(𝔰𝔬(3)) が成り立つ。さらに Int(SO(3)) = Aut(SO(3)), Int(SU(2)) = Aut(SU(2)) が成り立つ。

証明補題 2.12.10の証明中に使った 𝔰𝔬(3) の基底 e_{1}, e_{2}, e_{3}をそのまま使うことにする。 𝔰𝔬(3) の Killing 形式を Bで表し、 Bの e_{1}, e_{2}, e_{3}に関する表現行列を求めておこう。 ad(e_{i})(1 ≤ i ≤ 3) の表現行列は

ad(e_{1}) : [ \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ] , ad(e_{2}) : [ \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix} ] , ad(e_{3}) : [ \begin{matrix}0 & −1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ]

になり

B(e_{1}, e_{1}) = tr(ad(e_{1})ad(e_{1})) = −2, B(e_{1}, e_{2}) = B(e_{2}, e_{1}) = 0,
B(e_{1}, e_{3}) = B(e_{3}, e_{1}) = 0, B(e_{2}, e_{2}) = −2, B(e_{2}, e_{3}) = 0, B(e_{3}, e_{3}) = −2.

したがって Bの表現行列は

[ \begin{matrix}−2 & 0 & 0 \\ 0 & −2 & 0 \\ 0 & 0 & −2 \end{matrix} ] .

−B は正定値になり、命題 2.12.7より

Int(𝔰𝔬(3)) ⊂ Aut(𝔰𝔬(3)) ⊂ O(𝔰𝔬(3); −B) ≅ O(3).

Int(𝔰𝔬(3)) は連結で ad(e_{i}) の表現行列の形から ad(𝔰𝔬(3)) = 𝔬(𝔰𝔬(3); −B) となっている。定理 2.11.3より SO(𝔰𝔬(3); −B) も連結だから

Int(𝔰𝔬(3)) = SO(𝔰𝔬(3); −B).

系 2.11.4より O(𝔰𝔬(3); −B) は連結成分を 2 つ持ち、

SO(𝔰𝔬(3); −B) ⊂ Aut(𝔰𝔬(3)) ⊂ O(𝔰𝔬(3); −B)

だから、 Aut(𝔰𝔬(3)) は SO(𝔰𝔬(3); −B) または O(𝔰𝔬(3); −B) に一致する。

g(e_{1}) = e_{1}, g(e_{2}) = e_{2}, g(e_{3}) = −e_{3}

となる g ∈ GL(𝔰𝔬(3)) をとると、 g ∈ O(𝔰𝔬(3); −B), detg = −1。

[g(e_{1}), g(e_{2})] = [e_{1}, e_{2}] = e_{3} ≠ g(e_{3})

だから g ∉ Aut(𝔰𝔬(3))。したがって、

Aut(𝔰𝔬(3)) = SO(𝔰𝔬(3); −B) = Int(𝔰𝔬(3)).

定理 2.11.3より SO(3) は連結だから命題 2.12.9より Aut(SO(3)) = Int(SO(3))。定理 2.11.2 より SU(2) は連結で補題 2.12.10より 𝔰𝔲(2) ≅ 𝔰𝔬(3) だから、 Aut(𝔰𝔲(2)) = Int(𝔰𝔲(2)) となり、命題 2.12.9より Aut(SU(2)) = Int(SU(2))。

第 3 章等質空間

3.1 等質空間の多様体構造

定義 3.1.1 Mを多様体とし G を Lie 群とする。 C^{∞}級写像 G × M → M; (g, x) ↦ g · x が存在し任意の g_{1}, g_{2} ∈ G, x ∈ Mに対して (g_{1}g_{2}) · x = g_{1} · (g_{2} · x) を満たすとき、 G を Mの Lie 変換群と呼ぶ。さらに任意の x, y ∈ Mに対してある g ∈ G が存在して g · x = yとなるとき G は Mに推移的に作用しているという。

注意 3.1.2 Lie 群 G が多様体 Mの Lie 変換群のとき、各 g ∈ G に対して

g : M → M; x ↦ g · x

は Mの微分同型写像になる。逆写像は g^{−1}が誘導する写像である。

定理 3.1.3 G を Lie 群とし Hを G の閉 Lie 部分群とする。射影π : G → G/H; g ↦ gHによって G の H による剰余類の全体 G/Hに商位相をいれる。すなわち、

{O ⊂ G/H | π^{−1}(O) は G の開集合}

を G/Hの開集合系として定める。このとき、

G × (G/H) → G/H; (g, xH) ↦ gxH

によって G が G/Hの Lie 変換群になるような G/Hの多様体構造が存在する。

証明まず位相空間 G/Hが Hausdorff 空間になることを示す。 g_{1}, g_{2} ∈ G, g_{1}H ≠ g_{2}H とする。 g_{2}^{−1}g_{1} ∉ Hとなり Hは G の閉集合だから G − Hは g_{2}^{−1}g_{1}の開近傍になる。群演算の連続性より、 g_{i}の開近傍 U_{i}が存在し U_{2}^{−1}U_{1} ⊂ G − Hを満たす。任意の x_{i} ∈ U_{i}に対して x_{2}^{−1}x_{1} ∉ Hとなるので x_{1}H ≠ x_{2}H。したがってπ(U_{1}) ∩ π(U_{2}) = ∅。 π : G → G/Hは開写像だからπ(U_{i}) は g_{i}H = π(g_{i}) の開近傍になる。よって G/Hは Hausdorff 空間である。

次に写像

τ : G × (G/H) → G/H; (g, xH) ↦ gxH

が連続になることを示す。 ν : G×G → G; (g, x) ↦ gx とおくと、 νは連続になりτ ∘(1×π) = π ∘ νも連続。 G/Hの開集合 Oに対して (τ ∘ (1 × π))^{−1}(O) = (π ∘ ν)^{−1}(O) は G × G の開集合。 1 × π : G × G → G × (G/H) は全射だから

τ^{−1}(O) = (1 × π)((τ ∘ (1 × π))^{−1}(O))

となり 1 × πは開写像だからτ^{−1}(O) は G × (G/H) の開集合になる。したがってτは連続写像である。特に各 g ∈ G についてτ_{g} : G/H → G/H; xH ↦ gxHとおくとτ_{g}は位相同型写像である。

以上の準備のもとに G/Hの多様体構造について考えよう。 𝔤 を G の Lie 環とし Hに対応する 𝔤 の Lie 部分環を 𝔥 とする。 𝔤 における 𝔥 の補空間 𝔪 を 1 つとり固定しておく。 𝔤 = 𝔪 + 𝔥 は直和分解だから補題 2.8.5より 𝔪, 𝔥 における 0 の開近傍 U_{m}, U_{h}と G における e の開近傍 V が存在し、

U_{m} × U_{h} → V; (X, Y) ↦ exp X exp Y

は微分同型写像になる。 exp U_{h}は Hにおける e の開近傍であり Hの位相は G の相対位相だから G における e のある開近傍 W が存在して exp U_{h} = W ∩ Hとなる。 𝔪 における 0 の開近傍 Uで\overline{U}がコンパクトになり\overline{U} ⊂ U_{m}, exp(−\overline{U}) exp \overline{U} ⊂ W を満たすものをとる。 exp : \overline{U} → exp \overline{U} はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射になるので位相同型写像になる。次にπ : exp \overline{U} → π(exp \overline{U}) が単射になることを示す。 X_{1}, X_{2} ∈ \overline{U}がπ(exp X_{1}) = π(exp X_{2}) を満たすとすると (exp X_{1})H = (exp X_{2})Hだから exp(−X_{2}) exp X_{1} ∈ H。他方 X_{1}, X_{2} ∈ \overline{U}だから、 exp(−X_{2}) exp X_{1} ∈ W となり W ∩ H = exp U_{h}なので、ある Y ∈ U_{h}が存在して exp(−X_{2}) exp X_{1} = exp Y 。よって exp X_{1} = exp X_{2} exp Y 。 U_{m}, U_{h} のとり方より X_{1} = X_{2}, Y = 0。したがって、 π : exp \overline{U} → π(exp \overline{U}) はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射になるので位相同型写像になる。 U × U_{h}は 𝔤 = 𝔪 + 𝔥 における 0 の近傍で U × U_{h} ⊂ U_{m} × U_{h}だから exp U exp U_{h} は G における e の開近傍になる。よってπ(exp U exp U_{h}) = π(exp U) は G/Hにおけるπ(e) の開近傍になる。さらに ψ : U → π(exp U); X ↦ π(exp X) とおくと上で示したことよりψは位相同型写像になる。

各 g ∈ G に対してτ_{g} : G/H → G/Hは位相同型写像だから O_{g} = τ_{g}(π(exp U)) は G/Hの開集合になり {O_{g}}_{g∈G}は G/Hの開被覆になる。

ϕ_{g} = ψ^{−1} ∘ τ_{g}^{−1} : O_{g} → U ⊂ 𝔪

とおいて {(O_{g}, ϕ_{g})}_{g∈G}が G/Hに多様体構造を定めることを示そう。

写像

l : U × H → (exp U)H; (X, h) ↦ (exp X)h

は U×exp U_{h}において微分同型写像になる。各 h ∈ Hについて l = R_{h}∘l∘(1×R_{h^{−1}}) だから lは U ×R_{h}(exp U_{h}) においても微分同型写像になる。さらに lが全単射になれば、 lが U ×H全体で微分同型写像になることがわかる。 lが全射になることは定義よりわかる。 (X_{i}, h_{i}) ∈ U ×Hについて l(X_{1}, h_{1}) = l(X_{2}, h_{2}) とすると (exp X_{1})h_{1} = (exp X_{2})h_{2}だから、 exp(−X_{2}) exp X_{1} = h_{2}h_{1}^{−1} ∈ W ∩ H。したがって、ある Y ∈ U_{h}が存在して exp(−X_{2}) exp X_{1} = exp Y 。よって exp X_{1} = exp X_{2} exp Y となり X_{1} = X_{2}, Y = 0。 h_{2}h_{1}^{−1} = exp Y = e だから h_{1} = h_{2}。以上で lが単射になることがわかり

l : U × H → (exp U)H = π^{−1}(O_{e}) ⊂ G

は微分同型写像になる。特に l^{−1} = ((l^{−1})_{1}, (l^{−1})_{2}) と表わすと (l^{−1})_{1} : π^{−1}(O_{e}) → Uは C^{∞} 級写像である。さらに、 g ∈ π^{−1}(O_{e}) に対して

g = l((l^{−1})_{1}(g), (l^{−1})_{2}(g)) = exp((l^{−1})_{1}(g))(l^{−1})_{2}(g)

だからπ(g) = π(exp((l^{−1})_{1}(g))) = ψ((l^{−1})_{1}(g)) となり

(l^{−1})_{1}(g) = ψ^{−1} ∘ π(g) (g ∈ π^{−1}(O_{e})).

以上を使って O_{g_{1}} ∩ O_{g_{2}} ≠ ∅ となる g_{i} ∈ G に対して

ϕ_{g_{2}} ∘ ϕ_{g_{1}}^{−1} : ϕ_{g_{1}}(O_{g_{1}} ∩ O_{g_{2}}) → ϕ_{g_{2}}(O_{g_{1}} ∩ O_{g_{2}})

が微分同型写像になることを示そう。 X ∈ ϕ_{g_{1}}(O_{g_{1}} ∩ O_{g_{2}}) に対して

ϕ_{g_{2}} ∘ ϕ_{g_{1}}^{−1}(X) = ψ^{−1} ∘ τ_{g_{2}}^{−1} ∘ τ_{g_{1}} ∘ ψ(X)
= ψ^{−1}(π(g_{2}^{−1}g_{1} exp X)) = (l^{−1})_{1}(g_{2}^{−1}g_{1} exp X)

よりϕ_{g_{2}} ∘ ϕ_{g_{1}}^{−1}は C^{∞}級写像である。逆写像はϕ_{g_{1}} ∘ ϕ_{g_{2}}^{−1}になり、これも C^{∞}級写像である。したがってϕ_{g_{2}} ∘ ϕ_{g_{1}}^{−1}は微分同型写像になる。以上で {(O_{g}, ϕ_{g})}_{g∈G}が G/Hに多様体構造を定めることがわかった。

最後にτ : G × (G/H) → G/Hによって G が G/Hの Lie 変換群になることを示そう。任意の g_{1}, g_{2} ∈ G, x ∈ G/Hに対してτ(g_{1}g_{2}, x) = τ(g_{1}, τ(g_{2}, x)) となるのはτの定義よりわかるので、 τが C^{∞}級写像になることを示せばよい。 τが連続であることはすでに示した。 (g, xH) ∈ G × (G/H) と X ∈ U, Z ∈ 𝔤 に対して

ϕ_{gx} ∘ τ ∘ ((L_{g} ∘ exp) × ϕ_{x}^{−1})(Z, X) = ϕ_{gx} ∘ τ(g exp Z, π(x exp X))
= ϕ_{gx} ∘ π(g(exp Z)x exp X) = ψ^{−1} ∘ τ_{gx}^{−1} ∘ π(g(exp Z)x exp X)
= ψ^{−1} ∘ π(exp(Ad(x^{−1})Z) exp X) = (l^{−1})_{1}(exp(Ad(x^{−1})Z) exp X)

となるので、 τは (g, xH) の近傍で C^{∞}級写像である。これが G × (G/H) の任意の点で成り立つのでτは C^{∞}級写像である。

定義 3.1.4 G を Lie 群とし Hを G の閉 Lie 部分群とする。定理 3.1.3で存在を示した多様体構造を持つ G/Hを G の等質空間と呼ぶ。 G は G/Hに推移的に作用する Lie 変換群になっている。

定理 3.1.5 G は多様体 Mに推移的に作用している Lie 変換群で G の連結成分の個数は可算であるとする。 p ∈ Mをとり

G_{p} = {g ∈ G|g · p = p}

とおくと、 G_{p}は G の閉 Lie 部分群になる。さらに写像

α : G/G_{p} → M; gG_{p} ↦ g · p

は等質空間 G/G_{p}と Mとの間の微分同型写像になる。

証明 G × M → M; (g, x) ↦ g · x は C^{∞}級写像だからᾱ : G → M; g ↦ g · p とおくとᾱ も C^{∞}級写像である。よって G_{p} = ᾱ^{−1}(p) は G の閉集合になる。 G_{p}は G の部分群にもなるので、定理 7.6 より G_{p}は G の閉 Lie 部分群である。そこで H = G_{p}として定理 3.1.3の証明で使った記号を使うことにする。

まずαが位相同型写像になることを示す。 G は Mに推移的に作用しているので、 αは全単射である。 Mの開集合 Oに対してᾱ^{−1}(O) は G の開集合になり、 π : G → G/Hは開写像だからπ(ᾱ^{−1}(O)) は G/Hの開集合。 α ∘ π = ᾱだからα^{−1}(O) = π(ᾱ^{−1}(O)) となりαは連続である。 αが開写像になることを示すためにᾱが開写像になることを示そう。 Oを G の開集合とする。任意の x ∈ Oに対して単位元 e のコンパクト近傍 Cが存在し C = C^{−1}, xC^{2} ⊂ O を満たす。 G の連結成分の個数は可算だから補題 2.2.4より G は可算開基 {O_{i}}_{i∈N}を持つ。

{O_{i} | ある g ∈ G が存在し O_{i} ⊂ gC を満たす}

も G の可算開基になり、この中の各 O_{i}に対して O_{i} ⊂ g_{i}Cとなる g_{i} ∈ G をとると、 G = ∪_{i}g_{i}Cが成り立つ。 ᾱは全射だから M = ⋃_{i} ᾱ(g_{i}C)。各 g_{i}Cはコンパクトなのでᾱ(g_{i}C) もコンパクト。特にᾱ(g_{i}C) は Mの閉集合。 Mは局所コンパクト Hausdorff 空間だから Baire の定理よりある i が存在してᾱ(g_{i}C) = g_{i} · ᾱ(C) は内点を持つ。よって注意 3.1.2より、 ᾱ(C) も内点ᾱ(c) = c · p を持つ。

p ∈ c^{−1} · ᾱ(C) = c^{−1}C · p ⊂ C^{2} · p

だから C^{2} · p は p の近傍になる。 xC^{2} · p は x · p の近傍になり

ᾱ(x) = x · p ∈ xC^{2} · p = ᾱ(xC^{2}) ⊂ ᾱ(O).

よってᾱ(O) は Mの開集合になり、 ᾱは開写像である。そこで今度は Oを G/Hの開集合とするとπ^{−1}(O) は G の開集合になり、 ᾱは開写像だから、 ᾱ(π^{−1}(O)) は Mの開集合。 α(O) = ᾱ(π^{−1}(O)) よりαは開写像になる。よってαは位相同型写像である。

g ∈ G, X ∈ Uに対してα ∘ ϕ_{g}^{−1}(X) = (g exp X) · p だから、 αはπ(g) ∈ G/Hの近傍で C^{∞}級写像になる。したがってα : G/H → Mは C^{∞}級写像である。 α ∘ π = ᾱだから dα_{π(e)} ∘ π_{e} = ᾱ_{e}。定理 2.1.9により 𝔤 と T_{e}(G) を同一視すると、 ker(dπ_{e}) = 𝔥 となるので ker(dᾱ_{e}) ⊃ 𝔥。 X ∈ ker(dᾱ_{e}) とすると、任意の f ∈ C^{∞}(M) に対して

0 = (dᾱ_{e}(X))(f) = \frac{d}{dt}f(ᾱ(exp tX))|_{t=0} = \frac{d}{dt}f(exp tX · p)|_{t=0} .

s ∈ R に対して f_{s}(q) = f(exp sX · q) (q ∈ M) とおくと f_{s} ∈ C^{∞}(M) となる。上の結果を f_{s}に適用すると

0 = \frac{d}{dt}f_{s}(exp tX · p)|_{t=0} = \frac{d}{dt}f(exp(s + t)X · p)|_{t=0} = \frac{d}{dt}f(exp tX · p)|_{t=s} .

したがって t ↦ f(exp tX · p) は一定になる。これが任意の f ∈ C^{∞}(M) について成り立つので exp tX · p = p (t ∈ R) となり exp tX ∈ G_{p} (t ∈ R)。 G_{p}は G の閉 Lie 部分群だから、命題 2.8.8より X ∈ 𝔥。したがって ker(dᾱ_{e}) = 𝔥 が成り立つ。これより

rank(dᾱ_{e}) = dim 𝔤 − dim 𝔥 = dim 𝔪 = dim(G/H).

dπ_{e}は全射だから

rank(dα_{π(e)}) = rank(dᾱ_{e}) = dim(G/H).

α : G/H → Mは位相同型写像だから、次元の位相不変性 (2 つの Euclid 空間の開集合が位相同型ならばそれらの Euclid 空間の次元は等しい) より dim(G/H) = dim Mとなり、 rank(dα_{π(e)}) = dim M。よって dα_{π(e)}は線形同型写像になり、逆関数定理よりαはπ(e) のある開近傍 V で微分同型写像になる。各 g ∈ G についてα = g ∘ α ∘ τ_{g}^{−1}だからαはτ_{g}(V) においても微分同型写像になり、結局α : G/H → Mは微分同型写像である。

命題 3.1.6 G を Lie 群とし Hを G の閉 Lie 部分群とする。 π : G → G/Hを自然な射影としたとき、等質空間 G/Hから多様体 Mへの写像 fが C^{∞}級写像になるための必要十分条件は f ∘ πが C^{∞}級写像になることである。

証明定理 3.1.3よりπは C^{∞}級写像である。したがって fが C^{∞}級写像ならば、合成 f ∘ π は C^{∞}級写像になる。

逆に f ∘ πが C^{∞}級写像であると仮定しよう。定理 3.1.3の証明で使った記号を使うことにする。任意に g ∈ G をとる。各 X ∈ Uに対して

f ∘ ϕ_{g}^{−1}(X) = f ∘ τ_{g} ∘ ψ(X) = f ∘ τ_{g} ∘ π ∘ exp(X) = (f ∘ π) ∘ L_{g} ∘ exp(X)

となるので、仮定より fはπ(g) の開近傍 O_{g}において C^{∞}級写像である。よって f : G/H → M は C^{∞}級写像になる。

命題 3.1.7 G を多様体 Mの Lie 変換群とする。 p ∈ Mをとり G_{p} = {g ∈ G|g · p = p} とおくと、 G_{p}は G の閉 Lie 部分群になる。さらに G(p) = {g · p|g ∈ G} は等質空間 G/G_{p}と微分同型であるような Mの部分多様体になる。

証明定理 3.1.5の証明と同様にして、 G_{p}は G の閉 Lie 部分群になり

ι : G/G_{p} → M; gG_{p} ↦ g · p

とおくとι(G/G_{p}) = G(p) でι : G/G_{p} → G(p) は全単射になる。 ιによって G(p) に多様体構造を入れ、定理 3.1.5の証明と同様にすると G(p) は Mの部分多様体になることがわかる。

3.2 線形 Lie 群の等質空間

命題 3.2.1 線形 Lie 群 O(n), SO(n), U(n), SU(n) はコンパクトである。

証明 O(n) は 𝔤𝔩(n, R) の有界閉集合だから Heine-Borel の定理よりコンパクトである。 SO(n), U(n), SU(n) についても同様。定理 3.2.2 1 ≤ k ≤ n とする。 R^{n}の標準内積に関して正規直交系になる R^{n}の k個の元の全体を

V_{R}(n, k) = {(v_{1},…, v_{k}) ∈ (R^{n})^{k}|⟨v_{i}, v_{j}⟩ = δ_{ij} (1 ≤ i, j ≤ k)}

で定める。

1_{k} × O(n − k) = \{g ∈ O(n) |g = [ \begin{matrix}1_{k} \\ & g′ \end{matrix} ] , g′ ∈ O(n − k)\}

とおき 1_{k} ×SO(n−k) も同様に定めると、 1_{k} ×O(n−k) と 1_{k} ×SO(n−k) はそれぞれ O(n) と SO(n) の閉 Lie 部分群になる。さらに V_{R}(n, k) は O(n)/(1_{k} × O(n − k)) と微分同型であるような (R^{n})^{k}の部分多様体になる。 k < n のとき V_{R}(n, k) は SO(n)/(1_{k} × SO(n − k)) とも微分同型になる。

証明

O(n) × (R^{n})^{k} → (R^{n})^{k}; (g, (v_{1},…, v_{k})) ↦ (g(v_{1}),…, g(v_{k}))

によって O(n) は (R^{n})^{k}の Lie 変換群になる。 e_{i} ∈ R^{n}を i 成分のみ 1 で他の成分はすべて 0 であるような元とする。 p = (e_{1},…, e_{k}) とおくと p ∈ V_{R}(n, k) であり任意の (v_{1},…, v_{k}) ∈ V_{R}(n, k) に対してある g ∈ O(n) が存在し (v_{1},…, v_{k}) = g ·p となる。したがって V_{R}(n, k) = O(n)(p)。さらに O(n)_{p} = 1_{k} × O(n − k) となるので、命題 3.1.7より 1_{k} × O(n − k) は O(n) の閉 Lie 部分群になる。さらに V_{R}(n, k) は O(n)/(1_{k} × O(n − k)) と微分同型であるような (R^{n})^{k}の部分多様体になる。

O(n) は V_{R}(n, k) の Lie 変換群になるので SO(n) も V_{R}(n, k) の Lie 変換群になる。 k < n のときを考えよう。任意の (v_{1},…, v_{k}) ∈ V_{R}(n, k) に対して (v_{1},…, v_{k}) = g · p となる g ∈ O(n) をとったとき、 gの第 n 列を det g倍したものを g′とおくと g′ ∈ SO(n) で (v_{1},…, v_{k}) = g′ · p が成り立つ。したがって SO(n) は V_{R}(n, k) に推移的に作用する。さらに SO(n)_{p} = 1_{k} × SO(n − k) となるので、命題 3.1.7より 1_{k} × SO(n − k) は SO(n) の閉 Lie 部分群になる。さらに V_{R}(n, k) は SO(n)/(1_{k} × SO(n − k)) と微分同型になる。

定義 3.2.3 V_{R}(n, k) を実 Stiefel 多様体と呼ぶ。

定理 3.2.4 1 ≤ k ≤ n とし、 R^{n}の k次元ベクトル部分空間の全体を Gr_{R}(n, k) で表わす。

O(k) × O(n − k) = \{g ∈ O(n) |g = [ \begin{matrix}g_{1} \\ & g_{2} \end{matrix} ] , g_{1} ∈ O(k), g_{2} ∈ O(n − k)\}

とおくと O(k) × O(n − k) は O(n) の閉 Lie 部分群になり、 Gr_{R}(n, k) は集合として、等質空間 O(n)/(O(k) × O(n − k)) と 1 対 1 に対応する。この対応を使って Gr_{R}(n, k) に多様体構造を入れ

Span_{R} : V_{R}(n, k) → Gr_{R}(n, k); (v_{1},…, v_{k}) ↦ Span_{R}(v_{1},…, v_{k})
Span_{R}(v_{1},…, v_{k}) は v_{1},…, v_{k}が張るR^{n}内の k 次元ベクトル部分空間

とおくと Span_{R}は C^{∞}級写像になる。

証明 O(k) × O(n − k) は命題 3.2.1よりコンパクトだから O(n) の相対位相に関してもコンパクト。したがって O(k) × O(n − k) は O(n) の閉部分群になる。写像

O(n) × Gr_{R}(n, k) → Gr_{R}(n, k); (g, V) ↦ g(V)

によって群 O(n) を集合 Gr_{R}(n, k) の変換群とみなす。任意の g ∈ O(n) に対して Span_{R}∘g = g ∘ Span_{R}が成り立つ。 Span_{R}は全射になり、定理 3.2.2の証明より O(n) は V_{R}(n, k) に推移的に作用しているので、 O(n) は Gr_{R}(n, k) に推移的に作用する。 Span_{R}(e_{1},…, e_{k}) = W とおくと O(n)_{W} = O(k) × O(n − k) となる。したがって対応

O(n)/(O(k) × O(n − k)) → Gr_{R}(n, k); g(O(k) × O(n − k)) ↦ gW

によって O(n)/(O(k) × O(n − k)) と Gr_{R}(n, k) は集合として 1 対 1 に対応する。 π_{1} : O(n) → O(n)/(1_{k} × O(n − k)) とπ_{2} : O(n) → O(n)/(O(k) × O(n − k)) をそれぞれ自然な射影とすると、定理 3.1.3の証明での等質空間の多様体構造の定め方よりπ_{1}, π_{2}は C^{∞}級写像になる。 ϕ(g(1_{k} × O(n − k))) = g(O(k) × O(n − k)) として O(n)/(1_{k} × O(n − k)) から O(n)/(O(k) × O(n − k)) への写像ϕを定めると

O(n)  ⟶^{id}  O(n)
π_{1}↓  ↓^{π_{2}}
O(n)/(1_{k} × O(n − k)) ⟶^{ϕ} O(n)/(O(k) × O(n − k))
≅↓  ↓≅
V_{R}(n, k)  \underrightarrow{Span_{R}}  Gr_{R}(n, k)

は可換図式になるので命題 3.1.6よりϕは C^{∞}級写像になる。したがって Span_{R}も C^{∞}級写像になる。

定義 3.2.5 Gr_{R}(n, k) を実 Grassmann 多様体と呼ぶ。特に、 Gr_{R}(n + 1, 1) を実射影空間と呼び P^{n}(R) で表す。

定理 3.2.6 1 ≤ k ≤ n とし、 R^{n}の向きを持つ k次元ベクトル部分空間の全体を GrR^{o}(n, k) で表わす。 SO(n) の部分群 SO(k)×SO(n−k) を定理 3.2.4の O(n) の部分群 O(k)×O(n−k) と同様に定義すると、 SO(k) × SO(n − k) は SO(n) の閉 Lie 部分群になる。 k = n のとき GrR^{o}(n, n) は 2 点になり、 k < n のとき GrR^{o}(n, k) は集合として、等質空間 SO(n)/(SO(k)× SO(n − k)) と 1 対 1 に対応する。この対応を使って GrR^{o}(n, k) に多様体構造を入れ

SpanR^{o} : V_{R}(n, k) → GrR^{o}(n, k); (v_{1},…, v_{k}) ↦ SpanR^{o}(v_{1},…, v_{k})
SpanR^{o}(v_{1},…, v_{k}) は v_{1},…, v_{k}が張る R^{n}内の k次元ベクトル部分空間で
(v_{1},…, v_{k}) を含む向きを持つ

とおくと SpanR^{o}は C^{∞}級写像になる。

証明 SO(k) × SO(n − k) は命題 3.2.1よりコンパクトだから SO(n) の相対位相に関してもコンパクト。したがって SO(k) × SO(n − k) は SO(n) の閉部分群になる。写像

SO(n) × GrR^{o}(n, k) → GrR^{o}(n, k); (g, V) ↦ g(V)

g(V) の向きは V の向きを gで送ったもの

によって群 SO(n) を集合 GrR^{o}(n, k) の変換群とみなす。任意の g ∈ SO(n) に対して SpanR^{o}∘ g = g ∘ SpanR^{o}が成り立つ。また SpanR^{o}は全射になる。 k = n のときは、 GrR^{o}(n, n) は 2 点になる。 k < n のとき定理 3.2.2より SO(n) は V_{R}(n, k) に推移的に作用しているので、 SO(n) は GrR^{o}(n, k) に推移的に作用する。 SpanR^{o}(e_{1},…, e_{k}) = W とおくと SO(n)_{W} = SO(k) × SO(n − k) となる。したがって対応

SO(n)/(SO(k) × SO(n − k)) → GrR^{o}(n, k); g(SO(k) × SO(n − k)) ↦ gW

によって SO(n)/(SO(k) × SO(n − k)) と GrR^{o}(n, k) は集合として 1 対 1 に対応する。 π_{1} : SO(n) → SO(n)/(1_{k}×SO(n−k)) とπ_{2} : O(n) → SO(n)/(SO(k)×SO(n−k)) をそれぞれ自然な射影とすると、定理 3.1.3の証明での等質空間の多様体構造の定め方よりπ_{1}, π_{2}は C^{∞} 級写像になる。 ϕ(g(1_{k}×SO(n−k))) = g(SO(k)×SO(n−k)) として SO(n)/(1_{k}×SO(n−k)) から SO(n)/(SO(k) × SO(n − k)) への写像ϕを定めると

SO(n)  ⟶^{id}  SO(n)
π_{1}↓  ↓^{π_{2}}
SO(n)/(1_{k} × SO(n − k)) ⟶^{ϕ} SO(n)/(SO(k) × SO(n − k))
≅↓  ↓≅
V_{R}(n, k)  \underrightarrow{SpanR^{o}}  GrR^{o}(n, k)

は可換図式になるので命題 3.1.6よりϕは C^{∞}級写像になる。したがって SpanR^{o}も C^{∞}級写像になる。

定義 3.2.7 GrR^{o}(n, k) を有向実 Grassmann 多様体と呼ぶ。

定理 3.2.8 1 ≤ k ≤ n とする。 C^{n}の標準 Hermite 内積に関して正規直交系になる C^{n}の k 個の元の全体を

V_{C}(n, k) = {(v_{1},…, v_{k}) ∈ (C^{n})^{k}|⟨v_{i}, v_{j}⟩ = δ_{ij} (1 ≤ i, j ≤ k)}

で定める。

1_{k} × U(n − k) = \{g ∈ U(n) |g = [ \begin{matrix}1_{k} \\ & g′ \end{matrix} ] , g′ ∈ U(n − k)\}

とおき 1_{k}×SU(n−k) も同様に定める。このとき、 1_{k}×U(n−k) と 1_{k}×SU(n−k) はそれぞれ U(n) と SU(n) の閉 Lie 部分群になる。さらに V_{C}(n, k) は U(n)/(1_{k} ×U(n−k)) と微分同型であるような (C^{n})^{k}の部分多様体になる。 k < n のとき V_{C}(n, k) は SU(n)/(1_{k} ×SU(n−k)) とも微分同型になる。

3.3 等質空間の Riemann 計量 67

定理 3.2.2の証明と同様の方針で証明することができるので、証明は省略する。定義 3.2.9 V_{C}(n, k) を複素 Stiefel 多様体と呼ぶ。定理 3.2.10 1 ≤ k ≤ n とし、 C^{n}の k次元複素ベクトル部分空間の全体を Gr_{C}(n, k) で表わす。

U(k) × U(n − k) = \{g ∈ U(n) |g = [ \begin{matrix}g_{1} \\ & g_{2} \end{matrix} ] , g_{1} ∈ U(k), g_{2} ∈ U(n − k)\}

とおく。このとき U(k) × U(n − k) は U(n) の閉 Lie 部分群になり Gr_{C}(n, k) は集合として、等質空間 U(n)/(U(k) × U(n − k)) と 1 対 1 に対応する。この対応を使って Gr_{C}(n, k) に多様体構造を入れ

Span_{C} : V_{C}(n, k) → Gr_{C}(n, k); (v_{1},…, v_{k}) ↦ Span_{C}(v_{1},…, v_{k})

Span_{C}(v_{1},…, v_{k}) は v_{1},…, v_{k}が張るC^{n}内の k 次元ベクトル部分空間

とおくと Span_{C}は C^{∞}級写像になる。

定理 3.2.4の証明と同様の方針で証明することができるので、証明は省略する。定義 3.2.11 Gr_{C}(n, k) を複素 Grassmann 多様体と呼ぶ。 Gr_{C}(n + 1, 1) を複素射影空間と呼び P^{n}(C) で表す。

3.3 等質空間の Riemann 計量

この節では、等質空間に Riemann 計量を定める方法について述べる。定理 3.3.1 G をコンパクト Hausdorff 位相群とする。このとき、次の条件を満たす G 上の Radon 測度μ_{G}が一意的に存在する。

(1) μ_{G}(G) = 1

(2) G 上のμ_{G}可積分関数 fと g ∈ G に対して ∫_{G} f(gx)dμ_{G}(x) = ∫_{G} f(x)dμ_{G}(x)

(3) G 上のμ_{G}可積分関数 fと g ∈ G に対して ∫_{G} f(xg)dμ_{G}(x) = ∫_{G} f(x)dμ_{G}(x)

(4) G 上のμ_{G}可積分関数 fに対して ∫_{G} f(x^{−1})dμ_{G}(x) = ∫_{G} f(x)dμ_{G}(x)

定義 3.3.2 定理 3.3.1で定まるコンパクト Hausdorff 位相群 G 上の測度を、 G の Haar 測度と呼ぶ。

定義 3.3.3 Riemann 計量を持つ Lie 群の任意の左移動が等長的になっているとき、その Riemann 計量を左不変という。任意の右移動も等長的になる左不変 Riemann 計量を、両側不変 Riemann 計量という。

命題 3.3.4 Lie 群 G の左不変 Riemann 計量の全体と、その Lie 環 𝔤 の内積の全体は一対一に対応する。さらに、 G の両側不変 Riemann 計量の全体と、 𝔤 の Ad(G) 不変な内積の全体は一対一に対応する。

証明 G 上の左不変 Riemann 計量 ⟨ , ⟩ があるとする。 𝔤 の任意の元 X, Y に対して、 ⟨X, Y ⟩ は G 上の左不変関数になるので、定数である。明らかにこれは 𝔤 の内積を定める。

逆に、 𝔤 に内積が定まっているとする。 G の任意の点 g ∈ G の接ベクトル空間 T_{g}G の内積 ⟨ , ⟩_{g}を

⟨X, Y ⟩_{g} = ⟨X̃, Ỹ ⟩ (X, Y ∈ T_{g}G)

で定める。ただし、 X̃, Ỹ はそれぞれ X, Y を左不変ベクトル場に拡張したものであり、定理 2.1.9より、このような拡張は可能である。さらに定理 2.1.9の証明と同様に、 ⟨ , ⟩_{g}が gに対して滑らかに依存していることがわかる。したがって、 {⟨ , ⟩_{g}}_{g∈G}は、 G 上の Riemann 計量を定める。さらに、この Riemann 計量は、定め方より、左不変であることがわかる。

随伴表現 Ad の定め方 (定理 2.6.10) より、 G の元 gに対して

Ad(g) = d(L_{g} ∘ R_{g^{−1}}) = dL_{g} ∘ dR_{g^{−1}}

だから、 G の Riemann 計量が両側不変ならば、対応する 𝔤 の内積は Ad(G) 不変になる。逆も上の等式からわかる。

系 3.3.5 G を Lie 群とし、その Lie 環を 𝔤 とする。 G 上の両側不変 Riemann 計量 ⟨ , ⟩ は

⟨[X, Y], Z⟩ + ⟨Y, [X, Z]⟩ = 0 (X, Y, Z ∈ 𝔤)

を満たす。すなわち、 ad(𝔤) ⊂ 𝔬(𝔤; ⟨ , ⟩) となる。さらに G が連結のとき、 G の両側不変 Riemann 計量の全体と、 ad(𝔤) ⊂ 𝔬(𝔤; ⟨ , ⟩) を満たす 𝔤 の内積 ⟨ , ⟩ の全体は一対一に対応する。

証明 ⟨ , ⟩ が G の両側不変 Riemann 計量のとき、 Y, Z ∈ 𝔤 と g ∈ G に対して

⟨Ad(g)Y, Ad(g)Z⟩ = ⟨Y, Z⟩

が成り立つ。 X ∈ 𝔤 をとり、 g = exp(tX) とおくと、

⟨Ad(exp(tX))Y, Ad(exp(tX))Z⟩ = ⟨Y, Z⟩.

両辺を t = 0 で t に関して微分すると、

0 = \frac{d}{dt}|_{t=0} ⟨Ad(exp(tX))Y, Ad(exp(tX))Z⟩
= ⟨ \frac{d}{dt}|_{t=0} Ad(exp(tX))Y, Z⟩ + ⟨Y, \frac{d}{dt}|_{t=0} Ad(exp(tX))Z⟩
= ⟨[X, Y], Z⟩ + ⟨Y, [X, Z]⟩ (定理 2.6.10).

したがって、各 ad(X) は交代線形写像になり、 ad(𝔤) ⊂ 𝔬(𝔤; ⟨ , ⟩) が成り立つ。

G が連結の場合を考える。 G の両側不変 Riemann 計量が ad(𝔤) ⊂ 𝔬(𝔤; ⟨ , ⟩) を満たすことはすでに示したので、命題 3.3.4より、この条件を満たす 𝔤 の内積が、 Ad(G) 不変になることを示せば十分である。 X, Y, Z ∈ 𝔤 に対して

\frac{d}{dt}|_{t=0} ⟨Ad(exp(tX))Y, Ad(exp(tX))Z⟩
= ⟨ \frac{d}{dt}|_{t=0} Ad(exp(tX))Y, Z⟩ + ⟨Y, \frac{d}{dt}|_{t=0} Ad(exp(tX))Z⟩
= ⟨[X, Y], Z⟩ + ⟨Y, [X, Z]⟩ (定理 2.6.10)
= 0.

よって

⟨Ad(exp(tX))Y, Ad(exp(tX))Z⟩ = ⟨Y, Z⟩

となり、内積は Ad(exp 𝔤) 不変になる。ところが、 G は連結だから定理 2.5.5と 2.2.1より、内積は Ad(G) 不変になることがわかる。

命題 3.3.6 G をコンパクト Hausdorff 位相群とし、 μ_{G}を G の Haar 測度とする。 G の表現 (ρ, V) に対してρを G から Hom(V, V) への写像とみなして P = ∫ ρdμ_{G} ∈ Hom(V, V) とおくと、 P^{2} = P が成り立つ。また

V_{G} = {v ∈ V |ρ(g)(v) = v (g ∈ G)}

とおくと、 ImP = V_{G}となる。

証明 v ∈ V に対して積分の線形性より

P (v) = ∫ ρ(x)dμ_{G}x(v) = ∫ ρ(x)(v)dμ_{G}x

となる。これより v ∈ V_{G}ならば P (v) = vとなり v ∈ ImP 。よって V_{G} ⊂ ImP 。また任意の v ∈ V と g ∈ G について

ρ(g)P (v) = ρ(g) ∫ ρ(x)(v)dμ_{G}x

= ∫ ρ(g)ρ(x)(v)dμ_{G}x (ρ(g) の作用の線形性)
= ∫ ρ(gx)(v)dμ_{G}x
= ∫ ρ(x)(v)dμ_{G}x (Haar 積分の左不変性)
= P (v) (μ_{G}(G) = 1 だから)

となるので、 ImP ⊂ V_{G}となり、 ImP = V_{G}がわかる。さらに

P^{2}(v) = ∫ ρ(x)P (v)dμ_{G}x
= ∫ P (v)dμ_{G}x (P (v) ∈ V_{G})
= P (v) (μ_{G}(G) = 1 だから)

となるので、 P^{2} = P が成り立つ。

命題 3.3.7 (ρ, V) をコンパクト Hausdorff 位相群 G の表現とすると、 ρが直交（ユニタリ）表現になるような V の内積が存在する。

証明 G の Haar 測度をμ_{G}としておく。

V が実ベクトル空間の場合 V 上の対称 2 次形式の全体がつくる実ベクトル空間を S(V) で表す。

(ρ_{S}(g)A)(v, w) = A(ρ(g)^{−1}(v), ρ(g)^{−1}(w)) (g ∈ G, A ∈ S(V), v, w ∈ V)

によってρ_{S}を定めると (ρ_{S}, S(V)) は G の表現になる。正定値の元 A_{0} ∈ S(V) を 1 つとる。 P = ∫ ρ_{S}dμ_{G}とおくと、命題 3.3.6より、 P (A_{0}) ∈ S(V)_{G}となる。また任意の v(≠ 0) ∈ V について

P (A_{0})(v, v) = ∫ A_{0}(ρ(g)^{−1}(v), ρ(g)^{−1}(v))dμ_{G}g > 0

となるので、 P (A_{0}) も正定値になる。この内積 P (A_{0}) によって (ρ, V) は直交表現になる。

V が複素ベクトル空間の場合も、 V 上の Hermite2 次形式の全体がつくる複素ベクトル空間を考えることにより、同様に証明できる。

系 3.3.8 コンパクト Lie 群には、両側不変 Riemann 計量が存在する。

証明 G をコンパクト Lie 群とし、 G の Lie 環を 𝔤 で表す。 G の随伴表現に命題 3.3.7を適用すると、 𝔤 上に Ad(G) 不変な内積が存在する。したがって、命題 3.3.4より、この内積に対応する G 上の Riemann 計量は両側不変になる。

例 3.3.9 コンパクト線形 Lie 群の場合は、 Haar 測度を使わなくても、以下のように具体的に両側不変 Riemann 計量を構成することができる。コンパクト線形 Lie 群 G ⊂ GL(n, R) に対して、命題 3.3.7より

G ⊂ O(R^{n}; B)

となる R^{n}の内積 Bが存在する。 R^{n}の Bに関する正規直交基底をとり、それについて行列表示することにより、 G ⊂ O(n) とみなす。このとき、 O(n) に両側不変 Riemann 計量を構成すれば、 G に誘導される Riemann 計量も両側不変になる。

⟨X, Y ⟩ = tr(^{t}XY) (X, Y ∈ 𝔬(n))

によって O(n) の Lie 環 𝔬(n) 上の２次形式 ⟨ , ⟩ を定める。

⟨X, Y ⟩ = tr(^{t}XY) = −tr(XY)
= −tr(Y X) = tr(^{t}Y X)
= ⟨Y, X⟩

だから、 ⟨ , ⟩ は対称になっている。さらに、 X = (X_{ij}) ∈ 𝔬(n) に対して

⟨X, X⟩ = tr(^{t}XX) = ∑_{i,j} X_{ij}^{2}

より ⟨ , ⟩ は正定値になる。さらに g ∈ O(n) に対して例 2.8.11より

Ad(g)X = gXg^{−1} (X ∈ 𝔬(n))

となるので、

⟨Ad(g)X, Ad(g)Y ⟩ = −tr(gXg^{−1}gY g^{−1})
= −tr(gXY g^{−1})
= −tr(XY)
= ⟨X, Y ⟩.

したがって、 ⟨ , ⟩ は Ad(O(n)) 不変になり、命題 3.3.4より、対応する O(n) 上の Riemann 計量は両側不変になる。

定義 3.3.10 Riemann 計量を持つ等質空間 G/Hとする。定理 3.1.3で定まる G の G/Hへの作用が等長的になっているとき、その Riemann 計量を G 不変という。

命題 3.3.11 G を Lie 群とし、 Hを G の閉 Lie 部分群とする。 G と Hの Lie 環をそれぞれ 𝔤 と 𝔥 で表す。このとき、等質空間 G/Hの G 不変 Riemann 計量の全体と、商ベクトル空間 𝔤/𝔥 の Ad_{G}(H) 不変な内積の全体は、一対一に対応する。

証明任意の h ∈ Hに対して、 L_{h} ∘ R_{h^{−1}}は Hを不変にするので、その微分 Ad_{G}(h) は 𝔥 を不変にする。したがって、線形写像

Ad_{G}(h) : 𝔤 → 𝔤

は、商ベクトル空間の線形写像

Ad_{G}(h) : 𝔤/𝔥 → 𝔤/𝔥

を誘導する。上にあるように、誘導された線形写像も同じ記号で表すことにする。

G/Hの H自身による剰余類を G/Hの原点と呼び、 o で表すことにする。定理 2.1.9で定めた線形同型写像α : 𝔤 → T_{e}(G) と自然な射影π : G → G/Hの微分写像 dπ_{e}を使って、線形写像の合成

𝔤 →^{α} T_{e}(G) →^{dπ_{e}} T_{o}(G/H)

をβとおく。 βの核は 𝔥 になる。よって、 𝔤/𝔥 と T_{o}(G/H) は、 βの誘導する線形写像によって線形同型になる。 βの誘導する線形写像もβで表すことにする。 Hの元 h は G/Hの原点 o を動かさないので、

dh_{o} : T_{o}(G/H) → T_{o}(G/H)

を誘導する。 dh_{o}に対応する 𝔤/𝔥 の線形写像を求めてみよう。 X ∈ 𝔤 をとる。

dh_{o}dπ_{e}α(X) = \frac{d}{dt}|_{t=0} hπ(exp tX)
= \frac{d}{dt}|_{t=0} (h exp tX)H
= \frac{d}{dt}|_{t=0} (h exp tXh^{−1})H
= \frac{d}{dt}|_{t=0} (exp tAd(h)X)H
= dπ_{e}α(Ad(h)X).

したがって、次の可換図式を得る。

𝔤/𝔥 ⟶^{Ad(h)} 𝔤/𝔥
β↓≅  ^{β}↓≅
T_{o}(G/H) ⟶^{dh_{o}} T_{o}(G/H)

以上の準備のもとに命題を証明する。 G/Hに G 不変 Riemann 計量があるとすると、 T_{o}(G/H) における計量は、各 h ∈ Hに対して dh_{o}で不変になる。線形同型写像βで対応する 𝔤/𝔥 の内積は、上の可換図式より、 Ad_{G}(H) 不変な内積になる。

逆に 𝔤/𝔥 に Ad_{G}(H) 不変な内積があるとすると、 βで対応する T_{o}(G/H) 上の内積は、各 h ∈ Hに対して dh_{o}で不変になる。その内積を ⟨ , ⟩_{o}で表す。任意の元 x ∈ G/Hにおける内積を

⟨X, Y ⟩_{x} = ⟨dgX, dgY ⟩_{o} (X, Y ∈ T_{x}(G/H), gx = o)

で定義する。内積の定義が、 gx = o となる g ∈ G のとり方によらないことは、次のようにしてわかる。 g_{1}x = g_{2}x = o とすると、 x = g_{1}^{−1}o となり、

o = g_{2}x = g_{2}g_{1}^{−1}o.

よって g_{2}g_{1}^{−1} ∈ Hとなる。そこで、 h = g_{2}g_{1}^{−1} ∈ Hとおくと、

⟨dg_{1}X, dg_{1}Y ⟩_{o} = ⟨dhdg_{1}X, dhdg_{1}Y ⟩_{o} (⟨ , ⟩_{o}の不変性)
= ⟨dg_{2}dg_{1}^{−1}dg_{1}X, dg_{2}dg_{1}^{−1}dg_{1}Y ⟩_{o}
= ⟨dg_{2}X, dg_{2}Y ⟩_{o}.

これにより G/Hに G 不変な Riemann 計量が定まる。

系 3.3.12 G を Lie 群とし、 Hを G のコンパクト Lie 部分群とする。 G と Hの Lie 環をそれぞれ 𝔤 と 𝔥 で表す。このとき、 𝔤 の直和分解

𝔤 = 𝔥 + 𝔪

が存在し、

Ad_{G}(H)𝔥 ⊂ 𝔥, Ad_{G}(H)𝔪 ⊂ 𝔪,

を満たす。等質空間 G/Hの G 不変 Riemann 計量の全体と、 𝔪 の Ad_{G}(H) 不変な内積の全体は、一対一に対応する。さらに、 𝔪 の Ad_{G}(H) 不変な内積は存在し、したがって、 G/H の G 不変 Riemann 計量も存在する。

証明命題 3.3.7より、 𝔤 には Ad_{G}(H) 不変内積が存在する。その内積に関する 𝔥 の直交補空間を 𝔪 で表す。任意の h ∈ Hについて、

Ad_{G}(h) : 𝔤 → 𝔤

は内積を保ち、 Ad_{G}(h)𝔥 ⊂ 𝔥 を満たすので、 Ad_{G}(h)𝔪 ⊂ 𝔪 も成り立つ。さらに、

𝔤/𝔥 ⟶^{Ad_{G}(h)} 𝔤/𝔥
↓≅  ↓≅
𝔪 ⟶^{Ad_{G}(h)} 𝔪

は可換になるので、 𝔪 の Ad_{G}(H) 不変な内積の全体は、 𝔤/𝔥 の Ad_{G}(H) 不変な内積の全体と、一対一に対応する。よって、命題 3.3.11より、等質空間 G/Hの G 不変 Riemann 計量の全体とも一対一に対応する。

G がコンパクトだから、 Kもコンパクトになり、命題 3.3.7より、 𝔪 に Ad_{G}(H) 不変な内積が存在する。したがって、 G/Hに G 不変 Riemann 計量が存在する。

3.4 Lie 群上の Riemann 幾何学

左不変 Riemann 計量を持っている Lie 群の Riemann 接続、曲率等を求める。特に両側不変 Riemann 計量の場合は、これらの記述が単純になり、単位元を通る測地線が一径数部分群に一致することがわかる。その応用として、コンパクト連結 Lie 群の指数写像が全射になることを示す。

命題 3.4.1 ⟨ , ⟩ を Lie 群 G の左不変 Riemann 計量とする。線形写像 A の随伴線形写像を A^{∗}で表すことにすると、以下の等式が成り立つ。

(1) G の Riemann 接続を ∇ で表すと、 X, Y ∈ 𝔤 に対して

∇_{X}Y = \frac{1}{2}([X, Y] − ad(X)^{∗}(Y) − ad(Y)^{∗}(X).

特に ∇_{X}Y も左不変ベクトル場になる。

(2) G の曲率テンソルを Rで表すと、 X, Y, Z, W ∈ 𝔤 に対して

⟨R(X, Y)Z, W ⟩ = ⟨∇_{X}Z, ∇_{Y} W ⟩ − ⟨∇_{Y} Z, ∇_{X}W ⟩ − ⟨∇_{[X,Y]}Z, W ⟩.

特に R(X, Y)Zも左不変ベクトル場になる。

(3) X, Y ∈ 𝔤 に対して

⟨R(X, Y)Y, X⟩ = \frac{1}{4}|ad(X)^{∗}(Y) + ad(Y)^{∗}(X)|^{2} − ⟨ad(X)^{∗}(X), ad(Y)^{∗}(Y)⟩

−\frac{3}{4}|[X, Y]|^{2} − \frac{1}{2}⟨[[X, Y], Y], X⟩ − \frac{1}{2}⟨[[Y, X], X], Y ⟩.

(4) 一径数部分群 exp(tX) が測地線になるための必要十分条件は、 ad(X)^{∗}(X) = 0 である。

証明 (1) Riemann 計量 ⟨ , ⟩ は左不変だから、 G 上の関数 ⟨X, Y ⟩ も左不変になり、特に定数になる。したがって、

2⟨∇_{X}Y, Z⟩ = X⟨Y, Z⟩ + Y ⟨X, Z⟩ − Z⟨X, Y ⟩
+⟨[X, Y], Z⟩ − ⟨[X, Z], Y ⟩ − ⟨[Y, Z], X⟩
= ⟨[X, Y], Z⟩ − ⟨ad(X)(Z), Y ⟩ − ⟨ad(Y)(Z), X⟩
= ⟨[X, Y], Z⟩ − ⟨Z, ad(X)^{∗}Y ⟩ − ⟨Z, ad(Y)^{∗}X⟩

となり、

∇_{X}Y = \frac{1}{2}([X, Y] − ad(X)^{∗}Y − ad(Y)^{∗}X).

この結果より、 ∇_{X}Y ∈ 𝔤 となる。

(2) (1) の結果より Y, Z ∈ 𝔤 のとき ∇_{Y} Z ∈ 𝔤 だから、 ⟨∇_{Y} Z, W ⟩ は定数になる。

0 = X⟨∇_{Y} Z, W ⟩ = ⟨∇_{X}∇_{Y} Z, W ⟩ + ⟨∇_{Y} Z, ∇_{X}W ⟩.

これより、

⟨R(X, Y)Z, W ⟩ = ⟨∇_{X}∇_{Y} Z − ∇_{Y} ∇_{X}Z − ∇_{[X,Y]}Z, W ⟩
= −⟨∇_{Y} Z, ∇_{X}W ⟩ + ⟨∇_{X}Z, ∇_{Y} W ⟩ − ⟨∇_{[X,Y]}Z, W ⟩.

この結果より、 R(X, Y)Z ∈ 𝔤 となる。

(3) (1) と (2) の結果より

⟨R(X, Y)Y, X⟩

= ⟨∇_{X}Y, ∇_{Y} X⟩ − ⟨∇_{Y} Y, ∇_{X}X⟩ − ⟨∇_{[X,Y]}Y, X⟩
= \frac{1}{4}⟨[X, Y] − ad(X)^{∗}(Y) − ad(Y)^{∗}(X), [Y, X] − ad(Y)^{∗}(X) − ad(X)^{∗}(Y)⟩

−⟨−ad(Y)^{∗}(Y), −ad(X)^{∗}(X)⟩

\frac{1}{2}⟨[[X, Y], Y] − ad([X, Y])^{∗}(Y) − ad(Y)^{∗}([X, Y]), X⟩

= −\frac{1}{4}|[X, Y]|^{2} + \frac{1}{4}|ad(X)^{∗}(Y) + ad(Y)^{∗}(X)|^{2}

−⟨ad(X)^{∗}(X), ad(Y)^{∗}(Y)⟩

−\frac{1}{2}⟨[[X, Y], Y], X⟩ + \frac{1}{2}⟨Y, [[X, Y], X]⟩ + \frac{1}{2}⟨[X, Y], [Y, X]⟩

= \frac{1}{4}|ad(X)^{∗}(Y) + ad(Y)^{∗}(X)|^{2} − ⟨ad(X)^{∗}(X), ad(Y)^{∗}(Y)⟩

−\frac{3}{4}|[X, Y]|^{2} − \frac{1}{2}⟨[[X, Y], Y], X⟩ − \frac{1}{2}⟨[[Y, X], X], Y ⟩.

(4) 一径数部分群 exp(tX) の接ベクトルは Xだから、 exp(tX) が測地線になるための必要十分条件は、 ∇_{X}X = 0 であり、これは、 (1) の結果より ad(X)^{∗}(X) = 0 と同値になる。

系 3.4.2 ⟨ , ⟩ を Lie 群 G の両側不変 Riemann 計量とする。以下の等式が成り立つ。

(1) G の Riemann 接続を ∇ で表すと、 X, Y ∈ 𝔤 に対して

∇_{X}Y = \frac{1}{2}[X, Y].

(2) G の曲率テンソルを Rで表すと、 X, Y, Z ∈ 𝔤 に対して

R(X, Y)Z = −\frac{1}{4}[[X, Y], Z].

76 第 3 章等質空間

(3) X, Y ∈ 𝔤 に対して

⟨R(X, Y)Y, X⟩ = \frac{1}{4}|[X, Y]|^{2}.

特に G の断面曲率は 0 以上になる。

(4) G の一径数部分群の全体は単位元を通る測地線の全体に一致する。証明 Riemann 計量 ⟨ , ⟩ は両側不変だから、系 3.3.5より、

⟨[X, Y], Z⟩ + ⟨Y, [X, Z]⟩ = 0 (X, Y, Z ∈ 𝔤)

が成り立つ。これより、

ad(X)^{∗} = −ad(X)

となる。

(1) 命題 3.4.1の (1) より、

∇_{X}Y = \frac{1}{2}([X, Y] − ad(X)^{∗}(Y) − ad(Y)^{∗}(X)
= \frac{1}{2}([X, Y] + [X, Y] + [Y, X])
= \frac{1}{2}[X, Y].

(2) 命題 3.4.1の (2) に、上で示した (1) を代入すると、

⟨R(X, Y)Z, W ⟩

= ⟨∇_{X}Z, ∇_{Y} W ⟩ − ⟨∇_{Y} Z, ∇_{X}W ⟩ − ⟨∇_{[X,Y]}Z, W ⟩
= \frac{1}{4}⟨[X, Z], [Y, W]⟩ − \frac{1}{4}⟨[Y, Z], [X, W]⟩ − \frac{1}{2}⟨[[X, Y], Z], W ⟩
= −\frac{1}{4}⟨[Y, [X, Z]], W ⟩ + \frac{1}{4}⟨[X, [Y, Z]], W ⟩ − \frac{1}{2}⟨[[X, Y], Z], W ⟩.

よって

R(X, Y)Z = −\frac{1}{4}[Y, [X, Z]] + \frac{1}{4}[X, [Y, Z]] − \frac{1}{2}[[X, Y], Z]
= \frac{1}{4}[[X, Y], Z] − \frac{1}{2}[[X, Y], Z] (Jacobi 律)
= −\frac{1}{4}[[X, Y], Z].

(3) (2) より、

⟨R(X, Y)Y, X⟩ = −\frac{1}{4}⟨[[X, Y], Y], X⟩
= \frac{1}{4}⟨[X, Y], [X, Y]⟩
= \frac{1}{4}|[X, Y]|^{2}.

(4) 命題 3.4.1の (4) より、一径数部分群 exp(tX) が測地線になるための必要十分条件は、 ad(X)^{∗}(X) = 0 であるが、 Riemann 計量が両側不変だから、すべての X ∈ 𝔤 に対して

ad(X)^{∗}(X) = −ad(X)(X) = 0.

したがって、すべての一径数部分群は測地線になる。また、 T_{e}(G) のすべての元に対してそれに接する一径数部分群は存在するので、一径数部分群で単位元を通るすべての測地線を表すことができる。

定理 3.4.3 (Hopf-Rinow) コンパクト連結 Riemann 多様体の任意の２点は、測地線で結ぶことができる。

定理 3.4.4 コンパクト連結 Lie 群の指数写像は全射になる。

証明 G をコンパクト連結 Lie 群とする。系 3.3.8より、 G には両側不変 Riemann 計量が存在する。この Riemann 計量に関して G はコンパクト連結 Riemann 多様体になるので、定理 3.4.3より、任意の g ∈ G は単位元と測地線で結ぶことができる。系 3.4.2の (4) より、この測地線は G の一径数部分群になり、特に gは指数写像の像に含まれる。したがって、指数写像 exp : 𝔤 → G は全射になる。

3.5 等質空間上の Riemann 幾何学

まず Riemannian submersion に関する準備をし、 Riemann 等質空間上の Riemann 幾何学を議論する。

定義 3.5.1 多様体 Mから多様体 Nへの C^{∞}級全射πの各点 x ∈ Mの微分写像

dπ_{x} : T_{x}(M) → T_{π(x)}(N)

が全射になるとき、 πを submersion と呼ぶ。 V_{x} = Ker(dπ_{x}) を垂直部分空間と呼ぶ。さらに Mと Nがともに Riemann 計量を持っているとき、 H_{x} = Ker(dπ_{x})^{⊥}を水平部分空間と呼び、各点 x ∈ Mで

dπ_{x} : H_{x} → T_{π(x)}(N)

が等長線形写像になるとき、 πを Riemannian submersion と呼ぶ。

命題 3.5.2 π : M → Nを n + k次元多様体 Mから n 次元多様体 Nへの submersion とする。このとき、 Nの l次元部分多様体 L に対してπ^{−1}(L) は、 Mの k + l次元部分多様体になる。さらに、各点 x ∈ π^{−1}(L) について

L̄_{x} = (dπ_{x}|_{H_{x}})^{−1}(T_{π(x)}(L))

とおくと

T_{x}(π^{−1}(L)) = V_{x} ⊕ L̄_{x}

が成り立つ。証明 π^{−1}(L) が Mの k + l次元部分多様体になることは、陰関数定理からわかる。 k次元多様体と Nのπ(x) における開近傍の積に微分同型になる Mにおける x の開近傍が

存在することが、陰関数定理からわかるので、これより、

T_{x}(π^{−1}(L)) = V_{x} ⊕ L̄_{x}

が成り立つ。

命題 3.5.3 π : M → Nを Riemann 多様体間の Riemannian submersion とする。 N上のベクトル場 Xに対して、各点 x ∈ MでX̄_{x} ∈ H_{x}と dπ_{x}X̄_{x} = X_{π(x)}を満たす M上のベクトル場X̄がただ一つ存在する。 Nの曲線 c と定義域 Iの元 t_{0}に関する c(t_{0}) のπによる逆像の元

x_{0} ∈ π^{−1}(c(t_{0})) に対して、各点 t ∈ Iでπ(c̄(t)) = c(t) と\frac{dc̄}{dt}(t) ∈ H_{c̄(t)}を満たし、 c̄(t_{0}) = x_{0}

となる M上の曲線c̄がただ一つ存在する。

証明各点 x ∈ Mで dπ_{x} : H_{x} → T_{π(x)}(N) は等長線形写像になっているので、特に線形同型であり、 dπ_{x}X̄_{x} = X_{π(x)}となるX̄_{x} ∈ H_{x}がただ一つ存在する。

命題 3.5.2より、 π^{−1}(Im(c)) は Mの部分多様体になり、

π : π^{−1}(Im(c)) → Im(c)

は Riemannina submersion になる。そこで、 Im(c) 上のベクトル場\frac{dc}{dt}に命題の前半を適用

すると、各点 x ∈ π^{−1}(Im(c)) でX̄_{x} ∈ H_{x}と dπ_{x}X̄_{x} = \frac{dc}{dt}_{π(x)}を満たすπ^{−1}(Im(c)) 上のベクト

ル場X̄がただ一つ存在する。そこで、 c̄(t_{0}) = x_{0}を初期条件とするX̄の積分曲線c̄をとれば、 c̄は求める条件を満たす曲線になる。

定義 3.5.4 命題 3.5.3において、 M上のベクトル場X̄を N上のベクトル場 Xの水平持ち上げと呼ぶ。また、 Mの曲線c̄を Nの曲線 c の水平持ち上げと呼ぶ。

補題 3.5.5 πを多様体 Mから多様体 Nへの C^{∞}級写像とする。 M上のベクトル場X̃, Ỹ と N上のベクトル場 X, Y が

dπ_{x}(X̃_{x}) = X_{π(x)}, dπ_{x}(Ỹ_{x}) = Y_{π(x)} (x ∈ M)

を満たすとすると

dπ_{x}([X̃, Ỹ]_{x}) = [X, Y]_{π(x)} (x ∈ M)

が成り立つ。

証明仮定より任意の f ∈ C^{∞}(N) と x ∈ Mに対して

X̃(f ∘ π)(x) = X̃_{x}(f ∘ π) = dπ_{x}(X̃_{x})(f) = X_{π(x)}(f)
= (Xf)(π(x))

となるので

X̃(f ∘ π) = (Xf) ∘ π

が成り立つ。同様に

Ỹ (f ∘ π) = (Y f) ∘ π

も成り立つ。したがって x ∈ Mについて

dπ_{x}([X̃, Ỹ]_{x})(f) = [X̃, Ỹ ]_{x} (f ∘ π)
= (X̃(Ỹ (f ∘ π)) − Ỹ (X̃(f ∘ π)))(x)
= X̃_{x}(Ỹ (f ∘ π)) − Ỹ_{x}(X̃(f ∘ π))
= X̃_{x}((Y f) ∘ π) − Ỹ_{x}((Xf) ∘ π)
= dπ_{x}(X̃_{x})(Y f) − dπ_{x}(Ỹ_{x})(Xf)
= X_{π(x)}(Y f) − Y_{π(x)}(Xf)
= (X(Y f) − Y (Xf))(π(x))
= ([X, Y](f))(π(x))
= [X, Y]_{π(x)} (f)

となるので

dπ_{x}([X̃, Ỹ]_{x}) = [X, Y]_{π(x)}.

補題 3.5.6 π : M → Nを Riemann 多様体間の Riemannian submersion とする。 M, Nの Riemann 接続をそれぞれ ¯∇, ∇ で表す。 N上のベクトル場 X, Y に対して、

¯∇X̄ Ȳ = \overline{(∇_{X}Y)} + \frac{1}{2}[X̄, Ȳ]^{V}

が成り立つ。ただし、 · ^{V} は垂直成分を表す。

証明 X, Y, Zを Nのベクトル場とする。水平持ち上げの定め方より、

dπX̄ = X, dπȲ = Y

が成り立つ。よって、補題 3.5.5より dπ[X̄, Ȳ] = [X, Y] となりπ : M → Nは Riemanninan submersion だから、

⟨[X̄, Ȳ], Z̄⟩ = ⟨[X, Y], Z⟩.

さらに、 X̄⟨Ȳ , Z̄⟩ = X⟨Y, Z⟩ だから、

⟨ ¯∇X̄ Ȳ , Z̄⟩ = \frac{1}{2}\{X̄⟨Ȳ , Z̄⟩ + Ȳ ⟨X̄, Z̄⟩ − Z̄⟨X̄, Ȳ ⟩
+⟨[X̄, Ȳ], Z̄⟩ − ⟨[X̄, Z̄], Ȳ ⟩ − ⟨[Ȳ , Z̄], X̄⟩}
= \frac{1}{2}\{X⟨Y, Z⟩ + Y ⟨X, Z⟩ − Z⟨X, Y ⟩
+⟨[X, Y], Z⟩ − ⟨[X, Z], Y ⟩ − ⟨[Y, Z], X⟩}
= ⟨∇_{X}Y, Z⟩.

したがって、 ¯∇X̄ Ȳ の水平成分は\overline{(∇_{X}Y)}に一致する。

次に ¯∇X̄ Ȳ の垂直成分を求めるために、 Nの垂直ベクトル場 T に対して ⟨ ¯∇X̄ Ȳ , T ⟩ を計算する。

⟨ ¯∇X̄ Ȳ , T ⟩ = \frac{1}{2}\{X̄⟨Ȳ , T ⟩ + Ȳ ⟨X̄, T ⟩ − T ⟨X̄, Ȳ ⟩
+⟨[X̄, Ȳ], T ⟩ − ⟨[X̄, T], Ȳ ⟩ − ⟨[Ȳ , T], X̄⟩}

において、

⟨Ȳ , T ⟩ = ⟨X̄, T ⟩ = 0

だから、

X̄⟨Ȳ , T ⟩ = Ȳ ⟨X̄, T ⟩ = 0.

また、 ⟨X̄, Ȳ ⟩ = ⟨X, Y ⟩ だから、

T ⟨X̄, Ȳ ⟩ = 0.

dπT = 0 だから、補題 3.5.5より dπ[X̄, T] = [X, 0] = 0 となり、

⟨[X̄, T], Ȳ ⟩ = 0.

同様にして、

⟨[Ȳ , T], X̄⟩ = 0.

以上より、

⟨ ¯∇X̄ Ȳ , T ⟩ = \frac{1}{2}⟨[X̄, Ȳ], T ⟩.

したがって、 ¯∇X̄ Ȳ の垂直成分は\frac{1}{2}[X̄, Ȳ]^{V} に一致する。 ¯∇X̄ Ȳ の水平成分と垂直成分を合せることにより、

¯∇X̄ Ȳ = \overline{(∇_{X}Y)} + \frac{1}{2}[X̄, Ȳ]^{V}

を得る。

定理 3.5.7 (O’Neill) π : M → Nを Riemann 多様体間の Riemannian submersion とする。 M, Nの曲率テンソルをそれぞれR̄, Rで表す。 N上のベクトル場 X, Y に対して、

⟨R(X, Y)Y, X⟩ = ⟨R̄(X̄, Ȳ)Ȳ , X̄⟩ + \frac{3}{4}|[X̄, Ȳ]^{V} |^{2}

が成り立つ。特に Mの断面曲率が 0 以上ならば、 Nの断面曲率も 0 以上になり、 Mの断面曲率が正ならば、 Nの断面曲率も正になる。

証明 N上のベクトル場 X, Y, Z, W に対して、補題 3.5.6の結果と証明中に示したことを使うと

⟨ ¯∇X̄ ¯∇Ȳ Z̄, W̄ ⟩ = X̄⟨ ¯∇Ȳ Z̄, W̄ ⟩ − ⟨ ¯∇Ȳ Z̄, ¯∇X̄ W̄ ⟩
= X⟨∇_{Y} Z, W ⟩ − ⟨∇_{Y} Z, ∇_{X}W ⟩ − \frac{1}{4}⟨[Ȳ , Z̄]^{V} , [X̄, W̄]^{V} ⟩
= ⟨∇_{X}∇_{Y} Z, W ⟩ − \frac{1}{4}⟨[Ȳ , Z̄]^{V} , [X̄, W̄]^{V} ⟩.

さらに、 · ^{H}で水平成分を表すことにすると、

⟨ ¯∇_{[X̄,Ȳ]}Z̄, W̄ ⟩ = ⟨ ¯∇_{[X̄,Ȳ]^{H}} Z̄, W̄ ⟩ + ⟨ ¯∇_{[X̄,Ȳ]^{V}} Z̄, W̄ ⟩.

ここで、補題 3.5.5より dπ[X̄, Ȳ] = [X, Y] だから、 [X̄, Ȳ]^{H}は [X, Y] の水平持ち上げになり、補題 3.5.6より、

⟨ ¯∇_{[X̄,Ȳ]^{H}} Z̄, W̄ ⟩ = ⟨∇_{[X,Y]}Z, W ⟩

となる。また Mの垂直ベクトル場 T に対して、補題 3.5.6の結果と証明中に示したことを使うと、

⟨ ¯∇_{T} X̄, Ȳ ⟩ = ⟨ ¯∇X̄T + [T, X̄], Ȳ ⟩
= ⟨ ¯∇X̄T, Ȳ ⟩
= −⟨T, ¯∇X̄ Ȳ ⟩
= −\frac{1}{2}⟨T, [X̄, Ȳ]^{V} ⟩

となる。以上より、

⟨ ¯∇_{[X̄,Ȳ]}Z̄, W̄ ⟩ = ⟨∇_{[X,Y]}Z, W ⟩ − \frac{1}{2}⟨[X̄, Ȳ]^{V} , [Z̄, W̄]^{V} ⟩.

したがって

⟨R̄(X̄, Ȳ)Z̄, W̄ ⟩ = ⟨ ¯∇X̄ ¯∇Ȳ Z̄, W̄ ⟩ − ⟨ ¯∇Ȳ ¯∇X̄ Z̄, W̄ ⟩ − ⟨ ¯∇_{[X̄,Ȳ]}Z̄, W̄ ⟩
= ⟨∇_{X}∇_{Y} Z, W ⟩ − ⟨∇_{Y} ∇_{X}Z, W ⟩ − ⟨ ¯∇_{[X,Y]}Z, W ⟩

−\frac{1}{4}⟨[Ȳ , Z̄]^{V} , [X̄, W̄]^{V} ⟩ + \frac{1}{4}⟨[X̄, Z̄]^{V} , [Ȳ , W̄]^{V} ⟩ + \frac{1}{2}⟨[X̄, Ȳ]^{V} , [Z̄, W̄]^{V} ⟩

= ⟨R(X, Y)Z, W ⟩

−\frac{1}{4}⟨[Ȳ , Z̄]^{V} , [X̄, W̄]^{V} ⟩ + \frac{1}{4}⟨[X̄, Z̄]^{V} , [Ȳ , W̄]^{V} ⟩ + \frac{1}{2}⟨[X̄, Ȳ]^{V} , [Z̄, W̄]^{V} ⟩.

ここで、 Z = Y, W = Xとおくと、

⟨R̄(X̄, Ȳ)Ȳ , X̄⟩ = ⟨R(X, Y)Y, X⟩ − \frac{3}{4}|[X̄, Ȳ]^{V} |^{2}

となり、

⟨R(X, Y)Y, X⟩ = ⟨R̄(X̄, Ȳ)Ȳ , X̄⟩ + \frac{3}{4}|[X̄, Ȳ]^{V} |^{2}

を得る。注意 3.5.8 定理 3.5.7より、 [X̄, Ȳ]^{V} は Xと Y の一点の値で定まることがわかるが、次のようにして、このことを直接確かめることもできる。 Mの垂直ベクトル場 T に対して、

⟨[X̄, Ȳ]^{V} , T ⟩ = ⟨[X̄, Ȳ], T ⟩
= ⟨ ¯∇X̄ Ȳ − ¯∇Ȳ X̄, T ⟩
= X̄⟨Ȳ , T ⟩ − ⟨Ȳ , ¯∇X̄T ⟩ − Ȳ ⟨X̄, T ⟩ + ⟨X̄, ¯∇Ȳ T ⟩
= −⟨Ȳ , ¯∇X̄T ⟩ + ⟨X̄, ¯∇Ȳ T ⟩

となり、最後の行は Xと Y の一点の値に対して定まる。

命題 3.5.9 π : M → Nを Riemann 多様体間の Riemannian submersion とする。 c を Nの曲線とするとき、 c が Nの測地線になるための必要十分条件は、 c の水平持ち上げc̄が Mの測地線になることである。

証明補題 3.5.6より、

¯∇_{}_{c̄′}c̄′ = \overline{∇_{c′}c′} + \frac{1}{2}[c̄′, c̄′]^{V} = \overline{∇_{c′}c′}.

したがって、 ¯∇_{}_{c̄′}c̄′ = 0 となる必要十分条件は、 ∇_{c′}c′ = 0 となり、命題が得られる。

命題 3.5.10 G を Lie 群とし、 Hを G の閉 Lie 部分群とする。 G と Hの Lie 環をそれぞれ 𝔤 と 𝔥 で表す。さらに、 𝔤 の直和分解

𝔤 = 𝔥 + 𝔪

が存在し、

Ad_{G}(H)𝔥 ⊂ 𝔥, Ad_{G}(H)𝔪 ⊂ 𝔪

を満たし、 𝔪 上に Ad_{G}(H) 不変内積が存在すると仮定する。このとき、 𝔪 上の内積を

𝔤 = 𝔥 + 𝔪

が直交直和分解になるように 𝔤 に拡張し、 G と G/Hに Riemann 計量を誘導すると、 π : G → G/Hは Riemannina submersion になり、 dπ : 𝔪 → T_{o}(G/H) によって 𝔪 と T_{o}(G/H) を同一視すると、 G/Hの曲率テンソル Rは、 X, Y ∈ 𝔪 に対して

⟨R(X, Y)Y, X⟩ = \frac{1}{4}|ad(X)^{∗}(Y) + ad(Y)^{∗}(X)|^{2} − ⟨ad(X)^{∗}(X), ad(Y)^{∗}(Y)⟩

−\frac{3}{4}|[X, Y]^{𝔪}|^{2} − \frac{1}{2}⟨[[X, Y], Y], X⟩ − \frac{1}{2}⟨[[Y, X], X], Y ⟩

を満たす。ただし、 · ^{𝔪}は 𝔪 成分を表す。証明 G の曲率テンソルを Rで表すと、命題 3.4.1より、

⟨R̄(X, Y)Y, X⟩ = \frac{1}{4}|ad(X)^{∗}(Y) + ad(Y)^{∗}(X)|^{2} − ⟨ad(X)^{∗}(X), ad(Y)^{∗}(Y)⟩

−\frac{3}{4}|[X, Y]|^{2} − \frac{1}{2}⟨[[X, Y], Y], X⟩ − \frac{1}{2}⟨[[Y, X], X], Y ⟩.

となる。さらに、定理 3.5.7を適用すると、

⟨R(X, Y)Y, X⟩ = ⟨R̄(X̄, Ȳ)Ȳ , X̄⟩ + \frac{3}{4}|[X̄, Ȳ]^{𝔥}|^{2}
= \frac{1}{4}|ad(X)^{∗}(Y) + ad(Y)^{∗}(X)|^{2} − ⟨ad(X)^{∗}(X), ad(Y)^{∗}(Y)⟩

−\frac{3}{4}|[X, Y]^{𝔪}|^{2} − \frac{1}{2}⟨[[X, Y], Y], X⟩ − \frac{1}{2}⟨[[Y, X], X], Y ⟩

を得る。

定義 3.5.11 両側不変 Riemann 計量を持つ Lie 群 G の閉 Lie 部分群 Hに対して、 G/Hに誘導される Riemann 計量を正規といい、 G/Hを正規 Riemann 等質空間と呼ぶ。

系 3.5.12 G/Hを正規 Riemann 等質空間とし、

𝔤 = 𝔥 + 𝔪

を G の Lie 環 𝔤 の直交直和分解とする。

(1) G/Hの曲率テンソルを Rで表すと、 X, Y ∈ 𝔪 に対して、

⟨R(X, Y)Y, X⟩ = \frac{1}{4}|[X, Y]^{𝔪}|^{2} + |[X, Y]^{𝔥}|^{2}

が成り立つ。特に G/Hの断面曲率は 0 以上になる。

(2) π : G → G/Hで自然な射影を表すと、 G/Hの原点を通る測地線は、 X ∈ 𝔪 によって π(exp tX) と表すことができる。

証明 (1) G の曲率テンソルをR̄で表すことにすると、系 3.4.2(3) と定理 3.5.7より、

⟨R(X, Y)Y, X⟩ = ⟨R̄(X, Y)Y, X⟩ + \frac{3}{4}|[X, Y]^{𝔥}|^{2}
= \frac{1}{4}|[X, Y]|^{2} + \frac{3}{4}|[X, Y]^{𝔥}|^{2}
= \frac{1}{4}|[X, Y]^{𝔪}|^{2} + |[X, Y]^{𝔥}|^{2}

が成り立つ。

(2) c(t) を G/Hの測地線とし、 c̄(t) をc̄(0) = e を満たす G への水平持ち上げとする。命題 3.5.9より、 c̄(t) は G の測地線になる。系 3.4.2より、ある X ∈ 𝔤 が存在しc̄(t) = exp tXとなる。 c̄(t) の速度ベクトルは水平なので、 X ∈ 𝔪。さらに、

c(t) = π(c̄(t)) = π(exp tX)

が成り立つ。 84 第 3 章等質空間

3.6 コンパクト等質空間のコホモロジー

コンパクト等質空間のコホモロジーに関する Samelson の結果を紹介する。定義 3.6.1 n 次元多様体 M上の p 次微分形式の全体をΩ^{p}(M) で表し、

Z^{p}(M) = {ω ∈ Ω^{p}(M) | dω = 0}
B^{p}(M) = {dη | η ∈ Ω^{p−1}(M)}

とおく。外微分 d は d^{2} = 0 を満たすので、 B^{p}(M) ⊂ Z^{p}(M) となる。そこで、

H^{p}(M) = Z^{p}(M)/B^{p}(M)

とおき、 H^{p}(M) を Mの p 次 de Rham コホモロジー群と呼ぶ。

χ(M) = ∑_{p=0}^{n}(−1)^{p} dim H^{p}(M)

とおき、 χ(M) を Mの Euler 数と呼ぶ。

Mの C^{∞}級 p 次元特異単体群を C_{p}(M) で表し、

Z_{p}(M) = {c ∈ C_{p}(M) | ∂c = 0}
B_{p}(M) = {∂c | c ∈ C_{p+1}(M)}

とおく。境界作用素∂は∂^{2} = 0 を満たすので、 B_{p}(M) ⊂ Z_{p}(M) となる。そこで、

H_{p}(M) = Z_{p}(M)/B_{p}(M)

とおき、 H_{p}(M) を Mの C^{∞}級 p 次特異ホモロジー群と呼ぶ。定理 3.6.2 (de Rham) ω ∈ Z^{p}(M) に対して、 ωの代表する H^{p}(M) 内の元を [ω] で表すことにする。線形写像

Z_{p}(M) → R ; c ↦ ∫_{c} ω

は H_{p}(M)^{∗}の元を誘導し、それによって H^{p}(M) と H_{p}(M)^{∗}は線形同型になる。系 3.6.3 ω_{1}, ω_{2} ∈ Z^{p}(M) に対して、 [ω_{1}] = [ω_{2}] となるための必要十分条件は、任意の c ∈ Z_{p}(M) に対して

∫_{c} ω_{1} = ∫_{c} ω_{2}

が成り立つことである。

証明 [ω_{1}] = [ω_{2}] とすると、あるη ∈ Ω^{p−1}(M) が存在してω_{2} = ω_{1} + dηとなる。よって、 Stokes の定理より、任意の c ∈ Z_{p}(M) に対して

∫_{c} ω_{2} = ∫_{c} ω_{1} + ∫_{c} dη
= ∫_{c} ω_{1} + ∫_{∂c} η
= ∫_{c} ω_{1}.

逆に任意の c ∈ Z_{p}(M) に対して

∫_{c} ω_{1} = ∫_{c} ω_{2}

が成り立つとすると、 ω_{1}とω_{2}の誘導する H_{p}(M)^{∗}の元は一致することになり、定理 3.6.2より、 [ω_{1}] = [ω_{2}] が成り立つ。

定理 3.6.4 (Samelson) G をコンパクト連結 Lie 群とし、 Hを G の閉 Lie 部分群とする。 G に両側不変 Riemann 計量を入れ、 G の Lie 環 𝔤 を

𝔤 = 𝔥 + 𝔪

と直交直和に分解しておく。このとき、

χ(M) = ∫_{H} det_{𝔪}(1 − Ad(h))dμ_{H}(h)

が成り立つ。

証明 M = G/Hとおいておく。 ω ∈ Z^{p}(M) をとる。 G は連結だから、任意の g ∈ G に対して、 gと単位元を G 内の滑らかな曲線で結ぶことができる。したがって H^{p}(M) のホモトピー不変性から、 [ω] = [g^{∗}ω] が成り立つ。補題 3.6.3より、任意の c ∈ Z_{p}(M) に対して

∫_{c} ω = ∫_{c} g^{∗}ω

が成り立つ。そこで、

∫_{G} g^{∗}ωdμ_{G}(g) ∈ Ω^{p}(M)

について考える。積分は Mの各点で行っている。

d (∫_{G} g^{∗}ωdμ_{G}(g)) = ∫_{G} dg^{∗}ωdμ_{G}(g) = ∫_{G} g^{∗}dωdμ_{G}(g) = 0

となるので、

∫_{G} g^{∗}ωdμ_{G}(g) ∈ Z^{p}(M).

任意の c ∈ Z_{p}(M) に対して

∫_{c} ∫_{G} g^{∗}ωdμ_{G}(g) = ∫_{G} ∫_{c} g^{∗}ωdμ_{G}(g) = ∫_{G} ∫_{c} ωdμ_{G}(g) = ∫_{c} ω.

したがって、系 3.6.3より、

[∫_{G} g^{∗}ωdμ_{G}(g)] = [ω].

さらに∫_{G} g^{∗}ωdμ_{G}(g) は G 不変微分形式になっている。そこで、

I^{p}(M) = {ω ∈ Ω^{p}(M) | g^{∗}ω = ω (g ∈ G)}

とおく。 I^{p}(M) の元は Mの一点の値で決まるので、特に、各 I^{p}(M) は有限次元になる。また、 ω ∈ I^{p}(M) と任意の g ∈ G に対して

g^{∗}dω = dg^{∗}ω = dω

となるので、 dω ∈ I^{p}(M)。したがって、 (I^{p}(M), d) は (Ω^{p}(M), d) の部分複体になる。さらに、上で示したことより、 H^{p}(M) = Z^{p}(M)/B^{p}(M) の代表元として、 Z^{p}(M) ∩ I^{p}(M) の元をとることができたので、 Mの de Rham コホモロジー群 H^{p}(M) は、複体 (I^{p}(M), d) のコホモロジー群と同型になる。

I^{p}(M) は自然に

∧_{H}^{p}(𝔪) = {ω ∈ ∧^{p}(𝔪) | Ad(h)^{∗}ω = ω (h ∈ H)}

と一対一に対応するので、定理 3.6.4は、次の定理に帰着する。

定理 3.6.5 (Samelson) コンパクト Hausdorff 位相群 Kの表現ρ : K → GL(V) に対して、

∧_{K}^{p}(V) = {ω ∈ ∧^{p}(V) | k^{∗}ω = ω (k ∈ K)}

によって∧_{K}^{p}(V) を定め、

χ(ρ) = ∑_{p}(−1)^{p} dim ∧_{K}^{p}(V), P_{ρ}(t) = ∑_{p} dim ∧_{K}^{p}(V)t^{p}

とおくと、

χ(ρ) = ∫_{K} det(1 − ρ(k))dμ_{K}(k), P_{ρ}(t) = ∫_{K} det(tρ(k) + 1)dμ_{K}(k)

が成り立つ。

この定理の証明のために次の二つの補題を準備しておく。

補題 3.6.6 コンパクト Hausdorff 位相群 Kの表現ρ : K → GL(V) に対して、

∫_{K} trρ(k)dμ_{K}(k) = dim V_{K}

が成り立つ。ただし、

V_{K} = {v ∈ V | ρ(k)v = v (k ∈ K)}.

証明命題 3.3.6より、 P = ∫ ρdμ_{K} ∈ Hom(V, V) とおくと、 P^{2} = P と ImP = V_{K}が成り立つので、

dim V_{K} = trP = tr ∫ ρ(k)dμ_{K}(k) = ∫ trρ(k)dμ_{K}(k).

補題 3.6.7 有限次元ベクトル空間 V の線形写像 f : V → V に対して、 f^{∗} : ∧^{∗}(V) → ∧^{∗}(V) を∧^{p}(V) に制限したものを f^{(p)}で表すことにすると、

det(tf + 1) = ∑_{p} tr(f^{(p)})t^{p}

が成り立つ。

証明 n = dim V とおき、 V^{∗}の基底θ_{1}, θ_{n}をとっておく。線形写像の行列式は転置をとっても変わらないので、

(tf + 1)^{∗}(θ_{1} ∧ ⋯ ∧ θ_{n}) = det(tf + 1)θ_{1} ∧ ⋯ ∧ θ_{n}

となることに注意しておく。他方、

(tf + 1)^{∗}(θ_{1} ∧ ⋯ ∧ θ_{n})
= (tf + 1)^{∗}θ_{1} ∧ ⋯ ∧ (tf + 1)^{∗}θ_{n}
= ∑_{p=0}^{n} t^{p} ∑_{i_{1}<···<i_{p}} θ_{1} ∧ ⋯ ∧ f^{∗}θ_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ f^{∗}θ_{i_{p}} ∧ ⋯ ∧ θ_{n}.

ここで、

f^{(p)}(θ_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ θ_{i_{p}}) = f^{∗}θ_{i_{1}} ∧ ⋯ ∧ f^{∗}θ_{i_{p}}
= ∑_{j_{1}<···<j_{p}} f_{i_{1}···i_{p}}^{j_{1}···j_{p}}θ_{j_{1}} ∧ ⋯ ∧ θ_{j_{p}}

とおくと、

(tf + 1)^{∗}(θ_{1} ∧ ⋯ ∧ θ_{n}) = ∑_{p=0}^{n} t^{p} ∑_{i_{1}<···<i_{p}} f_{i_{1}···i_{p}}^{i_{1}···i_{p}}θ_{1} ∧ ⋯ ∧ θ_{n}
= ∑_{p=0}^{n} tr(f^{(p)})t^{p}.

したがって

det(tf + 1) = ∑_{p} tr(f^{(p)})t^{p}

が成り立つ。

定理 3.6.5の証明補題 3.6.7より、 k ∈ Kに対して、

det(tρ(k) + 1) = ∑_{p} tr(ρ^{(p)})t^{p}

88 第 3 章等質空間が成り立つ。両辺を K上で積分すると、補題 3.6.6より、

∫_{K} det(tρ(k) + 1)dμ_{K}(k) = ∑_{p} ∫_{K} tr(ρ^{(p)})dμ_{K}(k)t^{p}
= ∑_{p} dim ∧_{K}^{p}(V)t^{p}
= P_{ρ}(t).

上の等式に t = −1 を代入すると、

∫_{K} det(1 − ρ(k))dμ_{K}(k) = P_{ρ}(−1) = χ(ρ)

となり、定理 3.6.5の証明が完結する。

定理 3.6.4の証明 Mのコホモロジー H^{∗}(M) は複体 (I^{∗}(M), d) のコホモロジーに同型になることはすでに示した。

d^{p} : I^{p}(M) → I^{p+1}(M)

と書くことにすると、ホモロジー代数の結果より、

∑_{p}(−1)^{p} dim(Kerd^{p}/d^{p−1}I^{p}(M)) = ∑_{p}(−1)^{p} dim I^{p}(M)

が成り立つ。したがって、定理 3.6.5を

Ad|_{𝔪} : H → GL(𝔪)

に適用すると、

χ(M) = ∑_{p}(−1)^{p} dim(Kerd^{p}/d^{p−1}I^{p}(M))
= ∑_{p}(−1)^{p} dim I^{p}(M)
= ∫_{H} det_{𝔪}(1 − Ad(h))dμ_{H}(h)

を得る。系 3.6.8 (Samelson) 定理 3.6.4と同じ仮定のもとで、 χ(G/H) ≥ 0 が成り立つ。注意 3.6.9 上の系で、 χ(G/H) = 0 が成り立つための必要十分条件を、コンパクト連結 Lie 群の階数を使って述べると、 rank(H) < rank(G) が成り立つことになる。

系 3.6.8の証明 Hの単位連結成分を H_{0}で表すと、自然な射影 p : G/H_{0} → G/H

3.6 コンパクト等質空間のコホモロジー 89

は被覆写像になる。このとき、 x ∈ G/Hをとると

χ(G/H_{0}) = ♯(p^{−1}(x))χ(G/H)

となるので、系を証明するためには、 Hが連結の場合だけを考えれば十分である。

G には両側不変 Riemann 計量が入っているので、

Ad|_{𝔪} : H → GL(𝔪)

は直交表現になる。さらに、 Hは連結だから、

Ad|_{𝔪} : H → SO(𝔪)

となる。そこで、 h ∈ Hに対して Ad(h)|_{𝔪}を標準形にすると、標準形の一つのブロックは、

[ \begin{matrix}cos θ & − sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix} ] , 1

の内のいずれかの形になる。よって 1 − Ad(h)|_{𝔪}の一つのブロックは、

[ \begin{matrix}1 − cos θ & sin θ \\ − sin θ & 1 − cos θ \end{matrix} ] , 0

の内のいずれかの形になる。

| \begin{matrix}1 − cos θ & sin θ \\ − sin θ & 1 − cos θ \end{matrix} | = 2(1 − cos θ) ≥ 0

となるので、

det_{𝔪}(1 − Ad(h)) ≥ 0.

したがって、定理 3.6.4より、

χ(G/H) = ∫_{H} det_{𝔪}(1 − Ad(h))dμ_{H}(h) ≥ 0

を得る。