数理物質科学研究科

幾何学概論II

教育研究科

幾何学概論 ————–

凸体の幾何学入門

田崎博之 2009 年度 1 学期

数理物質科学研究科

幾何学概論 II

教育研究科

幾何学概論

開講授業科目概要

Euclid 空間の距離や位相の基本的事項を復習した後、 Euclid 空間の凸体の幾何学の基礎について解説する。目次 i

目次

1 線形代数からの準備 1 2 位相からの準備 7 3 凸集合と凸結合 11 4 射影 18 5 支持と分離 20 6 凸関数 22 7 支持関数 26 8 Hausdorff 距離 29 参考文献 36

1 線形代数からの準備

定義 1.1 𝔼^{n} で n 次元 Euclid 空間を表す。 𝔼^{n} は n 次元線形空間

ℝ^{n} = {(x^{1}, …, x^{n}) | x^{i} ∈ ℝ}

であり、

⟨x, y⟩ = x^{1}y^{1} + ⋯ + x^{n}y^{n} (x, y ∈ 𝔼^{n})

によって定まる内積 ⟨·, ·⟩ を持っているものである。ノルム | · | は

|x| = ⟨x, x⟩^{1/2} = {(x^{1})^{2} + ⋯ + (x^{n})^{2}}^{1/2} (x ∈ 𝔼^{n})

によって内積から定める。 | · | は長さともいう。

定義 1.2 x_{1}, …, x_{k} ∈ 𝔼^{n} と λ_{1}, …, λ_{k} ∈ ℝ に対して λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{k}x_{k} を x_{1}, …, x_{k} の線形結合と呼ぶ。部分集合 A ⊂ 𝔼^{n} に対して、 A の元の線形結合の全体を linA で表し A の線形包と呼ぶ。

普通の線形代数の教科書では、 linA を A が張る線形部分空間と呼ぶが、ここでは後で定める他の概念の名前と合せるため線形包と呼ぶことにする。

linA の定義を数式で表すと次のようになる。

linA = {∑_{i=1}^{k} λ_{i}x_{i}| λ_{i} ∈ ℝ, x_{i} ∈ A}

このように記述すると、右辺の k は自然数を動くものと考える。これをより明示的に書くと次のようになる。

linA ={λx | λ ∈ ℝ, x ∈ A}

∪ {λ_{1}x_{1} + λ_{2}x_{2} | λ_{1}, λ_{2} ∈ ℝ, x_{1}, x_{2} ∈ A}

∪ {∑_{i=1}^{3} λ_{i}x_{i}| λ_{i} ∈ ℝ, x_{i} ∈ A} ∪ ⋯

= ⋃_{k∈ℕ}{∑_{i=1}^{k} λ_{i}x_{i}| λ_{i} ∈ ℝ, x_{i} ∈ A} .

これを

⋃_{k=1}^{∞} {∑_{i=1}^{k} λ_{i}x_{i}| λ_{i} ∈ ℝ, x_{i} ∈ A}

と記述することもあるが、 k は自然数全体を動くのであって

∑_{i=1}^{∞} λ_{i}x_{i}

という元も含まれるということを意味するわけではない。 A の有限個の元の線形結合をすべて集めた集合が linA である。定義 1.3 x_{1}, …, x_{k} ∈ 𝔼^{n} が次の条件を満たすとき、線形独立という。

λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{k}x_{k} = 0, λ_{i} ∈ ℝ

が成り立つならば、 λ_{1} = ⋯ = λ_{k} = 0 が成り立つ。 x_{1}, …, x_{k} が線形独立ではないとき、線形従属という。

定義 1.4 𝔼^{n} の部分集合 V が次の条件を満たすとき、線形部分空間と呼ぶ。

x, y ∈ V ⇒ x + y ∈ V,
α ∈ ℝ, x ∈ V ⇒ αx ∈ V

𝔼^{n} の線形部分空間 V の元 x_{1}, …, x_{k} が線形独立であり、

lin{x_{1}, …, x_{k}} = V

を満たすとき、 x_{1}, …, x_{k} を V の基底と呼ぶ。基底を構成する元の個数 k を V の次元といい、

dim V = k

と書く。

線形部分空間 V の基底のとり方は一意的に定まるわけではないが、基底を構成する元の個数は一意的に定まる。これは大学一年で学ぶ線形代数の基本的だが重要なことである。これによって、次元の概念が矛盾なく定まっていることがわかる。

定義 1.5 V ⊂ 𝔼^{m} と W ⊂ 𝔼^{n} を線形部分空間とする。写像 f : V → W が次の条件を満たすとき、線形写像と呼ぶ。

f(x + y) = f(x) + f(y) (x, y ∈ 𝔼^{m}),
f(αx) = αf(x) (α ∈ ℝ, x ∈ ℝ).

定義 1.6 x_{1}, …, x_{k} ∈ 𝔼^{n} と λ_{1} + ⋯ + λ_{k} = 1 を満たす λ_{1}, …, λ_{k} ∈ ℝ に対して λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{k}x_{k} を x_{1}, …, x_{k} のアフィン結合と呼ぶ。部分集合 A ⊂ 𝔼^{n} に対して、 A の元のアフィン結合の全体を affA で表し A のアフィン包と呼ぶ。

0 の線形結合は 0 のみだから、 lin{0} = {0} である。 0 ではない x ∈ 𝔼^{n} の線形包 llin{x} は 1 次元線形部分空間になる。これに対して x ∈ 𝔼^{n} のアフィン包 aff{x} は 1 · x のみになるので、 {x} 自身になる。これは x が 0 であるかどうかに関係しない。

次に線形独立な x_{1}, x_{2} ∈ 𝔼^{n} に対して、 lin{x_{1}, x_{2}} は 2 次元線形部分空間になる。アフィン包を考えるために、 λ_{1} + λ_{2} = 1 を満たす λ_{1}, λ ∈ ℝ をとると、 λ_{2} = 1 − λ_{1} となり、

λ_{1}x_{1} + λ_{2}x_{2} = λ_{1}x_{1} + (1 − λ_{1})x_{2} = λ_{1}(x_{1} − x_{2}) + x_{2}.

ここで、 λ_{1} は ℝ を自由に動くので、 aff{x_{1}, x_{2}} は x_{1} と x_{2} を結ぶ直線になる。 x_{1}, x_{2} を結ぶ直線を考えるためには、 x_{1}, x_{2} が一致しなければいいので、 x_{1}, x_{2} が線形独立であるという条件は強過ぎることがわかる。アフィン包を扱うために適切な概念が、定義 1.8 で定めるアフィン独立である。その準備として線形独立の定義を振り返っておく。次の命題は線形独立の定義からわかる。

命題 1.7 k ≥ 2 とする。 x_{1}, …, x_{k} ∈ 𝔼^{n} が線形独立であるための必要十分条件は、 x_{1}, …, x_{k} のどの元も他の元の線形結合にならないことである。

この命題の「線形結合」を「アフィン結合」に置き換えることで、「アフィン独立」を定義する。

定義 1.8 𝔼^{n} の一点はアフィン独立であるという。 k ≥ 2 の場合は、 x_{1}, …, x_{k} ∈ 𝔼^{n} のどの元も他の元のアフィン結合にならないとき、 x_{1}, …, x_{k} はアフィン独立であるという。 x_{1}, …, x_{k} がアフィン独立ではないとき、アフィン従属という。

x_{1}, x_{2} がアフィン独立ならば、 x_{1} は x_{2} のアフィン結合ではない。これは x_{1}, x_{2} は異なる 2 点であることを意味する。逆に x_{1}, x_{2} が異なる 2 点であれば、アフィン独立になる。

x_{1}, x_{2}, x_{3} がアフィン独立ならば、 x_{1} は x_{2} のアフィン結合ではなく、 x_{3} のアフィン結合ではない。よって、 x_{1}, x_{2} は異なる 2 点であり、 x_{1}, x_{3} は異なる 2 点である。さらに、 x_{1}, x_{2}, x_{3} のどの 2 点も異なることがわかる。また x_{1} は x_{2}, x_{3} のアフィン結合ではない。これは x_{1} は x_{2}, x_{3} を結ぶ直線上にないことを意味する。同様に x_{1}, x_{2}, x_{3} のどの点も他の 2 点を結ぶ直線上にないことがわかる。結局、 x_{1}, x_{2}, x_{3} は同一直線上にない 3 点になる。逆に x_{1}, x_{2}, x_{3} が同一直線上にない 3 点ならば、アフィン独立になる。

同様に x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} がアフィン独立になることと x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} が同一平面上にない 4 点になることは同値になる。

すなわち、アフィン独立性は初等幾何学で使われる異なる 2 点、同一直線上にない 3 点、同一平面上にない 4 点という概念を一般化したものである。

命題 1.9 k ≥ 2 とする。 x_{1}, …, x_{k} ∈ 𝔼^{n} に対して次の条件はすべて同値になる。

(1) x_{1}, …, x_{k} はアフィン独立になる。

(2) λ_{i} ∈ ℝ に対して λ_{1}x_{1}+⋯+λ_{k}x_{k} = 0, λ_{1}+⋯+λ_{k} = 0 ならば、 λ_{1}, …, λ_{k} = 0 が成り立つ。

(3) x_{2} − x_{1}, …, x_{k} − x_{1} は線形独立になる。

(4) 写像 τ : 𝔼^{n} → 𝔼^{n} × ℝ を τ(x) = (x, 1) によって定めると、 τ(x_{1}), …, τ(x_{k}) は線形独立になる。

証明 (1) ⇔ (2) x_{1}, …, x_{k} はアフィン独立ではないと仮定する。必要なら順序を入れ換えて、 x_{k} は x_{1}, …, x_{k−1} のアフィン結合になる。すなわち、

x_{k} = ∑_{i=1}^{k−1} μ_{i}x_{i},  ∑_{i=1}^{k−1} μ_{i} = 1

を満たす μ_{1}, …, μ_{k−1} が存在する。これらの和が 1 であることから、すべてが 0 になることはない。上の等式を

∑_{i=1}^{k−1} μ_{i}x_{i} − x_{k} = 0,  ∑_{i=1}^{k−1} μ_{i} − 1 = 0

と変形して λ_{1} = μ_{1}, …, λ_{k−1} = μ_{k−1}, λ_{k} = −1 とおけば、条件 (2) が成り立たないことがわかる。

逆に

∑_{i=1}^{k} λ_{i}x_{i} = 0  ∑_{i=1}^{k} λ_{i} = 0

が少なくとも一つは 0 ではない λ_{i} ∈ ℝ に対して成り立つと仮定する。必要なら順序を入れ換えて λ_{k} ≠ 0 とする。上の等式を

x_{k} = ∑_{i=1}^{k−1} \frac{−λ_{i}}{λ_{k}} x_{i},  ∑_{i=1}^{k−1} \frac{−λ_{i}}{λ_{k}} = 1

と変形すると、 x_{k} は x_{1}, …, x_{k−1} のアフィン結合になることがわかる。よって、 x_{1}, …, x_{k} はアフィン独立ではない。

以上で (1) と (2) が同値になることがわかった。

(2) ⇒ (4) τ(x_{1}), …, τ(x_{k}) が線形独立になることを示すために、

λ_{1}τ(x_{1}) + ⋯ + λ_{k}τ(x_{k}) = 0 (λ_{i} ∈ ℝ)

とする。 τ の定義に従って書き換えると

(λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{k}x_{k}, λ_{1} + ⋯ + λ_{k}) = (0, 0) ∈ 𝔼^{n} × ℝ

となり、 (2) より λ_{1} = ⋯ = λ_{k} = 0. よって、 τ(x_{1}), …, τ(x_{k}) は線形独立になる。 (4) ⇒ (3) x_{2} − x_{1}, …, x_{k} − x_{1} が線形独立になることを示すため、

λ_{2}(x_{2} − x_{1}) + ⋯ + λ_{k}(x_{k} − x_{1}) = 0 (λ_{i} ∈ ℝ)

とする。これを x_{1}, …, x_{k} の線形結合で表すと

(−λ_{2} − ⋯ − λ_{k})x_{1} + λ_{2}x_{2} + ⋯ + λ_{k}x_{k} = 0

となるので、 λ_{1} = −λ_{2} − ⋯ − λ_{k} とおくと、

λ_{1}τ(x_{1}) + ⋯ + λ_{k}τ(x_{k})
=(λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{k}x_{k}, λ_{1} + ⋯ + λ_{k}) = (0, 0).

よって、 (4) より λ_{1} = ⋯ = λ_{k} = 0 となり、 x_{2} −x_{1}, …, x_{k} −x_{1} は線形独立になる。 (3) ⇒ (2) (2) を示すために、

λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{k}x_{k} = 0, λ_{1} + ⋯ + λ_{k} = 0

とする。 2 番目の等式より、 λ_{1} = −λ_{2} − ⋯ − λ_{k} となり、

(−λ_{2} − ⋯ − λ_{k})x_{1} + λ_{2}x_{2} + ⋯ + λ_{k}x_{k} = 0

を得る。これより、

λ_{2}(x_{2} − x_{1}) + ⋯ + λ_{k}(x_{k} − x_{1}) = 0

となり、 (3) より λ_{2} = ⋯ = λ_{k} = 0 が成り立つ。したがて、 λ_{1} − 0 も成り立つ。

線形部分空間の定義は、和とスカラー倍について閉じていることで定めている。アフィンの場合に線形部分空間に対応する概念を定めるために、線形部分空間になるための条件を線形結合で表現し、線形結合をアフィン結合に置き換える。

命題 1.10 V ⊂ 𝔼^{n} が線形部分空間になるための必要十分条件は、 x_{i} ∈ V と λ_{i} ∈ ℝ に対して

λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{k}x_{k} ∈ V

が成り立つことである。

定義 1.11 𝔼^{n} の部分集合 A が次の条件を満たすとき、アフィン部分空間と呼ぶ。 x_{i} ∈ V と λ_{1} + ⋯ + λ_{k} = 1 を満たす λ_{i} ∈ ℝ に対して

λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{k}x_{k} ∈ A

が成り立つ。

命題 1.12 A ⊂ 𝔼^{n} をアフィン部分空間とする。 x_{0} ∈ A に対して、

A − x_{0} = {x − x_{0} | x ∈ A}

は 𝔼^{n} の線形部分空間になる。線形部分空間 A − x_{0} は x_{0} ∈ A のとり方に依存しない。そこで、 dim A = dim(A − x_{0}) によってアフィン部分空間の次元を定めることができる。証明 u, v ∈ A − x_{0} をとると、ある x, y ∈ A が存在して

u = x − x_{0}, v = y − x_{0}

が成り立つ。

u + v = x − x_{0} + y − x_{0} = (x + y − x_{0}) − x_{0}

となり、 x + y − x_{0} は x, y, x_{0} ∈ A のアフィン結合だから、 A がアフィン部分空間であることから A に含まれる。したがって、 u + v ∈ A − x_{0} を得る。次に λ ∈ ℝ に対して

λu = λ(x − x_{0}) = λx + (1 − λ)x_{0} − x_{0}

となり、 λx + (1 − λ)x_{0} は x, x_{0} ∈ A のアフィン結合だから A に含まれる。したがって、 λu ∈ A − x_{0} を得る。以上で A − x_{0} は線形部分空間になる。

もう一つ y_{0} ∈ A をとる。任意の u ∈ A − x_{0} に対して、ある x ∈ A が存在し u = x − x_{0} となる。

u = x − x_{0} + y_{0} − y_{0}

となり、 x − x_{0} + y_{0} は x, x_{0}, y_{0} ∈ A のアフィン結合だから A に含まれる。よって、 u ∈ A−y_{0} を得る。したがって、 A−x_{0} ⊂ A−y_{0} が成り立つ。同様に A−y_{0} ⊂ A−x_{0} が成り立ち、 A − x_{0} = A − y_{0} を得る。これより、線形部分空間 A − x_{0} は x_{0} ∈ A のとり方に依存しないことがわかる。

線形写像の定義は、和とスカラー倍を保つことで定めている。アフィンの場合に線形写像に対応する概念を定めるために、線形写像になるための条件を線形結合で表現し、線形結合をアフィン結合に置き換える。

命題 1.13 V ⊂ 𝔼^{m} と W ⊂ E^{n} を線形部分空間とする。写像 f : V → W が線形写像になるための必要十分条件は、 x_{i} ∈ V と λ_{i} ∈ ℝ に対して

f(λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{k}x_{k}) = λ_{1}f(x_{1}) + ⋯ + λ_{k}f(x_{k})

が成り立つことである。

定義 1.14 A ⊂ 𝔼^{m} と S ⊂ E^{n} をアフィン部分空間とする。写像 f : A → B が次の条件を見たすとき、アフィン写像と呼ぶ。 x_{i} ∈ A と λ_{1} + ⋯ + λ_{k} = 1 を満たす λ_{i} ∈ ℝ に対して

f(λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{k}x_{k}) = λ_{1}f(x_{1}) + ⋯ + λ_{k}f(x_{k})

命題 1.15 アフィン部分空間 A ⊂ 𝔼^{m} と S ⊂ E^{n} の間のアフィン写像 f : A → B と x_{0} ∈ A に対して

f_{l}(u) = f(u + x_{0}) − f(x_{0}) (u ∈ A − x_{0})

とおくと、 f_{l} : A − x_{0} → B − f(x_{0}) は線形写像になる。さらに、 f_{l} は x_{0} ∈ A のとり方に依存しない。そこで、線形写像に関する種々の概念をアフィン写像に定めることができる。

証明 u, v ∈ A − x_{0} をとると、ある x, y ∈ A が存在して

u = x − x_{0}, v = y − x_{0}

が成り立つ。

f_{l}(u + v) =f(u + v + x_{0}) − f(x_{0}) = f(x + y − x_{0}) − f(x_{0})
(x + y − x_{0} は x, y, x_{0} のアフィン結合だから )
=f(x) + f(y) − f(x_{0}) − f(x_{0})
=f_{l}(u) + f_{l}(v).

次に λ ∈ ℝ に対して

f_{l}(λu) =f(λu + x_{0}) − f(x_{0}) = f(λ(x − x_{0}) + x_{0}) − f(x_{0})
=f(λx + (1 − λ)x_{0}) − f(x_{0})
(λx + (1 − λ)x_{0} は x, x_{0} ∈ A のアフィン結合だから )
=λf(x) + (1 − λ)f(x_{0}) − f(x_{0}) = λ(f(x) − f(x_{0}))
=λf_{l}(u).

したがって、 f_{l} : A − x_{0} → B − f(x_{0}) は線形写像になる。

もう一つ x_{0} ∈ A をとる。任意の u ∈ A − x_{0} に対して、ある x ∈ A が存在し u = x − x_{0} となる。

f(u + y_{0}) − f(y_{0}) =f(x − x_{0} + y_{0}) − f(y_{0})
(x − x_{0} + y_{0} は x, x_{0}, y_{0} ∈ A のアフィン結合だから )
=f(x) − f(x_{0}) + f(y_{0}) − f(y_{0}) = f(u + x_{0}) − f(x_{0}).

したがって、 f_{l} は x_{0} ∈ A のとり方に依存しない。

2 位相からの準備

𝔼^{n} のノルム | · | から 𝔼^{n} 上の二変数関数 d を次のように定める。

d(x, y) = |x − y| (x, y ∈ 𝔼^{n}).

この関数 d は次の性質を持つ。 (1) x, y ∈ 𝔼^{n} に対して d(x, y) ≥ 0 が成り立ち、 d(x, y) = 0 の必要十分条件は

x = y である。

(2) x, y ∈ 𝔼^{n} に対して d(x, y) = d(y, x) が成り立つ。

(3) x, y, z ∈ 𝔼^{n} に対して次の等式が成り立つ。

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

これらの性質によって d(x, y) を二点 x, y 間の距離とみなすことができ、 𝔼^{n} の開集合、閉集合や、部分集合の内部や閉包、関数や写像の連続性を扱うことができるようになる。これらに関する多くの議論は、 d が上の (1) から (3) を満たすことから導くことができるので、逆に上の (1) から (3) を満たす d を距離として定義するのが、次に述べる距離空間の定義である。

定義 2.1 集合 X 上の二変数関数 d : X × X → ℝ が次の条件を満たすとき、 d を X の距離と呼び、 (X, d) を距離空間と呼ぶ。

(1) x, y ∈ X に対して d(x, y) ≥ 0 が成り立ち、 d(x, y) = 0 の必要十分条件は x = y である。

(2) x, y ∈ X に対して d(x, y) = d(y, x) が成り立つ。

(3) x, y, z ∈ X に対して次の等式が成り立つ。

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

この不等式を三角不等式と呼ぶ。 z ∈ X と ρ > 0 に対して

B(z, ρ) = {x ∈ X | d(z, x) ≤ ρ}, B_{0}(z, ρ) = {x ∈ X | d(z, x) < ρ}

によって、中心 z、半径 ρ の閉球体 B(z, ρ) と開球体 B_{0}(z, ρ) を定める。

この節の最初に定めた d により 𝔼^{n} は距離空間になる。以後、 (𝔼^{n}, d) を距離空間として扱うときも、簡単に 𝔼^{n} と書くことにする。

定義 2.2 (X, d) を距離空間とする。部分集合 O ⊂ X が次の条件を満たすとき、 O を X の開集合と呼ぶ。任意の z ∈ O に対してある ρ > 0 が存在し、 B(z, ρ) ⊂ O が成り立つ。空集合は元がないので、この条件は満たしているとみなし空集合も開集合とする。 C ⊂ X の補集合が開集合になるとき、 C を閉集合と呼ぶ。

命題 2.3 距離空間 (X, d) の開集合全体を O で表し、閉集合全体を C で表す。このとき、 O は次の性質を持つ。 (1) X ∈ O と ∅ ∈ O が成り立つ。

(2) O_{1}, O_{2} ∈ O ならば O_{1} ∩ O_{2} ∈ O が成り立つ。

(3) O に属する部分集合族 (O_{λ})_{λ∈Λ} に対して、 ⋃_{λ∈Λ} O_{λ} ∈ O が成り立つ。

C は次の性質を持つ。

(1) X ∈ C と ∅ ∈ C が成り立つ。

(2) C_{1}, C_{2} ∈ C ならば C_{1} ∪ C_{2} ∈ C が成り立つ。

(3) C に属する部分集合族 (C_{λ})_{λ∈Λ} に対して、 ⋂_{λ∈Λ} C_{λ} ∈ C が成り立つ。

定義 2.4 距離空間 (X, d) の部分集合 A に対して、 A に含まれる包含関係について最大の開集合を A の内部と呼び intA で表す。 A を含む包含関係について最小の閉集合を A の閉包と呼び clA で表す。これらの定め方より intA ⊂ A ⊂ clA が成り立つ。 clA 内の intA の補集合を A の境界と呼び bdA で表す。

部分集合 A ⊂ 𝔼^{n} のアフィン包内での内部、境界を相対内部、相対境界と呼び、 relintA, relbdA で表す。

距離空間 (X, d) の部分集合 A に対して、命題 2.2 より次の等式が成り立つことがわかる。

intA = ⋃_{O⊂A,O∈O} O, clA = ⋂_{A⊂C,C∈C} C.

定義 2.5 距離空間 (X, d) 上定義されている実数値関数 f が次の条件を満たすとき、 f は x_{0} ∈ X で連続であるいう。任意の ϵ > 0 に対してある δ > 0 が存在して

x ∈ X, d(x, x_{0}) ≤ δ ⇒ |f(x) − f(x_{0})| ≤ ϵ

が成り立つ。 f が X の任意の点で連続になるとき、 f を連続関数と呼ぶ。

実数全体 ℝ は |x − y| を x, y の間の距離にすることによって距離空間になるので、上の距離空間における連続関数の概念は、次のように距離空間から距離空間への連続写像の概念に拡張できる。

距離空間 (X, d) から距離空間 (X′, d′) への写像 F が次の条件を満たすとき、 F は x_{0} ∈ X で連続であるいう。任意の ϵ > 0 に対してある δ > 0 が存在して

x ∈ X, d(x, x_{0}) ≤ δ ⇒ d′(F (x), F (x_{0})) ≤ ϵ

が成り立つ。 F が X の任意の点で連続になるとき、 F を連続写像と呼ぶ。命題 2.6 距離空間 (X, d) から距離空間 (X′, d′) への写像 F が連続写像になるための必要十分条件は、 X′ の任意の開集合 O′ に対して F^{−1}(O′) が X の開集合になることである。

上の命題では連続写像の条件を開集合だけを使って述べている。このように連続写像の概念は距離がなくても開集合さえ定まっていれば考えることができる。さらに連続写像の基本的性質の多くは命題 2.2 の開集合の性質を使えば証明できるので、命題 2.2 の開集合の性質を満たす部分集合系を備えた集合である位相空間で連続写像を定義し、その性質を調べることができる。

これに対して次に述べる連続写像よりも強い条件を満たす写像は、開集合系だけで扱うことはできない。

定義 2.7 距離空間 (X, d) から距離空間 (X′, d′) への写像 F が次の条件を満たすとき、 F は一様連続であるいう。任意の ϵ > 0 に対してある δ > 0 が存在して

x, y ∈ X, d(x, y) ≤ δ ⇒ d′(F (x), F (y)) ≤ ϵ

が成り立つ。 ϵ に対する δ の選び方が X の点に依存していないところが、連続写像との違いである。

L ≥ 0 に対して、 F が次の条件を満たすとき、 F は L-Lipschitz 連続であるいう。

x, y ∈ X ⇒ d′(F (x), F (y)) ≤ Ld(x, y).

ある L ≥ 0 について L-Lipschitz 連続のとき、単に Lipschitz 連続という。

距離空間の間の写像が Lipschitz 連続ならば一様連続になり、一様連続ならば連続になることがわかる。しかし、逆は成り立たない。

実数から実数への写像 x ↦ x^{2} は連続にはなるが、一様連続ではない。実数の区間 [0, ∞) から [0, ∞) への写像 x ↦ x^{1/2} は一様連続にはなるが、 Lipschitz 連続ではない。

定義 2.8 距離空間 (X, d) の部分集合 A が次の条件を満たすとき、 A をコンパクト集合と呼ぶ。 X の部分集合族 (O_{λ})_{λ∈Λ} が

A ⊂ ⋃_{λ∈Λ} O_{λ}

を満たすならば、 Λ から有限個の λ_{1}, λ_{2}, …, λ_{k} ∈ Λ を選らんで

A ⊂ ⋃_{i=1}^{k} O_{λ_{i}}

とすることができる。

定理 2.9 (Heine-Borel) 𝔼^{n} の部分集合 A に対して、 A がコンパクトであることと A が有界閉集合であることは同値である。

3 凸集合と凸結合

x, y ∈ 𝔼^{n} に対して

[x, y] = {(1 − λ)x + λy | 0 ≤ λ ≤ 1}

によって閉線分を定め、

[x, y) = {(1 − λ)x + λy | 0 ≤ λ < 1}

によって半開線分を定める。部分集合 A, B ⊂ 𝔼^{n} と λ ∈ ℝ に対して

A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B},
λA = {λa | a ∈ A}

によって A + B と λA を定める。 (−1)A を −A で表し、 A + (−B) を A − B で表す。さらに x ∈ 𝔼^{n} に対して A + {x} を A + x で表す。

定義 3.1 部分集合 A ⊂ 𝔼^{n} が凸であるとは、任意の x, y ∈ A に対して [x, y] ⊂ A が成り立つことである。

補題 3.2 二点を結ぶ線分のアフィン写像による像は、その二点の像を結ぶ線分に一致する。

証明 f : 𝔼^{m} → 𝔼^{n} をアフィン写像とし、 x, y ∈ 𝔼^{m} をとる。 0 ≤ λ ≤ 1 に対して

(1 − λ)f(x) + λf(y) = f((1 − λ)x + λy)

となるので、 [f(x), f(y)] = f([x, y]) が成り立つ。

命題 3.3 凸集合の共通部分は凸になり、凸集合のアフィン写像による像や逆像も凸になる。 A, B が凸ならば A + B も凸になり、 λ ∈ ℝ に対して λA も凸になる。

証明 A_{λ} ⊂ 𝔼^{n} (λ ∈ Λ) を凸とする。任意の x, y ∈ ∩_{λ∈Λ}A_{λ} に対して、各 λ ∈ Λ について x, y ∈ A_{λ} より [x, y] ⊂ A_{λ} が成り立つ。よって、 [x, y] ⊂ ∩_{λ∈Λ}A_{λ} となり、 ∩_{λ∈Λ}A_{λ} も凸になる。

f : 𝔼^{m} → 𝔼^{n} をアフィン写像とし、 A ⊂ 𝔼^{m} を凸集合とする。任意の u, v ∈ f(A) ⊂ 𝔼^{n} をとる。ある x, y ∈ A が存在して u = f(x), v = f(y) が成り立つ。補題 3.2 より [u, v] = [f(x), f(y)] = f([x, y]) ⊂ f(A) となって、 f(A) は凸集合になる。

B ⊂ 𝔼^{n} を凸集合とする。任意の x, y ∈ f^{−1}(B) に対して f(x), f(y) ∈ B が成り立つ。補題 3.2 より f([x, y]) = [f(x), f(y)] ⊂ B となって、 [x, y] ⊂ f^{−1}(B)、すなわち、 f^{−1}(B) は凸集合になる。 A × B ⊂ 𝔼^{n} × 𝔼^{n} = 𝔼^{2n} の任意の二元 (a_{1}, b_{1}), (a_{2}, b_{2}) と 0 ≤ λ ≤ 1 に対して

(1 − λ)(a_{1}, b_{1}) + λ(a_{2}, b_{2}) = ((1 − λ)a_{1} + λa_{2}, (1 − λ)b_{1} + λb_{2})
∈ [a_{1}, a_{2}] × [b_{1}, b_{2}]

となるので、 [(a_{1}, b_{1}), (a_{2}, b_{2})] ⊂ [a_{1}, a_{2}] × [b_{1}, b_{2}] ⊂ A × B となって、 A × B は凸になる。

f : 𝔼^{n} × 𝔼^{n} → 𝔼^{n} ; (x, y) ↦ x + y

によって写像 f を定めると、 f は線形写像になる。特に、 f はアフィン写像になる。 A + B = f(A × B) だから、 A + B も凸になる。

命題 3.4 A ⊂ 𝔼^{n} と λ, μ > 0 に対して、 (λ + μ)A ⊂ λA + μA が成り立つ。 A が凸ならば、 (λ + μ)A = λA + μA が成り立つ。

証明 x ∈ (λ + μ)A に対して x = (λ + μ)a を満たす a ∈ A をとることができる。

x = (λ + μ)a = λa + μa ∈ λA + μA

となるので、 (λ + μ)A ⊂ λA + μA を得る。

A が凸であるとする。 x ∈ λA + μA は a, b ∈ A によって x = λa + μb と表すことができる。 λ, μ > 0 だから

x = (λ + μ) (\frac{λ}{λ + μ}a + \frac{μ}{λ + μ}b) ∈ (λ + μ)A

が成り立つ。したがって (λ + μ)A = λA + μA が成り立つ。

定義 3.5 x_{1}, …, x_{k} ∈ 𝔼^{n} と λ_{1}, …, λ_{k} ∈ ℝ に対して

x = ∑_{i=1}^{k} λ_{i}x_{i} (λ_{i} ≥ 0 (i = 1, …, k)),  ∑_{i=1}^{k} λ_{i} = 1

を x_{1}, …, x_{k} の凸結合と呼ぶ。部分集合 A ⊂ 𝔼^{n} に対して、 A の元の凸結合の全体を convA で表し A の凸包と呼ぶ。

定理 3.6 A ⊂ 𝔼^{n} が凸ならば、 convA = A が成り立つ。任意の部分集合 A ⊂ 𝔼^{n} に対して

convA = ∩{K | K は凸, A ⊂ K}

が成り立つ。任意の部分集合 A, B ⊂ 𝔼^{n} に対して

conv(A + B) = convA + convB

証明 A が凸と仮定する。凸包の定義より A ⊂ convA が成り立つ。逆の包含関係を示すために、 A の k 個の元の凸結合が A に含まれることを k に関する帰納法で示す。 k = 1 の場合は A の元が A に含まれることをであり成り立つ。 k −1 以下の個数の A の元の凸結合が A に含まれると仮定して、 k 個の A の元の凸結合も A に含まれることを示そう。 x_{1}, …, x_{k} ∈ A と λ_{1} +⋯+λ_{k} = 1 を満たす λ_{1}, …, λ_{k} ≥ 0 に関する凸結合 x = λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{k}x_{k} について考える。 λ_{k} = 1 のときは x = x_{k} ∈ A となるので、 λ_{k} < 1 と仮定しても一般性は失われない。

x = (1 − λ_{k}) ∑_{i=1}^{k−1} \frac{λ_{i}}{1 − λ_{k}} x_{i} + λ_{k}x_{k}

となり、

∑_{i=1}^{k−1} \frac{λ_{i}}{1 − λ_{k}} = 1, \frac{λ_{i}}{1 − λ_{k}} ≥ 0

だから帰納法の仮定より

∑_{i=1}^{k−1} \frac{λ_{i}}{1 − λ_{k}} x_{i} ∈ A.

したがって、上の x の表示より x ∈ A が成り立つ。以上より A の元の凸結合は A に含まれることになり convA ⊂ A を得る。したがって、 convA = A が成り立つ。

任意の部分集合 A ⊂ 𝔼^{n} に対して、 convA が凸になることをまず示しておく。任意の x, y ∈ convA は A の元の凸結合

x = ∑_{i=1}^{k} λ_{i}a_{i}, y = ∑_{j=1}^{l} μ_{j}b_{j} (a_{i}, b_{j} ∈ A, λ_{i}, μ_{j} ≥ 0, ∑_{i=1}^{k} λ_{i} = ∑_{j=1}^{l} μ_{j} = 1)

で表され、 0 ≤ λ ≤ 1 に対して

(1 − λ)x + λy = (1 − λ) ∑_{i=1}^{k} λ_{i}a_{i} + λ ∑_{j=1}^{l} μ_{j}b_{j} = ∑_{i=1}^{k}(1 − λ)λ_{i}a_{i} + ∑_{j=1}^{l} λμ_{j}b_{j}

となり、係数は

(1 − λ)λ_{i} ≥ 0, λμ_{j} ≥ 0,

∑_{i=1}^{k}(1 − λ)λ_{i} + ∑_{j=1}^{l} λμ_{j} = (1 − λ) + λ = 1

を満たすので、 (1 − λ)x + λy は A の元の凸結合で表され、 (1 − λ)x + λy ∈ convA が成り立つ。したがって、 convA は凸になる。

D(A) = ∩{K | K は凸, A ⊂ K}

とおく。 A ⊂ convA であり、 convA は凸だから、 D(A) ⊂ convA が成り立つ。次に A ⊂ K を満たす任意の凸集合 K に対して convA ⊂ convK = K となるので、 convA ⊂ D(A) を得る。したがって、

convA = D(A) = ∩{K | K は凸, A ⊂ K}

が成り立つ。 A, B ⊂ 𝔼^{n} とする。任意の x ∈ conv(A + B) は

x = ∑_{i=1}^{k} λ_{i}(a_{i} + b_{i}) (a_{i} ∈ A, b_{i} ∈ B, λ_{i} ≥ 0, ∑_{i=1}^{k} λ_{i} = 1)

と表現できる。よって

x = ∑_{i=1}^{k} λ_{i}a_{i} + ∑_{i=1}^{k} λ_{i}b_{i} ∈ convA + convB

となり conv(A + B) ⊂ convA + convB を得る。逆に任意の x ∈ convA + convB は

x = ∑_{i=1}^{k} λ_{i}a_{i} + ∑_{j=1}^{l} μ_{j}b_{j} (a_{i} ∈ A, b_{j} ∈ B, λ_{i}, μ_{j} ≥ 0, ∑_{i=1}^{k} λ_{i} = ∑_{j=1}^{l} μ_{j} = 1)

と表現できる。このとき

∑_{i=1}^{k} ∑_{j=1}^{l} λ_{i}μ_{j}(a_{i} + b_{j}) = ∑_{i=1}^{k} ∑_{j=1}^{l} λ_{i}μ_{j}a_{i} + ∑_{i=1}^{k} ∑_{j=1}^{l} λ_{i}μ_{j}b_{j}

= ∑_{i=1}^{k} λ_{i}a_{i} + ∑_{j=1}^{l} μ_{j}b_{j} = x

となり

∑_{i=1}^{k} ∑_{j=1}^{l} λ_{i}μ_{j} = ∑_{i=1}^{k} λ_{i} ∑_{j=1}^{l} μ_{j} = 1

かつλ_{i}μ_{j} ≥ 0だから、 xはA+B の元a_{i}+b_{j} の凸結合になる。よってx ∈ conv(A+B) となり convA + convB ⊂ conv(A + B) を得る。以上より

conv(A + B) = convA + convB

が成り立つ。

定義 3.7 有限集合の凸包を多面体と呼ぶ。 k + 1 個のアフィン独立な点の集合の凸包を k 単体と呼び、これら k + 1 個の点をその単体の頂点と呼ぶ。補題 3.8 A ⊂ 𝔼^{n} を凸集合とする。 x ∈ intA と y ∈ clA に対して [x, y) ⊂ intA が成り立つ。

証明 0 < λ < 1 に対して z = (1 − λ)y + λx とおく。 x ∈ intA よりある ρ > 0 が存在し B(x, ρ) ⊂ A が成り立つ。

まず y ∈ A の場合を考える。 B(z, λρ) ⊂ A が成り立つことを以下で示す。 w ∈ B(z, λρ) とすると

w = (w − z) + z = (w − z) + (1 − λ)y + λx

= (1 − λ)y + λ (x + \frac{1}{λ}(w − z))

となり、

|\frac{1}{λ}(w − z)| = \frac{1}{λ}|w − z| ≤ ρ

だから、

x + \frac{1}{λ}(w − z) ∈ B(z, λρ) ⊂ A.

さらにAは凸だから、 w ∈ Aが成り立ちB(z, λρ) ⊂ Aを得る。したがって、 z ∈ intA が成り立ち、 [x, y) ⊂ intA を得る。

次に y ∈ clA の場合を考える。 V = B(y, λρ/(1 − λ)) とおく。 y ∈ clA だから、 A ∩ V は空ではない。そこで a ∈ A ∩ V をとる。

z = (1 − λ)y + λx = (1 − λ)(y + (a − y)) + λx − (1 − λ)(a − y)

= (1 − λ)a + λ (x − \frac{1 − λ}{λ}(a − y))

となり、

|\frac{1 − λ}{λ}(a − y)| = \frac{1 − λ}{λ}|a − y| ≤ ρ

だから、

x − \frac{1 − λ}{λ}(a − y) ∈ B(x, ρ) ⊂ A.

A は凸だから、 z ∈ A が成り立ち [x, y) ⊂ A を得る。さらに [x, y) ⊂ intA が成り立つことを以下で示す。任意の y_{1} ∈ [x, y) に対して、 y_{1} と y の間に y_{2} ∈ [x, y) をとることができ、 [x, y_{1}) ⊂ [x, y_{2}) ⊂ [x, y) ⊂ A となる。 y_{2} ∈ A だから前半で示したことより [x, y_{2}) ⊂ intA が成り立ち、 y_{1} ∈ intA を得る。よって、 [x, y) ⊂ intA が成り立つことがわかる。

補題 3.9 実数 λ_{1}, …, λ_{k} と閉球体 B(x_{1}, ρ_{1}), …, B(x_{k}, ρ_{k}) に対して、次の等式が成り立つ。

∑_{i=1}^{k} λ_{i}B(x_{i}, ρ_{i}) = B (∑_{i=1}^{k} λ_{i}x_{i}, ∑_{i=1}^{k} |λ_{i}|ρ_{i}) .

証明 x ∈ 𝔼^{n} と ρ ≥ 0 に対して

B(x, ρ) = B(0, ρ) + x.

さらに λ ∈ ℝ に対して

λB(x, ρ) = λ(B(0, ρ) + x) = B(0, |λ|ρ) + λx.

これらより、

∑_{i=1}^{k} λ_{i}B(x_{i}, ρ_{i}) = ∑_{i=1}^{k}(B(0, |λ_{i}|ρ_{i}) + λ_{i}x_{i}) = B (0, ∑_{i=1}^{k} |λ_{i}|ρ_{i}) + ∑_{i=1}^{k} λ_{i}x_{i}

= B (∑_{i=1}^{k} λ_{i}x_{i}, ∑_{i=1}^{k} |λ_{i}|ρ_{i}) .

補題 3.10 部分集合 A ⊂ 𝔼^{n} に対して次の等式が成り立つ。

clA = ⋂_{ϵ>0}(A + B(0, ϵ))

証明任意に x ∈ clA をとる。すると任意の ϵ > 0 に対して B(x, ϵ) ∩ A ≠ ∅ となる。そこで y ∈ B(x, ϵ) ∩ A をとると、 x ∈ B(y, ϵ) かつ y ∈ A が成り立つ。これより

x ∈ B(y, ϵ) = y + B(0, ϵ) ⊂ A + B(0, ϵ).

すなわち、任意の ϵ > 0 に対して x ∈ A + B(0, ϵ) が成り立ち、

clA ⊂ ⋂_{ϵ>0}(A + B(0, ϵ))

を得る。逆に任意に x ∈ ⋂_{ϵ>0}(A + B(0, ϵ)) をとる。任意の ϵ > 0 に対して、 x ∈ A + B(0, ϵ)

が成り立つ。これよりある y ∈ A が存在して x ∈ y + B(0, ϵ) = B(y, ϵ) が成り立つ。よって、 y ∈ B(x, ϵ) ∩ A となり、 B(x, ϵ) ∩ A ≠ ∅ を得る。したがって、 x ∈ clA となり

⋂_{ϵ>0}(A + B(0, ϵ)) ⊂ clA

が成り立つ。以上より、補題の等式を得る。

定理 3.11 部分集合 A ⊂ 𝔼^{n} が凸ならば、 intA と clA も凸になる。 A が開集合ならば、 convA も開集合になる。

証明補題 3.8 より x, y ∈ intA に対して [x, y] ⊂ intA となり、 intA は凸になる。補題閉 3.10 より

clA = ⋂_{ϵ>0}(A + B(0, ϵ))

が成り立つ。命題 3.3 と定理 3.6 よりこれは凸になることがわかる。 A が開集合の場合を考える。任意の x ∈ convA をとり、

x = ∑_{i=1}^{k} λ_{i}x_{i} (λ_{i} > 0, ∑_{i=1}^{k} λ_{i} = 1, x_{i} ∈ A)

と表す。 A は開集合だから、各 x_{i} に対して ρ_{i} > 0 が存在して B(x_{i}, ρ_{i}) ⊂ A を満たす。補題 3.9 より、

B (∑_{i=1}^{k} λ_{i}x_{i}, ∑_{i=1}^{k} |λ_{i}|ρ_{i}) = ∑_{i=1}^{k} λ_{i}B(x_{i}, ρ_{i}) ⊂ convA

が成り立つ。したがって、 convA は開集合になる。

定理 3.12 A ⊂ 𝔼^{n} を凸集合とすると、次が成り立つ。

(1) relintA = relint clA,

(2) clA = cl relintA,

(3) relbdA = relbd clA = relbd relintA.

証明定理の主張に現れる作用の結果はすべて affA に含まれるため、 A のアフィン包が 𝔼^{n} に一致する場合を考えれば十分である。このとき intA は空ではなく、 relintA = intA, relbdA = bdA が成り立つ。

(1) A ⊂ clA だから intA ⊂ int clA が成り立つ。逆の包含関係を示すために任意に x ∈ int clA をとる。 x とは異なる y ∈ intA を一つとっておく。 y から x への半直線は x を越えても int clA の元 z を持つ。 z ∈ clA となるので補題 3.8 より [y, z) ⊂ intA が成り立つ。 x ∈ [y, z) だから x ∈ intA となり int clA ⊂ intA を得る。以上より intA = int clA が成り立つ。

(2) intA ⊂ A だから cl intA ⊂ clA が成り立つ。逆の包含関係を示すために任意に x ∈ clA をとる。 x とは異なる y ∈ intA を一つとっておく。補題 3.8 より [y, x) ⊂ intA となるので、 x ∈ cl intA を得る。これより、 clA ⊂ cl intA となり clA = cl intA が成り立つ。

(3) 境界の定義と (1) より

bd clA = cl clA \ int clA = clA \ intA = bdA.

境界の定義と (2) より

bd intA = cl intA \ int intA = clA \ intA = bdA.

定義 3.13 𝔼^{n} 内の空ではないコンパクト凸集合を凸体という。 𝔼^{n} 内の凸体全体の集合を K^{n} で表わす。

4 射影

この節では A ⊂ 𝔼^{n} を閉凸集合とする。

補題 4.1 x ∈ 𝔼^{n} に対して |x − z| ≤ |x − y| (y ∈ A) を満たす z ∈ A がただ一つ存在する。

証明 ρ > 0 を十分大きくとれば B(x, ρ) ∩ A は空ではないコンパクト集合になる。連続関数 B(x, ρ)∩A ∋ y ↦ |x−y| を考えると、最小値をある点 y_{0} ∈ B(x, ρ)∩A でとる。このとき、任意の y ∈ A に対して |x − y_{0}| ≤ |x − y| が成り立つ。 y_{1} ∈ A も任意の y ∈ A に対して |x − y_{1}| ≤ |x − y| を満たすと仮定する。すると y_{0} と y_{1} はどちらも連続関数 A ∋ y ↦ |x − y| の最小値をとる点になり、 |x − y_{0}| = |x − y_{1}| が成り立つ。 z = (y_{0} + y_{1})/2 とおくと、 A は凸だから z ∈ A が成り立つ。 y_{0} ≠ y_{1} ならば、 z は二等辺三角形 xy_{0}y_{1} の底辺の中点になり、 |x − z| < |x − y_{0}| を得る。これは y_{0} の最小性に反する。したがって、上の性質を持つ A の点はただ一つに限る。

定義 4.2 補題 4.1 の z を x の A への射影と呼び、 z = p(A, x) で表す。 x ∈ 𝔼^{n} \ A に対して |x − p(A, x)| = d(A, x) となるので、

u(A, x) = \frac{x − p(A, x)}{d(A, x)}

は単位ベクトルになり p(A, x) から x を向く方向になっている。

R(A, x) = {p(A, x) + λu(A, x) | λ ≥ 0}

によって p(A, x) を始点にする u(A, x) の方向の半直線を表す。

補題 4.3 x ∈ 𝔼^{n} \ A と y ∈ R(A, x) に対して p(A, x) = p(A, y) が成り立つ。

証明 p(A, y) ≠ p(A, x) と仮定して矛盾を導く。 y = p(A, x) ならば y ∈ A となり p(A, y) = y = p(A, x)。したがって、 y ∈ R(A, x) \ {p(A, x)} である。まず y ∈ [x, p(A, x)) の場合を考える。 p(A, y) ≠ p(A, x) ∈ A だから補題 4.1 より

|y − p(A, y)| < |y − p(A, x)|

が成り立つ。これより

|x − p(A, y)| ≤ |x − y| + |y − p(A, y)| < |x − y| + |y − p(A, x)| = |x − p(A, x)|

となり、 p(A, x) の定め方に反する。

次に x ∈ [y, p(A, x)) の場合を考える。線分 [p(A, x), p(A, y)] の点 q を [x, q] が [y, p(A, y)] と平行になるようにとる。すると

\frac{|x − q|}{|x − p(A, x)|} = \frac{|y − p(A, y)|}{|y − p(A, x)|} < 1

となり |x − q| < |x − p(A, x)| が成り立ち、 p(A, x) の定め方に反する。したがって、いずれの場合も矛盾になり p(A, y) = p(A, x) が成り立つ。定理 4.4 射影は 1-Lipschitz 連続写像になる。すなわち次の不等式が成り立つ。

|p(A, x) − p(A, y)| ≤ |x − y| (x, y ∈ 𝔼^{n}).

証明 v = p(A, x) − p(A, y) とおく。 v ≠ 0 の場合を考えればよい。

(∗) ⟨x − p(A, x), v⟩ ≥ 0

が成り立つことを示す。もし ⟨x − p(A, x), v⟩ < 0 とすると、 x ∉ A となる。よって R(A, x) を考えることができる。 ⟨x − p(A, x), v⟩ < 0 という仮定より、 p(A, y) を通り v に直交する超平面と R(A, x) は交わる。その交点を z で表すと z − p(A, y) は v と直交するので、

|z − p(A, y)| = \sqrt{|z − p(A, x)|^{2} − |v|^{2}} < |z − p(A, x)|.

他方 z ∈ R(A, x) だから補題 4.3 より p(A, x) = p(A, z) となり、上の不等式より

|z − p(A, y)| < |z − p(A, z)|

が成り立つ。これは p(A, z) の定め方に反する。以上より不等式 (∗) が成り立つ。 (∗) の x と y を入れ換えると

⟨y − p(A, y), p(A, y) − p(A, x)⟩ ≥ 0

が成り立つ。よって ⟨y − p(A, y), v⟩ ≤ 0 が成り立つ。先に示した不等式 (∗) とこの不等式より、二点 p(A, x), p(A, y) を通る直線へ線分 [x, y] を直交射影すると p(A, x), p(A, y) を含む。したがって

|p(A, x) − p(A, y)| ≤ |x − y|

が成り立つ。

補題 4.5 球面 S の内部に A は含まれていると仮定する。このとき、 p(A, S) = bdA が成り立つ。

証明球面 S の内部に A が含まれていることから p(A, S) ⊂ bdA が成り立つ。そこで以下では bdA ⊂ p(A, S) を示す。 x ∈ bdA をとる。各 i ∈ ℕ に対して |x − x_{i}| < 1/i を満たす A に含まれていない S の内部の点 x_{i} をとることができる。定理 4.4 より次の不等式が成り立つ。

|x − p(A, x_{i})| = |p(A, x) − p(A, x_{i})| ≤ |x − x_{i}| < 1/i.

半直線 R(A, x_{i}) は S と交わるのでその交点を y_{i} で表すと、補題 4.3 より p(A, y_{i}) = p(A, x_{i}) が成り立つ。よって、 |x − p(A, y_{i})| < 1/i が成り立つ。 (y_{i})_{i∈ℕ} はコンパクト集合 S の点列なので、ある点 y ∈ S に収束する部分列 (y_{i_{j}})_{j∈ℕ} が存在する。定理 4.4 より p(A, ·) は連続になることから

x = lim_{j→∞} p(A, y_{i_{j}}) = p(A, lim_{j→∞} y_{i_{j}}) = p(A, y) ∈ p(A, S).

したがって、 bdA ⊂ p(A, S) となり p(A, S) = bdA が成り立つ。

5 支持と分離

𝔼^{n} の超平面は u ∈ 𝔼^{n} \ {0} と α ∈ ℝ に対して

H_{u,α} = {x ∈ 𝔼^{n} | ⟨x, u⟩ = α}

と表される。 H_{u,α} が定める二つの閉半空間を次のように表す。

H_{u,α}^{−} = {x ∈ 𝔼^{n} | ⟨x, u⟩ ≤ α}, H_{u,α}^{+} = {x ∈ 𝔼^{n} | ⟨x, u⟩ ≥ α}.

定義 5.1 超平面 H ⊂ 𝔼^{n} を境界とする二つの閉半空間を H^{+}, H^{−} で表す。部分集合 A ⊂ 𝔼^{n} とする。 x ∈ A について x ∈ A ∩ H が成り立ちかつ A ⊂ H^{+} または A ⊂ H^{−} が成り立つとき、 H は x において A を支持するという。 H が A のある点 x において A を支持するとき、 H は A を支持するという。このとき H を A の支持平面と呼ぶ。 H = H_{u,α} が A を支持し A ⊂ H_{u,α}^{−} となるとき、 H_{u,α}^{−} を A の支持半空間と呼び、 u を H_{u,α} と H_{u,α}^{−} の外向き法ベクトルと呼ぶ。さらに H が x において A を支持するとき、 u を A の x における外向き法ベクトルと呼ぶ。

補題 5.2 A ⊂ 𝔼^{n} を空ではない凸閉集合とし、 x ∈ 𝔼^{n} \ A をとる。このとき、 p(A, x) を通り u(A, x) に直交する超平面は A を支持する。

証明 p(A, x) を通り u(A, x) に直交する超平面を H とする。 p(A, x) ∈ H ∩ A となる。 H を境界にする閉半空間であって x を含まない方を H^{−} とする。以下で A ⊂ H^{−} を示す。もしそうではないとすると、ある y ∈ A が y ∉ H^{−} を満たす。線分 [p(A, x), y] の点で x に最も近い点を z とする。 y ∉ H^{−} より ⟨y, u(A, x)⟩ > ⟨p(A, x), u(A, x)⟩ が成り立つので ⟨y − p(A, x), u(A, x)⟩ > 0 を得る。よって z ≠ p(A, x) となり |x − z| < |x − p(A, x)| が成り立つ。ところが [p(A, x), y] ⊂ A だから z ∈ A となり、これは p(A, x) の定め方に反する。したがって y ∈ A となり A ⊂ H^{−} が成り立ち、 H は A を支持する。

定理 5.3 A ⊂ 𝔼^{n} を閉凸集合とする。 A の各境界点において A を支持する超平面が存在する。 A ≠ ∅ であり有界ならば各 u ∈ 𝔼^{n} \ {0} に対して u を外向き法ベクトルに持ち A を支持する超平面が存在する。

証明任意に x ∈ bdA をとる。まず A が有界の場合を考える。この場合には補題 4.5 を適用することができ、 x = p(A, y) を満たす y ∈ 𝔼^{n} \ A をとることができる。補題 5.2 より x を通り y − x に直交する超平面は x において A を支持する。

次に A が非有界の場合を考える。 A ∩ B(x, 1) は有界閉凸集合になり、 x はその境界点になる。よって上で示したことから x における A ∩ B(x, 1) の支持平面 H が存在する。 H^{−} を x における A ∩ B(x, 1) の支持半空間とする。以下で A ⊂ H^{−} を示す。もしそうではないとすると、 z ∈ A \ H^{−} が存在する。 z, x ∈ A だから [z, x] ⊂ A が成り立つ。 z ∉ H^{−} であり x ∈ H = bdH^{−} だから、 [z, x) は H^{−} の補集合に含まれる。これは

[z, x) ∩ B(x, 1) ⊂ A ∩ B(x, 1) ⊂ H^{−}

に矛盾する。したがって、 A ⊂ H^{−} となり H は x において A を支持する。

定理の後半の主張を示す。 A は有界で u ∈ 𝔼^{n} \ {0} とする。 A はコンパクトだからある x ∈ A が存在し

⟨x, u⟩ = sup{⟨y, u⟩ | y ∈ A}

が成り立つ。この等式より {y ∈ 𝔼^{n} | ⟨y, u⟩ = ⟨x, u⟩} は u を外向き法ベクトルに持ち A を支持する超平面になる。

定義 5.4 A, B ⊂ 𝔼^{n} を部分集合とし、 H_{u,α} ⊂ 𝔼^{n} を超平面とする。 A ⊂ H_{u,α}^{−} かつ B ⊂ H_{u,α}^{+} が成り立つかまたは A ⊂ H_{u,α}^{+} かつ B ⊂ H_{u,α}^{−} が成り立つとき、 H は A と B を分離するという。 A ⊂ intH_{u,α}^{−} かつ B ⊂ intH_{u,α}^{+} が成り立つかまたは A ⊂ intH_{u,α}^{+} かつ B ⊂ intH_{u,α}^{−} が成り立つとき、 H は A と B を真に分離するという。ある ϵ > 0 が存在し、 H_{u,α−ϵ} と H_{u,α+ϵ} がともに A と B を分離するとき、 H は A と B を強く分離するという。さらに部分集合 A と点 x に対する分離に関する用語は、 A と {x} に対する分離に関する用語を意味する。

定理 5.5 A ⊂ 𝔼^{n} を凸集合とし、 x ∈ 𝔼^{n} \ A とする。このとき、 A と x はある超平面によって分離される。さらに A が閉集合ならば、 A と x はある超平面によって強く分離される。

証明 A が閉集合のとき、補題 5.2 より p(A, x) を通り u(A, x) に直交する超平面は A を支持することになり、この超平面は A と x を分離する。この超平面と平行であり線分 [p(A, x), x] の中点 (p(A, x) + x)/2 を通る超平面は A と x を強く分離する。

A が閉集合ではなく x ∉ clA が成り立つならば、上で示したことからある超平面が clA と x を分離するので、この超平面が A と x も分離する。そこで最後に x ∈ clA の場合を考える。 x ∉ A だから x ∈ bdA となる。他方、定理 3.12 より bdA = bd clA が成り立つので、 x ∈ bd clA となる。定理 3.11 より clA は凸になり、定理 5.3 より x を通る clA の支持平面が存在する。この支持平面は clA と x を分離するので、 A と x も分離することになる。

系 5.6 𝔼^{n} 内の空ではない閉凸集合はその支持半空間全体の共通部分に一致する。

証明 A ⊂ 𝔼^{n} を空ではない閉凸集合とし、 A の支持半空間全体の共通部分を S(A) で表す。 A の支持半空間は A を含むので A ⊂ S(A) が成り立つ。 A に含まれない点 x は定理 5.5 より A と強く分離されるので、 x を含まない A の支持半空間が存在する。よって x ∉ S(A) となり A = S(A) を得る。

6 凸関数

凸関数を考えるときには、値域は拡張した実数 ℝ̄ = ℝ ∪ {−∞, ∞} にした方が便利である。 ±∞ を含む演算は次のように約束しておく。 λ ∈ ℝ に対して

∞ + ∞ = λ + ∞ = ∞ + λ = ∞,

− ∞ − ∞ = −λ + (−∞) = λ − ∞ = −∞ + λ = −∞,

λ∞ = ∞λ = \{ \begin{matrix}∞ & (λ > 0), \\ 0 & (λ = 0), \\ −∞ & (λ < 0). \end{matrix}

定義 6.1 関数 f : 𝔼^{n} → ℝ̄ が f^{−1}(−∞) = ∅ と f^{−1}(∞) ≠ 𝔼^{n} を満たし、

f((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f(x) + λf(y) (x, y ∈ 𝔼^{n}, 0 ≤ λ ≤ 1)

となるとき、 f を凸関数と呼ぶ。 D ⊂ 𝔼^{n} で定義された関数 f : D → ℝ̄ は

f̃(x) = \{ \begin{matrix}f(x) & (x ∈ D) \\ ∞ & (x ∈ 𝔼^{n} \ D) \end{matrix}

によって拡張した関数 f̃が凸関数になるとき、 f を凸関数と呼ぶ。 −f が凸関数のとき、 f を凹関数と呼ぶ。

注意 6.2 上の凸関数と凹関数の定義は、漢字の形と関数のグラフの形が逆になっている。ちょっと紛らわしいが、この用語は定着しているようなので、変更するわけにもいかないだろう。

高校の数学 III でも区間で定義された関数の凹凸を扱うが、ここでの用語と若干異なるので比較しておく。この講義での凸関数を数学 III では下に凸という。この講義での凹関数を数学 III では上に凸という。数学 III の教科書では曲線の凹凸に関する節で扱っているが、数学 III に凹という言葉はでてこないようだ。

例 6.3 u ∈ 𝔼^{n} と α ∈ ℝ に対するアフィン関数 f(x) = ⟨u, x⟩ + α は

f((1 − λ)x + λy) = ⟨u, (1 − λ)x + λy⟩ + α
= (1 − λ)(⟨u, x⟩ + α) + λ(⟨u, y⟩ + α)
= (1 − λ)f(x) + λf(y)

を満たすので、凸関数になる。さらに、アフィン関数は凹関数にもなる。

命題 6.4 (Jensen の不等式) f : 𝔼^{n} → ℝ̄ を凸関数とすると、 x_{1}, …, x_{k} ∈ 𝔼^{n} と λ_{1} + ⋯ + λ_{k} = 1 を満たす λ_{1}, …, λ_{k} ∈ [0, 1] に対して

f(λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{k}x_{k}) ≤ λ_{1}f(x_{1}) + ⋯ + λ_{k}f(x_{k})

が成り立つ。この不等式は Jensen の不等式と呼ばれている。

証明 k に関する帰納法で証明する。 k = 1 の場合は λ_{1} = 1 となり、問題の不等式は自明。 k = 2 の場合は凸関数の定義不等式に一致しているので成立する。 k − 1 以下の個数の場合に不等式が成り立っていると仮定して、 k 個の場合も成り立つことを証明する。 λ_{k} = 1 のとき、和は一項だけになり等号が成り立つので、 λ_{k} < 1 と仮定しても一般性は失われない。

f(λ_{1}x_{1} + ⋯ + λ_{k}x_{k}) = f ((1 − λ_{k}) ∑_{i=1}^{k−1} \frac{λ_{i}}{1 − λ_{k}} x_{i} + λ_{k}x_{k})

≤ (1 − λ_{k})f (∑_{i=1}^{k−1} \frac{λ_{i}}{1 − λ_{k}} x_{i}) + λ_{k}f(x_{k})

≤ (1 − λ_{k}) ∑_{i=1}^{k−1} \frac{λ_{i}}{1 − λ_{k}} f(x_{i}) + λ_{k}f(x_{k})

= λ_{1}f(x_{1}) + ⋯ + λ_{k}f(x_{k}).

定義 6.5 f : 𝔼^{n} → ℝ̄ を凸関数とする。

domf = f^{−1}((−∞, ∞))

によって f の有効定義域 domf を定める。

epif = {(x, ζ) ∈ 𝔼^{n} × ℝ | f(x) ≤ ζ}

によって f のエピグラフ epif を定める。空ではない凸集合 A ⊂ 𝔼^{n} に対して、

I_{A}(x) = \{ \begin{matrix}0 & (x ∈ A) \\ ∞ & (x ∈ 𝔼^{n} \ A) \end{matrix}

によって A の表示関数 I_{A} を定める。

命題 6.6 f : 𝔼^{n} → ℝ̄ を凸関数とすると、 f の有効定義域 domf、 α ∈ ℝ に対する f^{−1}((−∞, α))、 f^{−1}((−∞, α])、エピグラフ epif は凸集合になる。さらに空ではない凸集合 A ⊂ 𝔼^{n} の表示関数 I_{A} は凸関数になる。

証明 x, y ∈ domf と 0 ≤ λ ≤ 1 に対して

f((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f(x) + λf(y) < ∞

となり (1 − λ)x + λy ∈ domf が成り立つ。よって、 domf は凸集合になる。 x, y ∈ f^{−1}((−∞, α)) と 0 ≤ λ ≤ 1 に対して

f((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f(x) + λf(y) < (1 − λ)α + λα = α

となり (1 − λ)x + λy ∈ f^{−1}((−∞, α)) が成り立つ。よって、 f^{−1}((−∞, α)) は凸集合になる。 f^{−1}((−∞, α]) の場合も同様に凸集合になることがわかる。

(x, ζ), (y, η) ∈ epif と 0 ≤ λ ≤ 1 に対して

(1 − λ)(x, ζ) + λ(y, η) = ((1 − λ)x + λy, (1 − λ)ζ + λη)

であり、

f((1 − λ)x + λy) ≤ (1 − λ)f(x) + λf(y) ≤ (1 − λ)ζ + λη

となるので、 (1 − λ)(x, ζ) + λ(y, η) ∈ epif が成り立つ。よって、 epif は凸集合になる。

凸集合 A ⊂ 𝔼^{n} の表示関数 I_{A} が凸関数になることを示す。 0 ≤ λ ≤ 1 とする。 x, y ∈ A のとき (1 − λ)x + λy ∈ A となるので、

I_{A}((1 − λ)x + λy) = 0 = (1 − λ)I_{A}(x) + λI_{A}(y).

x ∈ A と y ∈ 𝔼^{n} \ A に対して 0 < λ のとき

(1 − λ)I_{A}(x) + λI_{A}(y) = ∞ ≥ I_{A}((1 − λ)x + λy).

λ = 0 のとき

(1 − λ)I_{A}(x) + λI_{A}(y) = I_{A}(x) = I_{A}((1 − λ)x + λy).

x, y ∈ 𝔼^{n} \ A に対して

(1 − λ)I_{A}(x) + λI_{A}(y) = ∞ ≥ I_{A}((1 − λ)x + λy).

したがって、 I_{A} は凸関数になる。

定理 6.7 凸関数 f : 𝔼^{n} → ℝ̄ は int domf において連続になる。さらに、 int domf 内の任意のコンパクト部分集合において f は Lipschitz 連続になる。

証明 x_{0} ∈ int domf において f が連続になることを示す。 x_{0} ∈ intS ⊂ S ⊂ int domf を満たす単体 S をとる。 x_{0} ∈ intS だから B(x_{0}, ρ) ⊂ S を満たす ρ > 0 が存在する。 S の頂点を x_{1}, …, x_{n+1} とすると、任意の x ∈ S は

x = ∑_{i=1}^{n+1} λ_{i}x_{i} (λ_{i} ≥ 0, ∑_{i=1}^{n+1} λ_{i} = 1)

と表示できる。 c = max{f(x_{1}), …, f(x_{n+1})} とおくと、この表示と Jensen の不等式 (命題 6.4) より

f(x) ≤ ∑_{i=1}^{n+1} λ_{i}f(x_{i}) ≤ c.

B(x_{0}, ρ) の任意の元 y は α ∈ [0, 1] と |u| = ρ を満たす u によって y = x_{0} +αu と表わすことができる。 y を x_{0} と x_{0} + u の凸結合で表わすと y = (1 − α)x_{0} + α(x_{0} + u) となり、

f(y) ≤ (1 − α)f(x_{0}) + αf(x_{0} + u)

が成り立つ。 x_{0} + u ∈ S であり 0 ≤ α だから

f(y) − f(x_{0}) ≤ α(f(x_{0} + u) − f(x_{0})) ≤ α(c − f(x_{0})).

次に x_{0} を y と x_{0} − u の凸結合で表わすために、 x_{0} = (1 − λ)y + λ(x_{0} − u) とおく。

x_{0} = (1 − λ)(x_{0} + αu) + λ(x_{0} − u)
= (1 − λ)x_{0} + (1 − λ)αu + λx_{0} − λu
= x_{0} + (α − λα − λ)u
= x_{0} + (α − λ(1 + α))u

となるので、 λ = α/(1 + α) となる。したがって、

x_{0} = \frac{1}{1 + α}y + \frac{α}{1 + α}(x_{0} − u)

が成り立つ。これより

f(x_{0}) ≤ \frac{1}{1 + α}f(y) + \frac{α}{1 + α}f(x_{0} − u)

となり 1 + α を両辺にかけると

(1 + α)f(x_{0}) ≤ f(y) + αf(x_{0} − u).

これより

f(x_{0}) − f(y) ≤ α(f(x_{0} − u) − f(x_{0})) ≤ α(c − f(x_{0})).

先に得た不等式とあわせると

|f(y) − f(x_{0})| ≤ α(c − f(x_{0})).

さらに |y − x_{0}| = |αu| = αρ だから α = |y − x_{0}|/ρ となり、

|f(y) − f(x_{0})| ≤ \frac{1}{ρ}(c − f(x_{0}))|y − x_{0}| (y ∈ B(x_{0}, ρ))

を得る。これより、 f は x_{0} において連続になり、 f は int domf において連続になることがわかる。

コンパクト部分集合 C ⊂ int domf において f が Lipschitz 連続になることを示す。 C がコンパクトであることから、ある ρ > 0 が存在し C_{ρ} = C + B(0, ρ) ⊂ int domf が成り立つ。 C_{ρ} もコンパクトになるので、 f は C_{ρ} 上で最大値 a をとる。 x, y ∈ C (x ≠ y) に対して

z = y + \frac{ρ}{|y − x|}(y − x)

とおくと z ∈ C_{ρ} が成り立つ。 y を x と z の凸結合 y = (1 − λ)x + λz で表わすと、

y = (1 − λ)x + λ (y + \frac{ρ}{|y − x|}(y − x))

= (1 − λ)x + λ (\frac{|y − x| + ρ}{|y − x|}y − \frac{ρ}{|y − x|}x)

= \frac{(1 − λ)|y − x| − λ}{|y − x|}x + λ\frac{|y − x| + ρ}{|y − x|}y

= \frac{|y − x| − λ(|y − x| + ρ)}{|y − x|}x + λ\frac{|y − x| + ρ}{|y − x|}y.

したがって、

λ = \frac{|y − x|}{|y − x| + ρ}

が成り立つ。 y = (1 − λ)x + λz より

f(y) ≤ (1 − λ)f(x) + λf(z)

となり

f(y) − f(x) ≤ λ(f(z) − f(x)) = \frac{|y − x|}{|y − x| + ρ}(f(z) − f(x))

≤ \frac{|y − x|}{|y − x| + ρ}2a ≤ \frac{2a}{ρ}|y − x|

を得る。これは x = y の場合も成り立つ。よって任意の x, y ∈ C について上の不等式が成り立つことになり、

|f(y) − f(x)| ≤ \frac{2a}{ρ}|y − x|

を得る。したがって、 C において f は Lipschitz 連続になる。

7 支持関数

定義 7.1 空ではない閉凸集合 K ⊂ 𝔼^{n} に対して、 K の支持関数 h(K, ·) = h_{K} を

h(K, u) = sup{⟨x, u⟩ | x ∈ K} (u ∈ 𝔼^{n})

によって定める。 u ∈ domh(K, ·) \ {0} に対して

H(K, u) = {x ∈ 𝔼^{n} | ⟨x, u⟩ = h(K, u)},
H^{−}(K, u) = {x ∈ 𝔼^{n} | ⟨x, u⟩ ≤ h(K, u)}

とおくと、 H(K, u) は K の支持平面になり H^{−}(K, u) は K の支持半空間になる。

命題 7.2 K ⊂ 𝔼^{n} を空ではない閉凸集合とする。

h(K + t, u) = h(K, u) + ⟨t, u⟩  (t, u ∈ 𝔼^{n}),
h(K, λu) = h(λK, u) = λh(K, u)  (λ ≥ 0, u ∈ 𝔼^{n}),
h(K, u + v) ≤ h(K, u) + h(K, v)  (u, v ∈ 𝔼^{n})

が成り立つ。特に K ≠ 𝔼^{n} ならば h(K, ·) は凸関数になり、 int domh_{K} において連続になる。 L ⊂ 𝔼^{n} も空ではない凸集合とする。 h_{K} ≤ h_{L} となるための必要十分条件は K ⊂ L である。

証明支持関数の定義より、

h(K + t, u) = sup{⟨x + t, u⟩ | x ∈ K}
= sup{⟨x, u⟩ + ⟨t, u⟩ | x ∈ K}
= h(K, u) + ⟨t, u⟩,
h(K, λu) = sup{⟨x, λu⟩ | x ∈ K}
= sup{λ⟨x, u⟩ | x ∈ K}
= λh(K, u),
h(λK, u) = sup{⟨λx, u⟩ | x ∈ K}
= sup{λ⟨x, u⟩ | x ∈ K}
= λh(K, u),
h(K, u + v) = sup{⟨x, u + v⟩ | x ∈ K}
= sup{⟨x, u⟩ + ⟨x, v⟩ | x ∈ K}
≤ sup{⟨x, u⟩ | x ∈ K} + sup{⟨x, v⟩ | x ∈ K}
= h(K, u) + h(K, v).

これらより 0 ≤ λ ≤ 1 に対して

h(K, (1 − λ)u + λv) ≤ h(K, (1 − λ)u) + h(K, λv) = (1 − λ)h(K, u) + λh(K, v)

となるので、 h(K, ·) は凸関数になる。定理 6.7 より h(K, ·) は int domh_{K} において連続になる。 K ⊂ L とすると

h_{K}(u) = sup{⟨x, u⟩ | x ∈ K} ≤ sup{⟨x, u⟩ | x ∈ L} = h_{L}(u)

が成り立つ。逆に任意の u ∈ 𝔼^{n} について h_{K}(u) ≤ h_{L}(u) が成り立つと仮定する。すると K の任意の支持半空間は L の同じ外向き法ベクトルを持つ支持半空間に含まれることになり、系 5.6 より凸閉集合は支持半空間全体の共通部分に一致するので、 K ⊂ L が成り立つ。

定義 7.3 K, L ∈ K^{n} に対して、命題 3.3 とコンパクト性の性質より、 K + L ∈ K^{n} が成り立つ。これを Minkowski 和と呼ぶ。 K^{n} 上定義された可換半群に値を持つ関数 f が

f(K + L) = f(K) + f(L) (K, L ∈ K^{n})

を満たすとき、 f を Minkowski 加法的という。

定理 7.4 K, L ∈ K^{n} に対して次の等式が成り立つ。

h(K + L, ·) = h(K, ·) + h(L, ·).

証明原点 0 での値は両辺とも 0 になるので、 𝔼^{n} \ {0} で考えればよい。 K, L はコンパクトだから、 u ∈ 𝔼^{n} \{0} に対して、ある x ∈ K が存在して h(K, u) = ⟨x, u⟩ となり、ある y ∈ L が存在して h(L, u) = ⟨y, u⟩ となる。よって

h(K, u) + h(L, u) = ⟨x + y, u⟩ ≤ h(K + L, u)

を得る。次に z ∈ K + L をとると z = x′ + y′ となる x′ ∈ K と y′ ∈ L が存在する。

⟨z, u⟩ = ⟨x′, u⟩ + ⟨y′, u⟩ ≤ h(K, u) + h(L, u)

となるので h(K + L, u) ≤ h(K, u) + h(L, u) を得る。以上より次の等式を得る。

h(K + L, u) = h(K, u) + h(L, u) (u ∈ 𝔼^{n}).

系 7.5 (K^{n}, +) は {0} を単位元とする可換半群になり、 K, L, M ∈ K^{n} と λ, μ ≥ 0 に対して次の性質を持つ。

(1) K + M = L + M ならば、 K = L,

(2) λ(K + L) = λK + λL,

(3) (λ + μ)K = λK + μK,

(4) λ(μK) = (λμ)K,

(5) 1K = K.

証明 (1) K + M = L + M より

h(K, ·) + h(M, ·) = h(K + M, ·) = h(L + M, ·) = h(L, ·) + h(M, ·)

となり h(K, ·) = h(L, ·) が成り立つ。これより K と L の支持半空間はすべての方向で一致することになり、系 5.6 より K = L を得る。

(2)、 (4)、 (5) 定義より直接わかる。

(3) 命題 7.2 と (1) より

h((λ + μ)K, ·) = (λ + μ)h(K, ·) = λh(K, ·) + μh(K, ·) = h(λK, ·) + h(μK, ·)
= h(λK + μK, ·)

となり (λ + μ)K = λK + μK を得る。

8 Hausdorff 距離

定義 8.1 𝔼^{n} 内の空ではないコンパクト部分集合の全体を C^{n} で表わす。 K, L ∈ C^{n} に対して

δ(K, L) = max{sup{d(x, L) | x ∈ K}, sup{d(x, K) | x ∈ L}}

によって Hausdorff 距離を定める。

命題 8.2 K, L ∈ C^{n} に対して

δ(K, L) = min{λ ≥ 0 | K ⊂ L + λB^{n}, L ⊂ K + λB^{n}}

が成り立つ。さらに、 δ は C^{n} の距離になる。

証明 α = min{λ ≥ 0 | K ⊂ L + λB^{n}, L ⊂ K + λB^{n}} とおく。すると任意の x ∈ K に対して x ∈ L + αB^{n} となり、ある y ∈ L と b ∈ B^{n} によって x = y + αb と表わすことができる。 |x − y| = |αb| ≤ α となり、 d(x, L) ≤ α が成り立つ。 x ∈ K は任意なので

sup{d(x, L) | x ∈ K} ≤ α.

L と K を入れ換えることにより sup{d(x, K) | x ∈ L} ≤ α. したがって、 δ(K, L) ≤ α が成り立つ。次に 0 < λ < α となる λ を任意にとる。すると K ⊄ L + λB^{n} または L ⊄ K + λB^{n} が成り立つ。そこで K ⊄ L + λB^{n} とすると、ある x ∈ K は x ∉ L + λB^{n} を満たす。これより任意の y ∈ L に対して |x − y| > λ が成り立つ。よって d(x, L) ≥ λ となり δ(K, L) ≥ λ を得る。 L ⊄ K + λB^{n} の場合も同様にして δ(K, L) ≥ λ を得る。 0 < λ < α となる λ に対して δ(K, L) ≥ λ が成り立つことになり、 δ(K, L) ≥ α が成り立つ。以上より δ(K, L) = α を得る。次に δ が距離になることを示す。任意の K, L ∈ C^{n} に対して

δ(K, L) = δ(L, K) ≥ 0

が成り立つことは定義より直接わかる。

x ∈ K に対して d(x, K) = 0 が成り立つので δ(K, K) = 0 となる。逆に δ(K, L) = 0 が成り立つと仮定する。任意の x ∈ K に対して d(x, L) = 0 となるので x ∈ L が成り立つ。同様に x ∈ L に対して d(x, K) = 0 となるので x ∈ K が成り立つ。したがって、 K = L を得る。

最後に三角不等式を示す。 K, L, M ∈ C^{n} をとる。 δ(K, L) = α, δ(L, M) = β とおく。このとき、 K ⊂ L + αB^{n} と L ⊂ M + βB^{n} が成り立つ。さらに

K ⊂ M + αB^{n} + βB^{n} = M + (α + β)B^{n}

となるので、

δ(K, M) ≤ α + β = δ(K, L) + δ(L, M).

補題 8.3 (K_{i})_{i∈ℕ}をC^{n} の単調減少列とする。すなわち任意のi ∈ ℕに対してK_{i+1} ⊂ K_{i} が成り立つと仮定する。このとき、 C^{n} の Hausdorff 距離に関する極限は (K_{i})_{i∈ℕ} の共通部分に一致する。

証明 K = ⋂_{i=1}^{∞} K_{i} とおく。コンパクト集合の性質より K はコンパクトになり、

空ではない。 lim_{i→∞} K_{i} ≠ K と仮定すると、ある ϵ > 0 が存在して任意の m ∈ ℕ に対して δ(K_{m}, K) > ϵ が成り立つ。よって K_{m} ⊄ K + ϵB^{n} となる。そこで、 A_{m} = K_{m} \int(K +ϵB^{n}) とおくと、 A_{m} は単調減少になり空ではないコンパクト集

合になる。よって A = ⋂_{m=1}^{∞} A_{m} は空ではないコンパクト集合になる。任意の m ∈ ℕ

について A_{m} ∩ int(K + ϵB^{n}) = ∅ となり A ∩ int(K + ϵB^{n}) = ∅、さらに A ∩ K = ∅ が成り立つ。他方、 A_{m} ⊂ K_{m} だから A ⊂ K となり A ≠ ∅ だから矛盾する。以上より lim_{i→∞} K_{i} = K が成り立つ。

定理 8.4 距離空間 (C^{n}, δ) は完備になる。

証明 (K_{i})_{i∈ℕ}をC^{n} のCauchy列とする。 (K_{i})_{i∈ℕ}は有界列になる。したがって、ある R > 0 が存在し δ(K_{1}, K_{i}) ≤ R が成り立つ。これより K_{i} ⊂ K_{1}+RB^{n} がすべての

i ∈ ℕ について成り立つ。特に ⋃_{i=1}^{∞} K_{i} は有界集合になる。よって A_{m} = cl ( ⋃_{i=m}^{∞} K_{i})

は C^{n} の単調減少列になる。補題 8.3 より lim_{m→∞} A_{m} = A := ⋂_{m=1}^{∞} A_{m} が成り立つ。つ

まり、任意の ϵ > 0 に対してある n_{0} ∈ ℕ が存在し m ≥ n_{0} ならば δ(A, A_{m}) ≤ ϵ が成り立つ。これより、 A_{m} ⊂ A + ϵB^{n} となる。よって i ≥ n_{0} ならば K_{i} ⊂ A + ϵB^{n} となる。 (K_{i})_{i∈ℕ} が Cauchy 列であることからある n_{1} ≥ n_{0} が存在し i, j ≥ n_{1} なら

ば K_{j} ⊂ K_{i} + ϵB^{n} が成り立つ。これより i, m ≥ n_{1} ならば ⋃_{j=m}^{∞} K_{j} ⊂ K_{i} + ϵB^{n} と

なる。 K_{i} + ϵB^{n} は閉集合だから左辺の閉包をとると、 A_{m} ⊂ K_{i} + ϵB^{n} も成り立つ。 A の定め方より、 i ≥ n_{1} ならば A ⊂ K_{i} + ϵB^{n} となる。以上より i ≥ n_{1} ならば δ(K_{i}, A) ≤ ϵ が成り立つ。したがって、 K_{i} は A に収束し (C^{n}, δ) は完備になる。

定理 8.5 C^{n} の有界列は収束部分列を含む。

証明 (K_{i}^{0})_{i∈ℕ} を C^{n} の有界列とする。 ∪_{i}K_{i}^{0} は有界になるので、 𝔼^{n} 内のある立方体 C に含まれる。この立方体の一辺の長さを γ とする。各 m ∈ ℕ について C の一辺を 2^{m} 等分し C を辺の長さが 2^{−m}γ の部分立方体 2^{mn} 個に分割する。 K ∈ C^{n} に対して K と共通部分を持つ部分立方体の合併を A_{m}(K) で表わす。部分立方体の個数は有限個なので、部分立方体の部分集合の個数も有限個になる。したがって、 (K_{i}^{0})_{i∈ℕ} のある部分列 (K_{i}^{1})_{i∈ℕ} が存在し A_{1}(K_{i}^{1}) = T_{1} は i ∈ ℕ に依存せず一定になる。同様に (K_{i}^{1})_{i∈ℕ} のある部分列 (K_{i}^{2})_{i∈ℕ} が存在し A_{2}(K_{i}^{2}) = T_{2} は i ∈ ℕ に依存せず一定になる。この操作を続けることにより、各 m ∈ ℕ に対して列 (K_{i}^{m})_{i∈ℕ} が存在し

(∗) A_{m}(K_{i}^{m}) = T_{m} (i ∈ ℕ)

と

(∗∗) k < m に対して (K_{i}^{m})_{i∈ℕ} は (K_{i}^{k})_{i∈ℕ} の部分列

を満たす。 (∗) より任意の i, j ∈ ℕ について A_{m}(K_{i}^{m}) = A_{m}(K_{j}^{m}) = T_{m} が成り立つので、 T_{m} を構成する各部分立方体には K_{i}^{m} の元と K_{j}^{m} の元がともに存在し、 K_{i}^{m} ⊂ K_{j}^{m} + 2^{−m}\sqrt{nγ}B^{n} が成り立つ。よって任意の i, j, m ∈ ℕ について δ(K_{i}^{m}, K_{j}^{m}) ≤ 2^{−m}\sqrt{nγ} となる。さらに (∗∗) より任意の i, j ∈ ℕ と k ≥ m について δ(K_{i}^{m}, K_{j}^{k}) ≤ 2^{−m}\sqrt{nγ} が成り立つ。そこで、 K_{m} = K_{m}^{m} とおくと (K_{m})_{m∈ℕ} は (K_{i}^{0})_{i∈ℕ} の部分列になり、

δ(K_{m}, K_{k}) ≤ 2^{−m}\sqrt{nγ} (k ≥ m).

したがって、 (K_{m})_{m∈ℕ} は Cauchy 列になり、定理 8.4 より収束列になる。

定理 8.6 K^{n} は C^{n} の閉部分集合になる。特に (K^{n}, δ) も完備距離空間になる。

証明 C^{n} \K^{n} が開集合になることを示す。 K ∈ C^{n} \K^{n} をとる。 K は凸ではないのである x, y ∈ K と 0 < λ < 1 が存在し z = (1 − λ)x + λy ∉ K となる。さらに K はコンパクトだからある ϵ > 0 が存在し B(z, ϵ)∩K = ∅ が成り立つ。そこで C^{n} 内の K の ϵ/2 近傍の元 K′ を任意にとる。つまり、 K′ ∈ C^{n} かつ δ(K, K′) < ϵ/2 とする。 x, y ∈ K だから d(x, K′) < ϵ/2, d(y, K′) < ϵ/2 となり、 |x′−x| < ϵ/2, |y′−y| < ϵ/2 を満たす x′, y′ ∈ K′ が存在する。 z′ = (1 − λ)x′ + λy′ とおくと

|z′ − z| = |(1 − λ)(x′ − x) + λ(y′ − y)| ≤ (1 − λ)|x′ − x| + λ|y′ − y| < ϵ/2.

もし z′ ∈ K′ ならば δ(K, K′) < ϵ/2 より |w − z′| < ϵ/2 を満たす w ∈ K が存在する。ところが、これより |w − z| ≤ |w − z′| + |z′ − w| < ϵ となり B(z, ϵ) ∩ K = ∅ に矛盾する。よって、 z′ ∉ K′ となり K′ も凸ではない。以上より K の ϵ/2 近傍は C^{n} \ K^{n} に含まれることになり、 C^{n} \ K^{n} は開集合になる。したがって、 K^{n} は C^{n} の閉部分集合になる。定理 8.4 より C^{n} は完備なので、 K^{n} も完備になる。

系 8.7 𝔼^{n} 内の凸体の有界列は凸体に収束する部分列を持つ。

証明定理 8.5 より凸体の有界列は収束部分列を持つ。定理 8.6 より K^{n} は C^{n} 内で閉部分集合なので、この収束列の極限は K^{n} の元になり凸体になる。

定理 8.8 K_{i}, K ∈ K^{n} とする。 lim_{i→∞} K_{i} = K が成り立つための必要十分条件は次の (1) と (2) が成り立つことである。

(1) K の各点は任意の i ∈ ℕ について x_{i} ∈ K_{i} となる点列 (x_{i})_{i∈ℕ} の極限になる。

(2) 各 j ∈ ℕ について x_{i_{j}} ∈ K_{i_{j}} を満たす狭義単調増加自然数列 (i_{j})_{j∈ℕ} と収束列 (x_{i_{j}})_{j∈ℕ} に対して (x_{i_{j}})_{j∈ℕ} の極限は K に含まれる。

証明まず lim_{i→∞} K_{i} = K が成り立つと仮定する。 lim_{i→∞} δ(K, K_{i}) = 0 となることに注意しておく。 K の任意の元 x をとる。 x_{i} = p(K_{i}, x) とおくと、 x_{i} ∈ K_{i} となり |x − x_{i}| = d(x, K_{i}) ≤ δ(K, K_{i}) だから、 x_{i} は i → ∞ のとき x に収束する。よって (1) が成り立つ。次に各 j ∈ ℕ について x_{i_{j}} ∈ K_{i_{j}} を満たす狭義単調増加自然数列 (i_{j})_{j∈ℕ} と収束列 (x_{i_{j}})_{j∈ℕ} に対して、 x = lim_{j→∞} x_{i_{j}} ∉ K と仮定する。 K はコンパクトだからある ρ > 0 が存在し B(x, ρ) ∩ (K + ρB^{n}) = ∅ が成り立つ。 x = lim_{j→∞} x_{i_{j}} より十分大きな j に対して |x_{i_{j}} − x| < ρ となる。また lim_{i→∞} δ(K, K_{i}) = 0 より十分大きな j に対して δ(K_{i_{j}}, K) < ρ となる。これより x_{i_{j}} ∈ K_{i_{j}} ⊂ K + ρB^{n} となり x_{i_{j}} ∈ B(x, ρ) ∩ (K + ρB^{n}) が成り立つ。これは上の結論と矛盾するので、 x ∈ K が成り立つ。よって (2) が成り立つ。

逆に (1) と (2) が成り立つと仮定する。任意の ϵ > 0 に対して

(∗)  十分大きな i について K ⊂ K_{i} + ϵB^{n}
(∗∗)  十分大きな i について K_{i} ⊂ K + ϵB^{n}

が成り立つことを示せば lim_{i→∞} K_{i} = K を証明できる。もし (∗) が成り立たないとすると、狭義単調増加自然数列 (k_{j}) が存在し K ⊄ K_{k_{j}} + ϵB^{n} が成り立つ。これより y_{k_{j}} ∈ K と y_{k_{j}} ∉ (K_{k_{j}} + ϵB^{n}) を満たす点列 y_{k_{j}} をとることができる。この y_{k_{j}} は d(y_{k_{j}}, K_{k_{j}}) ≥ ϵ を満たす。 K はコンパクトだから (y_{k_{j}}) は収束部分列 y_{i_{j}} を持つ。 y_{i_{j}} の i → ∞ のときの極限を y とすると y ∈ K が成り立つ。この y に (1) を適用すると点列 x_{i} ∈ K_{i} が存在し x_{i} の i → ∞ のときの極限は y になる。点列 y_{i_{j}} と x_{i_{j}} はともに j → ∞ のとき y に収束するので |x_{i_{j}} − y_{i_{j}}| → 0 となる。ところが、これは x_{i_{j}} ∈ K_{i_{j}} かつ d(y_{k_{j}}, K_{k_{j}}) ≥ ϵ に矛盾する。したがって、 (∗) が成り立つ。

次にもし (∗∗) が成り立たないとすると、狭義単調増加自然数列 (i_{j}) が存在し K_{i_{j}} ⊄ K + ϵB^{n} が成り立つ。これより y_{i_{j}} ∈ K_{i_{j}} と y_{i_{j}} ∉ K + ϵB^{n} を満たす点列 y_{i_{j}} をとることができる。他方 (1) より K の元は K_{i} の元の極限になるので、十分大きな j について x_{i_{j}} ∈ K_{i_{j}} かつ x_{i_{j}} ∈ K + ϵB^{n} を満たす点列 x_{i_{j}} が存在する。

x_{i_{j}}, y_{i_{j}} ∈ K_{i_{j}}, x_{i_{j}} ∈ K + ϵB^{n}, y_{i_{j}} ∉ K + ϵB^{n}

より x_{i_{j}} と y_{i_{j}} を結ぶ線分上に z_{i_{j}} ∈ K_{i_{j}} ∩ bd(K + ϵB^{n}) を満たす点 z_{i_{j}} が存在する。 bd(K + ϵB^{n}) はコンパクトだから、点列 z_{i_{j}} は収束部分列を持ちその極限は bd(K + ϵB^{n}) に含まれる。ところが、 (2) よりこの極限は K に含まれることになり矛盾する。したがって、 (∗∗) が成り立つ。

命題 8.9 K, L ∈ C^{n} に対して

δ(convK, convL) ≤ δ(K, L)

が成り立つ。特に凸包をとる写像

conv : C^{n} → K^{n} ; K ↦ convK

は Lipschitz 連続になる。 K, K′, L, L′ ∈ C^{n} に対して

δ(K + K′, L + L′) ≤ δ(K, L) + δ(K′, L′),
δ(K ∪ K′, L ∪ L′) ≤ max{δ(K, L), δ(K′, L′)}

が成り立つ。特に和と合併をとる写像

+ : C^{n} × C^{n} → C^{n} ; (K, K′) ↦ K + K′,
∪ : C^{n} × C^{n} → C^{n} ; (K, K′) ↦ K ∪ K′

は C^{n} × C^{n} の和の距離と最大値の距離のどちらに対しても Lipschitz 連続になる。

証明 K ⊂ L + λB^{n} とすると、

K ⊂ L + λB^{n} ⊂ convL + λB^{n}.

定理 3.6 より convL + λB^{n} は凸になり convK ⊂ convL + λB^{n} が成り立つ。同様に L ⊂ K + λB^{n} ならば convL ⊂ convK + λB^{n} が成り立つことがわかる。これらより δ(convK, convL) ≤ λ となり、 δ(convK, convL) ≤ δ(K, L) を得る。

K ⊂ L + λB^{n} と K′ ⊂ L′ + μB^{n} が成り立つと仮定すると、

K + K′ ⊂ L + L′ + λB^{n} + μB^{n} = (L + L′) + (λ + μ)B^{n},
K ∪ K′ ⊂ (L + λB^{n}) ∪ (L′ + μB^{n}) ⊂ (L ∪ L′) + max{λ, μ}B^{n}

がわかる。同様に L ⊂ K + λB^{n} と L′ ⊂ K′ + μB^{n} が成り立つと仮定すると、

L + L′ ⊂ (K + K′) + (λ + μ)B^{n}, L ∪ L′ ⊂ (K ∪ K′) + max{λ, μ}B^{n}

がわかる。これらより

δ(K + K′, L + L′) ≤ λ + μ, δ(K ∪ K′, L ∪ L′) ≤ max{λ, μ}

となり

δ(K + K′, L + L′) ≤ δ(K, L) + δ(K′, L′),
δ(K ∪ K′, L ∪ L′) ≤ max{δ(K, L), δ(K′, L′)}

を得る。

定理 8.10 K, L ∈ K^{n} に対して次の等式が成り立つ。

δ(K, L) = sup{|h(K, u) − h(L, u)| | u ∈ S^{n−1}}.

証明 δ(K, L) ≤ α とする。 Hausdorff 距離の定義より K ⊂ L + αB^{n} が成り立つ。これと命題 7.2 より任意の u ∈ S^{n−1} に対して

h(K, u) ≤ h(L + αB^{n}, u) = h(L, u) + α

となるので、 h(K, u) − h(L, u) ≤ α を得る。 δ(K, L) ≤ α より L ⊂ K + αB^{n} も成り立つので、 h(K, u) − h(L, u) ≤ α も得る。したがって、 δ(K, L) ≤ α ならば

sup{|h(K, u) − h(L, u)| | u ∈ S^{n−1}} ≤ α

となり

sup{|h(K, u) − h(L, u)| | u ∈ S^{n−1}} ≤ δ(K, L)

が成り立つ。

逆に

sup{|h(K, u) − h(L, u)| | u ∈ S^{n−1}} ≤ α

とすると、任意の u ∈ S^{n−1} に対して |h(K, u) − h(L, u)| ≤ α となる。 h(K, u) − h(L, u) ≤ α となるので、

h(K, u) ≤ h(L, u) + α = h(L + αB^{n}, u).

よって、命題 7.2 より K ⊂ L + αB^{n} を得る。 h(L, u) − h(K, u) ≤ α も成り立つので L ⊂ K + αB^{n} も得る。したがって δ(K, L) ≤ α となり

δ(K, L) ≤ sup{|h(K, u) − h(L, u)| | u ∈ S^{n−1}}

が成り立つ。以上より

δ(K, L) = sup{|h(K, u) − h(L, u)| | u ∈ S^{n−1}}

が成り立つ。補題 8.11 K_{1}, K_{2} ∈ K^{n} とし、 K_{2} ⊂ intK_{1} と仮定する。このとき、ある η > 0 が存在し δ(K_{1}, K) < η を満たす任意の K ∈ K^{n} に対して K_{2} ⊂ K が成り立つ。

証明 K_{2} はコンパクトだから u ∈ 𝔼^{n} \ {0} に対してある x_{2} ∈ K_{2} が存在し h(K_{2}, u) = ⟨x_{2}, u⟩ が成り立つ。 K_{2} ⊂ intK_{1} だから十分小さい ρ > 0 に対して x_{1} = x_{2} + ρu/|u|^{2} ∈ intK_{1} ⊂ K_{1} が成り立ち

⟨x_{1}, u⟩ = ⟨x_{2} + ρ\frac{u}{|u|^{2}} , u⟩ = ⟨x_{2}, u⟩ + ρ = h(K_{2}, u) + ρ

を得る。したがって、次の不等式を得る。

h(K_{1}, u) ≥ ⟨x_{1}, u⟩ = h(K_{2}, u) + ρ > h(K_{2}, u).

よって𝔼^{n}\{0}においてh(K_{1}, ·)−h(K_{2}, ·) > 0となる。支持関数h(K_{1}, ·), h(K_{2}, ·)は命題7.2より凸関数になり、定理6.7より連続になる。したがって、 h(K_{1}, ·)−h(K_{2}, ·) は連続関数になるので、コンパクト集合 S^{n−1} 上で正の最小値 η をとる。これより

η ≤ h(K_{1}, u) − h(K_{2}, u) (u ∈ S^{n−1})

が成り立つ。 δ(K_{1}, K) < η を満たす任意の K ∈ K^{n} に対して定理 8.10 より

|h(K_{1}, u) − h(K, u)| < η (u ∈ S^{n−1})

が成り立つ。したがって、任意の u ∈ S^{n−1} に対して

h(K_{2}, u) ≤ h(K_{1}, u) − η < h(K, u)

となり、命題 7.2 より K_{2} ⊂ K が成り立つ。

定理 8.12 体積関数 V_{n} は K^{n} において連続になる。

証明 K_{0} ∈ K^{n} をとる。まず V_{n}(K_{0}) = 0 の場合を考える。 K_{0} は 𝔼^{n} のある超平面 H に含まれる。 δ(K_{0}, K) = α ≤ 1 とすると、 K ⊂ K_{0} + αB^{n} が成り立つ。 H の単位法ベクトル u をとり I = [−u, u] とおくと

K_{0} + αB^{n} ⊂ H ∩ (K_{0} + αB^{n}) + αI ⊂ H ∩ (K_{0} + B^{n}) + αI

となる。 Fubini の定理より

V_{n}(H ∩ (K_{0} + B^{n}) + αI) = V_{n−1}(H ∩ (K_{0} + B^{n}))2α.

したがって

V_{n}(K) ≤ 2V_{n−1}(H ∩ (K_{0} + B^{n}))α = 2V_{n−1}(H ∩ (K_{0} + B^{n}))δ(K_{0}, K)

が成り立ち、 V_{n} は K_{0} で連続になる。

次に V_{n}(K_{0}) > 0 の場合を考える。このとき K_{0} の内部は空ではない。 0 ∈ intK_{0} と仮定しても一般性は失われない。 ρB^{n} ⊂ intK_{0} を満たす ρ > 0 をとっておく。任意の ϵ > 0 に対して (λ^{n} − 1)λ^{n}V_{n}(K_{0}) < ϵ を満たす λ > 1 をとることができる。 ρB^{n} ⊂ intK_{0} だから補題 8.11 よりある η > 0 が存在し δ(K_{0}, K) < η を満たす任意の K ∈ K^{n} に対して ρB^{n} ⊂ K が成り立つ。 α = min{η, (λ − 1)ρ} とおく。 δ(K_{0}, K) < α を満たす任意の K ∈ K^{n} に対して

K_{0} ⊂ K + αB^{n} ⊂ K + (λ − 1)ρB^{n} ⊂ K + (λ − 1)K = λK.

最後の等号は系 7.5 の (3) より成り立つ。同様に K ⊂ λK_{0} も成り立つ。

V_{n}(K_{0}) ≤ V_{n}(λK) = λ^{n}V_{n}(K), V_{n}(K) ≤ λ^{n}V_{n}(K_{0})

より

V_{n}(K_{0}) − V_{n}(K) ≤ (λ^{n} − 1)V_{n}(K) ≤ (λ^{n} − 1)λ^{n}V_{n}(K_{0}) < ϵ.

さらに λ > 1 だから

V_{n}(K) − V_{n}(K_{0}) ≤ (λ^{n} − 1)V_{n}(K_{0}) ≤ (λ^{n} − 1)λ^{n}V_{n}(K_{0}) < ϵ.

以上より |V_{n}(K_{0}) − V_{n}(K)| < ϵ となり、 V_{n} は K_{0} においても連続になる。

参考文献

この講義ノート全体を通して

[1] Rolf Schneider, Convex bodies: the Brunn-Minkowski theory, Cambridge University Press, 1993

を参考にした。第 1 節「線形代数からの準備」と第 2 節「位相からの準備」は、 [1] の Conventions and notation を元に基礎的事項の解説を追加した。第 3 節から第 8 節までは、 [1] の

1.1 Convex sets and combinations
1.2 The metric projection
1.3 Support and separation
1.5 Convex functions
1.7 The support function
1.8 The Hausdorff metric

のそれぞれの節の内容にもとづいている。ただし、 1 学期分の講義内容に収めるため、 Hausdorff 距離の性質を導くために必要な事項を選択した。