数理物質科学研究科

微分幾何学II ————– Lie群入門

田崎博之 2010 年度 1 学期

数理物質科学研究科

微分幾何学 II

授業概要

Lie 群と Lie 環の基本的事項を初歩から解説する。それをもとに個々の線形 Lie 群 (行列の群) について代数的、位相的、解析的性質を調べる。

1. Lie 群と Lie 環 2. 一径数部分群 3. 指数写像 4. 線形 Lie 群目次 i

目次

1 多様体 1 2 Lie 群と Lie 環 4 3 連結 Lie 群 8 4 一般線形群 9 5 一径数部分群 11 6 行列の指数関数 14 7 指数写像 16 8 準同型写像 19 9 閉 Lie 部分群 23 10 線形 Lie 群 26 11 Lie 部分群と Lie 部分環 31 12 線形 Lie 群の連結性 35

1 多様体

正確な定義は後で述べるが、群構造と多様体構造の両方を持っていて、群演算から定まる写像が C^{∞} 級写像になるものを Lie 群という。 Lie 群を理解するためには、群構造と多様体構造の知識が前提になる。この節では多様体について簡単に復習しておく。

定義 1.1 Hausdorff 位相空間 M と M の開集合族 {(U_{α}, ϕ_{α})}_{α∈A} が

(1) M = ⋃_{α∈A} U_{α},

(2) 各 α ∈ A に対して ϕ_{α} は U_{α} から ℝ^{n} への写像であり、 ϕ_{α}(U_{α}) は ℝ^{n} の開集合になり ϕ_{α} は U_{α} から ϕ_{α}(U_{α}) への位相同型写像、

(3) 各 α, β ∈ A に対して、 U_{α} ∩ U_{β} ≠ ∅ のとき、 ϕ_{β} ∘ ϕ_{α}^{−1} : ϕ_{α}(U_{α} ∩ U_{β}) → ϕ_{β}(U_{α} ∩ U_{β}) は微分同型写像

を満たすとき、 (M, {(U_{α}, ϕ_{α})}_{α∈A}) を n 次元多様体と呼び、 {(U_{α}, ϕ_{α})}_{α∈A} を M の多様体構造と呼ぶ。 M の次元を dim M で表すことにする。 {(U_{α}, ϕ_{α})}_{α∈A} がわかっている場合や特に記述する必要のない場合には単に M と書く。

例 1.2 (M, {(U_{α}, ϕ_{α})}_{α∈A}), (N, {(V_{i}, ψ_{i})}_{i∈I}) を多様体とする。 M × N に積位相を入れると、 (M × N, {(U_{α} × V_{i}, ϕ_{α} × ψ_{i})}_{(α,i)∈A×I}) も多様体になる。この多様体を M と N の積多様体と呼ぶ。

定義 1.3 (M, {(U_{α}, ϕ_{α})}_{α∈A}) を n 次元多様体とする。 M の開集合 V と写像 ψ : V → ℝ^{n} が

(1) ψ(V) は ℝ^{n} の開集合で、 ψ : V → ψ(V) は位相同型写像、

(2) 各 α ∈ A について ψ ∘ ϕ_{α}^{−1} : ϕ_{α}(U_{α} ∩ V) → ψ(U_{α} ∩ V) は微分同型写像

を満たすとき、 (V, ψ) を M の座標近傍と呼ぶ。 ψ を ℝ^{n} の成分を使って表わした ψ_{1}, …, ψ_{n} を V における局所座標系といい、 (V; ψ_{1}, …, ψ_{n}) を局所座標近傍という。

定義 1.4 m 次元多様体 M から n 次元多様体 N への写像 f が

(1) f は連続写像、

(2) f(U) ⊂ V を満たす M の任意の座標近傍 (U, ϕ) と N の任意の座標近傍 (V, ψ) に対して、 ℝ^{m} の開集合 ϕ(U) から ℝ^{n} の開集合 ψ(V) への写像 ψ ∘ f ∘ ϕ^{−1} は C^{∞} 級写像を満たすとき、 f を C^{∞} 級写像と呼ぶ。 M から N への C^{∞} 級写像 f が逆写像 f^{−1} : N → M を持ち、 f^{−1} もまた C^{∞} 級写像になるとき、 f を微分同型写像と呼び、 M と N は微分同型であるという。

定義 1.5 多様体 M の点 x の近傍で定義された C^{∞} 級関数の全体 F_{x} から実数 ℝ への写像 v が、 f, g ∈ F_{x} と r ∈ ℝ に対して

v(f + g) = v(f) + v(g),
v(rf) = rv(f),
v(fg) = v(f)g(x) + f(x)v(g)

を満たすとき、 v を多様体 M の点 x における接ベクトルと呼ぶ。それら全体を T_{x}(M) で表し、 M の x における接ベクトル空間と呼ぶ。

例 1.6 n 次元多様体 M の点 x を含む座標近傍 (U, ϕ) を一つとる。 U は x の開近傍だから、 F_{x} の各元 f に対して f ∘ ϕ^{−1} は ϕ(V) 上の C^{∞} 級関数になる。 (x_{1}, …, x_{n}) を ℝ^{n} の座標とし、

v_{i}(f) = \frac{∂}{∂x_{i}} (f ∘ ϕ^{−1})|_{ϕ(x)}

とおく。積の微分の公式を使うと v_{i} ∈ T_{x}(M) となることがわかる。この接ベクトル v_{i} を\frac{∂}{∂x_{i}} |_{x} と書くことにする。

定理 1.7 n 次元多様体 M の各点 x における接ベクトル空間 T_{x}(M) は n 次元ベクトル空間になる。さらに、 (U; x_{1}, …, x_{n}) を M の x における局所座標近傍とすると\frac{∂}{∂x_{i}} |_{x} (1 ≤ i ≤ n) は T_{x}(M) の基底になる。

命題 1.8 F を多様体 M から多様体 N への C^{∞} 級写像とする。 x ∈ M, y = F (x) ∈ N とする。このとき、 v ∈ T_{x}(M) に対して、

v′(f) = v(f ∘ F) (f ∈ F_{F (x)})

によって v′ : F_{F (x)} → ℝ を定めると、 v′ は N の点 F (x) における接ベクトルになる。 v′ = dF_{x}(v) と書くことにすると、

dF_{x} : T_{x}(M) → T_{F (x)}(N)

は線形写像になる。

定義 1.9 多様体 M の開集合 O の各点 x に対して、 M の x における接ベクトル X_{x} を対応させる対応 X が次の条件を満たすとき、 X を O 上のベクトル場と呼ぶ。 M の任意の局所座標近傍 (U; x_{1}, …, x_{n}) に対して、 x ↦ X_{x}(x_{i}) がすべての i について U ∩ O 上の C^{∞} 級関数になる。注意 1.10 X を多様体 M 上のベクトル場とする。 x ∈ M を含む局所座標近傍 (U; x_{1}, …, x_{n}) をとる。定理 1.7 より、 X_{x} ∈ T_{x}(M) は

X_{x} = ∑_{i=1}^{n} a_{i}(x) \frac{∂}{∂x_{i}} |_{x}

と表すことができるので、上の条件は基底\frac{∂}{∂x_{i}} |_{x} (1 ≤ i ≤ n) の線形結合で X_{x} を表したときの係数がすべて C^{∞} 級関数になることと同値である。これは

X_{x}(x_{j}) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}(x) \frac{∂}{∂x_{i}} |_{x} x_{j} = a_{j}(x)

よりわかる。上のようにベクトル場を U において\frac{∂}{∂x_{i}} |_{x} (1 ≤ i ≤ n) の線形結合で表示したものをベクトル場の局所表示という。この局所表示の形からわかるように、ベクトル場は多様体上定義された C^{∞} 級関数に作用する一階線形偏微分作用素とみることができる。

命題 1.11 M を多様体とする。 M 上の C^{∞} 級関数全体を C^{∞}(M) で表し、 M 上のベクトル場の全体を 𝔛(M) で表す。

(1) M 上のベクトル場 X, Y と各 f ∈ C^{∞}(M) に対して、

Z(f) = X(Y (f)) − Y (X(f))

とおくと、 Z は M 上のベクトル場になる。 Z = [X, Y] と書くことにする。 [X, Y] を X と Y の Lie ブラケットと呼ぶ。

(2) (1) で定めた写像

[ , ] : 𝔛(M) × 𝔛(M) → 𝔛(M)

は双線形写像になり X, Y, Z ∈ 𝔛(M) に対して

[X, Y] + [Y, X] = 0, [[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0

を満たす。上の右の等式を Jacobi 恒等式と呼ぶ。

(1) の Z がベクトル場になることのみ確認しておこう。 X と Y の局所表示を

X = ∑_{i} a_{i} \frac{∂}{∂x_{i}} , Y = ∑_{j} b_{j} \frac{∂}{∂x_{j}}

とする。

Z(f) = ∑_{i} a_{i} \frac{∂}{∂x_{i}} (∑_{j} b_{j} \frac{∂f}{∂x_{j}} ) − ∑_{j} b_{j} \frac{∂}{∂x_{j}} (∑_{i} a_{i} \frac{∂f}{∂x_{i}} )

= ∑_{i,j} a_{i} (\frac{∂b_{j}}{∂x_{i}} \frac{∂f}{∂x_{j}} + b_{j} \frac{∂^{2}f}{∂x_{i}∂x_{j}} ) − ∑_{i,j} b_{j} (\frac{∂a_{i}}{∂x_{j}} \frac{∂f}{∂x_{i}} + a_{i} \frac{∂^{2}f}{∂x_{j}∂x_{i}} )

= ∑_{i,j} (a_{j} \frac{∂b_{i}}{∂x_{j}} − b_{j} \frac{∂a_{i}}{∂x_{j}} ) \frac{∂f}{∂x_{i}}

となるので、 Z は一階線形偏微分作用素になりベクトル場を定める。上の計算よりベクトル場の Lie ブラケットの局所表示は

[∑_{i} a_{i} \frac{∂}{∂x_{i}} , ∑_{j} b_{j} \frac{∂}{∂x_{j}} ] = ∑_{i,j} (a_{j} \frac{∂b_{i}}{∂x_{j}} − b_{j} \frac{∂a_{i}}{∂x_{j}} ) \frac{∂}{∂x_{i}} .

2 Lie 群と Lie 環

定義 2.1 多様体 G が群構造を持ち、その群演算

G × G → G; (x, y) ↦ xy, G → G; x ↦ x^{−1}

が C^{∞} 級写像になるとき、 G を Lie 群と呼ぶ。 (特にことわらないかぎり、群の単位元は e で表す。 )

例 2.2 V を有限次元実ベクトル空間とすると、 V の正則線形変換の全体 GL(V) は Lie 群になる。 GL(R^{n}) は GL(n, R) とも書く。 GL(V) を一般線形群と呼ぶ。

証明 GL(V) は合成に関して群になる。 dim V = n とする。 End(V) = {f : V → V | f は線形写像} とおく。 V の基底をとり、 End(V) の元にこの基底に関する表現行列を対応させれば、 End(V) と n 次実正方行列の全体 M_{n}(ℝ) は一対一に対応する。さらに M_{n}(ℝ) は自然に ℝ^{n^{2}} と線形同型になるので、 End(V) は ℝ^{n^{2}} と一対一に対応する。この対応によって End(V) と ℝ^{n^{2}} を同一視すると表現行列の成分が End(V) の座標になる。この同一視によって End(V) に位相を導入しておく。行列式 det : End(V) → R は End(V) の座標の多項式で表わされるので連続であり、

GL(V) = {f ∈ End(V) | det f ≠ 0}

だから、 GL(V) は End(V) の開集合である。特に、 GL(V) は n^{2} 次元多様体になる。群演算

GL(V) × GL(V) → GL(V); (x, y) ↦ xy

は、 End(V) の座標の二次式で表わされるので C^{∞} 級写像であり、

GL(V) → GL(V); x ↦ x^{−1}

は、 End(V) の座標の分数式で表わされるので C^{∞} 級写像である (Cramer の公式)。

定義 2.3 Lie 群 G の元 g に対して微分同型写像 L_{g}, R_{g} を

L_{g} : G → G; x ↦ gx, R_{g} : G → G; x ↦ xg

によって定め、それぞれ g による左移動、右移動と呼ぶ。 G 上のベクトル場 X は、 G の任意の元 g に対して

(dL_{g})_{x}(X_{x}) = X_{gx} (x ∈ G)

を満たすとき左不変ベクトル場と呼ばれ、

(dR_{g})_{x}(X_{x}) = X_{xg} (x ∈ G)

を満たすとき右不変ベクトル場と呼ばれる。

注意 2.4 Lie 群 G の単位元 e を含む局所座標近傍 (U; x_{1}, …, x_{n}) をとっておけば、各 g ∈ G に対して (L_{g}(U); x_{1} ∘ L_{g}^{−1}, …, x_{n} ∘ L_{g}^{−1}) は g を含む局所座標近傍になる。右移動を使っても同様にできる。

定義 2.5 実ベクトル空間 𝔤 に双線形写像 [ , ] : 𝔤 × 𝔤 → 𝔤 があり、すべての元 X, Y, Z ∈ 𝔤 に対して

[X, Y] = −[Y, X], [[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y] = 0

を満たすとき、 𝔤 を Lie 環と呼ぶ。 Lie 環 𝔤 のベクトル部分空間 𝔥 が、演算 [ , ] に関して閉じているとき、 𝔥 を 𝔤 の Lie 部分環と呼ぶ。

Lie 環 𝔤 の Lie 部分環は 𝔤 のブラケットを制限することで Lie 環になる。

例 2.6 多様体 M 上のベクトル場の全体 𝔛(M) は Lie ブラケット [ , ] に関して Lie 環になる。

例 2.7 V を実ベクトル空間とする。 End(V) の元 X, Y に対して [X, Y] = XY − Y X と定めると End(V) は Lie 環になる。この Lie 環を 𝔤𝔩(V) で表わす。 𝔤𝔩(R^{n}) は 𝔤𝔩(n, R) とも書く。

証明定め方より [ , ] : End(V) × End(V) → End(V) は双線形写像である。 End(V) の元 X, Y, Z に対して

[X, Y] = XY − Y X = −[Y, X],
[[X, Y], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y]
= [XY − Y X, Z] + [Y Z − ZY, X] + [ZX − XZ, Y]
= XY Z − Y XZ − ZXY + ZY X + Y ZX − ZY X − XY Z + XZY
+ZXY − XZY − Y ZX + Y XZ
= 0.

したがって End(V) は [ , ] に関して Lie 環になる。定理 2.8 G を Lie 群とし、 G の左不変ベクトル場の全体を 𝔤 で表わす。すると、 𝔤 は G 上のベクトル場全体の成す Lie 環 𝔛(G) の Lie 部分環になり、写像

α : 𝔤 → T_{e}(G); X ↦ X_{e}

は線形同型写像になる。特に dim 𝔤 = dim T_{e}(G) = dim G が成り立つ。

この定理の証明のために次の補題を準備しておく。

補題 2.9 M, N を多様体とし、 f : M → N を微分同型写像とする。 M 上のベクトル場 X, Y と N 上のベクトル場 X̃, Ỹ が

df_{x}(X_{x}) = X̃_{f(x)}, df_{x}(Y_{x}) = Ỹ_{f(x)} (x ∈ M)

を満たすならば、次の等式が成り立つ。

df_{x}([X, Y]_{x}) = [X̃, Ỹ]_{f(x)} (x ∈ M).

証明 (V; y_{1}, …, y_{n}) を N の局所座標近傍とする。 U = f^{−1}(V) とし、 x_{i} = y_{i} ∘ f (1 ≤ i ≤ n) とおくと、 (U; x_{1}, …, x_{n}) は M の局所座標近傍になる。 X, Y の U における局所表示を

X = ∑_{i=1}^{n} a_{i} \frac{∂}{∂x_{i}} , Y = ∑_{i=1}^{n} b_{i} \frac{∂}{∂x_{i}}

とすると、仮定より V において

X̃ = df(X) = df (∑_{i=1}^{n} a_{i} \frac{∂}{∂x_{i}} ) = ∑_{i=1}^{n}(a_{i} ∘ f^{−1})\frac{∂y_{k}}{∂x_{i}} \frac{∂}{∂y_{k}} = ∑_{i=1}^{n}(a_{i} ∘ f^{−1})\frac{∂}{∂y_{i}} .

同様に

Ỹ = ∑_{j=1}^{n}(b_{j} ∘ f^{−1})\frac{∂}{∂y_{j}} .

命題 1.11 の後のベクトル場の Lie ブラケットの局所表示を使うと

[X̃, Ỹ] = ∑_{i,j} ((a_{j} ∘ f^{−1})\frac{∂(b_{i} ∘ f^{−1})}{∂y_{j}} − (b_{j} ∘ f^{−1})\frac{∂(a_{i} ∘ f^{−1})}{∂y_{j}}) \frac{∂}{∂y_{i}} .

他方、

df([X, Y]) = df (∑_{i,j} (a_{j} \frac{∂b_{i}}{∂x_{j}} − b_{j} \frac{∂a_{i}}{∂x_{j}} ) \frac{∂}{∂x_{i}} )

= ∑_{i,j} ((a_{i} ∘ f^{−1})\frac{∂b_{i}}{∂x_{j}} ∘ f^{−1} − (b_{j} ∘ f^{−1})\frac{∂a_{i}}{∂x_{j}} ∘ f^{−1}) \frac{∂}{∂y_{i}}

となり

\frac{∂b_{i}}{∂x_{j}} ∘ f^{−1} = \frac{∂b_{i} ∘ f^{−1}}{∂x_{j}} , \frac{∂a_{i}}{∂x_{j}} ∘ f^{−1} = \frac{∂a_{i} ∘ f^{−1}}{∂x_{j}}

より、 df([X, Y]) = [X̃, Ỹ] を得る。

定理 2.8 の証明 𝔤 が 𝔛(G) の部分ベクトル空間になることは定義からわかる。 X, Y ∈ 𝔤 とすると任意の g ∈ G に対して

(dL_{g})_{x}(X_{x}) = X_{gx} (dL_{g})_{x}(Y_{x}) = Y_{gx} (x ∈ G)

が成り立ち、 L_{g} : G → G は微分同型写像だから、補題 2.9 より

(dL_{g})_{x}([X, Y]_{x}) = [X, Y]_{gx} (x ∈ G)

となり、 [X, Y] ∈ 𝔤 を得る。よって 𝔤 は 𝔛(G) の Lie 部分環である。

α が線形写像になることは定義からわかる。 X ∈ 𝔤, α(X) = 0 とすると、任意の g ∈ G に対し

X_{g} = (dL_{g})_{e}(X_{e}) = 0

だから、 X = 0。よって Kerα = 0 となり、 α は単射。他方 X ∈ T_{e}(G) に対して X̃_{g} = (dL_{g})_{e}(X) とおき、 X̃ が左不変ベクトル場になることを示せば、 α が全射になることがわかる。 (U; x_{1}, …, x_{n}) を G の単位元 e を含む局所座標近傍とする。 G × G → G; (x, y) ↦ xy は連続だから、 e を含む開近傍 V で V V = {xy|x, y ∈ V } ⊂ U を満たすものをとることができる。

X = ∑_{i=1}^{n} ξ^{i} \frac{∂}{∂x_{i}} |_{e}

とおく。注意 2.4 より任意の g ∈ G に対して、 (L_{g}(V); x_{1} ∘ L_{g}^{−1}, …, x_{n} ∘ L_{g}^{−1}) は g を含む局所座標近傍になる。そこで y_{i} = x_{i} ∘ L_{g}^{−1} とおくと gx ∈ L_{g}(V) (x ∈ V) に対して、

X̃_{gx} = (dL_{gx})_{e}(X) = d(L_{g} ∘ L_{x})_{e}(X) = (dL_{g})_{x}(dL_{x})_{e}(X)
= (dL_{g})_{x} (∑_{i,j=1}^{n} ξ^{i} \frac{∂(x_{j} ∘ L_{x})}{∂x_{i}}(e) \frac{∂}{∂x_{j}} |_{x})
= ∑_{i,j=1}^{n} ξ^{i} \frac{∂(x_{j} ∘ L_{x})}{∂x_{i}}(e)(dL_{g})_{x} \frac{∂}{∂x_{j}} |_{x} .

ここで

((dL_{g})_{x} \frac{∂}{∂x_{j}} |_{x}) (y_{k}) = ( \frac{∂}{∂x_{j}} |_{x}) (y_{k} ∘ L_{g}) = δ_{jk}

だから

(dL_{g})_{x} \frac{∂}{∂x_{j}} |_{x} = \frac{∂}{∂y_{j}} |_{gx}

となり

X̃_{gx} = ∑_{i,j=1}^{n} ξ^{i} \frac{∂(x_{j} ∘ L_{x})}{∂x_{i}}(e) \frac{∂}{∂y_{j}} |_{gx} .

G × G → G; (x, y) ↦ xy = L_{x}(y) は C^{∞} 級写像だから、各 i, j に対して

V → R; x ↦ \frac{∂(x_{j} ∘ L_{x})}{∂x_{i}}(e)

は C^{∞} 級写像になる。よって、各 j について

L_{g}(V) → R; gx ↦ ∑_{i=1}^{n} ξ^{i} \frac{∂(x_{j} ∘ L_{x})}{∂x_{i}}(e)

は C^{∞} 級写像である。したがって X̃ は G 上のベクトル場である。 X̃ は定め方より左不変。したがって α は線形同型写像である。

定義 2.10 Lie 群 G の左不変ベクトル場の全体からなる Lie 環 𝔤 を Lie 群 G の Lie 環と呼ぶ。

定義 2.11 Lie 群の間の C^{∞} 級写像 f : G → H が群の準同型写像でもあるとき、 f を Lie 群の準同型写像と呼ぶ。さらに f が逆写像 f^{−1} を持ち、 f^{−1} も Lie 群の準同型写像であるとき、 f を Lie 群の同型写像と呼び Lie 群 G と H は同型であるという。 Lie 環の間の線形写像 f : 𝔤 → 𝔥 が

[f(X), f(Y)] = f([X, Y]) (X, Y ∈ 𝔤)

を満たすとき、 f を Lie 環の準同型写像と呼ぶ。さらに f が逆写像 f^{−1} を持つとき、 f を Lie 環の同型写像と呼び、 Lie 環 𝔤 と 𝔥 は同型であるという。

3 連結 Lie 群

定理 3.1 G を連結 Lie 群とし、 U を G の単位元 e の近傍とする。このとき G = ∪{U^{n}|n ∈ N} が成り立つ。ただし、 U^{n} = {g_{1} … g_{n}|g_{i} ∈ U} とする。

証明 U^{−1} = {g^{−1}|g ∈ U} も e の近傍になるので、 V = U ∩ U^{−1} は e の近傍である。 H = ∪{V^{n}|n ∈ N} とおく。 V ⊂ U だから、 G = H を示せばよい。 g, h ∈ H に対してある自然数 m, n があって g ∈ V^{m}, h ∈ V^{n} となる。よって gh ∈ V^{m+n} ⊂ H を得る。 g = g_{1} … g_{m}, g_{i} ∈ V とすると、 g^{−1} = g_{m}^{−1} … g_{1}^{−1} で g_{i}^{−1} ∈ V だから g^{−1} ∈ V^{m} ⊂ H を得る。したがって H は G の部分群である。 V は e の近傍で V ⊂ H だから、任意の h ∈ H に対して L_{h}(V) は h の近傍になり L_{h}(V) ⊂ H を得る。したがって H は G の開集合である。 G を H の剰余類によって分解すると、

G = H ∪ (∪{L_{g}(H)|g ∈ G, g ∉ H})

となり各 L_{g}(H) は G の開集合だから、 H は G の閉集合である。 G は連結だから G = H が成り立つ。

定理 3.1 は連結位相群に対して成り立つことが証明からわかる。

命題 3.2 G を Lie 群とし G の単位元を含む連結成分を G_{0} とすると、 G_{0} は G の正規部分群であり、さらに Lie 部分群である。

証明 τ : G×G → G; (g, h) ↦ gh^{−1} とすると、 τ は連続写像になる。 G_{0} ×G_{0} は G×G の (e, e) を含む連結成分になるので、 τ(G_{0} ×G_{0}) は連結になる。 e = τ(e, e) ∈ τ(G_{0} × G_{0}) より τ(G_{0} × G_{0}) ⊂ G_{0} が成り立つ。したがって、 G_{0} は G の部分群になる。任意の g ∈ G に対して L_{g} ∘ R_{g^{−1}} は連続写像だから L_{g} ∘ R_{g^{−1}}(G_{0}) は連結になり、 e = L_{g} ∘ R_{g^{−1}}(e) ∈ L_{g} ∘ R_{g^{−1}}(G_{0}) より L_{g} ∘ R_{g^{−1}}(G_{0}) ⊂ G_{0} が成り立つ。したがって、 G_{0} は G の正規部分群になる。また単位元を含む連結成分 G_{0} は G の開集合になるので、特に部分多様体になっている。 τ : G × G ⟶ G は C^{∞} 級写像だから G_{0} への制限 τ_{G_{0}} : G_{0} × G_{0} ⟶ G_{0} も C^{∞} 級写像になり G_{0} は Lie 群である。よって G_{0} は G の Lie 部分群である。

今後、 Lie 群 G の単位元を含む連結成分 G_{0} を単位連結成分と呼ぶことにする。

4 一般線形群

命題 4.1 V を n 次元ベクトル空間とすると、 Lie 群 GL(V) と GL(n, R) は同型になり、 Lie 環 𝔤𝔩(V) と 𝔤𝔩(n, R) は同型になる。

証明 v_{1}, …, v_{n} を V の基底とし、 f ∈ End(V) に対して f の v_{1}, …, v_{n} に関する表現行列を R(f) で表す。つまり、

f[v_{1}, …, v_{n}] = [v_{1}, …, v_{n}]R(f)

となる。このとき、

R : End(V) → End(R^{n})

は代数の同型写像になる。 R は線形同型写像だから特に微分同型写像である。以上のことから、 R は Lie 環の同型写像

R : 𝔤𝔩(V) → 𝔤𝔩(n, R)

を与え、 R の GL(V) への制限は Lie 群の同型写像

R|_{GL(V)} : GL(V) → GL(n, R)

を与える。

定理 4.2 GL(n, R) は例 2.2 の証明より 𝔤𝔩(n, R) の開集合だから、接ベクトル空間 T_{e}(GL(n, R)) を 𝔤𝔩(n, R) と同一視できる。 Lie 群 GL(n, R) の Lie 環を 𝔤 とし、 X ∈ 𝔤𝔩(n, R) に対して X̃ ∈ 𝔤 を X̃_{g} = (dL_{g})_{e}(X) (g ∈ GL(n, R)) によって定めると、写像

˜ : 𝔤𝔩(n, R) → 𝔤 ; X ↦ X̃

は Lie 環の同型写像である。

証明定理 2.8 を GL(n, R) に適用すると ˜ = α^{−1} となるので、˜は線形同型写像である。あとは˜が Lie 環の準同型写像になることを示せばよい。 (i, j)-成分のみが 1 で他の成分は 0 になる n 次正方行列を E_{ij} で表すと、 {E_{ij}|1 ≤ i, j ≤ n} は 𝔤𝔩(n, R) の基底になる。その双対基底を {x_{ij}|1 ≤ i, j ≤ n} で表すと、 x_{ij} は 𝔤𝔩(n, R) の座標になる。 GL(n, R) は 𝔤𝔩(n, R) の開集合で e ∈ GL(n, R) だから、 X ∈ 𝔤𝔩(n, R) と十分小さい t ∈ R に対して e + tX ∈ GL(n, R) となることに注意しておく。 g ∈ GL(n, R) に対して、

X̃_{g} = (dL_{g})_{e}(X) = (dL_{g})_{e} ( \frac{d}{dt}(e + tX)|_{t=0})

= \frac{d}{dt}L_{g}(e + tX)|_{t=0} = \frac{d}{dt}(g + tgX)|_{t=0}

= ∑_{i,j=1}^{n} x_{ij}(gX) \frac{∂}{∂x_{ij}} |_{g} = ∑_{i,j=1}^{n} ∑_{k=1}^{n} x_{ik}(g)x_{kj}(X) \frac{∂}{∂x_{ij}} |_{g} .

命題1.11の後のベクトル場のLieブラケットの局所表示を使うとX, Y ∈ 𝔤𝔩(n, R), g ∈ GL(n, R) に対して、

[X̃, Ỹ]_{g} = ∑_{i,j,p,q=1}^{n} \{∑_{r=1}^{n} x_{pr}(g)x_{rq}(X)\frac{∂(∑_{k=1}^{n} x_{ik}(g)x_{kj}(Y))}{∂x_{pq}}

− ∑_{r=1}^{n} x_{pr}(g)x_{rq}(Y)\frac{∂(∑_{k=1}^{n} x_{ik}(g)x_{kj}(X))}{∂x_{pq}} \} \frac{∂}{∂x_{ij}} |_{g}

= ∑_{i,j=1}^{n} \{ ∑_{k,r=1}^{n} x_{ir}(g)x_{rk}(X)x_{kj}(Y) − ∑_{k,r=1}^{n} x_{ir}(g)x_{rk}(Y)x_{kj}(X)\} \frac{∂}{∂x_{ij}} |_{g}

= ∑_{i,j=1}^{n} x_{ij}(gXY − gY X) \frac{∂}{∂x_{ij}} |_{g} = ∑_{i,j=1}^{n} x_{ij}(g[X, Y]) \frac{∂}{∂x_{ij}} |_{g}

= { \atop [X, Y]}_{g}.

よって、

[X̃, Ỹ] = { \atop [X, Y]}

となり、˜は Lie 環の準同型である。

注意 4.3 定理 4.2 の Lie 環の同型写像 ˜ : 𝔤𝔩(n, R) → 𝔤 によって Lie 環 𝔤𝔩(n, R) と Lie 群 GL(n, R) の Lie 環 𝔤 を同一視し、今後は 𝔤𝔩(n, R) を GL(n, R) の Lie 環とみなすことにする。命題 4.1 の同型より、有限次元ベクトル空間 V に対しても 𝔤𝔩(V) を GL(V) の Lie 環とみなすことにする。

5 一径数部分群

定義 5.1 M を多様体とし、 X を M 上のベクトル場とする。 I を実数の開区間とし、 M 上の曲線 c : I → M が

\frac{dc}{dt}(t) = X_{c(t)} (t ∈ I)

を満たすとき、 c を X の積分曲線と呼ぶ。

補題 5.2 M を多様体とし、 X を M 上のベクトル場とする。実数 t_{0} と M の各点 x ∈ M に対して、 X の積分曲線 c : I → M で t_{0} ∈ I, c(t_{0}) = x を満たすものが存在する。また c_{1}, c_{2} : I → M が c_{1}(t_{0}) = c_{2}(t_{0}) = x を満たす X の積分曲線ならば c_{1} = c_{2} が成り立つ。

証明 x を含む M の局所座標近傍 (U; x_{1}, …, x_{n}) をとる。 X の U における局所表示を

X_{x} = ∑_{i=1}^{n} a_{i}(x) \frac{∂}{∂x_{i}} |_{x} (x ∈ U)

とする。 U において問題になっている等式

\frac{dc}{dt}(t) = X_{c(t)} (t ∈ I)

の局所表示は

∑_{i=1}^{n} \frac{d(x_{i} ∘ c(t))}{dt} \frac{∂}{∂x_{i}} |_{c(t)} = ∑_{i=1}^{n} a_{i}(c(t)) \frac{∂}{∂x_{i}} |_{c(t)}

となる。したがって c は

\frac{d(x_{i} ∘ c(t))}{dt} = a_{i}(c(t)), x_{i} ∘ c(t_{0}) = x_{i}(x) (1 ≤ i ≤ n)

を満たせばよい。これは Euclid 空間の開集合における常微分方程式であり a_{i} は C^{∞} 級関数だから t_{0} を含む開区間 I と c : I → U が存在し上の常微分方程式を満たす。この曲線 c が求めるものである。

次に積分曲線の一意性を示そう。 M の局所座標近傍(U; x_{1}, …, x_{n})でc_{1}(I), c_{2}(I) ⊂ U を満たすものが存在する場合は、局所座標 x_{1}, …, x_{n} を使うと

\frac{dc_{1}}{dt} (t) = X_{c_{1}(t)}, \frac{dc_{2}}{dt} (t) = X_{c_{2}(t)} (t ∈ I)

は Euclid 空間の開集合における常微分方程式になり、常微分方程式の解の一意性から c_{1} = c_{2} となる。 c_{1}(I), c_{2}(I) が M の 1 つの局所座標近傍に含まれない場合を考えよう。 t_{0} < s, s ∈ I に対して 0 < ε と t_{0} < t_{1} < ⋯ < t_{k} = s を次の条件を満たすようにとる。 I_{i} = (t_{i−1} − ε, t_{i} + ε) (1 ≤ i ≤ k) とおくと各 i について c_{1}(I_{i}), c_{2}(I_{i}) は M の 1 つの局所座標近傍に含まれる。先に示したことを使うと c_{1}(t_{1}) = c_{2}(t_{1}), …, c_{1}(t_{k}) = c_{2}(t_{k}) を帰納的に示すことができる。特に c_{1}(s) = c_{2}(s)。 t_{0} > s, s ∈ I に対しても同様にして c_{1}(s) = c_{2}(s) となり、 c_{1} = c_{2} が成り立つ。

定義 5.3 実数全体 R を加法に関して Lie 群とみなしたとき、 R から Lie 群 G への Lie 群の準同型写像を G の一径数部分群と呼ぶ。

定理 5.4 G を Lie 群とし、その Lie 環を 𝔤 とする。 Lie 環 𝔤 の元全体と G の一径数部分群の全体は次の対応で 1 対 1 に対応する。 X ∈ 𝔤 に対して X の積分曲線 c : R → G で c(0) = e となるものがただ 1 つ存在し、 c は G の一径数部分群になり、 X ∈ 𝔤 にこの c を対応させる。逆に G の一径数部分群 c に対して、定理 2.8 によって\frac{dc}{dt}(0) に対応する 𝔤 の元 X を c に対応させる。

証明次の (1),(2) のステップにわけて定理を証明する。

(1) X ∈ 𝔤 に対して X の積分曲線 c : R → G で c(0) = e となるものが存在し、 c は G の一径数部分群である。

(2) 定理で定めた 2 つの対応はお互いの逆対応になる。

(1) 補題 5.2 より、 δ > 0 と X の積分曲線 a : (−δ, δ) → G で a(0) = e を満たすものが存在する。 |s| < δ/2 となる s を 1 つ固定して

b_{1}(t) = a(s + t), b_{2}(t) = a(s)a(t) (|t| < δ/2)

とおく。すると、 t ↦ b_{1}(t) は X の積分曲線になる。 a(t) は X の積分曲線だから、その左移動 L_{g}a(t) も X の積分曲線になる。なぜならば、

\frac{d}{dt}L_{g}a(t) = (dL_{g})_{a(t)} (\frac{d}{dt}a(t)) = (dL_{g})_{a(t)}(X_{a(t)}) = X_{L_{g}a(t)}.

よって、 b_{2}(t) も X の積分曲線になる。さらに、

b_{1}(0) = a(s) = a(s)e = a(s)a(0) = b_{2}(0)

だから補題 5.2 の一意性より、

b_{1}(t) = b_{2}(t) (|t| < δ/2).

結局

a(s + t) = a(s)a(t) = a(t)a(s) (|s|, |t| < δ/2)

が成り立つ。任意の t ∈ R に対して |t/k| < δ/2 となるように自然数 k をとり

c(t) = a(\frac{t}{k} )^{k}

として写像 c : R → G を定める。 t ∈ R に対して、 |t/k| < δ/2, |t/l| < δ/2 となる自然数 k, l をとったとき、

a(\frac{t}{k} )^{k} = a(\frac{t}{kl})^{kl} = a(\frac{t}{l})^{l}

が成り立つので、上の c は k のとり方によらずに定まっている。 c(0) = a(0) = e は明らか。以下で、 c が G の一径数部分群であることを示そう。 t ∈ R に対して |t/k| < δ/2 となる自然数 k をとる。 t を含む開集合 I で s ∈ I ならば |s/k| < δ/2 となるものをとる。すると s ∈ I に対して c(s) = a(s/k)^{k} となるので、 c は I において C^{∞} 級写像である。よって c : R → G は C^{∞} 級写像になる。任意の s, t ∈ R に対して |s/k|, |t/k| < δ/4 となる自然数 k をとると、 |s/k|, |t/k|, |(s + t)/k| < δ/2 となり、

c(s)c(t) = a(\frac{s}{k} )^{k} a(\frac{t}{k} )^{k} = (a(\frac{s}{k} ) a(\frac{t}{k} ))^{k}
= a(\frac{s + t}{k})^{k} = c(s + t).

したがって c : R → G は G の一径数部分群になる。

次に c が X の積分曲線であることを示そう。 s ∈ R に対して、 t ∈ (s − δ, s + δ) とすると、 c(t) = c(s)c(t − s) = L_{c(s)}(c(t − s)) だから、

\frac{d}{dt}c(t)|_{t=s} = (dL_{c(s)})_{e} ( \frac{d}{dt}c(t)|_{t=0}) = (dL_{c(s)})_{e}(X_{e}) = X_{c(s)}.

したがって c は X の積分曲線である。

(2) X ∈ 𝔤 に対応する G の一径数部分群 c は\frac{dc}{dt}(0) = X_{e} を満たすので、 c に対応する 𝔤 の元は X になる。逆に G の一径数部分群 c に対応する 𝔤 の元 X は X_{e} = \frac{dc}{dt}(0) を満たす。 (1) の最後で示したことは 𝔤 の元 X と G の一径数部分群 c が\frac{dc}{dt}(0) = X_{e} を満たせば c は X の積分曲線になることである。したがって X に対応する G の一径数部分群は c になる。

6 行列の指数関数

定義 6.1 n 次複素正方行列全体を M_{n}(C) で表す。 X ∈ M_{n}(C) に対して

∥X∥ = max{|Xv| | v ∈ C^{n}, |v| ≤ 1}

とおくと、 ∥ · ∥ は M_{n}(C) のノルムになる。

e^{X} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}X^{k}

によって e^{X} を定めると、この無限級数は絶対収束することが知られている。これを行列の指数関数と呼ぶ。

命題 6.2 X, Y ∈ M_{n}(C) と正則行列 P ∈ M_{n}(C) に対して以下が成り立つ。

(1) e^{P XP^{−1}} = P e^{X}P^{−1}.

(2) XY = Y X ならば e^{X+Y} = e^{X}e^{Y} が成り立つ。

(3) e^{X} は正則行列になり、 (e^{X})^{−1} = e^{−X}.

(4) \frac{d}{dt}e^{tX} = e^{tX}X = Xe^{tX}.

証明 (1) M_{n}(C) のノルム ∥ · ∥ に関して行列の演算は連続になり、

e^{P XP^{−1}} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}(P XP^{−1})^{k} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}P X^{k}P^{−1} = P (∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}X^{k}) P^{−1}
= P e^{X}P^{−1}.

(2) 仮定 XY = Y X より二項定理

(X + Y)^{k} = ∑_{i=0}^{k} \binom{k}{i}X^{i}Y^{k−i} = ∑_{i+j=k} \frac{k!}{i!j!}X^{i}Y^{j} = k! ∑_{i+j=k} \frac{1}{i!}X^{i} \frac{1}{j!}Y^{j}

が成り立つ。指数関数の定義無限級数が絶対収束することから

e^{X+Y} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}(X + Y)^{k} = ∑_{k=0}^{∞} ∑_{i+j=k} \frac{1}{i!}X^{i} \frac{1}{j!}Y^{j} = (∑_{i=0}^{∞} \frac{1}{i!}X^{i}) (∑_{j=0}^{∞} \frac{1}{j!}Y^{j})

= e^{X}e^{Y} .

(3) X(−X) = −X^{2} = (−X)X だから (2) より

e = e^{0} = e^{X−X} = e^{X}e^{−X}

となり、 (e^{X})^{−1} = e^{−X} が成り立つ。 (4) e^{tX} の定義無限級数は項別微分可能になり

\frac{d}{dt}e^{tX} = \frac{d}{dt} ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}t^{k}X^{k} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} \frac{d}{dt}t^{k}X^{k} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{(k − 1)!}t^{k−1}X^{k} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!}t^{k}X^{k+1}

= e^{tX}X = Xe^{tX}.

例 6.3 GL(n, R)の一径数部分群を求めてみよう。 GL(n, R)の接ベクトルを𝔤𝔩(n, R) の元と同一視する。 X ∈ 𝔤𝔩(n, R) ≅ T_{e}(GL(n, R)) に対応する GL(n, R) 上の左不変ベクトル場を X̃ で表すと、定理 2.8 の証明中の計算より X̃_{g} = gX (g ∈ GL(n, R)) となる。したがって、 X に対応する GL(n, R) の一径数部分群 c は

\frac{dc(t)}{dt} = c(t)X (t ∈ R), c(0) = e

を満たす。したがって、 c(t) = e^{tX} となる。

例 6.4 行列の指数関数の射影分解による計算法について述べる。 n 次複素正方行列 A の固有多項式を γ_{A}(t) で表す。 γ_{A}(t) を因数分解し γ_{A}(t) = (t − λ_{1})^{p_{1}} … (t − λ_{k})^{p_{k}} とする。次に部分分数展開:

\frac{1}{γ_{A}(t)} = \frac{h_{1}(t)}{(t − λ_{1})^{p_{1}}} + ⋯ + \frac{h_{k}(t)}{(t − λ_{k})^{p_{k}}}

を行う。ここで各 h_{i}(t) の次数は p_{i} − 1 以下である。

1 = h_{1}(t)\frac{γ_{A}(t)}{(t − λ_{1})^{p_{1}}} + ⋯ + h_{k}(t)\frac{γ_{A}(t)}{(t − λ_{k})^{p_{k}}}

となり、 γ_{A}(t) は (t − λ_{i})^{p_{i}} を因子に持っているので\frac{γ_{A}(t)}{(t − λ_{i})^{p_{i}}} は t の多項式である。

実際に部分分数展開に現われる h_{i}(t) を求めるには、この形にして h_{i}(t) の係数が未知数の方程式とみなして解けばよい。その際に、右辺を展開して次数をそろえようとすると計算が大変になるので、 h_{i}(t) の係数を求めるために t = λ_{i} を代入し一階微分して t = λ_{i} を代入するという操作を p_{i} − 1 階微分まで続けた方が計算が簡単になる。 π_{i}(t) = h_{i}(t)\frac{γ_{A}(t)}{(t − λ_{i})^{p_{i}}} とおくと π_{i}(t) も t の多項式になり

1 = π_{1}(t) + ⋯ + π_{k}(t), (t − λ_{i})^{p_{i}}π_{i}(t) = h_{i}(t)γ_{A}(t)

が成り立つ。 P_{i} = π_{i}(A) とおくと

I_{n} = P_{1} + ⋯ + P_{k}.

これを射影分解と呼ぶ。 Cayley-Hamilton の定理より

(A − λ_{i}I_{n})^{p_{i}}P_{i} = h_{i}(A)γ_{A}(A) = 0.

以上の結果を使うと

e^{tA} = ∑_{i=1}^{k} e^{tA}P_{i} = ∑_{i=1}^{k} e^{tλ_{i}I_{n}+t(A−λ_{i}I_{n})}P_{i}
= ∑_{i=1}^{k} e^{λ_{i}tI_{n}}e^{t(A−λ_{i}I_{n})}P_{i} = ∑_{i=1}^{k} e^{λ_{i}t} ∑_{j=0}^{∞} \frac{t^{j}}{j!}(A − λ_{i}I_{n})^{j}P_{i}

= ∑_{i=1}^{k} e^{λ_{i}t} ∑_{j=0}^{p_{i}−1} \frac{t^{j}}{j!}(A − λ_{i}I_{n})^{j}P_{i}.

7 指数写像

定義 7.1 G を Lie 群とし、その Lie 環を 𝔤 とする。 X ∈ 𝔤 に対して定理 5.4 で存在を示した X の積分曲線 c : R → G で c(0) = e となるものをとり、 exp X = c(1) とおくことによって写像 exp : 𝔤 → G を定義する。 exp を Lie 群 G の指数写像と呼ぶ。

例 7.2 例 6.3 で示したように GL(n, R) の Lie 環 𝔤𝔩(n, R) の元 X に対応する一径数部分群は e^{tX} になるので、 GL(n, R) の指数写像は行列の指数関数に一致する。

命題 7.3 G を Lie 群とし、その Lie 環を 𝔤 とする。 X ∈ 𝔤 に対して定理 5.4 の対応で対応する G の一径数部分群は t ↦ exp tX になる。

証明 X ∈ 𝔤 に対して定理 5.4 の対応で対応する G の一径数部分群を t ↦ c(t, X) と書くことにする。 s ∈ R に対して、

\frac{d}{dt}c(st, X) = sX_{c(st,X)} (t ∈ R)

となるので、 t ↦ c(st, X) は sX ∈ 𝔤 に対応する一径数部分群になる。よって c(st, X) = c(t, sX) となり t = 1 とおくと

c(s, X) = c(1, sX) = exp sX.

これより X ∈ 𝔤 に対応する G の一径数部分群は t ↦ exp tX に一致する。

命題 7.4 G を Lie 群とし、その Lie 環を 𝔤 とすると、 G の指数写像 exp : 𝔤 → G は C^{∞} 級写像である。

証明 X_{1}, …, X_{n} を 𝔤 の基底とし u_{1}, …, u_{n} をその双対基底とすると、 u_{1}, …, u_{n} は 𝔤 の座標になる。 G の局所座標近傍 (U; x_{1}, …, x_{n}) で e ∈ U, x_{1}(e) = ⋯ = x_{n}(e) = 0 を満たすものをとっておく。 ∑_{i=1}^{n} u_{i}X_{i} ∈ 𝔤 に対応する一径数部分群を

c(t; u_{1}, …, u_{n}) と書くことにする。

\frac{d}{dt}c(t; u_{1}, …, u_{n}) = ∑_{i=1}^{n} u_{i}(X_{i})_{c(t;u_{1},...,u_{n})}

だから、各 X_{i} の U における局所表示を

(X_{i})_{x} = ∑_{j=1}^{n} a_{ji}(x) \frac{∂}{∂x_{j}} |_{x}

とすると c(t; u_{1}, …, u_{n}) は

\frac{d}{dt}x_{j}(c(t; u_{1}, …, u_{n})) = ∑_{i=1}^{n} u_{i}a_{ji}(c(t; u_{1}, …, u_{n}))

を満たす。常微分方程式の解はパラメーターに関して滑らかだから、写像

(t, u_{1}, …, u_{n}) ↦ (x_{1}(c(t; u_{1}, …, u_{n})), …, x_{n}(c(t; u_{1}, …, u_{n})))

は 0 の近傍で C^{∞} 級写像になる。

exp (∑_{i=1}^{n} u_{i}X_{i}) = c(1; u_{1}, …, u_{n})

だから、 exp : 𝔤 → G は 0 のある開近傍 N で C^{∞} 級写像である。任意の X ∈ 𝔤 に対してある自然数 p が存在し\frac{1}{p}X ∈ N となる。そこで X の開近傍 O を\frac{1}{p}O ⊂ N となるようにとると

exp(Z) = exp (\frac{1}{p}Z)^{p} (Z ∈ O)

だから exp は O において C^{∞} 級写像である。したがって、 exp : 𝔤 → G は C^{∞} 級写像になる。定理 7.5 Lie 群 G とその Lie 環 𝔤 に対して、 G の指数写像 exp は 𝔤 における 0 のある開近傍と G における e のある開近傍の間の微分同型写像を与える。

証明 X ∈ 𝔤 ≅ T_{0}(𝔤) に対して

d exp_{0}(X) = \frac{d}{dt} exp(tX)|_{t=0} = X_{e} = α(X)

だから d exp_{e} = α : 𝔤 → T_{e}(G)。定理 2.8 より d exp_{e} は線形同型写像になる。逆関数定理より、 exp は 𝔤 における 0 のある開近傍と G における e のある開近傍の間の微分同型写像を与えることがわかる。

定義 7.6 G を Lie 群とし、その Lie 環を 𝔤 とする。定理 7.5 より exp は 𝔤 における 0 のある開近傍と G における e のある開近傍 U の間の微分同型写像になるので、 𝔤

の基底 X_{1}, …, X_{n} をとると exp (∑_{i=1}^{n} u_{i}X_{i}) ↦ (u_{1}, …, u_{n}) は U における局所座標

系になり u_{1}(e) = ⋯ = u_{n}(e) = 0 を満たす。 (u_{1}, …, u_{n}) を 𝔤 の基底 X_{1}, …, X_{n} に関する G の標準座標系と呼び、 (U; u_{1}, …, u_{n}) を G の標準座標近傍と呼ぶ。

命題 7.7 G を Lie 群とし、その Lie 環を 𝔤 とする。 X, Y ∈ 𝔤, f ∈ C^{∞}(G), g ∈ G に対して

(Xf)(g) = \frac{d}{dt}f(g exp tX)|_{t=0}
([X, Y]f)(g) = \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t}f(g exp sX exp tY (exp sX)^{−1})|_{s=t=0}

が成り立つ。

証明接ベクトル X_{g} は曲線 t ↦ g exp tX の t = 0 における速度ベクトルになっているので

(Xf)(g) = X_{g}(f) = \frac{d}{dt}f(g exp tX)|_{t=0}

が成り立つ。これを 2 回使うと

(XY f)(g) = \frac{d}{ds}(Y f)(g exp sX)|_{s=0} = \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t}f(g exp sX exp tY)|_{s=t=0}

= \frac{∂}{∂t} ( \frac{∂}{∂s}f(g exp sX exp tY (exp sX)^{−1} exp sX)|_{s=0})|_{t=0}

= \frac{∂}{∂t} ( \frac{∂}{∂s}f(g exp sX exp tY (exp sX)^{−1})|_{s=0}

+ \frac{∂}{∂s}f(g exp tY exp sX)|_{s=0})|_{t=0} (Leibniz の法則より)

= \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t}f(g exp sX exp tY (exp sX)^{−1})|_{s=t=0} + (Y Xf)(g).

したがって

([X, Y]f)(g) = \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t}f(g exp sX exp tY (exp sX)^{−1})|_{s=t=0} .

系 7.8 Lie 群 G が可換ならば G の Lie 環 𝔤 の任意の元 X, Y に対して [X, Y] = 0 となる。

証明 f ∈ C^{∞}(G), g ∈ G に対して

([X, Y]f)(g) = \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t}f(g exp sX exp tY (exp sX)^{−1})|_{s=t=0}
= \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t}f(g exp tY)|_{s=t=0} = 0.

したがって [X, Y] = 0 となる。

定義 7.9 Lie 環 𝔤 の任意の元 X, Y に対して [X, Y] = 0 となるとき、 𝔤 は可換であるという。この用語を使うと系 7.8 は可換 Lie 群の Lie 環は可換になると言い換えることができる。

8 準同型写像

命題 8.1 Lie 群の準同型写像の合成は Lie 群の準同型写像になる。 Lie 環の準同型写像の合成は Lie 環の準同型写像になる。

定理 8.2 G, H を Lie 群とし、これらの Lie 環をそれぞれ 𝔤, 𝔥 とおく。 f : G → H を Lie 群の準同型写像とする。定理 2.8 の線形同型写像を α_{G} : 𝔤 → T_{e}(G), α_{H} : 𝔥 → T_{e}(H) とすると、 df = α_{H}^{−1} ∘ df_{e} ∘ α_{G} : 𝔤 → 𝔥 は Lie 環の準同型写像になる。

証明 X ∈ 𝔤 に対して、 df_{e}(X_{e}) ∈ T_{e}(H) を H 上の左不変ベクトル場に拡張したものが df(X) になる。任意の g ∈ G に対して、

df_{g}(X_{g}) = df_{g} ∘ (dL_{g})_{e}(X_{e}) = d(f ∘ L_{g})_{e}(X_{e}).

ここで x ∈ G に対して

(f ∘ L_{g})(x) = f(gx) = f(g)f(x) = (L_{f(g)} ∘ f)(x)

だから、

df_{g}(X_{g}) = d(f ∘ L_{g})_{e}(X_{e}) = d(L_{f(g)} ∘ f)(X_{e})
= (dL_{f(g)})_{e} ∘ df_{e}(X_{e}) = df(X)_{f(g)}.

よって X, Y ∈ 𝔤 に対して

df_{g}(X_{g}) = df(X)_{f(g)}, df_{g}(Y_{g}) = df(Y)_{f(g)} (g ∈ G)

が成り立つので Lie ブラケット積と微分写像の関係 (補題 2.9 の一般化) を使うと

df_{g}([X, Y]_{g}) = [df(X), df(Y)]_{f(g)} (g ∈ G)

となる。特に

df_{e}([X, Y]_{e}) = [df(X), df(Y)]_{e}

が成立し、定理 2.8 より [df(X), df(Y)] は H 上の左不変ベクトル場だから、

df([X, Y]) = [df(X), df(Y)].

したがって df : 𝔤 → 𝔥 は Lie 環の準同型になる。

定義 8.3 Lie 群の準同型写像 f : G → H に対して、 df = α_{H}^{−1} ∘ df_{e} ∘ α_{G} : 𝔤 → 𝔥 を f の微分と呼ぶ。この用語を使うと定理 8.2 は Lie 群の準同型写像の微分は Lie 環の準同型写像になると言い換えることができる。

命題 8.4 A, B, C を Lie 群とし、これらの Lie 環をそれぞれ 𝔞, 𝔟, 𝔠 とおく。 A の恒等写像の微分は 𝔞 の恒等写像である。また f : A → B, g : B → C を Lie 群の準同型写像とすると、 d(g ∘ f) = dg ∘ df : 𝔞 → 𝔠 が成り立つ。

証明

d(id_{A}) = α_{A}^{−1} ∘ d(id_{A})_{e} ∘ α_{A} = α_{A}^{−1} ∘ id_{T_{e}(A)} ∘ α_{A} = id
d(g ∘ f) = α_{C}^{−1} ∘ d(g ∘ f)_{e} ∘ α_{A} = α_{C}^{−1} ∘ dg_{e} ∘ df_{e} ∘ α_{A}
= α_{C}^{−1} ∘ dg_{e} ∘ α_{B} ∘ α_{B}^{−1} ∘ df_{e} ∘ α_{A} = dg ∘ df

系 8.5 A, B を Lie 群とし、これらの Lie 環をそれぞれ 𝔞, 𝔟 とおく。 f : A → B を Lie 群の同型写像とすると、 df : 𝔞 → 𝔟 は Lie 環の同型写像になる。

証明

df ∘ d(f^{−1}) = d(f ∘ f^{−1}) = d(id_{B}) = id

同様にして d(f^{−1}) ∘ df = id となり d(f^{−1}) = df^{−1}。したがって df は Lie 環の同型写像になる。

命題 8.6 G, H を Lie 群とし、これらの Lie 環をそれぞれ 𝔤 , 𝔥 とおく。 f : G → H を Lie 群の準同型写像とすると、

f(exp X) = exp(df(X)) (X ∈ 𝔤)

が成り立つ。ただし、左辺の exp は G の指数写像で右辺の exp は H の指数写像である。

証明 Lie 群の準同型写像の合成は Lie 群の準同型写像になるので (命題 8.1)、 t ↦ f(exp tX) は H の一径数部分群になる。定理 5.4 よりある Y ∈ 𝔥 が存在して、

f(exp tX) = exp tY (t ∈ R)

となる。 t = 0 で両辺を微分すると、

(左辺) = \frac{d}{dt}f(exp tX)|_{t=0} = df_{e}(X_{e})
(右辺) = \frac{d}{dt} exp tY |_{t=0} = Y_{e}.

したがって、 df_{e}(X_{e}) = Y_{e} となり df(X) = Y 。これより、 f(exp tX) = exp(tdf(X)) が成り立つ。特に t = 1 とすると、 f(exp X) = exp(df(X))。

定義 8.7 Lie 群 G と有限次元ベクトル空間 V に対して、 G から GL(V) への Lie 群の準同型写像を G の表現と呼ぶ。 Lie 環 𝔤 とベクトル空間 V に対して、 𝔤 から 𝔤𝔩(V) への Lie 環の準同型写像を 𝔤 の表現と呼ぶ。

命題 8.8 Lie 環 𝔤 の元 X に対して ad(X)(Y) = [X, Y], Y ∈ 𝔤 として ad(X) ∈ 𝔤𝔩(𝔤) を定めると ad : 𝔤 → 𝔤𝔩(𝔤) は Lie 環の表現になる。

証明 X, Y, Z ∈ 𝔤 に対して

[ad(X), ad(Y)](Z)
= ad(X)ad(Y)(Z) − ad(Y)ad(X)(Z) = [X, [Y, Z]] − [Y, [X, Z]]
= [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] = −[Z, [X, Y]] (Jacobi 律)
= ad([X, Y])(Z)

となるので [ad(X), ad(Y)] = ad([X, Y]) が成り立ち、 ad は Lie 環の表現になる。

定義 8.9 Lie 環 𝔤 に対して定まる表現 ad : 𝔤 → 𝔤𝔩(𝔤) を 𝔤 の随伴表現と呼ぶ。

定理 8.10 Lie 群 G の元 g に対して Ad(g) = d(L_{g} ∘ R_{g^{−1}}) とおく。 G の Lie 環を 𝔤 とすると、 Ad(g) ∈ GL(𝔤) となり g exp(X)g^{−1} = exp(Ad(g)X) (g ∈ G, X ∈ 𝔤) が成り立つ。さらに、 Ad : G → GL(𝔤) は Lie 群の表現になり Ad の微分は 𝔤 の随伴表現に一致する。

証明 L_{g} ∘ R_{g^{−1}} は G の自己同型写像だから、系 8.5 より Ad(g) は 𝔤 の自己同型写像になる。特に Ad(g) ∈ GL(𝔤) となる。命題 8.6 より

g exp(X)g^{−1} = exp(Ad(g)X) (g ∈ G, X ∈ 𝔤)

が成り立つ。命題 8.4 を使うと g, h ∈ G に対して

Ad(gh) = d(L_{gh} ∘ R_{(gh)^{−1}}) = d(L_{g} ∘ L_{h} ∘ R_{g^{−1}} ∘ R_{h^{−1}})
= d(L_{g} ∘ R_{g^{−1}} ∘ L_{h} ∘ R_{h^{−1}}) = d(L_{g} ∘ R_{g^{−1}}) ∘ d(L_{h} ∘ R_{h^{−1}})
= Ad(g) ∘ Ad(h)

となるので Ad : G → GL(𝔤) は群の準同型写像である。

次に Ad が C^{∞} 級写像になることを示そう。 GL(𝔤) における座標は 𝔤 の基底 X_{1}, …, X_{n} とその双対基底 θ_{1}, …, θ_{n} を使って GL(𝔤) → R; u ↦ θ_{i}(u(X_{j})) と表すことができる。したがって G → R; g ↦ θ_{i}(ad(g)(X_{j})) が C^{∞} 級関数になることを示せばよい。定理 2.8 の証明と同様、

θ_{i}(Ad(g)(X_{j})) = θ_{i}(α_{G}^{−1} ∘ dL_{g} ∘ dR_{g^{−1}} ∘ α_{G}(X_{j}))

は g に関する C^{∞} 級関数になる。

最後に Ad の微分が 𝔤 の随伴表現に一致することを示そう。命題 7.7 より、 X, Y ∈ 𝔤, f ∈ C^{∞}(G), g ∈ G に対して

([X, Y]f)(g) = \frac{∂}{∂s} \frac{∂}{∂t}f(g exp sX exp tY (exp sX)^{−1})|_{s=t=0}
= \frac{∂}{∂s} ( \frac{∂}{∂t}f(g exp(Ad(exp sX)tY))|_{t=0})|_{s=0}
= \frac{∂}{∂s} ((Ad(exp sX)Y)f(g))|_{s=0}
= \frac{∂}{∂s} ((Ad(exp sX)Y))|_{s=0} f(g)

したがって

\frac{d}{ds}Ad(exp sX)Y |_{s=0} = [X, Y] = ad(X)(Y)

となり

\frac{d}{ds}Ad(exp sX)|_{s=0} = ad(X)

が成り立つので、 Ad の微分は ad になる。

定義 8.11 Lie 群 G に対して定まる表現 Ad : G → GL(V) を G の随伴表現と呼ぶ。

例 8.12 有限次元ベクトル空間 V に対する一般線形群 GL(V) の随伴表現を求めてみよう。例 7.2 より、 GL(V) の指数写像は線形変換の指数関数に一致する。 g ∈ GL(V), X ∈ 𝔤𝔩(V) に対して

Ad(g)X = \frac{d}{dt}(ge^{tX}g^{−1})|_{t=0} = \frac{d}{dt}e^{tgXg^{−1}} |_{t=0} = gXg^{−1}.

9 閉 Lie 部分群

定義 9.1 Lie 群 H が Lie 群 G の Lie 部分群であるとは、 H が G の部分多様体であり同時に H が G の部分群であることをいう。

補題 9.2 G を Lie 群とし、その Lie 環を 𝔤 とする。 G の Lie 部分群 H の包含写像を ι : H → G とすると dι : 𝔥 → dι(𝔥) は Lie 環の同型写像になる。

証明 ι の微分 dι : 𝔥 → 𝔤 は定理 8.2 より Lie 環の準同型写像になり、 H が G の部分多様体であることから単射になる。したがって dι : 𝔥 → dι(𝔥) は Lie 環の同型写像になる。

定義 9.3 補題 9.2 において、 dι(𝔥) を Lie 部分群 H に対応する Lie 部分環と呼ぶ。今後、 dι によって 𝔥 と dι(𝔥) を同一視する。

命題 9.4 G を Lie 群とし、 H を G の Lie 部分群とする。 G, H の Lie 環をそれぞれ 𝔤, 𝔥 とし、指数写像を exp_{G}, exp_{H} とする。このとき X ∈ 𝔥 に対して exp_{G}(X) = exp_{H}(X) が成り立つ。

証明包含写像を ι : H → G とすると ι は Lie 群の準同型写像になる。命題 8.6 より X ∈ 𝔥 に対して ι(exp_{H}(X)) = exp_{G}(dι(X)) が成り立つ。 ι と dι による同一視をすると exp_{G}(X) = exp_{H}(X)。

補題 9.5 G を Lie 群とし、その Lie 環を 𝔤 とする。 𝔤 = 𝔞 + 𝔟 を 𝔤 の直和分解とする。 φ(X, Y) = exp(X) exp(Y) によって C^{∞} 級写像 φ : 𝔞 × 𝔟 → G を定めると 𝔞, 𝔟 における 0 の開近傍 U, V と G における e の開近傍 W が存在し φ は U × V と W の間の微分同型を与える。

証明 dφ_{0} は線形写像だから、 (X, Y) ∈ 𝔞 × 𝔟 に対して

dφ_{0}(X, Y) = dφ_{0}((X, 0) + (0, Y)) = dφ_{0}(X, 0) + dφ_{0}(0, Y)

= \frac{d}{dt} exp(tX))|_{t=0} + \frac{d}{dt} exp(tY)|_{t=0}

= X_{e} + Y_{e} = α(X + Y)

となるので dφ_{0} = α : 𝔤 → T_{e}(G) が成り立ち定理 2.8 より dφ_{0} は線形同型写像である。逆関数定理を使うと、 𝔞, 𝔟 における 0 の開近傍 U, V と G における e の開近傍 W が存在し φ は U × V と W の間の微分同型を与えることがわかる。

定理 9.6 G を Lie 群とし H を G の部分群とする。 H が G の閉集合ならば、 H は相対位相に関して Lie 部分群になる。証明 𝔤 上のノルム | | を 1 つとっておく。

S = \{X ∈ 𝔤 |X_{n} ∈ 𝔤 − \{0\}, exp X_{n} ∈ H, lim_{n→∞} X_{n} = 0, lim_{n→∞} \frac{X_{n}}{|X_{n}|} = X \}

とおく。まず X ∈ S に対して exp tX ∈ H (t ∈ R) が成り立つことを示そう。

X_{n} ∈ 𝔤 − \{0\}, exp X_{n} ∈ H, lim_{n→∞} X_{n} = 0, lim_{n→∞} \frac{X_{n}}{|X_{n}|} = X としておく。 t ∈ R に

対して t = m_{n}|X_{n}| + r_{n}, 0 ≤ r_{n} < |X_{n}| となる整数 m_{n} と実数 r_{n} をとる。すると lim_{n→∞} X_{n} = 0 だから lim_{n→∞} r_{n} = 0 となって lim_{n→∞} m_{n}|X_{n}| = t。したがって

tX = lim_{n→∞} m_{n}|X_{n}| lim_{n→∞} \frac{X_{n}}{|X_{n}|} = lim_{n→∞} m_{n}X_{n}.

exp は連続だから

exp tX = lim_{n→∞} exp m_{n}X_{n} = lim_{n→∞}(exp X_{n})^{m_{n}} ∈ H (H は閉集合).

次に 𝔥 = {tX|t ∈ R, X ∈ S} とおいて 𝔥 が 𝔤 の部分ベクトル空間になることを示す。そのためには 𝔥 が加法について閉じていることを示せば十分。 X, Y ∈ 𝔥 − {0} とすると exp tX, exp tY ∈ H (t ∈ R)。曲線 t ↦ exp tX exp tY は t = 0 で e を通り像は H に含まれている。定理 7.5 より、 exp は 𝔤 における 0 のある開近傍と G における e のある開近傍の間の微分同型写像を与えるので、 0 を含むある開区間 I で定義された 𝔤 の曲線 c : I → 𝔤 が存在し c(0) = 0, exp(c(t)) = exp tX exp tY (t ∈ I) となる。この両辺を t = 0 で微分すると

α (\frac{dc}{dt}(0)) = X_{e} + Y_{e} = α(X + Y)

となる。定理 2.8 より\frac{dc}{dt}(0) = X + Y 。したがって lim_{t→0} \frac{c(t)}{t} = X + Y 。十分大きい n に対しては\frac{1}{n} ∈ I となるので Z_{n} = c(\frac{1}{n}) とおくと Z_{n} ≠ 0 で

exp Z_{n} = exp (c (\frac{1}{n})) ∈ H,

lim_{n→∞} Z_{n} = lim_{n→∞} c (\frac{1}{n}) = c(0) = 0,

lim_{n→∞} \frac{Z_{n}}{|Z_{n}|} = lim_{n→∞} \frac{c (\frac{1}{n})}{|c (\frac{1}{n})|} = lim_{n→∞} \frac{c (\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} |\frac{\frac{1}{n}}{c (\frac{1}{n})}| = \frac{X + Y}{|X + Y |}

が成り立つ。したがって\frac{X+Y}{|X+Y |} ∈ S となり X + Y ∈ 𝔥。これで 𝔥 が 𝔤 の部分ベクトル空間であることがわかった。

H の位相は相対位相を考えることにし、 H に G の部分多様体になるような多様体構造が存在することを示そう。 𝔤 における 𝔥 の補空間 𝔥′ を 1 つとり直和分解: 𝔤 = 𝔥 + 𝔥′ をつくると、補題 9.5 より、 𝔥, 𝔥′ における 0 の開近傍 U, V と G における e の開近傍 W が存在し φ : 𝔥 × 𝔥′ → G; (X, Y) ↦ exp(X) exp(Y) は U × V と W の間の微分同型を与える。 𝔥 における 0 の近傍 N をとると exp(N) は H における e の近傍になることを示す。 exp(N) が H における e の近傍にならないと仮定して矛盾を導こう。 Euclid 空間の開集合は可算開基を持つので、特に e は可算基本近傍系を持つ。したがって、 e に収束する点列 g_{n} が存在し g_{n} ∈ H, g_{n} ∉ exp(N) を満たす。 U ⊂ N, g_{n} ∈ W となるように U と g_{n} をとりなおすと、 X_{n} ∈ U, Y_{n} ∈ V が存在し g_{n} = exp X_{n} exp Y_{n} を満たす。 g_{n} ∉ exp(N) だから Y_{n} ≠ 0。\frac{Y_{n}}{|Y_{n}|} のノルムは 1 だから部分列をとりなおすことにより\frac{Y_{n}}{|Y_{n}|} は収束列になる。 X = lim_{n→∞} \frac{Y_{n}}{|Y_{n}|} ∈ 𝔥′ とおく。 exp Y_{n} = (exp X_{n})^{−1}g_{n} ∈ H, lim_{n→∞} Y_{n} = 0 が成り立つので X ∈ S ⊂ 𝔥 となり矛盾。特に exp(U) は H における e の開近傍になる。 𝔥 の基底 X_{1}, …, X_{k} をと

り x ∈ exp(U) に対して exp^{−1}(x) = ∑_{i=1}^{k} x_{i}(x)X_{i} とおく。 H は G の部分群だから各

h ∈ H に対して L_{h}(exp(U)) ⊂ H となり {(L_{h}(exp(U)); x_{1} ∘ L_{h}^{−1}, …, x_{k} ∘ L_{h}^{−1})}_{h∈H} は H に多様体の構造を与える。さらにこの多様体構造に関して H は G の部分多様体になっている。

上で定めた多様体構造に関して H が Lie 群であることを示す。 τ : G × G → G; (g, h) ↦ gh^{−1} とすると、 τ は連続写像で H の位相は相対位相だから τ の H への制限 τ_{H} : H × H → H も連続になる。 (h_{1}, h_{2}) ∈ H × H に対して、逆関数定理を使うと、 τ_{H}(h_{1}, h_{2}) = h_{1}h_{2}^{−1} を含む G の局所座標近傍 (W; x_{1}, …, x_{n}) が存在し

V = {z ∈ W |x_{i}(z) = 0 (k + 1 ≤ i ≤ n)}

は H における h_{1}h_{2}^{−1} の開近傍になり、 x_{1}, …, x_{k} のそこへの制限は H の局所座標系になることがわかる。 τ_{H} は H の位相に関して連続だから (h_{1}, h_{2}) の H × H における開近傍 U が存在し τ_{H}(U) ⊂ V となる。 U → W; (x, y) ↦ xy^{−1} は C^{∞} 級写像になるので (x, y) ↦ x_{i}(xy^{−1}) は U 上の C^{∞} 級関数になる。したがって τ_{H} : U → V は C^{∞} 級写像である。これで τ_{H} が C^{∞} 級写像になることがわかり、 H は Lie 群である。以上より H は G の Lie 部分群である。

定義 9.7 定理 9.6 より、 Lie 群の閉部分群は相対位相に関して Lie 部分群になるので、この Lie 部分群の構造を持っている閉部分群を閉 Lie 部分群と呼ぶことにする。

命題 9.8 Lie 群 G とその Lie 部分群 H の Lie 環をそれぞれ 𝔤, 𝔥 とおくと

𝔥 = {X ∈ 𝔤| exp tX ∈ H(t ∈ R), t ↦ exp tX は H の位相に関して連続}

が成り立つ。 H が閉 Lie 部分群の場合は

𝔥 = {X ∈ 𝔤| exp tX ∈ H(t ∈ R)}

が成り立つ。証明

𝔥′ = {X ∈ 𝔤| exp tX ∈ H(t ∈ R), t ↦ exp tX は H の位相に関して連続}

とおいておく。 𝔥 ⊂ 𝔥′ は補題 9.2 と定義 9.3 よりわかる。 X ∈ 𝔥′, s ∈ R に対して、 exp sX を含む G の局所座標近傍 (W; x_{1}, …, x_{n}) が存在し

V = {z ∈ W |x_{i}(z) = 0 (k + 1 ≤ i ≤ n)}

は H における exp sX の開近傍になり、 x_{1}, …, x_{k} のそこへの制限は H の局所座標系になる。 t ↦ exp tX は H の位相に関して連続だから s を含む開区間 I が存在し exp tX ∈ V (t ∈ I) となる。 I → W; t ↦ exp tX は C^{∞} 級写像になるので t ↦ x_{i}(exp tX) は I 上の C^{∞} 級関数になる。したがって t ↦ exp tX は H の多様体構造に関して C^{∞} 級写像である。これで X ∈ 𝔥 がわかり、 𝔥′ ⊂ 𝔥 である。以上より 𝔥 = 𝔥′ である。さらに H が閉 Lie 部分群の場合は H の位相は相対位相だから X ∈ 𝔤 が exp tX ∈ H(t ∈ R) を満たせば t ↦ exp tX は H の位相に関して連続になり 𝔥 = {X ∈ 𝔤| exp tX ∈ H(t ∈ R)} が成り立つ。

系 9.9 Lie 群 G の閉 Lie 部分群 H, K の Lie 環をそれぞれ 𝔥, 𝔨 とおくと H ∩ K は G の閉 Lie 部分群になりその Lie 環は 𝔥 ∩ 𝔨 である。

定義 9.10 一般線形群の閉 Lie 部分群を線形 Lie 群と呼ぶ。

例 9.11 G を一般線形群 GL(V) の閉 Lie 部分群とし、 G の Lie 環を 𝔤 とおく。例 7.2 より GL(V) の指数写像は指数関数になるので、 X ∈ 𝔤 に対して exp_{G}(X) = e^{X} が成り立つ。さらに g ∈ G, X ∈ 𝔤 に対して

Ad_{G}(g)X = \frac{d}{dt}(ge^{tX}g^{−1})|_{t=0} = \frac{d}{dt}e^{tgXg^{−1}} |_{t=0} = gXg^{−1}.

10 線形 Lie 群

補題 10.1 Lie 環 𝔤 の表現 ρ : 𝔤 → 𝔤𝔩(V) と v ∈ V に対して 𝔥 = {X ∈ 𝔤 | ρ(X)v = 0} とおくと 𝔥 は 𝔤 の Lie 部分環になる。

証明 a, b ∈ R, X, Y ∈ 𝔥 に対して

ρ(aX + bY)v = aρ(X)v + bρ(Y)v = 0,
ρ([X, Y])v = ρ(X)ρ(Y)v − ρ(Y)ρ(X)v = 0

だから aX + bY, [X, Y] ∈ 𝔥 となり 𝔥 は 𝔤 の Lie 部分環である。補題 10.2 Lie 群 G の表現 ρ : G → GL(V) と v ∈ V に対して

H = {g ∈ G | ρ(g)v = v}

とおくと H は G の閉 Lie 部分群になる。 𝔥 を H の Lie 環とすると

𝔥 = {X ∈ 𝔤 | dρ(X)v = 0}

が成り立つ。

証明 g, h ∈ H に対して ρ(gh^{−1})v = ρ(g)ρ(h^{−1})v = v だから gh^{−1} ∈ H となり H は G の部分群である。次に ρ : G → GL(V) は C^{∞} 級写像だから ρ_{v} : G → V; g ↦ ρ(g)v とおくと ρ_{v} も C^{∞} 級写像になる。よって H = ρ_{v}^{−1}(v) は G の閉集合である。したがって H は G の閉 Lie 部分群である (定理 9.6 と定義 9.7)。

命題 9.8 より、 X ∈ 𝔥 をとると、任意の t ∈ R に対して exp tX ∈ H となるので ρ(exp tX)v = v が成り立つ。両辺を t = 0 で微分し命題 8.6 を使うと

0 = \frac{d}{dt}ρ(exp tX)v|_{t=0} = \frac{d}{dt}e^{tdρ(X)}v|_{t=0} = dρ(X)v.

逆に dρ(X)v = 0 となる X ∈ 𝔤 をとると任意の t ∈ R に対して

ρ(exp tX)v = exp(tdρ(X))v = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}(tdρ(X))^{n}v = v

だから exp tX ∈ H となり命題 9.8 より X ∈ 𝔥 を得る。

補題 10.3 有限次元実ベクトル空間 V に対して det : GL(V) → GL(R) = R − {0} は GL(V) の表現になり、 det の微分は tr : 𝔤𝔩(V) → 𝔤𝔩(R) = R である。

証明行列式の性質より det : GL(V) → GL(R) = R − {0} は GL(V) の表現になる。 X ∈ 𝔤𝔩(V) に対して X : V → V の固有値を λ_{i} (1 ≤ i ≤ k) とし、各固有値の重複度を p_{i} とすると、例 6.4 より、

det(e^{tX}) = ∏_{i=1}^{k}(e^{λ_{i}t})^{p_{i}} = ∏_{i=1}^{k} e^{p_{i}λ_{i}t}.

したがって、

\frac{d}{dt} det(e^{tX})|_{t=0} = \frac{d}{dt} ∏_{i=1}^{k} e^{p_{i}λ_{i}t}|_{t=0} = ∑_{i=1}^{k} p_{i}λ_{i} = tr(X)

となり、 det の微分は tr になる。定義 10.4 V を有限次元実ベクトル空間とし、 SL(V) = {g ∈ GL(V) | det g = 1} と表すと、補題 10.2 と補題 10.3 より SL(V) は線形 Lie 群になる。 SL(V) を特殊線形群と呼ぶ。 SL(V) の Lie 環を 𝔰𝔩(V) で表すと、補題 10.2 と補題 10.3 より

𝔰𝔩(V) = {X ∈ 𝔤𝔩(V) | trX = 0}

となる。 R^{n} における特殊線形群とその Lie 環を SL(n, R), 𝔰𝔩(n, R) とも書く。

命題 10.5 V を有限次元ベクトル空間とし A : V × V → R を双線形写像とする。

G = {g ∈ GL(V) | A(gu, gv) = A(u, v) (u, v ∈ V)}

とおくと G は線形 Lie 群になる。 𝔤 を G の Lie 環とすると

𝔤 = {X ∈ 𝔤𝔩(V) | A(Xu, v) + A(u, Xv) = 0 (u, v ∈ V)}

が成り立つ。

証明 V ×V から R への双線形写像の全体を M^{2}(V, R) で表す。 b, c ∈ R, B, C ∈ M^{2}(V, R) に対して (bB + cC)(u, v) = bB(u, v) + cC(u, v) (u, v ∈ V) によって bB + cC ∈ M^{2}(V, R) を定めるとこの演算によって M^{2}(V, R) はベクトル空間になる。 g ∈ GL(V), B ∈ M^{2}(V, R) に対して

(ρ(g)B)(u, v) = B(g^{−1}u, g^{−1}v) (u, v ∈ V)

として ρ(g)B ∈ M^{2}(V, R) を定めると ρ(g) ∈ GL(M^{2}(V, R))。 g, h ∈ GL(V), u, v ∈ V について

(ρ(gh)B)(u, v) = B((gh)^{−1}u, (gh)^{−1}v) = B(h^{−1}g^{−1}u, h^{−1}g^{−1}v)
= (ρ(h)B)(g^{−1}u, g^{−1}v) = (ρ(g)(ρ(h)B))(u, v)

だから ρ(gh) = ρ(g)ρ(h) となり ρ : GL(V) → GL(M^{2}(V, R)) は群の準同型写像である。各 u, v ∈ V, B ∈ M^{2}(V, R) について g ↦ (ρ(g)B)(u, v) は C^{∞} 級関数だから ρ は C^{∞} 級写像になる。したがって ρ は Lie 群の準同型写像である。 ρ の定義より G = {g ∈ GL(V)|ρ(g)A = A}。補題 10.2 を適用すると G は線形 Lie 群になる。

GのLie環を求めるためにρの微分を計算する。 X ∈ 𝔤𝔩(V), B ∈ M^{2}(V, R), u, v ∈ V について

(dρ(X)B)(u, v) = \frac{d}{dt}(ρ(e^{tX})B)(u, v)|_{t=0} = \frac{d}{dt}B(e^{−tX}u, e^{−tX}v)|_{t=0}
= −B(Xu, v) − B(u, Xv)

だから補題 10.2 より

𝔤 = {X ∈ 𝔤𝔩(V) | dρ(X)A = 0}
= {X ∈ 𝔤𝔩(V) | A(Xu, v) + A(u, Xv) = 0 (u, v ∈ V)}.

定義 10.6 V を有限次元ベクトル空間とし A を V 上の正定値内積とする。 V の A に関する直交変換の全体を O(V) = O(V; A) で表すと命題 10.5 より O(V) は線形 Lie 群になる。 O(V) を直交群と呼ぶ。 O(V) の Lie 環を 𝔬(V) = 𝔬(V; A) で表すと命題 10.5 より

𝔬(V) = {X ∈ 𝔤𝔩(V) | A(Xu, v) + A(u, Xv) = 0 (u, v ∈ V)}

となる。 R^{n} の標準内積に関する直交群とその Lie 環を O(n), 𝔬(n) とも書く。

注意 10.7 O(n) は n 次直交行列の全体であり 𝔬(n) は n 次交代行列の全体である。

定義 10.8 V を有限次元ベクトル空間とし A を V 上の正定値内積とする。

SO(V) = SO(V; A) = SL(V) ∩ O(V; A)

と表すと、系 9.9 より SO(V) は線形 Lie 群になる。 SO(V) を回転群または特殊直交群と呼ぶ。 SO(V) の Lie 環を 𝔰𝔬(V) = 𝔰𝔬(V; A) で表すと系 9.9 より 𝔰𝔬(V) = 𝔰𝔩(V)∩ 𝔬(V) = 𝔬(V) となる。 R^{n} の標準内積に関する回転群とその Lie 環を SO(n), 𝔰𝔬(n) とも書く。

定義 10.9 V を有限次元複素ベクトル空間とし、 I : V → V; v ↦ \sqrt{−1}v とする。 V の実正則線形変換の全体を GL_{R}(V)、その Lie 環を 𝔤𝔩_{R}(V) で表す。例 8.12 より g ∈ GL_{R}(V) に対して Ad(g)I = gIg^{−1} だから V の複素正則線形変換の全体 GL_{C}(V) は

{g ∈ GL_{R}(V) | Ad(g)I = I}

に一致し、系9.9より線形Lie群になる。 GL_{C}(V)を複素一般線形群と呼ぶ。 GL_{C}(V) の Lie 環を 𝔤𝔩_{C}(V) で表す。定理 8.10 より

dAd(X)T = ad(X)(T) = XT − T X (X, T ∈ 𝔤𝔩_{R}(V))

だから、

GL_{C}(V) = {g ∈ GL_{R}(V) | gI = Ig},
𝔤𝔩_{C}(V) = {X ∈ 𝔤𝔩_{R}(V) | XI = IX}

となっている。 𝔤𝔩_{C}(V) は V の複素線形変換の全体である。 GL_{C}(C^{n}), 𝔤𝔩_{C}(C^{n}) は GL(n, C), 𝔤𝔩(n, C) とも書く。

定義 10.10 Lie 群 G と複素有限次元ベクトル空間 V に対して、 G から GL_{C}(V) への Lie 群の準同型写像を G の複素表現と呼ぶ。 Lie 環 𝔤 とベクトル空間 V に対して、 𝔤 から 𝔤𝔩_{C}(V) への Lie 環の準同型写像を 𝔤 の複素表現と呼ぶ。

命題 10.11 Lie 群 G の複素表現の微分は、 G の Lie 環 𝔤 の複素表現になる。

証明 ρ : G → GL_{C}(V) を G の複素表現とし、 I を V の複素構造とする。命題 8.6 より、 X ∈ 𝔤 に対して

I exp(tdρ(X))I^{−1} = Iρ(exp tX)I^{−1} = ρ(exp tX) = exp(tdρ(X))

が成り立つ。両辺を t = 0 で微分すると

Idρ(X)I^{−1} = dρ(X)

となり、 dρ(X) ∈ 𝔤𝔩_{C}(V)。したがって、 dρ : 𝔤 → 𝔤𝔩_{C}(V) は 𝔤 の複素表現になる。

補題 10.12 複素有限次元実ベクトル空間V に対してdet_{C} : GL_{C}(V) → GL_{C}(C) = C−{0} は GL_{C}(V) の複素表現になり、 det_{C} の微分は tr_{C} : 𝔤𝔩_{C}(V) → 𝔤𝔩_{C}(C) = C である。

証明補題 10.3 と同様に証明することができる。

定義 10.13 V を有限次元複素ベクトル空間とし det_{C} で複素行列式を表す。

SL_{C}(V) = {g ∈ GL_{C}(V) | det_{C} g = 1}

と表すと補題 10.2 と補題 10.3 より、 SL_{C}(V) は線形 Lie 群になる。 SL_{C}(V) を複素特殊線形群と呼ぶ。 SL_{C}(V) の Lie 環を 𝔰𝔩_{C}(V) で表すと補題 10.2 と補題 10.3 より、

𝔰𝔩_{C}(V) = {X ∈ 𝔤𝔩_{C}(V) | tr_{C}X = 0}

となる。 C^{n} における複素特殊線形群とその Lie 環を SL(n, C), 𝔰𝔩(n, C) とも書く。

定義 10.14 V を有限次元複素ベクトル空間とし A を V 上の正定値 Hermite 内積とする。 V の A に関するユニタリ変換の全体を U(V) = U(V; A) で表すと命題 10.5 より U(V) は線形 Lie 群になる。 U(V) をユニタリ群と呼ぶ。 U(V) の Lie 環を 𝔲(V) = 𝔲(V; A) で表すと命題 10.5 より

𝔲(V) = {X ∈ 𝔤𝔩_{C}(V) | A(Xu, v) + A(u, Xv) = 0 (u, v ∈ V)}

となる。 C^{n} の標準 Hermite 内積に関するユニタリ群とその Lie 環を U(n), 𝔲(n) とも書く。

注意 10.15 U(n) は n 次ユニタリ行列の全体であり 𝔲(n) は n 次交代 Hermite 行列の全体である。

定義 10.16 V を有限次元複素ベクトル空間とし A を V 上の正定値 Hermite 内積とする。 SU(V) = SU(V; A) = SL_{C}(V) ∩ U(V; A) と表すと系 9.9 より SU(V) は線形 Lie 群になる。 SU(V) を特殊ユニタリ群と呼ぶ。 SU(V) の Lie 環を 𝔰𝔲(V) = 𝔰𝔲(V; A) で表すと系 9.9 より 𝔰𝔲(V) = 𝔰𝔩_{C}(V) ∩ 𝔲(V) となる。 C^{n} の標準 Hermite 内積に関する特殊ユニタリ群とその Lie 環を SU(n), 𝔰𝔲(n) とも書く。

11 Lie 部分群と Lie 部分環

定理 11.1 Lie 群 G の Lie 環を 𝔤 とする。 𝔤 の Lie 部分環 𝔥 に対して G の連結な Lie 部分群で対応する Lie 部分環が 𝔥 になるものが一意に存在する。

証明 dim𝔥 = k としておく。各 g ∈ G に対して ℌ_{g} = d(L_{g})_{e}(α(𝔥)) とおくと、 ℌ_{g} は T_{g}(G) の k 次元部分ベクトル空間になる。 g ∈ G に対して ℌ_{g} を対応させる対応 ℌ が G 上の k 次元分布になることを示す。 𝔤 の基底 X_{1}, …, X_{n} を X_{1}, …, X_{k} ∈ 𝔥 となるようにとる。各 X_{i} は G 上の左不変ベクトル場だから 1 ≤ i ≤ k に対して (X_{i})_{g} ∈ ℌ_{g}(g ∈ G) が成り立ち、 ℌ は G 上の k 次元分布である。 X, Y を ℌ に属す

るベクトル場とすると、 f_{i}, g_{i} ∈ C^{∞}(G) が存在し X = ∑_{i=1}^{k} f_{i}X_{i}, Y = ∑_{i=1}^{k} g_{i}X_{i} と書

ける。 f ∈ C^{∞}(G) に対して、

[X, Y](f) = ∑_{i,j=1}^{k}[f_{i}X_{i}, g_{j}X_{j}](f) = ∑_{i,j=1}^{k}{f_{i}X_{i}(g_{j}X_{j}(f)) − g_{j}X_{j}(f_{i}X_{i}(f))}

= ∑_{i,j=1}^{k}{f_{i}(X_{i}g_{j})(X_{j}f) + f_{i}g_{j}X_{i}X_{j}f − g_{j}(X_{j}f_{i})(X_{i}f) − g_{j}f_{i}X_{j}X_{i}f}

= ∑_{i,j=1}^{k}{f_{i}(X_{i}g_{j})X_{j} − g_{j}(X_{j}f_{i})X_{i} + f_{i}g_{j}[X_{i}, X_{j}]}(f)

となるので、

[X, Y] = ∑_{i,j=1}^{k}{f_{i}(X_{i}g_{j})X_{j} − g_{j}(X_{j}f_{i})X_{i} + f_{i}g_{j}[X_{i}, X_{j}]}.

𝔥 は 𝔤 の Lie 部分環だから [X_{i}, X_{j}] ∈ 𝔥 となり、 [X, Y] は ℌ に属する。よって ℌ は G 上の完全積分可能な k 次元分布である。 Frobenius の定理より G の単位元 e を含む ℌ の極大連結積分多様体 H が存在する。 g ∈ G に対して L_{g}(H) は G の部分多様体になり各 x ∈ H について

T_{gx}(L_{g}(H)) = d(L_{g})_{x}T_{x}(H) = d(L_{g})_{x}ℌ_{x} = d(L_{g})_{x}d(L_{x})_{e}(α(𝔥))
= d(L_{gx})_{e}(α(𝔥)) = ℌ_{gx}

が成り立つので L_{g}(H) は ℌ の連結積分多様体である。そこで g ∈ H に対して L_{g^{−1}}(H) を考えると L_{g^{−1}}(H) は ℌ の連結積分多様体になり L_{g^{−1}}(H) ∋ L_{g^{−1}}(g) = e。 H の極大性より L_{g^{−1}}(H) ⊂ H となり、 g^{−1} ∈ L_{g^{−1}}(H) ⊂ H、すなわち g^{−1} ∈ H。また L_{g^{−1}}(H) ⊂ H に L_{g} を作用させると H ⊂ L_{g}(H) となり、 H の極大性より H = L_{g}(H) が成り立ち、 H は G の部分群になる。

H が G の Lie 部分群であることを証明しよう。 H は連結だから G の単位元の連結成分 G_{0} に含まれる。命題 3.2 より G_{0} は連結 Lie 群になるので、定理 3.1 より可算開基を持つ。 H は G_{0} の連結部分多様体だから可算開基を持つ。 τ_{H} : H × H → G; (g, h) ↦ gh^{−1} は C^{∞} 級写像で、 H は G の部分群だから τ_{H}(H × H) ⊂ H。 H は可算開基を持つ ℌ の積分多様体なので、 τ_{H} : H × H → H は C^{∞} 級写像である。したがって H は Lie 群になり G の Lie 部分群である。 H の構成法より H に対応する Lie 部分環は 𝔥 である。

最後に一意性を証明する。 H′ も G の連結な Lie 部分群で対応する Lie 部分環が 𝔥 になるとする。命題 9.4 より H,H′ の指数写像は G の指数写像の制限になる。定理 7.5 より H と H′ は恒等写像によって微分同型になる単位元の開近傍 U を持つ。したがって H = ∪{U^{n}|n ∈ N} = H′ となり (定理 3.1)、 H と H′ は集合として一致する。恒等写像 ι : H → H′ は群の同型写像で単位元の開近傍 U において微分同型を与える。各 h ∈ H に対して L_{h^{−1}} ∘ ι = ι ∘ L_{h^{−1}} となるので ι は L_{h}(U) において微分同型を与える。したがって ι : H → H′ は Lie 群の同型写像になる。

系 11.2 Lie 群 G とその Lie 部分群 H の Lie 環をそれぞれ 𝔤, 𝔥 とする。各 g ∈ G に対して ℌ_{g} = d(L_{g})_{e}(α(𝔥)) とおくと、対応 ℌ は G 上の完全積分可能な分布になる。さらに H は ℌ の積分多様体になっている。

定義 11.3 𝔤 を Lie 環とする。 𝔤 の部分ベクトル空間 𝔥 が任意の X ∈ 𝔤, Y ∈ 𝔥 に対して [X, Y] ∈ 𝔥 を満たすとき、 𝔥 を 𝔤 のイデアルと呼ぶ。

命題 11.4 f : 𝔤 → 𝔥 を Lie 環の準同型写像とすると、 kerf は 𝔤 のイデアルになる。

証明 X ∈ 𝔤, Y ∈ kerf に対して、 f([X, Y]) = [f(X), f(Y)] = 0。したがって [X, Y] ∈ kerf となり、 kerf は 𝔤 のイデアルである。

命題 11.5 f : G → H を Lie 群の準同型写像とすると、 kerf は G の正規閉 Lie 部分群 (正規部分群でかつ閉 Lie 部分群) になる。 G の Lie 環を 𝔤 とすると kerf に対応する 𝔤 の Lie 部分環は kerdf で 𝔤 のイデアルになる。さらに G が連結の場合は f(G) は H の Lie 環の Lie 部分環 df(𝔤) に対応する H の連結 Lie 部分群に一致する。

証明 f は群の準同型写像だから kerf は G の正規部分群である。 kerf は 1 点の逆像だから、定理9.6より閉Lie部分群になる。 kerf に対応する𝔤のLie部分環を𝔥とおくと、命題 9.8 より X ∈ 𝔤 が 𝔥 の元になるための必要十分条件は exp tX ∈ kerf (t ∈ R) である。命題 8.6 より f(exp tX) = exp(tdf(X)) だから、 f(exp tX) = e (t ∈ R) の必要十分条件は df(X) = 0 となり X ∈ kerdf。したがって 𝔥 = kerdf。定理 8.2 より df は Lie 環の準同型になり、命題 11.4 より kerdf は 𝔤 のイデアルになる。

G が連結の場合を考えよう。定理 7.5 より、 exp(𝔤) は G における単位元の近傍になる。また定理 3.1 より G = ∪{exp(𝔤)^{n}|n ∈ N} だから

f(G) = f(∪{(exp 𝔤)^{n}|n ∈ N})
= ∪{(f(exp 𝔤))^{n}|n ∈ N}
= ∪{(exp(df(𝔤)))^{n}|n ∈ N} (命題 8.2 より)

となり f(G) は df(𝔤) に対応する連結 Lie 部分群に一致する。例 11.6 有限次元実ベクトル空間 V に対して det_{R} : GL_{R}(V) → GL_{R}(R) は Lie 群の準同型写像だから (補題 10.3)、 SL_{R}(V) = ker(det_{R}) は GL_{R}(V) の正規閉 Lie 部分群になる。 SL_{R}(V) に対応する Lie 部分環 𝔰𝔩_{R}(V) は 𝔤𝔩_{R}(V) のイデアルになる。また有限次元複素ベクトル空間 W に対しても det_{C} : GL_{C}(W) → GL_{C}(C) は Lie 群の準同型写像だから、 SL_{C}(W) = ker(det_{C}) は GL_{C}(W) の正規閉 Lie 部分群になる。 SL_{C}(W) に対応する Lie 部分環 𝔰𝔩_{C}(W) は 𝔤𝔩_{C}(W) のイデアルになる。

命題 11.7 Lie 群 G の Lie 部分群 H が可算個の連結成分を持つとする。 G と H の Lie 環をそれぞれ 𝔤, 𝔥 とおくと 𝔥 = {X ∈ 𝔤| exp tX ∈ H(t ∈ R)} が成り立つ。

証明命題 9.8 より

𝔥 = {X ∈ 𝔤| exp tX ∈ H(t ∈ R), t ↦ exp tX は H の位相に関して連続}

が成り立つので exp tX ∈ H(t ∈ R) となる X ∈ 𝔤 に対して t ↦ exp tX が H の位相に関して連続になることを示せばよい。 f : R → G; t ↦ exp tX は C^{∞} 級写像で f(R) ⊂ H。 H は可算個の連結成分を持つので、定理 3.1 より H は可算開基を持つ。また系 11.2 より H は G 上の完全積分可能な分布の積分多様体になっている。したがって、 f を H への写像とみなしても f : R → H は C^{∞} 級写像になる。特に H の位相に関して連続になる。

定理 11.8 G を Lie 群とし H をその Lie 部分群とする。 H の連結成分の個数は可算であるか、または H は閉 Lie 部分群であると仮定する。 G, H の Lie 環をそれぞれ 𝔤, 𝔥 としておく。このとき、 H が G の正規部分群ならば 𝔥 は 𝔤 のイデアルである。

証明 X ∈ 𝔤, Y ∈ 𝔥 とすると、 H は G の正規部分群だから定理 8.10 を使うと

exp(Ad(exp sX)(tY)) = exp(sX) exp(tY) exp(sX)^{−1} ∈ H (s, t ∈ R)

が成り立ち、命題 9.8 または 11.7 より Ad(exp sX)Y ∈ 𝔥 となる。

\frac{d}{ds}Ad(exp sX)Y |_{s=0} = [X, Y] (定理 8.10)

だから [X, Y] ∈ 𝔥 となり、 𝔥 は 𝔤 のイデアルになる。

定理 11.9 G を連結 Lie 群とし H をその連結 Lie 部分群とする。 G, H の Lie 環をそれぞれ 𝔤, 𝔥 としておく。このとき、 H が G の正規部分群になるための必要十分条件は 𝔥 が 𝔤 のイデアルになることである。

証明定理 11.8 より H が G の正規部分群ならば 𝔥 は 𝔤 のイデアルになる。逆に 𝔥 が 𝔤 のイデアルとする。定理 7.5 より G における単位元の開近傍 U と 𝔤 における 0 の開近傍 V が存在し exp : V → U は微分同型写像になる。さらに exp(V ∩ 𝔥) は H における単位元の開近傍になる。 X ∈ 𝔤, Y ∈ 𝔥 に対して

(exp X)(exp Y)(exp X)^{−1} = exp(Ad(exp X)Y)

ここで命題 8.6 を Ad に適用すると定理 8.10 より

Ad(exp X)Y = e^{adX}Y = ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}(adX)^{n}Y ∈ 𝔥

だから (exp X) exp(V ∩ 𝔥)(exp X)^{−1} ⊂ H。したがって定理 3.1 より

(exp X)H(exp X)^{−1} = ⋃_{n=1}^{∞}(exp X) exp(V ∩ 𝔥)^{n}(exp X)^{−1}
= ⋃_{n=1}^{∞}((exp X) exp(V ∩ 𝔥)(exp X)^{−1})^{n} ⊂ H

であり G = ∪{U^{n}|n ∈ N} だから任意の g ∈ G に対して gHg^{−1} ⊂ H が成り立つ。よって H は G の正規部分群である。

定義 11.10 𝔤 を Lie 環とする。

ker(ad) = {X ∈ 𝔤 | 任意のY ∈ 𝔤 に対して[X, Y] = 0}

を 𝔤 の中心と呼ぶ。 (命題 11.4 より中心はイデアルになる。 )

補題 11.11 f, g を連結 Lie 群から Lie 群への Lie 群の準同型写像とする。もし df = dg ならば f = g が成り立つ。

証明 f, g を連結 Lie 群 G から Lie 群 H への Lie 群の準同型写像とする。 X ∈ 𝔤 に対して命題 8.6 より

f(exp X) = exp(df(X)) = exp(dg(X)) = g(exp X)

となるので f と g は exp(𝔤) において一致する。定理 7.5 と定理 3.1 を使うと G = ∪{exp(𝔤)^{n}|n ∈ N} となるので f と g は G 全体で一致する。

定理 11.12 連結 Lie 群 G の Lie 環を 𝔤 とする。 G の中心は随伴表現 Ad の核に一致する。特に G の中心は正規閉 Lie 部分群になり対応する Lie 部分環は 𝔤 の中心である。

証明 G の中心を Z で表す。随伴表現の定義 (定理 8.10, 定義 8.11) より Z ⊂ ker Ad はすぐにわかる。 g ∈ ker Ad とすると d(L_{g} ∘ R_{g}^{−1}) は 𝔤 の恒等写像になるので、補題 11.11 より L_{g} ∘ R_{g}^{−1} は G の恒等写像になる。したがって g ∈ Z となり Z = ker Ad がわかった。命題 11.5 より Z は G の正規閉 Lie 部分群になり Z に対応する 𝔤 の Lie 部分環は ker dAd = ker ad で (定理 8.10)、 𝔤 の中心である。系 11.13 連結 Lie 群が可換になるための必要十分条件はその Lie 環が可換になることである。

証明 G を連結 Lie 群としその Lie 環を 𝔤 とする。 G が可換ならば 𝔤 も可換になることは系 7.8 で示した。そこで 𝔤 が可換であると仮定すると 𝔤 の中心は 𝔤 に一致する。定理 11.12 より G の中心は G に一致し G は可換になる。

12 線形 Lie 群の連結性

定理 12.1 ユニタリ群 U(n) の指数写像 exp : 𝔲(n) → U(n) は全射である。特に U(n) は連結である。

証明 U(n) の任意の元 u は正規行列だからユニタリ行列によって対角化可能である。つまり、ある g ∈ U(n) と a_{1}, …, a_{n} ∈ C が存在して

g^{−1}ug = [ \begin{matrix}a_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & a_{n} \end{matrix} ]

となる。 g^{−1}ug ∈ U(n) だから |a_{1}| = ⋯ = |a_{n}| = 1。よって θ_{1}, …, θ_{n} ∈ R が存在して a_{i} = e^{\sqrt{−1}θ_{i}} (1 ≤ i ≤ n) となる。

u = g [ \begin{matrix}a_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & a_{n} \end{matrix} ] g^{−1} = exp Ad(g) [ \begin{matrix}\sqrt{−1}θ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & \sqrt{−1}θ_{n} \end{matrix} ] .

ここで注意 10.15 より

[ \begin{matrix}\sqrt{−1}θ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & \sqrt{−1}θ_{n} \end{matrix} ] ∈ 𝔲(n)

で g ∈ U(n) だから

Ad(g) [ \begin{matrix}\sqrt{−1}θ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & \sqrt{−1}θ_{n} \end{matrix} ] ∈ 𝔲(n)

となり U(n) の指数写像は全射になる。 𝔲(n) は連結だから U(n) も連結。

定理 12.2 特殊ユニタリ群 SU(n) の指数写像 exp : 𝔰𝔲(n) → SU(n) は全射である。特に SU(n) は連結である。

証明定理 12.1 の証明と同様に SU(n) の任意の元 u に対して、ある g ∈ U(n) と θ_{1}, …, θ_{n} ∈ R が存在して

(∗) u = g exp [ \begin{matrix}\sqrt{−1}θ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & \sqrt{−1}θ_{n} \end{matrix} ] g^{−1}.

ここで det u = 1 だから θ_{1} + ⋯ + θ_{n} = 2πk (k ∈ Z)。 e^{\sqrt{−1}θ_{1}} = e^{\sqrt{−1}(θ_{1}−2πk)} より θ_{1} を θ_{1} − 2πk に置き換えても上の (∗) は成立し θ_{1} + ⋯ + θ_{n} = 0 となる。定義 10.16 より

[ \begin{matrix}\sqrt{−1}θ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & \sqrt{−1}θ_{n} \end{matrix} ] ∈ 𝔰𝔲(n)

で g ∈ U(n) だから

Ad(g) [ \begin{matrix}\sqrt{−1}θ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & \sqrt{−1}θ_{n} \end{matrix} ] ∈ 𝔰𝔲(n).

したがって SU(n) の指数写像は全射になる。 𝔰𝔲(n) は連結だから SU(n) も連結。

定理 12.3 回転群 SO(n) の指数写像 exp : 𝔰𝔬(n) → SO(n) は全射である。特に SO(n) は連結である。

証明 SO(n) ⊂ U(n) だから定理 12.1 の証明と同様に SO(n) の任意の元 u に対して、ある g ∈ U(n) と θ_{1}, …, θ_{n} ∈ R が存在して

u = g [ \begin{matrix}e^{\sqrt{−1}θ_{1}} \\ & . & . & . \\ & & & & e^{\sqrt{−1}θ_{n}} \end{matrix} ] g^{−1}.

u の固有多項式は実係数だから u の固有値に共役な値も u の固有値になる。 g の縦ベクトルの順序を適当にかえて

(∗) u = g [ \begin{matrix}e^{\sqrt{−1}θ_{1}} \\ & e^{−\sqrt{−1}θ_{1}} \\ & & . & . & . \\ & & & & & e^{\sqrt{−1}θ_{k}} \\ & & & & & & e^{−\sqrt{−1}θ_{k}} \\ & & & & & & & ε_{2k+1} \\ & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & ε_{n} \end{matrix} ] g^{−1}

とできる。ただし θ_{i} ∉ πZ (1 ≤ i ≤ k), ε_{j} = ±1 (2k + 1 ≤ j ≤ n)。 g = [g_{1} … g_{n}] と表すと ug_{2i−1} = e^{\sqrt{−1}θ_{i}}g_{2i−1} (1 ≤ i ≤ k)。 u は実行列だから uḡ_{2i−1} = e^{−\sqrt{−1}θ_{i}} ḡ_{2i−1} (1 ≤ i ≤ k)。そこで g_{2i} を ḡ_{2i−1} に置き換えても g ∈ U(n) となり (∗) は成り立つ。また ε_{j} ∈ R だから g_{j} ∈ R^{n} とすることができる。さらに det u = 1 だから ε_{j} = −1 となる ε_{j} の個数は偶数。よって g の縦ベクトルの順序を適当にかえて ε_{2k+1} = ⋯ = ε_{2l} = −1, ε_{2l+1} = ⋯ = ε_{n} = 1 とできる。 1 ≤ i ≤ k に対して

h_{2i−1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(g_{2i−1} + ḡ_{2i−1}), h_{2i} = \frac{1}{\sqrt{−2}}(g_{2i−1} − ḡ_{2i−1})

とおき h_{j} = g_{j} (2k + 1 ≤ j ≤ n) とすると h = [h_{1} … h_{n}] ∈ U(n) で h は実行列になる。したがって h ∈ O(n)。 1 ≤ i ≤ k に対して

uh_{2i−1} = \frac{1}{\sqrt{2}}(e^{\sqrt{−1}θ_{i}}g_{2i−1} + e^{−\sqrt{−1}θ_{i}} ḡ_{2i−1}) = cos θ_{i}h_{2i−1} − sin θ_{i}h_{2i}
uh_{2i} = \frac{1}{\sqrt{−2}}(e^{\sqrt{−1}θ_{i}}g_{2i−1} − e^{−\sqrt{−1}θ_{i}} ḡ_{2i−1}) = sin θ_{i}h_{2i−1} + sin θ_{i}h_{2i}

となるので

θ_{i} = π (k + 1 ≤ i ≤ l)

R_{i} = [ \begin{matrix}cos θ_{i} & sin θ_{i} \\ − sin θ_{i} & cos θ_{i} \end{matrix} ] (1 ≤ i ≤ l)

とおくと

u = h [ \begin{matrix}R_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & R_{l} \\ & & & & & 1 \\ & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & 1 \end{matrix} ] h^{−1}.

ところが X_{i} = [ \begin{matrix}0 & θ_{i} \\ −θ_{i} & 0 \end{matrix} ] (1 ≤ i ≤ l) とおくと exp X_{i} = R_{i} となるので

u = exp Ad(h) [ \begin{matrix}X_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & X_{l} \\ & & & & & 0 \\ & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & 0 \end{matrix} ] .

ここで注意 10.7 と定義 10.8 より

Ad(h) [ \begin{matrix}X_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & X_{l} \\ & & & & & 0 \\ & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & 0 \end{matrix} ] ∈ 𝔬(n) = 𝔰𝔬(n)

だから SO(n) の指数写像は全射になる。 𝔰𝔬(n) は連結だから SO(n) も連結。

系 12.4 直交群 O(n) は 2 つの連結成分 SO(n) と {g ∈ O(n)| det g = −1} を持つ。

証明 det(O(n)) = {±1} だから SO(n) と {g ∈ O(n)| det g = −1} はどちらも O(n) の開かつ閉集合。定理 12.3 より SO(n) は連結で、 det h = −1 となる h ∈ O(n) をとると

{g ∈ O(n)| det g = −1} = L_{h}(SO(n))

となりこれも連結。したがって SO(n) と L_{h}(SO(n)) はどちらも O(n) の連結成分になり O(n) = SO(n) ∪ L_{h}(SO(n)) は O(n) の連結成分への分解になっている。

定理 12.5 GL(n, C) と SL(n, C) は連結である。

証明 X ∈ 𝔤𝔩(n, C) の (i, j) 成分を X_{ij} で表すことにする。

T (n, C) = {X ∈ 𝔤𝔩(n, C)|X_{ii} > 0(1 ≤ i ≤ n), X_{ij} = 0(i > j)}

とおくと、 T (n, C) は 𝔤𝔩(n, C) の凸部分集合になる。特に T (n, C) は連結である。さらに、 X ∈ T (n, C) に対して det X = ∏_{i=1}^{n} X_{ii} > 0 だから X ∈ GL(n, C)。したがって T (n, C) ⊂ GL(n, C)。さらに T (n, C) は GL(n, C) の部分群になる。

P : U(n) × T (n, C) → GL(n, C); (a, X) ↦ aX

とおくとP は連続になる。さらにP が全射になることを示そう。任意のg ∈ GL(n, C) に対して g = [g_{1} … g_{n}] と縦ベクトル g_{i} ∈ C^{n} を使って表す。 g_{1}, …, g_{n} は C^{n} の基底になる。 C^{n} の標準的な Hermite 内積に関して g_{1}, … g_{n} に Gram-Schmidt の直交化を行う。 b_{1} = g_{1}, a_{1} = \frac{1}{|b_{1}|}b_{1} とし、 b_{k}, a_{k}(k ≥ 2) を次のように帰納的に定める。

b_{k} = g_{k} − ∑_{i=1}^{k−1}⟨g_{k}, a_{i}⟩a_{i}, a_{k} = \frac{1}{|b_{k}|}b_{k}.

すると a_{1}, …, a_{n} は C^{n} の正規直交基底になる。各 a_{k} は g_{1}, …, g_{k} の線形結合になっていて、その線形結合の g_{k} の係数は 1/|b_{k}| > 0 である。そこで基底の変換を

(∗) [a_{1} … a_{n}] = [g_{1} … g_{n}]X

で表すと X ∈ T (n, C) となる。 a = [a_{1} … a_{n}] とおくと a ∈ U(n) で a = gX。 g = aX^{−1} になり X^{−1} ∈ T (n, C) だから g = P (a, X^{−1})。したがって P は全射である。定理 12.1 より U(n) は連結で T (n, C) も連結だから GL(n, C) は連結である。

S : GL(n, C) → SL(n, C); X ↦ X [ \begin{matrix}\frac{1}{detX} & 0 & ⋯ & 0 \\ 0 & 1 & ... & ⋮ \\ ⋮ & ... & ... & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & 1 \end{matrix} ]

とおく。 S は連続になり X ∈ SL(n, C) に対して S(X) = X だから、 S(GL(n, C)) = SL(n, C) が成り立つ。よって SL(n, C) も連結になる。

定理 12.6 GL(n, R) は 2 つの連結成分

GL^{+}(n, R) = {g ∈ GL(n, R)| det g > 0}, {g ∈ GL(n, R)| det g < 0}

を持つ。 SL(n, R) は連結である。

証明定理 12.5 の証明で使った記号を使うことにする。

det : GL(n, R) → GL(1, R) = R − {0}

は連続であり、 GL^{+}(n, R) は開集合の逆像になるので GL(n, R) の開部分群になる。特に、 GL^{+}(n, R) は GL(n, R) の Lie 部分群である。 T (n, R) = 𝔤𝔩(n, R) ∩ T (n, C) とおくと、 T (n, R) は 𝔤𝔩(n, R) の凸部分集合になる。特に T (n, R) は連結である。さらに T (n, R) は GL^{+}(n, R) の部分群になる。以下で P (SO(n)×T (n, R)) = GL^{+}(n, R) を示そう。定理 12.5 の証明と同様にすると、任意の g ∈ GL^{+}(n, R) に対してある a ∈ O(n) と X ∈ T (n, R) が存在し a = gX となる。 det g > 0, det X > 0 だから det a = 1 になり a ∈ SO(n)。 g = aX^{−1} になり X^{−1} ∈ T (n, R)。したがって P (SO(n) × T (n, R)) = GL^{+}(n, R) である。定理 12.3 より SO(n) は連結で T (n, R) も連結だから GL^{+}(n, R) は連結である。

det^{−1}({t ∈ R|t > 0}) = GL^{+}(n, R),
det^{−1}({t ∈ R|t < 0}) = {g ∈ GL(n, R)| det g < 0}

はどちらも GL(n, R) の開かつ閉の連結部分集合になる。したがってこれら 2 つが GL(n, R) の連結成分である。

次に ST (n, R) = T (n, R) ∩ SL(n, R) とおくと S(T (n, R)) = ST (n, R) となり T (n, R) は連結だから ST (n, R) も連結になる。任意の g ∈ SL(n, R) に対して a = gX, a ∈ SO(n), X ∈ T (n, R) となり det g = 1 より det X = 1。したがって P (SO(n) × ST (n, R)) = SL(n, R)。 SO(n) は連結だから SL(n, R) も連結になる。系 12.7 V を n 次元実ベクトル空間とし、

B_{R}(V) = {(v_{1}, …, v_{n}) ∈ V^{n}|v_{1}, …, v_{n}は V の基底 }

として V の基底の全体 B_{R}(V) を定義すると B_{R}(V) は V^{n} の開集合で GL_{R}(V) と微分同型になる。特に B_{R}(V) は 2 つの連結成分を持つ。 n 次元複素ベクトル空間 W に対して同様に W の基底全体 B_{C}(W) を定義すると B_{C}(W) は W^{n} の開集合で GL_{C}(W) と微分同型になる。特に B_{C}(W) は連結になる。

証明 V の基底 e_{1}, …, e_{n} を 1 つ固定しておく。

T : 𝔤𝔩_{R}(V) → V^{n}; g ↦ (g(e_{1}), …, g(e_{n}))

とおくと、 T は線形同型写像になり T (GL_{R}(V)) = B_{R}(V)。したがって B_{R}(V) は V^{n} の開集合になり GL_{R}(V) と微分同型になる。定理 12.6 より B_{R}(V) は 2 つの連結成分を持つ。

複素ベクトル空間 W の場合も T と同様の写像を定義することにより、 B_{C}(W) は W^{n} の開集合で GL_{C}(W) と微分同型になることがわかる。定理 12.5 より B_{C}(W) は連結になる。

定義 12.8 有限次元実ベクトル空間 V の基底の全体 B_{R}(V) の 1 つの連結成分を V の向きと呼ぶ。系 12.7 より V は 2 つの向きを持っている。

系 12.9 n 次元実ベクトル空間 V の 2 つの基底 u_{1}, …, u_{n} と v_{1}, …, v_{n} が V の同じ向きに属するための必要十分条件は、基底の変換行列 X ∈ GL(n, R)(つまり (u_{1} … u_{n}) = (v_{1} … v_{n})X) が GL^{+}(n, R) に属することである。

系 12.10 内積を持つ n 次元実ベクトル空間 V の 2 つの正規直交基底 u_{1}, …, u_{n} と v_{1}, …, v_{n} が V の同じ向きに属するための必要十分条件は、基底の変換行列 X ∈ O(n)(つまり (u_{1} … u_{n}) = (v_{1} … v_{n})X) が SO(n) に属することである。