対称空間入門(第3回)

— 大阪市立大学数学研究所連続講義 — (数学院生談話会連続講義)

田崎博之

2011 年度 (2012 年 3 月 7 日–9 日)

2010 年度

(第 1 回 2010 年 11 月 11 日–13 日) (第 2 回 2011 年 3 月 16 日–18 日)

はしがき

2010 年度から始めた連続講義「対称空間入門」の第 3 回目にして最終回でもある今回の講義では、コンパクト型 Hermite 対称空間とそれらを含む対称 R 空間を導入し、これらの基本的性質について解説します。前回まで Riemann 対称空間を扱っていましたが、今回は正則等長的な点対称を持つ Hermite 対称空間について特に詳しく説明します。コンパクト型 Hermite 対称空間と対称 R 空間は Riemann 対称空間の中でも特によい性質を持つクラスです。コンパクト型 Hermite 対称空間の実形は対称 R 空間になり、逆に対称 R 空間はあるコンパクト型 Hermite 対称空間の実形になるという結果は、これらの対称空間の間の密接な関係を示しています。さらにこの結果はコンパクト型 Hermite 対称空間の実形の交叉を調べるときに重要な役割を演じます。

次に対称空間の極地と対蹠集合に関する解説をします。極地とは Riemann 対称空間の点対称の不動点集合の連結成分のことで、 Chen-Nagano [2] が導入した基本的な全測地的部分多様体です。各係数体の射影空間内の射影超平面は極地の例になっています。極地と対蹠集合は Riemann 対称空間の点対称から定まる概念ですので、すべての Riemann 対称空間に対して考えることができますが、コンパクト型 Hermite 対称空間と対称 R 空間の極地と対蹠集合は特に顕著な性質を持っています。コンパクト型 Hermite 対称空間と対称 R 空間は Lie 環に部分多様体として埋め込むことができ、点対称で固定される点と Lie 環の元として可換である点が対応します。このことから極大可換部分空間との交叉が大対蹠集合になることがわかり、極大可換部分空間の共役性から大対蹠集合の共役性が従います。これらに関する準備の後、コンパクト型 Hermite 対称空間の実形の交叉に関する研究 [11] と田中真紀子さんとの共同研究 [9]、 [10] の結果を紹介します。コンパクト型 Hermite 対称空間の二つの実形が横断的に交わるとき、その交叉は対蹠集合であるという結果を示すと、極地を使って交叉の詳しい性質を調べることが可能になります。特に既約コンパクト型 Hermite 対称空間の二つの実形の交点数を完全に決定できます。

二つの実形の交叉は対蹠集合であるというこの講義ノートで述べた結果は、二つの実形に関する Floer ホモロジーの決定や交点数の評価と積分公式から Lagrange 部分多様体の体積の評価を導くという入江博さん、酒井高司さんとの共同研究 [4] に応用できました。この実形の交叉の対蹠性の拡張とその応用については現在も共同研究が進展中です。今後のこの方面の研究の進展にこの講義ノートが役に立てばと願っています。

連続講義の第 3 回目を可能にしていただいた大仁田義裕さんと橋本要さん、講義を聞いていただいた方々、特に遠方から講義に出席された方々、講義ノートの不備や修正案を講義の際に示していただいた入江博さん、井川治さん、酒井高司さん、この講義ノートのもとになっている共同研究を推し進めていただいた田中真紀子さんに感謝しています。

2012 年 3 月 11 日

講義概要

Riemann 対称空間の中でも特によい性質を持つものに対称 R 空間とコンパクト型 Hermite 対称空間があります。これらの定義と基本的性質、対称 R 空間とコンパクト型 Hermite 対称空間の間の対応などについて解説します。次に Chen-Nagano の導入した極地の基本的部分を説明します。これらを利用して対称 R 空間とコンパクト型 Hermite 対称空間の対蹠集合の基本的性質を導きます。

目次

はしがき . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 講義概要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

第 5 章対称 R 空間 1 5.1 Hermite 対称空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5.2 コンパクト型 Hermite 対称空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5.3 対称 R 空間 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

第 6 章極地と対蹠集合 12 6.1 極地 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 6.2 対蹠集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6.3 対称 R 空間の対蹠集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6.4 コンパクト型 Hermite 対称空間の実形の交叉 . . . . . . . . . . . . . 25 6.5 既約コンパクト型 Hermite 対称空間の実形の交叉 . . . . . . . . . . 29

参考文献 36

第5章対称R空間

Riemann 対称空間の中でも特によい性質を持つ対称 R 空間についてこの章で解説する。コンパクト型 Hermite 対称空間はさらに特別な対称 R 空間であるが、それだけではなく対称 R 空間全体とも密接な関係がある。

5.1 Hermite 対称空間

定義 5.1.1 M を Hermite 多様体とする。任意の x ∈ M に対して M の対合的正則等長変換 s_{x} が存在して、 x は s_{x} の孤立不動点になるとき、 M を Hermite 対称空間と呼ぶ。

定義より Hermite 対称空間は Riemann 対称空間になる。

命題 5.1.2 Hermite 対称空間 M の正則等長変換全体の単位連結成分を G で表す。 G は M に推移的に作用し、 o ∈ M をとり K = {k ∈ G | ko = o} と定めると、 (G, K) は M を定める Riemann 対称対になる。さらに、 M は Kähler 多様体になる。

Riemann 対称対から Riemann 対称空間を定める [12] の定理 2.1.5 に対応する Hermite 対称空間に関する結果は次の命題である。

命題 5.1.3 [12] の定理 2.1.6 の設定に加えて原点 o の接ベクトル空間の直交変換 J_{o} が存在して、 J_{o}^{2} = −1 を満たし、 J_{o} は Ad(K) の各元の作用と可換になると仮定する。このとき、 J_{o} は一意的に G/K 上の G 不変概複素構造 J に拡張できる。さらに J は積分可能であり、 G/K は Hermite 対称空間になる。

定理 5.1.4 Hermite 対称空間 M の正則等長変換全体の単位連結成分 G が半単純になると仮定する。 o ∈ M をとる。 K = {k ∈ G | ko = o} とおき、 K に対応する Lie 環を 𝔨 で表す。このとき、 M の o における概複素構造 J_{o} は {adT | T ∈ 𝔨} の中心に含まれ、点対称 s_{o} は K の中心の単位連結成分に含まれる。

2 第 5 章対称 R 空間

上記の結果より、正則等長変換群の単位連結成分が半単純である場合、 Hermite 対称空間の概複素構造を見つけだすためにはイソトロピー部分群の Lie 環の中心を調べればよい。例 5.1.5 コンパクト型対称対 (SU(r + n), S(U(r) × U(n))) は複素 Grassmann 多様体 G_{r}(ℂ^{r+n}) を定める。イソトロピー部分群

S(U(r) × U(n)) = \{[ \begin{matrix}A & 0 \\ 0 & B \end{matrix} ] | A ∈ U(r), B ∈ U(n), det A det B = 1\}

の Lie 環

𝔰(𝔲(r) × 𝔲(n)) = \{[ \begin{matrix}X & 0 \\ 0 & Y \end{matrix} ] | X ∈ 𝔲(r), Y ∈ 𝔲(n), trX + trY = 0\}

の中心 𝔷(𝔨) は

𝔷(𝔨) = \{[ \begin{matrix}\frac{it}{r}1_{r} & 0 \\ 0 & −\frac{it}{n}1_{n} \end{matrix} ] | t ∈ ℝ\} .

対称対による Lie 環の分解を

𝔰𝔲(r + n) = 𝔰(𝔲(r) × 𝔲(n)) + 𝔪

と表すと

𝔪 = \{[ \begin{matrix}0 & X \\ −X^{∗} & 0 \end{matrix} ] | X ∈ M_{r,n}(ℂ)\}

が成り立つ。 ad(𝔷(𝔨)) の 𝔪 への作用は

[[ \begin{matrix}\frac{it}{r}1_{r} & 0 \\ 0 & −\frac{it}{n}1_{n} \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}0 & X \\ −X^{∗} & 0 \end{matrix} ]] = [ \begin{matrix}0 & \frac{i(r+n)t}{rn}X \\ −(\frac{i(r+n)t}{rn}X)^{∗} & 0 \end{matrix} ]

となる。 𝔪 を M_{r,n}(ℂ) と同一視すると、上記の 𝔷(𝔨) の元の作用は i(r + n)t/rn 倍になる。そこで t = rn/(r + n) とおくと、その作用は i 倍になる。これらの計算から

J = [ \begin{matrix}\frac{in}{r+n}1_{r} & 0 \\ 0 & −\frac{ir}{r+n}1_{n} \end{matrix} ] ∈ 𝔷(𝔨)

とおくと

(adJ)X = iX, (adJ)^{2}X = −X (X ∈ 𝔪)

が成り立つ。さらに、 adJ の 𝔪 への作用は、 [12] の 1.4 Grassmann 多様体で定めた 𝔪 上の内積に関して等長的になることがわかる。したがって、 adJ は複素 Grassmann 多様体 G_{r}(ℂ^{r+n}) の概複素構造を定め、これによって G_{r}(ℂ^{r+n}) は Hermite 対称空間になることがわかる。

r = 1 の場合は G_{1}(ℂ^{1+n}) は n 次元複素射影空間 ℂP^{n} になる。 ℂP^{n} の元は ℂ^{1+n} 内の複素 1 次元部分空間だから、生成ベクトル z = (z_{1}, …, z_{n+1}) ≠ 0 で表すことができる。 z, w ∈ ℂ^{1+n} − {0} が ℂP^{n} の同じ元を定めるための必要十分条件は ℂz = ℂw である。これより z の成分に関する同次多項式 f(z) から ℂP^{n} の部分集合 {ℂz ∈ ℂP^{n} | f(z) = 0} が定まる。たとえば、 {ℂz ∈ ℂP^{n} | z_{n+1} = 0} は ℂP^{n−1} と Hermite 多様体として同型になる。例 5.1.6 r + n 次元実ベクトル空間 ℝ^{r+n} 内の r 次元有向部分空間全体を G̃_{r}(ℝ^{r+n}) で表す。 G̃_{r}(ℝ^{r+n}) を有向実 Grassmann 多様体と呼ぶ。有向部分空間に対して向きを考えない部分空間を対応させることで、 G̃_{r}(ℝ^{r+n}) から G_{r}(ℝ^{r+n}) への二重被覆写像が定まる。これによって、 G̃_{r}(ℝ^{r+n}) にも rn 次元多様体構造が定まる。

SO(r + n) は G̃_{r}(ℝ^{r+n}) に推移的に作用する。 ℝ^{r} に標準的な向きを定めた有向部分空間を o で表す。

{k ∈ SO(r + n) | ko = o} = SO(r) × SO(n)

が成り立つことがわかる。これらによって、 G̃_{r}(ℝ^{r+n}) は SO(r+n)/SO(r)×SO(n) と微分同型になる。さらに、 G_{r}(ℝ^{r+n}) の場合と同様に G̃_{r}(ℝ^{r+n}) に Riemann 計量を定め Riemann 対称空間になることもわかる。

有向実 Grassmann 多様体 G̃_{r}(ℝ^{r+n}) は外積 ⋀^{r} ℝ^{r+n} への自然な埋め込みを持つ。 x ∈ G̃_{r}(ℝ^{r+n}) に対して、 x の正の向きの正規直交基底 x_{1}, …, x_{r} をとる。 x に x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{r} ∈ ⋀^{r} ℝ^{r+n} を対応させることで G̃_{r}(ℝ^{r+n}) から ⋀^{r} ℝ^{r+n} への写像が定まる。この写像の像

{x_{1} ∧ ⋯ ∧ x_{r} ∈ ⋀^{r} ℝ^{r+n} | x_{1}, …, x_{r} は ℝ^{r+n} 内の正規直交系}

は Euclid 空間 ⋀^{r} ℝ^{r+n} の部分多様体だから、 G̃_{r}(ℝ^{r+n}) と同一視すると便利なことがある。

r = 2 の場合、イソトロピー部分群 SO(2) × SO(n) の Lie 環 𝔬(2) × 𝔬(n) の中心 𝔷(𝔨) は

𝔷(𝔨) = 𝔬(2) × {0}.

Riemann 対称対による Lie 環の分解を

𝔬(2 + n) = 𝔬(2) × 𝔬(n) + 𝔪

と表すと

𝔪 = \{[ \begin{matrix}0 & X \\ −X^{∗} & 0 \end{matrix} ] | X ∈ M_{2,n}(ℝ)\} .

そこで

A = [ \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] ∈ 𝔷(𝔨)

とおくと

(adA)^{2}X = −X (X ∈ 𝔪)

が成り立つ。さらに、 adA の 𝔪 への作用は、 [12] の 1.4 Grassmann 多様体で定めた 𝔪 上の内積に関して等長的になることがわかる。したがって、 adA は G̃_{2}(ℝ^{2+n})

の概複素構造を定め、これによって G̃_{2}(ℝ^{2+n}) は Hermite 対称空間になることがわかる。

v ∈ G̃_{2}(ℝ^{2+n}) に対して、 v の正の向きの正規直交基底 x, y をとる。 z = x + iy ∈ ℂ^{2+n} とおく。 v に ℂz ∈ ℂP^{1+n} を対応させることで G̃_{2}(ℝ^{2+n}) から ℂP^{1+n} への写像が定まる。この写像の像は

{ℂ(x + iy) ∈ ℂP^{1+n} | x, y は ℝ^{2+n} 内の正規直交系}

となる。他方

∑_{a=1}^{2+n} z_{a}^{2} = ∑_{a=1}^{2+n}(x_{a} + iy_{a})^{2} = ∑_{a=1}^{2+n}(x_{a}^{2} − y_{a}^{2} + 2ix_{a}y_{a}) = 0

となるので、上記の写像の像は複素射影空間 ℂP^{1+n} 内の複素二次超曲面

Q_{n}(ℂ) = {ℂz ∈ ℂP^{1+n} | z_{1}^{2} + ⋯ + z_{2+n}^{2} = 0}

に含まれる。さらに、これらは一致することもわかる。そこで、これらを同一視して G̃_{2}(ℝ^{2+n}) も複素二次超曲面と呼ぶ。

例 5.1.7 実線形同型写像 σ : ℍ → ℍ を

σ(x_{0} + x_{1}i + x_{2}j + x_{3}k) = x_{0} + x_{1}i − x_{2}j − x_{3}k (x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3} ∈ ℝ)

によって定める。すると

iqi^{−1} = σ(q) (q ∈ ℍ)

が成り立つ。四元数行列の各成分に σ を作用させることにより、 σ の四元数行列への作用を定める。 I = i1_{n} とおくと

IXI^{−1} = σ(X) (X ∈ M_{n}(ℍ))

が成り立つ。これより σ を Sp(n) に制限すると Sp(n) の対合的自己同型写像になる。これも σ で表す。 F (σ, Sp(n)) = U(n) となり、 (Sp(n), U(n)) はコンパクト型 Riemann 対称対になる。 σ の誘導する Lie 環 𝔰𝔭(n) の対合的自己同型写像も σ に一致する。これの ±1 固有空間分解は

𝔰𝔭(n) = 𝔲(n) + 𝔪, 𝔪 = {X ∈ 𝔰𝔭(n) | X ∈ M_{n}(ℝj + ℝk)}

である。 X ∈ 𝔪 に対して IX = σ(X)I = −XI となる。そこで J = I/2 ∈ 𝔲(n) とおくと

(adJ)X = \frac{1}{2}(IX − XI) = IX, (adI)^{2}X = I^{2}X = −X.

これより Sp(n)/U(n) はコンパクト型 Hermite 対称空間であることがわかる。補題 5.1.8 M を Hermite 対称空間とする。このとき、 M の等長変換全体の単位連結成分 G′ が半単純になることと M の正則等長変換全体の単位連結成分 G が半単純になることは同値になる。さらにこの場合は G = G′ が成り立つ。

補題 5.1.8 より、 Riemann 対称空間のコンパクト型と非コンパクト型の定義 ([12] の定義 4.3.1) をそのまま Hermite 対称空間に対しても利用できる。

定理 5.1.9 コンパクト型 Hermite 対称空間は単連結になる。

単連結コンパクト型対称空間の既約対称空間の Riemann 積への分解に関する定理 ([12] の定理 4.3.7) に対応するコンパクト型 Hermite 対称空間の分解は次のようになる。非コンパクト型 Hermite 対称空間の場合も同様である。

命題 5.1.10 コンパクト型 Hermite 対称空間に対する [12] の定理 4.3.7 の分解の各因子はコンパクト型既約 Hermite 対称空間になる。非コンパクト型 Hermite 対称空間に対する [12] の定理 4.3.7 の分解の各因子は非コンパクト型既約 Hermite 対称空間になる。

定義 5.1.11 M を Hermite 多様体とする。 M の 0 ではない接ベクトル X に対して X の張る複素 1 次元部分空間は実 2 次元部分空間になりその断面曲率を X の正則断面曲率と呼ぶ。

定理 5.1.12 コンパクト型 Hermite 対称空間の正則断面曲率は正になる。非コンパクト型 Hermite 対称空間の正則断面曲率は負になる。

定義 5.1.13 D を ℂ^{n} の有界領域とする。任意の x ∈ D に対して D の対合的正則同型 s_{x} が存在して、 x は s_{x} の孤立不動点になるとき、 D を有界対称領域と呼ぶ。

定理 5.1.14 有界対称領域にはある Hermite 計量が存在して、非コンパクト型 Hermite 対称空間になる。逆に非コンパクト型 Hermite 対称空間に対して、それと正則同型になる有界対称領域が存在する。

5.2 コンパクト型 Hermite 対称空間

定理 5.2.1 𝔤 をコンパクト半単純 Lie 環とし、 G = Int(𝔤) とする。 𝔤 に G 不変内積 ⟨ , ⟩ を定める。 J ∈ 𝔤, J ≠ 0 を (adJ)^{3} = −adJ を満たす元とする。このとき、 J を通る G 軌道 M = G · J はコンパクト型 Hermite 対称空間になる。逆にコンパクト型 Hermite 対称空間はこのように表現される。

証明の概略 K = {k ∈ G | kJ = J} とすると、 M は G/K と微分同型であり、 K の Lie 環 𝔨 は

𝔨 = {X ∈ 𝔤 | [J, X] = 0} = ker(adJ)

が成り立つ。特に J ∈ 𝔨 である。 ⟨ , ⟩ に関する 𝔨 の直交補空間を 𝔪 とすると

𝔪 = {[J, X] | X ∈ 𝔤} = im(adJ)

が成り立つ。 (adJ)^{3} = −adJ より σ = e^{πadJ} とおくと、 σ は 𝔤 の対合的自己同型になる。このとき、 𝔨 は σ の固有値 1 に対する固有空間であり、 𝔪 は σ の固有値 −1 に対する固有空間である。 σ の誘導する G の対合的自己同型も σ で表すことにすると、これによって (G, K) は Riemann 対称対になる。さらに 𝔪 は adJ 不変になり、 (adJ|_{𝔪})^{2} = −1 が成り立つ。 adJ|_{𝔪} は 𝔪 の等長線形変換になることもわかる。したがって、 M = G/K はコンパクト型 Hermite 対称空間になる。

逆に、 M をコンパクト型 Hermite 対称空間とする。 M の等長変換全体の単位連結成分 G の Lie 環を 𝔤 とする。 M の複素構造を定める 𝔤 の元 J は (adJ)^{3} = −adJ を満たし、 M は Ad(G)J と微分同型になることがわかる。

定理 5.2.1 よりコンパクト型 Hermite 対称空間の随伴軌道表示の複素等質空間による表示を得る。そのために岩澤分解を準備する。

𝔤_{0} を実半単純 Lie 環とし、 𝔤_{0} = 𝔨_{0} + 𝔭_{0} をその Cartan 分解とする。 𝔭_{0} 内の極大可換部分空間 𝔞 をとり、 𝔞 を含む 𝔤_{0} の極大可換部分環 𝔥_{0} をとる。 𝔥_{0}^{ℂ} は複素半単純 Lie 環 𝔤_{0}^{ℂ} の Cartan 部分環になり、 [12] の定理 3.2.5 の 𝔥_{ℝ} は 𝔥_{ℝ} = \sqrt{−1}𝔨_{0} ∩ 𝔥_{0} + 𝔞 で与えられる。 𝔥_{ℝ} の部分空間 𝔞 の基底を先に並べることにより、 (𝔥_{ℝ})^{∗} に辞書式順序を入れる。 𝔤_{0}^{ℂ} の 𝔥_{0}^{ℂ} に関するルート系を Δ で表す。 α ∈ Δ のルート空間を 𝔤_{α} で表す。辞書式順序により Δ^{+} = {α ∈ Δ | α > 0} を定めることができる。

P_{+} = {α ∈ Δ^{+} | α|_{𝔞} ≠ 0}

によって P_{+} を定め、

𝔫 = ∑_{α∈P_{+}} 𝔤_{α}, 𝔫_{0} = 𝔤_{0} ∩ 𝔫, 𝔰_{0} = 𝔞 + 𝔫_{0}

とおく。すると、 𝔫 は 𝔤_{0}^{ℂ} の羃零 Lie 部分環、 𝔫_{0} は 𝔤_{0} の羃零 Lie 部分環、 𝔰_{0} は 𝔤_{0} の可解 Lie 部分環になる。

定理 5.2.2 (岩澤分解) 上記設定のもとで、 𝔤_{0} = 𝔨_{0} + 𝔞 + 𝔫_{0} は直和になる。これを 𝔤_{0} の岩澤分解と呼ぶ。 (G, K) を (𝔤_{0}, 𝔨_{0}) に対応する Riemann 対称対とし、 𝔞, 𝔫_{0} に対応する G の連結 Lie 部分群をそれぞれ A, N とする。このとき

K × A × N → G ; (k, a, n) ↦ kan

は微分同型写像になる。これを G の岩澤分解と呼ぶ。上記設定のもとで、

𝔲 = 𝔨_{0} + \sqrt{−1}𝔭_{0}, 𝔞^{∗} = 𝔨_{0} ∩ 𝔥_{0} + \sqrt{−1}𝔞, 𝔫_{+} = ∑_{α∈Δ^{+}} 𝔤_{α}

とおくと、 𝔲 は 𝔤_{0}^{ℂ} のコンパクト実形、 𝔞^{∗} は 𝔲 の極大可換部分環、 𝔫_{+} は 𝔤_{0}^{ℂ} の羃零 Lie 部分環になる。

定理 5.2.3 (岩澤分解) 上記設定のもとで、 𝔤_{0}^{ℂ} を実 Lie 環とみなしたとき 𝔤_{0}^{ℂ} = 𝔲 + 𝔞^{∗} + 𝔫_{+} は 𝔤_{0}^{ℂ} の岩澤分解になる。 G^{ℂ} を G の複素化とする。 𝔲, 𝔞^{∗}, 𝔫_{+} に対応する G^{ℂ} の連結 Lie 部分群をそれぞれ U, A^{∗}, N_{+} とする。このとき

U × A^{∗} × N_{+} → G^{ℂ} ; (u, a, n) ↦ uan

は G^{ℂ} 実 Lie 群とみなしたときの岩澤分解になる。

注意 5.2.4 連結実半単純 Lie 群 G の複素化がつねに存在するとはかぎらないが、 Int(𝔤_{0}) の複素化は存在することがわかる。

定理 5.2.1 はコンパクト半単純 Lie 環の特別な条件を満たす元の随伴軌道がコンパクト型 Hermite 対称空間になることを示している。次の命題は、コンパクト半単純 Lie 環の任意の元の随伴軌道は複素等質空間になることを示している。コンパクト半単純 Lie 環の元の随伴軌道は複素旗多様体と呼ばれていて、重要な複素等質空間の例を与えている。

命題 5.2.5 𝔲 をコンパクト半単純 Lie 環とし、 U = Int(𝔲) とする。任意の 0 ではない元 X ∈ 𝔲 に対してその随伴軌道 U · X は複素等質空間の構造を持つ。

証明の概略コンパクト半単純 Lie 環はあるコンパクト型 Riemann 対称空間の等長変換全体のなす Lie 群の Lie 環になり、対応する双対非コンパクト型 Riemann 対称空間に上記設定を適用できる。極大トーラスの共役性 ([12] の定理 2.2.4 と 2.3 節) より H ∈ U · X ∩ 𝔞^{∗} をとることができ、

U_{H} = {u ∈ U | u · H = H}

とおくと U · X ≅ U/U_{H} が成り立つ。 U_{H} に対応する Lie 環 𝔲_{H} は

𝔲_{H} = {Z ∈ 𝔲 | [H, Z] = 0}

となり、

𝔲_{H} + 𝔞^{∗} + 𝔫_{+} = 𝔥_{0}^{ℂ} + ∑_{{α∈Δ \atop α(H)=0}} 𝔤_{α} + ∑_{{α∈Δ^{+} \atop α(H)≠0}} 𝔤_{α}

は 𝔲^{ℂ} = 𝔤_{0}^{ℂ} の連結複素 Lie 部分環になることがわかる。これより、 U_{H}A^{∗}N_{+} は U^{ℂ} = Int(𝔲^{ℂ}) = Int(𝔤_{0}^{ℂ}) の複素 Lie 部分群になる。さらに、 U/U_{H} ≅ UA^{∗}N_{+}/U_{H}A^{∗}N_{+} = U^{ℂ}/U_{H}A^{∗}N_{+} が成り立つので、 U/U_{H} は複素等質空間になる。例 5.2.6 𝔰𝔲(r+n)の複素化は𝔰𝔩(r+n, ℂ)になる。 [12]の例3.2.4で定めた𝔰𝔩(r+n, ℂ) の Cartan 部分環 𝔥 は例 5.1.5 で定めた J を含む。例 3.2.4 で定めたルートに関して

{α ∈ Δ | α(J) = 0} = {α_{i,j} | 1 ≤ i ≠ j ≤ r} ∪ {α_{i,j} | r + 1 ≤ i ≠ j ≤ r + n}.

i < j のとき α_{i,j} > 0 となるように辞書式順序を導入しておくと、

{α ∈ Δ^{+} | α(J) ≠ 0} = {α_{i,j} | 1 ≤ i ≤ r, r + 1 ≤ j ≤ r + n}

となる。命題 5.2.5 の証明の概略中に定めた 𝔰𝔩(r + n, ℂ) 内の複素 Lie 部分環を 𝔭 で表すと

𝔭 = \{[ \begin{matrix}X & Y \\ 0 & Z \end{matrix} ] | \begin{matrix}X ∈ M_{r}(ℂ), Y ∈ M(r, n; ℂ), Z ∈ M_{n}(ℂ) \\ trX + trZ = 0 \end{matrix} \} .

SL(r + n, ℂ) 内の対応する複素 Lie 部分群を P で表すと

P = \{[ \begin{matrix}X & Y \\ 0 & Z \end{matrix} ] | \begin{matrix}X ∈ M_{r}(ℂ), Y ∈ M(r, n; ℂ), Z ∈ M_{n}(ℂ) \\ det X det Z = 1 \end{matrix} \}

が成り立つ。したがって、次の同型を得る。

G_{r}(ℂ^{r+n}) ≅ SU(r + n)/S(U(r) × U(n)) ≅ SL(r + n, ℂ)/P.

この同型は次のように考えても得られる。 [12] の 1.4 節では、 SU(r+n) は G_{r}(ℂ^{r+n}) に推移的に作用し ℂ^{r} を固定する部分群が S(U(r) × U(n)) になることを示して G_{r}(ℂ^{r+n}) ≅ SU(r + n)/S(U(r) × U(n)) が成り立つことがわかった。 SL(r + n, ℂ) も G_{r}(ℂ^{r+n}) に推移的に作用する。

{g ∈ SL(r + n, ℂ) | gℂ^{r} = ℂ^{r}} = P

がわかり、これより G_{r}(ℂ^{r+n}) ≅ SL(r + n, ℂ)/P が成り立つ。

5.3 対称 R 空間

この節では対称 R 空間の定義と基本的性質、コンパクト型 Hermite 対称空間との関係について解説する。その前に Hermite 多様体の実形について準備をしておく。

補題 5.3.1 Riemann 多様体の等長変換の不動点集合の連結成分は全測地的部分多様体になる。

定義 5.3.2 Kähler 多様体の対合的反正則等長変換の不動点集合が空ではないとき、実形と呼ぶ。 Kähler 多様体内の実次元が半分の実部分多様体への Kähler 形式の引き戻しが消えるとき、その実部分多様体を Lagrange 部分多様体と呼ぶ。

5.3. 対称 R 空間 9

補題 5.3.1 より、実形の各連結成分は全測地的 Lagrange 部分多様体になることがわかる。

例 5.3.3 実 Grassmann 多様体 G_{r}(ℝ^{r+n}) の元を複素化することにより複素 Grassmann 多様体 G_{r}(ℂ^{r+n}) の元が対応する。この対応により G_{r}(ℝ^{r+n}) は G_{r}(ℂ^{r+n}) の全測地的部分多様体になることがわかる。 G_{r}(ℂ^{r+n}) の元 W にその複素共役

W̄ = {w̄ | w ∈ W }

を対応させる写像は G_{r}(ℂ^{r+n}) の対合的反正則等長変換になり、その不動点集合は G_{r}(ℝ^{r+n}) に一致する。したがって、 G_{r}(ℝ^{r+n}) は G_{r}(ℂ^{r+n}) の実形である。

定義 5.3.4 連結 Riemann 多様体 M の等長変換全体のなす Lie 群の単位連結成分の元で写り合う部分集合を合同という。

例 5.3.5 複素二次超曲面 Q_{n}(ℂ) ⊂ ℂP^{n+1} の対合的反正則等長変換 τ_{k} (0 ≤ k ≤ n) を

τ_{k}(ℂz) = ℂ(z̄_{1}, …, z̄_{k+1}, −z̄_{k+2}, …, −z̄_{2+n}) (ℂz ∈ Q_{n}(ℂ))

によって定める。対応する G̃_{2}(ℝ^{2+n}) の写像も同じ記号 τ_{k} で表すことにすると、正規直交系 x, y ∈ ℝ^{2+n} に対して、

τ_{k}(x ∧ y) = [ x_{1} ; ⋮ ; x_{k+1} ; −x_{k+2} ; ⋮ ; −x_{2+n} ] ∧ [ −y_{1} ; ⋮ ; −y_{k+1} ; y_{k+2} ; ⋮ ; y_{2+n} ]

となる。 Q_{n}(ℂ) = G̃_{2}(ℝ^{2+n}) を G̃_{2}(ℝ^{2+n}) ⊂ ⋀^{2} ℝ^{2+n} とみなして、部分多様体 S^{k,n−k} を

S^{k,n−k} = S^{k}(ℝe_{1} + ⋯ + ℝe_{k+1}) ∧ S^{n−k}(ℝe_{k+2} + ⋯ + ℝe_{n+2})

によって定める。上の τ_{k} の表示より

F (τ_{k}, G̃_{2}(ℝ^{2+n})) = S^{k,n−k}

が成り立つことがわかり、 S^{k,n−k} は Q_{n}(ℂ) の実形になる。 S^{k,n−k} は S^{k} × S^{n−k}/ℤ_{2} と等長的である。 S^{k,n−k} と S^{n−k,k} は合同になることがわかる。さらに Q_{n}(ℂ) の任意の実形は S^{k,n−k} (0 ≤ k ≤ [n/2]) のいずれかと合同になることが知られている。

命題 5.3.6 (T.[11] と Tanaka-T.[10]) M をコンパクト Kähler 多様体とし、正則断面曲率は正と仮定する。このとき、 M の全測地的コンパクト Lagrange 部分多様体 L_{1}, L_{2} に対して、 L_{1} ∩ L_{2} ≠ ∅ が成り立つ。特に M の実形は連結になる。

証明 L_{1} ∩ L_{2} = ∅ と仮定して矛盾を導く。 L_{1} と L_{2} を最短測地線 c(s) (0 ≤ s ≤ d(L_{1}, L_{2})) で結ぶ。 M は Kähler 多様体だから、複素構造 J は平行になる。速度ベクトル c′(s) は c(s) に沿って平行になり、 Jc′(s) は c(s) に沿った平行法ベクトル場になる。 c(s) の最短性から c′(s) は端点でそれぞれ L_{1} と L_{2} に直交する。 L_{1}, L_{2} が Lagrange 部分多様体であることから、法ベクトル場 Jc′(s) は端点でそれぞれ L_{1} と L_{2} に接する。 Jc′(s) の生成する c(s) の変分曲線族 c_{t}(s) = Exp_{c(s)}(tJc′(s)) は、 L_{1}, L_{2} が全測地的部分多様体であることから、 L_{1}, L_{2} を結ぶ曲線族になる。この曲線族の長さに関する第一変分は 0 になり、 M の正則断面曲率が正であるという仮定から、第二変分は

\frac{d^{2}L(c_{t})}{dt^{2}} |_{t=0}
= ∫_{0}^{d(L_{1},L_{2})} {⟨∇_{∂/∂s}Jc′(s), ∇_{∂/∂s}Jc′(s)⟩ − ⟨R(Jc′(s), c′(s))c′(s), Jc′(s)⟩} ds
= − ∫_{0}^{d(L_{1},L_{2})}⟨R(Jc′(s), c′(s))c′(s), Jc′(s)⟩ds < 0.

これは c(s) の最短性に反する。したがって、 L_{1} ∩ L_{2} ≠ ∅ が成り立つ。

M の対合的反正則等長変換の不動点集合の各連結成分は全測地的コンパクト Lagrange 部分多様体になる。連結成分がもし二つ以上あると上で示したことより、それらは交わりを持つことになり矛盾する。したがって、連結成分は一つだけになり実形は連結になる。

命題 5.3.6 より、コンパクト型 Hermite 対称空間の実形は連結になり、二つの実形は必ず交わることがわかる。

定義 5.3.7 (G, K) を Riemann 対称対とし、これから定まる G の Lie 環 𝔤 の直和分解を 𝔤 = 𝔨 + 𝔪 とする。 X ∈ 𝔪 の Ad(K) 軌道 Ad(K)X が 𝔪 の Ad(K) 不変内積から誘導される Riemann 計量に関して Riemann 対称空間になるとき、 Ad(K)X を対称 R 空間と呼ぶ。

注意 5.3.8 定理 5.2.1 よりコンパクト型 Hermite 対称空間はコンパクト半単純 Lie 環の随伴表現の軌道として表現できる。したがって、コンパクト型 Hermite 対称空間は対称 R 空間になる。

定理 5.3.9 対称 R 空間はあるコンパクト型 Hermite 対称空間の実形になる。逆にコンパクト型 Hermite 対称空間の実形は対称 R 空間になる。

証明の概略 Riemann 対称対の線形イソトロピー表現は双対の線形イソトロピー表現と同値になるため、対称 R 空間を考える際の Riemann 対称対は非コンパクト型を考えれば十分である。 (G, K) を非コンパクト型 Riemann 対称対とし、これから定まる G の Lie 環 𝔤_{0} の直和分解を 𝔤_{0} = 𝔨_{0} + 𝔭_{0} とする。 X ∈ 𝔭_{0} に対して Ad(K)X が対称 R 空間であると仮定すると、必要なら X を定数倍することによって (adX)^{3} = adX が成り立つ。^{1} 𝔤_{0} に 5.2 節の設定と記号を使うことにする。

(ad(\sqrt{−1}X))^{3} = \sqrt{−1}^{3}(adX)^{3} = −\sqrt{−1}adX = −ad(\sqrt{−1}X)

となり、\sqrt{−1}X ∈ 𝔲 だから、 Ad(U)(\sqrt{−1}X) はコンパクト型 Hermite 対称空間になる。\sqrt{−1}Ad(K)X = Ad(K)(\sqrt{−1}X) より、 Ad(K)X は Ad(K)(\sqrt{−1}X) と同一視でき、 Ad(K)X はコンパクト型 Hermite 対称空間 Ad(U)(\sqrt{−1}X) の部分多様体になる。 X を含む 𝔭_{0} の極大可換部分空間 𝔞 をとり、これについても 5.2 節の設定と記号を使うことにする。 H = \sqrt{−1}X ∈ \sqrt{−1}𝔞 とおく。

K_{H} = {k ∈ K | k · H = H}

とおくと K · H ≅ K/K_{H} が成り立つ。 K_{H} に対応する Lie 環 𝔨_{H} は

𝔨_{H} = {Z ∈ 𝔨 | [Z, H] = 0}

である。定理 5.2.2(岩澤分解) より

K · H ≅ K/K_{H} ≅ KAN/K_{H}AN = G/K_{H}AN.

さらに 𝔤_{0} の Lie 部分環 𝔨_{H} + 𝔞 + 𝔫 の複素化が 𝔲_{H} + 𝔞^{∗} + 𝔫_{+} に一致することがわかる。 𝔤_{0}^{ℂ} の 𝔤_{0} に関する複素共役写像を σ で表すと、 σ は G^{ℂ} の自己同型写像を誘導し σ(U_{H}A^{∗}N_{+}) = U_{H}A^{∗}N_{+} を満たす。よって反正則微分同型写像 σ : G^{ℂ}/U_{H}A^{∗}N_{+} → G^{ℂ}/U_{H}A^{∗}N_{+} を誘導し、 σ の不動点集合は G/K_{H}AN に一致する。 σ を U/U_{H} で考えると等長変換であることもわかる。したがって、 Ad(K)X ≅ G/K_{H}AN はコンパクト型 Hermite 対称空間 G^{ℂ}/U_{H}A^{∗}N_{+} ≅ U/U_{H} の実形になる。

逆にコンパクト型 Hermite 対称空間の実形は対称 R 空間になることを定理 5.2.1 の設定のもとで示す。コンパクト型 Hermite 対称空間 M の対合的反正則等長変換 τ : M → M によって M の実形 L が定まっているとする。 I_{τ} : G → G ; g ↦ τgτ^{−1} によって、 G の自己同型 I_{τ} を定める。 L は J を含むと仮定しても一般性は失われない。 M の元 x は g ∈ G によって x = g · J と表すことができる。

τ(x) = (τg) · J = (τgτ^{−1}τ) · J = (I_{τ}(g)) · J

となるので、 F (I_{τ}, G) · J ⊂ F (τ, G · J) = L を得る。さらに、命題 5.3.6 より実形 L は連結になり、 F (I_{τ}, G) · J = L が成り立つことがわかる。 dI_{τ}(J) = −J が成り立ち J は dI_{τ} の −1 固有空間に含まれる。 (G, F (I_{τ}, G)) は Riemann 対称対になり、 L は対称 R 空間になる。

1(adX)^{3} = adX より adX の固有値は −1, 0, 1 になり、固有空間分解によって 𝔤_{0} の第一種階別 Lie 環の構造が定まる。これにより対称 R 空間と第一種階別 Lie 代数は対応する。

第6章極地と対蹠集合

この章では Chen-Nagano が [2] で導入した Riemann 対称空間の極地と [3] で導入した対蹠集合に関する基本事項を解説する。それらを利用して対称 R 空間とコンパクト型 Hermite 対称空間の対蹠集合の基本的性質を導く。さらに、コンパクト型 Hermite 対称空間内の二つの実形の交叉に関する田中真紀子さんとの共同研究の成果についても述べる。

6.1 極地

定義 6.1.1 M をコンパクト Riemann 対称空間とする。 M の点 x における点対称 s_{x} の固定点全体 F (s_{x}, M) を

F (s_{x}, M) = ⋃_{k=0}^{r} M_{k}^{+}

と連結成分の合併に分解する。この連結成分の一つ一つを M の極地と呼ぶ。極地が一点からなるとき極と呼ぶ。 {x} は必ず F (s_{x}, M) の連結成分になるため、 {x} は自明な極と呼ぶ。

補題 5.3.1 より極地は全測地的部分多様体になる。極地の例を挙げておく。

例 6.1.2 n 次元単位球面

S^{n} = {(x_{1}, …, x_{n+1}) ∈ ℝ^{n+1} | x_{1}^{2} + ⋯ + x_{n+1}^{2} = 1}

の点 x における点対称は s_{x} = 1_{ℝx} − 1_{x^{⊥}} と表すことができ、この不動点集合は {x, −x} になる。よって、 S^{n} の x に関する極地は {x} と {−x} であり、ともに極になる。

例 6.1.3 𝕂 を ℝ, ℂ, ℍ のいずれかとして、 𝕂^{r+n} 内の r 次元 𝕂 部分空間全体から成る係数体 𝕂 に関する Grassmann 多様体 G_{r}(𝕂^{r+n}) について考える。 r ≤ n と仮定しておく。 V ∈ G_{r}(𝕂^{r+n}) に関する点対称は s_{V} = 1_{V} − 1_{V^{⊥}} と表すことができ、

F (s_{V} , G_{r}(𝕂^{r+n})) = ⋃_{k=0}^{r}{V_{1} ⊕ V_{2} | V_{1} ∈ G_{k}(V), V_{2} ∈ G_{r−k}(V^{⊥})}

が成り立つ。特に V = 𝕂^{r} = o の場合、

F (s_{o}, G_{r}(𝕂^{r+n})) = ⋃_{k=0}^{r} G_{k}(𝕂^{r}) × G_{r−k}(𝕂^{n})

と表すことができる。

例 6.1.4 複素二次超曲面 Q_{n}(ℂ) = G̃_{2}(ℝ^{2+n}) の極地を求める。 ℝ^{2} に標準的な向きを定めたものを o で表す。 ℝ^{2} に o とは逆の向きを定めたものを ōで表す。 o に関する点対称は s_{o} = 1_{o} − 1_{o^{⊥}} と表すことができ、

F (s_{o}, G̃_{2}(ℝ^{2+n})) = {o} ∪ {ō} ∪ G̃_{2}(⟨e_{3}, …, e_{2+n}⟩_{ℝ})

が成り立つ。

補題 6.1.5 連結 Riemann 対称空間 M の点 x と M の等長変換 g に対して、 s_{gx} = gs_{x}g^{−1} が成り立つ。

証明 M の二つの等長変換 s_{gx}, gs_{x}g^{−1} はともに gx を固定し、 T_{gx}M における微分写像は −1 倍になるので、 s_{gx} = gs_{x}g^{−1} が成り立つ。

命題 6.1.6 コンパクト Riemann 対称空間の異なる点に関する極地は合同になる。

証明 M をコンパクト Riemann 対称空間とし、その等長変換全体のなす Lie 群の単位連結成分を G で表す。 M の二点 x, y をとる。 [12] の定理 2.1.2 より G は M に推移的に作用しているので、 y = gx となる g ∈ G が存在する。補題 6.1.5 より s_{y} = gs_{x}g^{−1} となって、 F (s_{y}, M) = gF (s_{x}, M) が成り立つ。したがって、 x に関する極地と y に関する極地は g によって写り合う。

命題 6.1.6 より、コンパクト Riemann 対称空間の極地を考える場合は原点をとりそれに関する極地を考えれば十分である。

命題 6.1.7 (G, K) を Riemann 対称対とし、対応する Riemann 対称空間 G/K はコンパクトになるとする。 G/K の原点を o で表す。 G/K の o を通る極大トーラス A をとると、 F (s_{o}, G/K) = KF (s_{o}, A) が成り立つ。 A に対応する極大可換部分空間を 𝔞 で表し、

Γ(G/K) = {H ∈ 𝔞 | ExpH = o}

とおくと F (s_{o}, A) = Exp\frac{1}{2}Γ(G/K) が成り立つ。 F (s_{o}, A) は有限集合になり、 G/K の各極地は F (s_{o}, A) の点の K 軌道になる。

証明 [12] の定理 2.2.4 より、任意の x ∈ G/K は x = ka, k ∈ K, a ∈ A と表すことができる。

s_{o}(x) = s_{o}(ka) = kk^{−1}s_{o}k(a) = ks_{k^{−1}(o)}(a) = ks_{o}(a)

となるので、 x ∈ F (s_{o}, G/K) の必要十分条件は a ∈ F (s_{o}, A) である。したがって、 F (s_{o}, G/K) = KF (s_{o}, A) が成り立つ。

A の任意の元は H ∈ 𝔞 によって ExpH と表すことができ、 s_{o}ExpH = Exp(−H) が成り立つ。したがって、

s_{o}ExpH = ExpH ⇔ ExpH = Exp(−H) ⇔ Exp2H = o ⇔ H ∈ \frac{1}{2}Γ(G/K)

となり、 F (s_{o}, A) = Exp\frac{1}{2}Γ(G/K) を得る。

F (s_{o}, A) = Exp\frac{1}{2}Γ(G/K) より F (s_{o}, A) は有限集合になり、 G/K の各極地は F (s_{o}, A) の点の K 軌道になることがわかる。

例 6.1.8 U(n) の単位元を通る極大トーラス

T = \{[ \begin{matrix}e^{iθ_{1}} \\ & . & . & . \\ & & & & e^{iθ_{n}} \end{matrix} ]| θ_{a} ∈ ℝ\} ≅ U(1) × ⋯ × U(1)

をとる。命題 6.1.7 と [12] の 2.3 節で示したことより

F (s_{e}, U(n)) = ⋃_{g∈U(n)} gF (s_{e}, T)g^{−1}

が成り立つ。 g ∈ U(n) に対して s_{e}(g) = g^{−1} となることから、

F (s_{e}, T) = \{[ \begin{matrix}±1 \\ & . & . & . \\ & & & & ±1 \end{matrix} ]\}

となる。対角線の +1 の個数が等しい行列は共役になり、同じ U(n) 軌道に含まれる。 1 ≤ k ≤ n − 1 に対して

G_{k}(ℂ^{n}) → \{g [ \begin{matrix}1_{k} \\ & −1_{n−k} \end{matrix} ] g^{−1} | g ∈ U(n)\}; V ↦ 1_{V} − 1_{V^{⊥}}

は微分同型写像になるので、この写像によって同一視する。 1_{V} −1_{V^{⊥}} は V に関する ℂ^{n} 内の鏡映変換であり、上の微分同型写像の像は重複度 k の固有値 +1 と重複度 n − k の固有値 −1 を持つ U(n) の元の全体と一致する。そこで、 G_{0}(ℂ^{n}) は {−1_{n}} と同一視し、 G_{n}(ℂ^{n}) は {1_{n}} と同一視すると、

F (s_{e}, U(n)) = ⋃_{0≤k≤n} G_{k}(ℂ^{n})

が U(n) の極地の全体になる。例 6.1.9 例 5.1.7 で定めたコンパクト型 Hermite 対称空間 Sp(n)/U(n) の極地を求める。 Lie 環の分解

𝔰𝔭(n) = 𝔲(n) + 𝔪

の 𝔪 内の極大可換部分空間 𝔞 を

𝔞 = \{[ \begin{matrix}t_{1}j \\ & . & . & . \\ & & & & t_{n}j \end{matrix} ] | t_{1}, …, t_{n} ∈ ℝ\}

によって定める。

exp [ \begin{matrix}t_{1}j \\ & . & . & . \\ & & & & t_{n}j \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}cos t_{1} + sin t_{1}j \\ & . & . & . \\ & & & & cos t_{n} + sin t_{n}j \end{matrix} ]

となるので、 𝔞 に対応する Sp(n)/U(n) の極大トーラス A = Exp𝔞 の束は

Γ(Sp(n)/U(n)) = \{[ \begin{matrix}t_{1}j \\ & . & . & . \\ & & & & t_{n}j \end{matrix} ] | t_{1}, …, t_{n} ∈ πℤ\}

である。よって

F (s_{o}, A) = Exp\frac{1}{2}Γ(Sp(n)/U(n))

= \{[ \begin{matrix}ϵ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & ϵ_{n} \end{matrix} ] U(n) | ϵ_{1}, …, ϵ_{n} = 1 またはj\} .

これらの点の U(n) 軌道が極地になる。 j と 1 の個数が等しい点の U(n) 軌道は等しくなる。そこで、

J_{a} = [ \begin{matrix}j1_{a} \\ & 1_{n−a} \end{matrix} ] , M_{a}^{+} = U(n)J_{a}U(n) ⊂ Sp(n)/U(n) (0 ≤ a ≤ n)

とおくと、 Sp(n)/U(n) の極地の全体は M_{0}^{+}, M_{1}^{+}, …, M_{n}^{+} である。 g ∈ U(n) に対して

gJ_{a}U(n) = J_{a}U(n) ⇔ J_{a}^{−1}gJ_{a}U(n) = U(n) ⇔ J_{a}^{−1}gJ_{a} ∈ U(n)
⇔ g ∈ U(a) × U(n − a)

となり、 M_{a}^{+} ≅ U(n)/U(a) × U(n − a) ≅ G_{a}(ℂ^{n}) が成り立つ。したがって、 Sp(n)/U(n) の極地の全体は

F (s_{o}, Sp(n)/U(n)) = ⋃_{a=0}^{n} G_{a}(ℂ^{n})

と書くこともできる。例 6.1.10 ユニタリ群 U(n) の対合的自己同型写像 σ を

σ(g) = ḡ (g ∈ U(n))

によって定める。 F (σ, U(n)) = O(n) となり、 (U(n), O(n)) はコンパクト Riemann 対称対になる。 σ の誘導する Lie 環 𝔲(n) の対合的自己同型写像も σ に一致する。これの ±1 固有空間分解は

𝔲(n) = 𝔬(n) + 𝔪, 𝔪 = {X ∈ 𝔲(n) | X ∈ M_{n}(ℝi)}

である。 𝔪 内の極大可換部分空間 𝔞 を

𝔞 = \{[ \begin{matrix}t_{1}i \\ & . & . & . \\ & & & & t_{n}i \end{matrix} ] | t_{1}, …, t_{n} ∈ ℝ\}

によって定める。

exp [ \begin{matrix}t_{1}i \\ & . & . & . \\ & & & & t_{n}i \end{matrix} ] = [ \begin{matrix}cos t_{1} + sin t_{1}i \\ & . & . & . \\ & & & & cos t_{n} + sin t_{n}i \end{matrix} ]

となるので、 𝔞 に対応する U(n)/O(n) の極大トーラス A = Exp𝔞 の束は

Γ(U(n)/O(n)) = \{[ \begin{matrix}t_{1}i \\ & . & . & . \\ & & & & t_{n}i \end{matrix} ] | t_{1}, …, t_{n} ∈ πℤ\}

である。よって

F (s_{o}, A) = Exp\frac{1}{2}Γ(U(n)/O(n))

= \{[ \begin{matrix}ϵ_{1} \\ & . & . & . \\ & & & & ϵ_{n} \end{matrix} ] U(n) | ϵ_{1}, …, ϵ_{n} = 1 またはi\} .

これらの点の O(n) 軌道が極地になる。 i と 1 の個数が等しい点の O(n) 軌道は等しくなる。そこで、

I_{a} = [ \begin{matrix}i1_{a} \\ & 1_{n−a} \end{matrix} ] , M_{a}^{+} = O(n)I_{a}O(n) ⊂ U(n)/O(n) (0 ≤ a ≤ n)

とおくと、 U(n)/O(n) の極地の全体は M_{0}^{+}, M_{1}^{+}, …, M_{n}^{+} である。 g ∈ O(n) に対して

gI_{a}O(n) = I_{a}O(n) ⇔ I_{a}^{−1}gI_{a}O(n) = O(n) ⇔ I_{a}^{−1}gI_{a} ∈ O(n)
⇔ g ∈ O(a) × O(n − a)

となり、 M_{a}^{+} ≅ O(n)/O(a) × O(n − a) ≅ G_{a}(ℝ^{n}) が成り立つ。したがって、 U(n)/O(n) の極地の全体は

F (s_{o}, U(n)/O(n)) = ⋃_{a=0}^{n} G_{a}(ℝ^{n})

と書くこともできる。

命題 6.1.11 対称 R 空間の極地は対称 R 空間になる。コンパクト型 Hermite 対称空間の極地はコンパクト型 Hermite 対称空間になる。

6.2 対蹠集合

Riemann 対称空間 M の点 x における点対称を s_{x} で表す。 M の部分集合 S は次の条件を満たすとき、対蹠集合という。すべての x, y ∈ S に対して s_{x}(y) = y が成り立つ。 M の対蹠集合の元の個数の上限を 2-number といい #_{2}M で表す。 2number を与える対蹠集合を大対蹠集合と呼ぶ。^{1} これらの概念は Chen-Nagano[3] が導入した。非コンパクト型 Riemann 対称空間の一点の点対称はその点以外に固定点を持たないため、対蹠集合は一点のみになり 2-number は 1 になる。そこで、以下ではコンパクト Riemann 対称空間の対蹠集合や 2-number を考える。

対蹠集合の例を挙げておく。

例 6.2.1 n 次元単位球面 S^{n} の点 x における点対称 s_{x} の不動点集合は例 6.1.2 より {x, −x} になる。よって、これは S^{n} の大対蹠集合になり、逆に S^{n} の大対蹠集合は必ずこの形で与えられることもわかる。特に、 #_{2}S^{n} = 2 が成り立つ。

例 6.2.2 𝕂 を ℝ, ℂ, ℍ のいずれかとして、 Grassmann 多様体 G_{r}(𝕂^{r+n}) の対蹠集合について考える。 V ∈ G_{r}(𝕂^{r+n}) に関する点対称 s_{V} の不動点集合は V の 𝕂 部分空間と V^{⊥} の 𝕂 部分空間の直和になる r 次元 𝕂 部分空間の全体になる。このことから、 𝕂^{n+r} のユニタリ基底 e_{1}, …, e_{n+r} に対して

{⟨e_{i_{1}}, …, e_{i_{r}}⟩_{𝕂} ∈ G_{r}(𝕂^{r+n}) | 1 ≤ i_{1} < ⋯ < i_{r} ≤ n + r}

は G_{r}(𝕂^{r+n}) の大対蹠集合になり、逆に G_{r}(𝕂^{r+n}) の大対蹠集合は必ずこの形で与えられることもわかる。したがって、

#_{2}G_{r}(𝕂^{r+n}) = \binom{n + r}{r}

が成り立つ。これは係数体 𝕂 に依存しない。命題 6.2.3 コンパクト Riemann 対称空間 M とその極地 M_{0}^{+}, M_{1}^{+}, …, M_{r}^{+} に対して次の不等式が成り立つ。

1大対蹠集合の定義は 2-number が有限でなければ意味がないが、これは命題 6.2.4 で示す。

#_{2}M ≤ ∑_{k=0}^{r} #_{2}M_{k}^{+}.

証明 M_{0}^{+}, M_{1}^{+}, …, M_{r}^{+} を点 o ∈ M に関する極地とする。 A を o を含む M の対蹠集合とすると A ⊂ F (s_{o}, M) が成り立ち、

A = ⋃_{k=0}^{r}(A ∩ M_{k}^{+})

となる。各 A ∩ M_{k}^{+} は M_{k}^{+} の対蹠集合になり次を得る。

#A = ∑_{k=0}^{r} #(A ∩ M_{k}^{+}) ≤ ∑_{k=0}^{r} #_{2}M_{k}^{+}.

#A の上限が #_{2}M だから、問題の不等式を得る。

命題 6.2.4 コンパクト Riemann 対称空間の対蹠集合は有限集合になる。さらに 2-number も有限になる。

証明 A をコンパクト Riemann 対称空間 M の対蹠集合とする。 x ∈ A とすると A ⊂ F (s_{x}, M) が成り立つ。 x は F (s_{x}, M) の孤立点だから、 x は A の孤立点になる。したがって、 A は離散集合になり、特に有限集合になる。

M_{0}^{+}, M_{1}^{+}, …, M_{r}^{+} を M の極地とすると命題 6.2.3 より

#_{2}M ≤ ∑_{k=0}^{r} #_{2}M_{k}^{+}

が成り立つ。 M_{k}^{+} が極の場合は #_{2}M_{k}^{+} = 1 である。この場合は極地をとる操作は終了し、 M_{k}^{+} が極ではない場合は o_{k} ∈ M_{k}^{+} をとり、さらに極地

F (s_{o_{k}}, M_{k}^{+}) = ⋃_{j=0}^{r_{k}}(M_{k}^{+})_{j}^{+}

を定める。すると命題 6.2.3 より

#_{2}M_{k}^{+} ≤ ∑_{j=0}^{r_{k}} #_{2}(M_{k}^{+})_{j}^{+}

が成り立つ。 Riemann 対称空間に対してその極地は次元が小さいので、このような極地をとる操作を有限回続けると極のみになる。したがって、 #_{2}M < ∞ がわかる。例 6.2.5 M_{1}, M_{2} をコンパクト Riemann 対称空間とする。 A_{i} を M_{i} の対蹠集合とすると、 A_{1}×A_{2} は M_{1}×M_{2} の対蹠集合になる。さらに、 A_{i} が M_{i} の大対蹠集合ならば、 A_{1}×A_{2} は M_{1}×M_{2} の大対蹠集合になる。したがって、 #_{2}(M_{1}×M_{2}) = #_{2}M_{1}·#_{2}M_{2} が成り立つ。例 6.2.1 より #_{2}S^{1} = 2 だから、 r 次元トーラス T^{r} の 2-number は #_{2}T^{r} = 2^{r} となる。これより、階数 r のコンパクト Riemann 対称空間 M に対して 2^{r} ≤ #_{2}M が成り立つ。

例 6.2.6 𝕂 を ℝ, ℂ, ℍ のいずれかとする。 Grassmann 多様体 G_{r}(𝕂^{r+n}) の極地は例 6.1.3 より

M_{k}^{+} = G_{k}(𝕂^{r}) × G_{r−k}(𝕂^{n}) (0 ≤ k ≤ r)

となる。例 6.2.2 と例 6.2.5 より

∑_{k=0}^{r} #_{2}M_{k}^{+} = ∑_{k=0}^{r} #_{2}(G_{k}(𝕂^{r}) × G_{r−k}(𝕂^{n})) = ∑_{k=0}^{r} #_{2}(G_{k}(𝕂^{r})) · #_{2}(G_{r−k}(𝕂^{n}))

= ∑_{k=0}^{r} \binom{r}{k}\binom{n}{r − k}.

(1 + x)^{r+n} = (1 + x)^{r}(1 + x)^{n} を二項展開して x^{r} の係数を比較すると

\binom{r + n}{r} = ∑_{k=0}^{r} \binom{r}{k}\binom{n}{r − k}

を得る。これより

#_{2}(G_{r}(𝕂^{r+n})) = ∑_{k=0}^{r} #_{2}M_{k}^{+}

が成り立つ。これは命題 6.2.3 の不等式の等号が成り立つ例になっている。

竹内 [8] の結果より次が成り立つことがわかる。

定理 6.2.7 対称 R 空間 M とその極地 M_{0}^{+}, M_{1}^{+}, …, M_{r}^{+} に対して次の等式が成り立つ。

#_{2}M = ∑_{k=0}^{r} #_{2}M_{k}^{+}.

[8] の主結果は次の定理である。

定理 6.2.8 M を対称 R 空間とし、その ℤ_{2} 係数ホモロジー群を H(M; ℤ_{2}) で表すと、次の等式が成り立つ。

#_{2}M = dim H(M; ℤ_{2}).

定理 6.2.7 を利用して対称 R 空間の 2-number を求める計算例を挙げておく。例 6.2.9 Sp(n) は対称 R 空間になることが知られている。例 6.1.8 と同様にして Sp(n) の極地の全体は

F (s_{e}, Sp(n)) = ⋃_{k=0}^{n} G_{k}(ℍ^{n})

であることがわかる。よって、定理 6.2.7 より次の等式を得る。

#_{2}Sp(n) = ∑_{k=0}^{n} #_{2}G_{k}(ℍ^{n}) = ∑_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^{n}.

例 6.2.10 コンパクト対称空間 U(n)/O(n) は対称 R 空間であることが知られている。例 6.1.10 より U(n)/O(n) の極地の全体は

F (s_{o}, U(n)/O(n)) = ⋃_{a=0}^{n} G_{a}(ℝ^{n})

である。よって、定理 6.2.7 より次の等式を得る。

#_{2}(U(n)/O(n)) = ∑_{a=0}^{n} #_{2}G_{a}(ℝ^{n}) = ∑_{a=0}^{n} \binom{n}{a} = 2^{n}.

[12] の 2.3 コンパクト Lie 群でみたようにコンパクト連結 Lie 群は Riemann 対称空間とみなせる。このときの対蹠集合と群構造の関連性についてまとめておく。

G をコンパクト連結 Lie 群とする。 [12] の p.27 の 3 行より x ∈ G における点対称 s_{x} は L_{x} ∘ s_{e} ∘ L_{x^{−1}} に一致し、

s_{x}(y) = xy^{−1}x (y ∈ G)

が成り立つ。

等質性より、考える対蹠集合は単位元を含んでいると仮定しても一般性は失われない。 A を G の単位元 e を含む対蹠集合とする。すると x ∈ A に対して x = s_{e}(x) = x^{−1} となるので、

x^{2} = e (x ∈ A)

が成り立つ。さらに x, y ∈ A に対して y = s_{x}(y) = xy^{−1}x = xyx となり、

(∗) xy = yx (x, y ∈ A)

が成り立つ。 x, y, z ∈ A に対して

s_{z}(xy) = z(xy)^{−1}z = zy^{−1}x^{−1}z = zyxz = yzzx = yx = xy

となるので、 A ∪ {xy} も対蹠集合になる。したがって、 A が極大対蹠集合ならば、 A は部分群になる。さらに (∗) より A は可換部分群になる。有限 Abel 群の基本定理より A は ℤ_{2} のいくつかの積と群として同型になる。特に A が大対蹠集合になるときも同様になり、 G の 2-number は 2 の羃乗になる。例 6.2.11 U(n) の単位元を含む極大対蹠集合 A をとる。上の議論より A は可換部分群になる。したがって、 A の元は同時対角化可能になる。すなわち A は標準的な極大トーラス

T = \{[ \begin{matrix}e^{iθ_{1}} \\ & . & . & . \\ & & & & e^{iθ_{n}} \end{matrix} ]| θ_{a} ∈ ℝ\} ≅ U(1) × ⋯ × U(1)

の部分群と共役になる。 U(n) の極大対蹠集合を明らかにするためには A ⊂ T と仮定してもよい。 A の各元の位数は 2 であることと極大であることから、

A = \{[ \begin{matrix}±1 \\ & . & . & . \\ & & & & ±1 \end{matrix} ]\}

となって A が確定する。したがって、これは大対蹠集合になり、 #_{2}U(n) = 2^{n} が成り立つ。

上記の議論では U(n) の 2-number だけではなく、大対蹠集合の形まで明らかになったが、 2-number を求めるだけなら次のように計算することもできる。例 6.1.8 より U(n) の極地の全体は

F (s_{e}, U(n)) = ⋃_{0≤k≤n} G_{k}(ℂ^{n})

だから、定理 6.2.7 より次の等式を得る。

#_{2}U(n) = ∑_{0≤k≤n} #_{2}G_{k}(ℂ^{n}) = ∑_{0≤k≤n} \binom{n}{k} = 2^{n}.

連結コンパクト Lie 群の大対蹠部分群は、一般には極大トーラスに含まれるとはかぎらない。 Chen-Nagano [3] の研究のきっかけになった Borel-Serre [1] では次の例を挙げている。

例 6.2.12 3 次回転群 SO(3) の部分群 A を次のように定める。三つの直交軸に関する回転角 π の回転と恒等変換からなる部分集合を A で表す。これらの直交軸を定める正規直交基底による表現行列は対角成分の二つが −1 であり一つが 1 である対角行列三つと単位行列になる。

A = \{[ \begin{matrix}1 \\ & 1 \\ & & 1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}1 \\ & −1 \\ & & −1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−1 \\ & 1 \\ & & −1 \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}−1 \\ & −1 \\ & & 1 \end{matrix} ]\}

これは SO(3) の大対蹠部分群になることがわかり、 #_{2}SO(3) = 4 = 2^{2} となる。 A を含む SO(3) の極大トーラスは存在しない。 Riemann 多様体として SO(3) は ℝP^{3} と同型になり、 ℝP^{3} = G_{1}(ℝ^{4}) だから例 6.2.2 からでも #_{2}SO(3) = 4 を得る。

6.3 対称 R 空間の対蹠集合

𝔤 をコンパクト半単純 Lie 環とし、 G = Int(𝔤) とする。 𝔤 には G 不変内積 ⟨ , ⟩ を定めておく。 J ∈ 𝔤, J ≠ 0 を (adJ)^{3} = −adJ を満たす元とする。定理 5.2.1 より J を通る G 軌道 G · J はコンパクト型 Hermite 対称空間になり、逆にコンパクト型 Hermite 対称空間はこのように表現される。

定理 6.3.1 (Sánchez[6], Tanaka-T.[10]) 上記設定のもとで M = G · J とする。 X ∈ M における M の点対称を s_{X} で表す。 X, Y ∈ M に対して s_{X}(Y) = Y の必要十分条件は、 [X, Y] = 0 である。さらに以下の (A)、 (B) が成り立つ。

(A) 任意の対蹠集合に対して、それを含む大対蹠集合が存在する。

(B) 二つの大対蹠集合は合同になる。

大対蹠集合は 𝔤 内の極大可換 Lie 部分環 𝔱 によって M ∩ 𝔱 という形に表現される。特に大対蹠集合は 𝔤 の Weyl 群の軌道になる。

証明の概略 X ∈ M に関する Lie 環 𝔤 の直和分解は

𝔤 = 𝔨_{X} + 𝔪_{X}, 𝔨_{X} = 𝔷(X), 𝔪_{X} = [X, 𝔤]

となる。 adX は 𝔪_{X} の概複素構造を定め、

s_{X}(Y) = e^{πadX}Y (Y ∈ M)

が成り立つ。これより、 X, Y ∈ M が [X, Y] = 0 を満たすならば、 s_{X}(Y) = Y が成り立つことがわかる。逆に s_{X}(Y) = Y とすると e^{πadX}Y = Y となり Y ∈ 𝔨_{X} = 𝔷(X) を得る。これより[X, Y] = 0が成り立つ。以上より、 X, Y ∈ M に対してs_{X}(Y) = Y の必要十分条件は、 [X, Y] = 0 であることがわかった。 S を M の任意の対蹠集合とする。上で示したことより任意の X, Y ∈ S に対して [X, Y] = 0 が成り立つ。 S の張る 𝔤 の部分空間を S_{ℝ} で表すと、 S_{ℝ} は 𝔤 の可換 Lie 部分環になる。そこで、 S_{ℝ} を含む 𝔤 の極大可換 Lie 部分環 𝔱 をとる。すると S ⊂ M ∩ 𝔱 が成り立つ。極大可換 Lie 部分環の共役性より、 (A) と (B) が成り立つことがわかる。さらに大対蹠集合は 𝔤 の極大可換 Lie 部分環 𝔱 によって M ∩ 𝔱 と表現できる。

定理 6.3.2 (Tanaka-T.[10]) τ : M → M をコンパクト型 Hermite 対称空間 M の対合的反正則等長変換とし、 τ の不動点集合として M の実形 L が定まっているとする。

I_{τ} : G → G ; g ↦ τgτ^{−1}

によって、 G の自己同型 I_{τ} を定める。 L は J を含むと仮定する。 I_{τ} から定まる 𝔤 の標準分解を 𝔤 = 𝔩 + 𝔭 とする。このとき、 L = M ∩ 𝔭 が成り立つ。さらに L に対して以下の (A)、 (B) が成り立つ。 6.3. 対称 R 空間の対蹠集合 23

(A) 任意の対蹠集合に対して、それを含む大対蹠集合が存在する。

(B) 二つの大対蹠集合は合同になる。

L の大対蹠集合は 𝔭 内の極大可換部分空間 𝔞 によって M ∩ 𝔞 という形に表現される。特に大対蹠集合は I_{τ} から定まる対称対の Weyl 群の軌道になる。

証明の概略定理 5.3.9 の証明の後半で示したことを利用すると

τ(x) = −dI_{τ}(x) (x ∈ M)

がわかる。これより

L = {x ∈ M | τ(x) = x} = M ∩ 𝔭

を得る。

S を L の任意の対蹠集合とする。任意の X, Y ∈ S に対して [X, Y] = 0 が成り立つ。 S の張る 𝔭 の部分空間を S_{ℝ} で表すと、 S_{ℝ} は 𝔭 の可換部分空間になる。そこで、 S_{ℝ} を含む 𝔭 の極大可換部分空間 𝔞 をとる。すると S ⊂ M ∩ 𝔞 が成り立つ。極大可換 Lie 部分空間の F (I_{τ}, G) による共役性より、 (A) と (B) が成り立つことがわかる。さらに大対蹠集合は 𝔭 の極大可換部分環 𝔞 によって M ∩ 𝔞 と表現できる。

系 6.3.3 (Tanaka-T.[10]) 対称 R 空間の対蹠集合に関して以下の (A)、 (B) が成り立つ。

(A) 任意の対蹠集合に対して、それを含む大対蹠集合が存在する。

(B) 二つの大対蹠集合は合同になる。

証明定理 5.3.9 より対称 R 空間はあるコンパクト型 Hermite 対称空間の実形になり、定理 6.3.2 より (A) と (B) が成り立つ。

Ad(SU(4)) の対蹠集合は性質 (A) を満たさないことがわかる ([10])。この概略を以下で説明する。 SU(4) の中心 Z は

Z = {±1_{4}, ±i1_{4}} ≅ ℤ_{4}

となる。 Ad(SU(4)) の単位元を e で表すと

F (s_{e}, Ad(SU(4))) = {g ∈ Ad(SU(4)) | g^{2} = e} = Ad{x ∈ SU(4) | x^{2} ∈ Z}.

T = S(U(1)^{4}) とおくと、 T は SU(4) の極大トーラスになる。

{x ∈ SU(4) | x^{2} ∈ Z} = ⋃_{g∈SU(4)} g{t ∈ T | t^{2} ∈ Z}g^{−1}

が成り立つ。

I = [ \begin{matrix}1 \\ & 1 \\ & & −1 \\ & & & −1 \end{matrix} ] , J = [ \begin{matrix}e^{\frac{π}{4} i} \\ & e^{\frac{π}{4} i} \\ & & e^{\frac{π}{4} i} \\ & & & e^{− \frac{3π}{4} i} \end{matrix} ]

によって I, J ∈ T を定めると、 I, J の成分を置換したもの全体が {t ∈ T | t^{2} ∈ Z} に一致することがわかる。これより

M_{0}^{+} = {e},
M_{1}^{+} = Ad{gIg^{−1} | g ∈ SU(4)},
M_{2}^{+} = Ad{gJg^{−1} | g ∈ SU(4)}

とおくと

F (s_{e}, Ad(SU(4))) = M_{0}^{+} ∪ M_{1}^{+} ∪ M_{2}^{+}

がわかり、これらが Ad(SU(4)) の極地の全体になる。 SU(4) の共役作用に関する I, J の固定部分群を求めることにより、

M_{1}^{+} ≅ (SU(4)/S(U(2) × U(2)))/ℤ_{2} ≅ G_{2}(ℂ^{4})/ℤ_{2} ≅ G_{2}(ℝ^{6}),
M_{2}^{+} ≅ SU(4)/S(U(3) × U(1)) ≅ G_{1}(ℂ^{4})

を得る。これらより

#_{2}M_{1}^{+} = \binom{6}{2} = 15, #_{2}M_{2}^{+} = \binom{4}{1} = 4.

M_{1}^{+} の大対蹠集合 A_{1} をとると、 #A_{1} = 15 である。 {e} ∪ A_{1} は Ad(SU(4)) の対蹠集合になり

#_{2}Ad(SU(4)) ≥ 1 + #A_{1} = 16.

他方、

#_{2}Ad(SU(4)) ≤ #_{2}M_{0}^{+} + #_{2}M_{1}^{+} + #_{2}M_{2}^{+} ≤ 1 + 15 + 4 = 20.

#_{2}Ad(SU(4)) は 2 の羃になるため、 #_{2}Ad(SU(4)) = 16 = 2^{4} を得る。よって、 {e} ∪ A_{1} は Ad(SU(4)) の大対蹠集合である。特に極大になり部分群になる。 J の対角成分を置換したもの全体の Ad による像を A_{2} で表すと、 #A_{2} = 4 となり A_{2} は M_{2}^{+} の大対蹠集合であることがわかる。 A_{2} の生成する部分群を Ã_{2} で表すと、

Ã_{2} = \{e\} ∪ A_{2} ∪ Ad \{[ \begin{matrix}i \\ & i \\ & & −i \\ & & & −i \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}i \\ & −i \\ & & i \\ & & & −i \end{matrix} ] , [ \begin{matrix}i \\ & −i \\ & & −i \\ & & & i \end{matrix} ]\}

となって、 Ã_{2} は対蹠的部分群になる。 Ad(J) の中心化部分群は Ad(S(U(3)×U(1)) になることがわかり、 A_{2} の中心化部分群は T に一致することがわかる。これより Ã_{2} の中心化部分群も T に一致する。 Ã_{2} を含む対蹠集合 A が存在すれば、 A は Ã_{2} の中心化部分群に含まれるので T に含まれる。 #_{2}T = 2^{3} = 8 であり、 #Ã_{2} = 8 だから、 Ã_{2} = A となって、 Ã_{2} は極大対蹠集合になる。特に Ã_{2} を含む大対蹠集合は存在しない。よって条件 (A) は成り立たない。 Ad(SU(4)) に対して条件 (B) は成り立つことがわかる。

6.4 コンパクト型 Hermite 対称空間の実形の交叉

この節の内容はおもに Tanaka-T.[9] に基づいている。

定義 6.4.1 多様体 X の部分多様体 Y_{1}, Y_{2} に対して、任意の x ∈ Y_{1} ∩ Y_{2} について T_{x}X = T_{x}Y_{1} + T_{x}Y_{2} が成り立つとき、 Y_{1} と Y_{2} は横断的に交わるという。

定理 6.4.2 ([9]) M をコンパクト型 Hermite 対称空間とする。 M の二つの実形 L_{1}, L_{2} が横断的に交わるならば、 L_{1} ∩ L_{2} は L_{1} と L_{2} の対蹠集合になる。

証明の概略定理 5.1.12 よりコンパクト型 Hermite 対称空間の正則断面曲率は正になる。命題 5.3.6 より L_{1} と L_{2} は交わる。 o ∈ L_{1} ∩ L_{2} と仮定しても一般性は失われない。 o 以外の p ∈ L_{1} ∩ L_{2} に対して、 o, p は L_{1} と L_{2} において対蹠点になることを証明すれば十分である。

o, p を含む L_{i} の極大トーラス A_{i} をとる。さらに、 A_{i} を含む M の極大トーラス A′_{i} をとる。 M の制限ルート系によって A′_{1} ∩ A′_{2} を記述でき、さらに A_{i} が実形の極大トーラスであることから、 o, p は対蹠点の関係にあることがわかる。したがって、 L_{1}, L_{2} においても対蹠点の関係にある。

定理 6.4.2 をもとにして、実形の交叉を詳しく調べるために準備をする。

補題 6.4.3 M をコンパクト型 Hermite 対称空間とし、 L を原点 o を通る M の実形とする。 M の o に関する極地 M^{+} が L ∩ M^{+} ≠ ∅ を満たすならば、 L ∩ M^{+} はコンパクト型 Hermite 対称空間 M^{+} の実形になる。^{2}

証明の概略実形Lを定めるM の対合的反正則等長変換をτ で表すと、 τ∘s_{o} = s_{o}∘τ が成り立つ。任意の x ∈ F (s_{o}, M) に対して、 s_{o}(τ(x)) = τ(s_{o}(x)) = τ(x) となり、 τ(F (s_{o}, M)) = F (s_{o}, M)を得る。 p ∈ L∩M^{+} をとる。 τ(p) = pとなりτ(M^{+}) = M^{+} が成り立つ。したがって、 τ は M^{+} の対合的反正則等長変換を誘導し、 L ∩ M^{+} は M^{+} の実形になる。

次の補題はコンパクト型 Hermite 対称空間の二つの実形の交叉の性質を各極地の実形の交叉の性質に帰着できることを示している。補題 6.4.4 M をコンパクト型 Hermite 対称空間とし、 M の原点 o に関する極地を

2M^{+} がコンパクト型 Hermite 対称空間であることは、命題 6.1.11 より従う。

F (s_{o}, M) = ⋃_{j=0}^{r} M_{j}^{+}

と表す。

(1) L を M の原点 o を通る実形とすると、 L の極地は

F (s_{o}, L) = ⋃_{j=0}^{r} L ∩ M_{j}^{+}

となり、次の等式が成り立つ。

#_{2}L = ∑_{j=0}^{r} #_{2}(L ∩ M_{j}^{+}).

(2) L_{1}, L_{2} を M の原点 o を通り横断的に交わる実形とすると、次の等式が成り立つ。

L_{1} ∩ L_{2} = ⋃_{j=0}^{r} {(L_{1} ∩ M_{j}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{j}^{+})} ,
#(L_{1} ∩ L_{2}) = ∑_{j=0}^{r} # {(L_{1} ∩ M_{j}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{j}^{+})} .

証明 (1) L は o を通る全測地的部分多様体だから、

F (s_{o}, L) = L ∩ F (s_{o}, M) = ⋃_{j=0}^{r} L ∩ M_{j}^{+}

となる。補題 6.4.3 より各 L ∩ M_{j}^{+} は空でなければ M_{j}^{+} の実形になり、特に連結になる。よって L ∩ M_{j}^{+} は L の極地になる。定理 5.3.9 より L は対称 R 空間になり、定理 6.2.7 より次の等式が成り立つ。

#_{2}L = ∑_{j=0}^{r} #_{2}(L ∩ M_{j}^{+}).

(2) 定理 6.4.2 より L_{1} ∩ L_{2} は L_{1} と L_{2} の対蹠集合になる。 L_{1} ∩ L_{2} は M の対蹠集合でもあるので、 L_{1} ∩ L_{2} ⊂ F (s_{o}, M) が成り立つ。したがって、次の等式を得る。

L_{1} ∩ L_{2} = ⋃_{j=0}^{r} {(L_{1} ∩ M_{j}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{j}^{+})}
#(L_{1} ∩ L_{2}) = ∑_{j=0}^{r} # {(L_{1} ∩ M_{j}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{j}^{+})} .

定理 6.4.5 ([9]) M をコンパクト型 Hermite 対称空間とし、 L_{1}, L_{2}, L′_{1}, L′_{2} を M の実形とする。さらに、 L_{1}, L′_{1} は合同であり、 L_{2}, L′_{2} も合同であると仮定する。 L_{1}, L_{2} が横断的に交わり、 L′_{1}, L′_{2} も横断的に交わるならば、 #(L_{1} ∩ L_{2}) = #(L′_{1} ∩ L′_{2}) が成り立つ。

証明の概略定理の証明は次の主張の証明に帰着する。

(I) L_{1}, L_{2} を M の実形とし、 g ∈ I_{0}(M) とする。 L_{1}, L_{2} は横断的に交わり、 L_{1}, gL_{2} も横断的に交わるとき、 #(L_{1} ∩ L_{2}) = #(L_{1} ∩ gL_{2}) が成り立つ。

さらに (I) の証明は次の主張の証明に帰着する。

(II) L_{1}, L_{2} を M の実形とし、 o ∈ L_{1} ∩ L_{2} をとる。 k ∈ K = {ϕ ∈ I_{0}(M) | ϕ(o) = o} とする。 L_{1}, L_{2} は横断的に交わり、 L_{1}, kL_{2} も横断的に交わるとき、 #(L_{1}∩L_{2}) = #(L_{1} ∩ kL_{2}) が成り立つ。

以下で #(L_{1} ∩ L_{2}) = #(L_{1} ∩ kL_{2}) を示す。

F (s_{o}, M) = ⋃_{j=0}^{r} M_{j}^{+}

を極地とする。補題 6.4.4 の (2) より

L_{1} ∩ L_{2} = ⋃_{j=0}^{r} {(L_{1} ∩ M_{j}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{j}^{+})} ,
L_{1} ∩ kL_{2} = ⋃_{j=0}^{r} {(L_{1} ∩ M_{j}^{+}) ∩ (kL_{2} ∩ M_{j}^{+})}

となり

#(L_{1} ∩ L_{2}) = ∑_{j=0}^{r} # {(L_{1} ∩ M_{j}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{j}^{+})} ,
#(L_{1} ∩ kL_{2}) = ∑_{j=0}^{r} # {(L_{1} ∩ M_{j}^{+}) ∩ (kL_{2} ∩ M_{j}^{+})} .

kM_{j}^{+} = M_{j}^{+} だから、 k(L_{2} ∩ M_{j}^{+}) = kL_{2} ∩ M_{j}^{+} となり、 L_{2} ∩ M_{j}^{+} と kL_{2} ∩ M_{j}^{+} は各 j について同時に空になるか同じ一点になるかまたは M_{j}^{+} 内の合同な実形になる。一番目、二番目の場合は L_{2} ∩ M_{j}^{+} = kL_{2} ∩ M_{j}^{+} となり、

(L_{1} ∩ M_{j}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{j}^{+}) = (L_{1} ∩ M_{j}^{+}) ∩ (kL_{2} ∩ M_{j}^{+}).

したがって、

#{(L_{1} ∩ M_{j}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{j}^{+})} = #{(L_{1} ∩ M_{j}^{+}) ∩ (kL_{2} ∩ M_{j}^{+})}.

三番目の場合はコンパクト型 Hermite 対称空間 M_{j}^{+} において極地をとることにより上記の議論を続ける。この操作を有限回繰り返すと、極地の次元は必ず小さくなるので、一番目、二番目の場合だけになり (I) の結論

#(L_{1} ∩ L_{2}) = #(L_{1} ∩ kL_{2})

が成り立つことがわかる。

系 6.4.6 ([10]) 定理 6.4.5 の設定にさらに #(L_{1} ∩ L_{2}) = min{#_{2}L_{1}, #_{2}L_{2}} という条件を加えると、 L_{1} ∩ L_{2} と L′_{1} ∩ L′_{2} は合同になる。

後で述べる定理 6.5.1 の (2) は上の系の条件を満たしている。

定理 6.4.7 ([9]) M をコンパクト型 Hermite 対称空間とし、 L_{1}, L_{2} を M の横断的に交わる合同な実形とする。このとき、 L_{1} ∩ L_{2} は L_{1} と L_{2} の大対蹠集合になる。すなわち、 #(L_{1} ∩ L_{2}) = #_{2}L_{1} = #_{2}L_{2} が成り立つ。

証明の概略定理 6.4.2 より、 L_{1} ∩ L_{2} は L_{1}, L_{2} の対蹠集合になるので、 #(L_{1} ∩ L_{2}) = #_{2}L_{1} = #_{2}L_{2} を示せばよい。

o ∈ L_{1} ∩ L_{2} としても一般性は失われない。補題 6.4.4 の (2) より

L_{1} ∩ L_{2} = ⋃_{j=0}^{r} {(L_{1} ∩ M_{j}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{j}^{+})} ,
#(L_{1} ∩ L_{2}) = ∑_{j=0}^{r} # {(L_{1} ∩ M_{j}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{j}^{+})}

となる。 L_{i} の極地は補題 6.4.4 の (1) より

F (s_{o}, L_{i}) = ⋃_{j=0}^{r} L_{i} ∩ M_{j}^{+}

となり、次の等式が成り立つ。

#_{2}L_{i} = ∑_{j=0}^{r} #_{2}(L_{i} ∩ M_{j}^{+}).

L_{1} と L_{2} は合同だから #_{2}L_{1} = #_{2}L_{2} であり、各 j について L_{1} ∩ M_{j}^{+} と L_{2} ∩ M_{j}^{+} も M_{j}^{+} 内で合同になる。よって、 L_{1} ∩ M_{j}^{+} と L_{2} ∩ M_{j}^{+} は各 j について同時に空になるか、同じ一点になるか、または M_{j}^{+} 内の合同な実形になる。一番目の場合は、

# {(L_{1} ∩ M_{j}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{j}^{+})} = 0 = #(L_{i} ∩ M_{j}^{+}) = #_{2}(L_{i} ∩ M_{j}^{+}).

二番目の場合は、

# {(L_{1} ∩ M_{j}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{j}^{+})} = 1 = #(L_{i} ∩ M_{j}^{+}) = #_{2}(L_{i} ∩ M_{j}^{+}).

三番目の場合はコンパクト型 Hermite 対称空間 M_{j}^{+} において極地をとることにより上記の議論を続ける。この操作を有限回繰り返すと、極地の次元は必ず小さくなるので、一番目、二番目の場合だけになり

#(L_{1} ∩ L_{2}) = #_{2}L_{1} = #_{2}L_{2}

が成り立つことがわかる。

6.5 既約コンパクト型 Hermite 対称空間の実形の交叉

この節の内容もおもに Tanaka-T.[9] に基づいている。

定理 6.5.1 ([9]) M を既約コンパクト型 Hermite 対称空間とし、 L_{1}, L_{2} を M 内の横断的に交わる二つの実形とする。

(1) M = G_{2m}^{ℂ}(ℂ^{4m}) (m ≥ 2) であり、 L_{1} は G_{m}^{ℍ}(ℍ^{2m}) と合同、 L_{2} は U(2m) と合同ならば、次が成り立つ。

#(L_{1} ∩ L_{2}) = 2^{m} < \binom{2m}{m} = #_{2}L_{1} < 2^{2m} = #_{2}L_{2}.

(2) それ以外の場合、 L_{1} ∩ L_{2} は 2-number が小さい方の実形の大対蹠集合になり、次の等式が成り立つ。

#(L_{1} ∩ L_{2}) = min{#_{2}L_{1}, #_{2}L_{2}}.

証明の概略二つの実形が合同な場合は定理 6.4.7 によって、交叉は実形の大対蹠集合になることがわかっているので、実形が合同ではない場合を考えればよい。既約コンパクト型 Hermite 対称空間と合同ではない二つの実形の組合せは以下のとおりであることが、 Leung [5], Takeuchi [7] からわかる。

\begin{matrix}M & L_{1} & L_{2} \\ Q_{n}(ℂ) & S^{k,n−k} & S^{l,n−l} \\ G_{2q}^{ℂ}(ℂ^{2m+2q}) & G_{q}^{ℍ}(ℍ^{m+q}) & G_{2q}^{ℝ}(ℝ^{2m+2q}) \\ G_{n}^{ℂ}(ℂ^{2n}) & U(n) & G_{n}^{ℝ}(ℝ^{2n}) \\ G_{2m}^{ℂ}(ℂ^{4m}) & G_{m}^{ℍ}(ℍ^{2m}) & U(2m) \\ Sp(2m)/U(2m) & Sp(m) & U(2m)/O(2m) \\ SO(4m)/U(2m) & U(2m)/Sp(m) & SO(2m) \\ E_{6}/T · Spin(10) & F_{4}/Spin(9) & G_{2}^{ℍ}(ℍ^{4})/ℤ_{2} \\ E_{7}/T · E_{6} & T · (E_{6}/F_{4}) & (SU(8)/Sp(4))/ℤ_{2} \end{matrix}

これらについて個別に定理の主張が成り立つことを確かめる。定理 6.5.2 0 ≤ k ≤ l ≤ [n/2] とする。 Q_{n}(ℂ) 内の S^{k,n−k} と合同な実形 L_{1} と S^{l,n−l} と合同な実形 L_{2} が横断的に交わるならば、その交叉 L_{1} ∩ L_{2} は

{±e_{1} ∧ e_{k+2}, …, ±e_{k+1} ∧ e_{2k+2}}

と合同になる。したがって、 L_{1} ∩ L_{2} は L_{1} の大対蹠集合になり、次が成り立つ。

#(L_{1} ∩ L_{2}) = #_{2}L_{1} = 2(k + 1) ≤ 2(l + 1) = #_{2}L_{2}.

さらに k = l = [n/2] ならば、 L_{1} ∩ L_{2} は Q_{n}(ℂ) の大対蹠集合になる。

定理 6.5.3 G_{2q}^{ℂ}(ℂ^{2m+2q}) 内の G_{q}^{ℍ}(ℍ^{m+q}) と合同な実形 L_{1} と G_{2q}^{ℝ}(ℝ^{2m+2q}) と合同な実形 L_{2} が横断的に交わるならば、その交叉 L_{1} ∩ L_{2} は L_{1} の大対蹠集合になり、次が成り立つ。

#(L_{1} ∩ L_{2}) = #_{2}L_{1} = \binom{m + q}{q} ≤ \binom{2m + 2q}{2q} = #_{2}L_{2}.

定理 6.5.4 G_{n}^{ℂ}(ℂ^{2n}) 内の U(n) と合同な実形 L_{1} と G_{n}^{ℝ}(ℝ^{2n}) と合同な実形 L_{2} が横断的に交わるならば、その交叉 L_{1} ∩ L_{2} は L_{1} の大対蹠集合になり、次が成り立つ。

#(L_{1} ∩ L_{2}) = #_{2}L_{1} = 2^{n} ≤ \binom{2n}{n} = #_{2}L_{2}.

定理 6.5.5 G_{2m}^{ℂ}(ℂ^{4m}) 内の G_{m}^{ℍ}(ℍ^{2m}) と合同な実形 L_{1} と U(2m) と合同な実形 L_{2} が横断的に交わるならば、次が成り立つ。

#(L_{1} ∩ L_{2}) = 2^{m}, min\{#_{2}L_{1}, #_{2}L_{2}\} = \binom{2m}{m}

これより、 m = 1 のとき #(L_{1} ∩ L_{2}) = min{#_{2}L_{1}, #_{2}L_{2}} が成り立ち、 m ≥ 2 のとき #(L_{1} ∩ L_{2}) < min{#_{2}L_{1}, #_{2}L_{2}} が成り立つ。

定理 6.5.6 Sp(2m)/U(2m) 内の Sp(m) と合同な実形 L_{1} と U(2m)/O(2m) と合同な実形 L_{2} が横断的に交わるならば、その交叉 L_{1} ∩ L_{2} は L_{1} の大対蹠集合になり、次が成り立つ。

#(L_{1} ∩ L_{2}) = #_{2}L_{1} = 2^{m} ≤ 2^{2m} = #_{2}L_{2}.

定理 6.5.7 SO(4m)/U(2m) 内の U(2m)/Sp(m) と合同な実形 L_{1} と SO(2m) と合同な実形 L_{2} が横断的に交わるならば、その交叉 L_{1} ∩ L_{2} は L_{1} の大対蹠集合になり、次が成り立つ。

#(L_{1} ∩ L_{2}) = #_{2}L_{1} = 2^{m} ≤ 2^{2m−1} = #_{2}L_{2}.

定理 6.5.8 EIII = E_{6}/T · Spin(10) 内の F II = F_{4}/Spin(9) と合同な実形 L_{1} と G_{2}^{ℍ}(ℍ^{4})/ℤ_{2} と合同な実形 L_{2} が横断的に交わるならば、その交叉 L_{1} ∩ L_{2} は L_{1} の大対蹠集合になり、次が成り立つ。

#(L_{1} ∩ L_{2}) = #_{2}L_{1} = 3 < 27 = #_{2}L_{2}.

定理 6.5.9 EV II = E_{7}/T · E_{6} 内の (T × EIV)/ℤ_{3} と合同な実形 L_{1} と AII(4)/ℤ_{2} と合同な実形 L_{2} が横断的に交わるならば、その交叉 L_{1} ∩ L_{2} は L_{1} の大対蹠集合になり、次が成り立つ。

#(L_{1} ∩ L_{2}) = #_{2}L_{1} = 8 < 56 = #_{2}L_{2}.

定理 6.5.2 の証明の概略 Q_{n}(ℂ) の極地は

F (s_{o}, Q_{n}(ℂ)) = {o} ∪ {ō} ∪ Q_{n−2}(ℂ)

となる。ただし、 F (s_{o}, Q_{1}(ℂ)) = {o} ∪ {ō} であり、

F (s_{o}, Q_{2}(ℂ)) = {±e_{1} ∧ e_{2}, ±e_{3} ∧ e_{4}}

である。 L を o を通る Q_{n}(ℂ) の実形とする。 L が S^{0,n} と合同ならば、

L ∩ F (s_{o}, Q_{n}(ℂ)) = {o, ō}

となり、 L が S^{k,n−k} (1 ≤ k ≤ [n/2]) と合同ならば

L ∩ F (s_{o}, Q_{n}(ℂ)) = {o, ō} ∪ L′

となり、 L′ は Q_{n−2}(ℂ) 内の実形 S^{k−1,n−k−1} と Q_{n−2}(ℂ) 内で合同になることがわかる。

上記の交叉の情報を利用して、定理を k に関する帰納法で証明する。命題 5.3.6 より L_{1} ∩ L_{2} ≠ ∅ となる。そこで o = e_{1} ∧ e_{k+2} ∈ L_{1} ∩ L_{2} としても一般性は失われない。 k = 0 の場合は

L_{1} ∩ F (s_{o}, Q_{n}(ℂ)) = {±e_{1} ∧ e_{2}}

となる。定理 6.4.2 より L_{1} ∩ L_{2} は対蹠集合になり L_{1} ∩ L_{2} ⊂ F (s_{o}, Q_{n}(ℂ)) が成り立つ。

L_{2} ∩ F (s_{o}, Q_{n}(ℂ)) ⊃ {±e_{1} ∧ e_{2}}

となり、

L_{1} ∩ L_{2} = {±e_{1} ∧ e_{2}}.

k − 1 の場合に定理の主張が成り立つと仮定して、 k の場合にも成り立つことを示す。

L_{1} ∩ F (s_{o}, Q_{n}(ℂ)) = {±e_{1} ∧ e_{k+2}} ∪ L′_{1}

となり、 L′_{1} は Q_{n−2}(ℂ) 内の実形 S^{k−1,n−k−1} と Q_{n−2}(ℂ) 内で合同になる。 L_{2} についても

L_{2} ∩ F (s_{o}, Q_{n}(ℂ)) = {±e_{1} ∧ e_{k+2}} ∪ L′_{2}

となり、 L′_{2} は Q_{n−2}(ℂ) 内の実形 S^{l−1,n−l−1} と Q_{n−2}(ℂ) 内で合同になる。帰納法の仮定より L′_{1} ∩ L′_{2} は Q_{n−2}(ℂ) 内で

{±e_{2} ∧ e_{k+3}, …, ±e_{k+1} ∧ e_{2k+2}}

と合同になる。したがって、 L_{1} ∩ L_{2} は

{±e_{1} ∧ e_{k+2}, …, ±e_{k+1} ∧ e_{2k+2}}

と合同になる。これは S^{k,n−k} の大対蹠集合になるので、 L_{1} ∩ L_{2} は L_{1} の大対蹠集合になり、次が成り立つ。

#(L_{1} ∩ L_{2}) = #_{2}L_{1} = 2(k + 1) ≤ 2(l + 1) = #_{2}L_{2}.

さらに k = l = [n/2] ならば、 L_{1} ∩ L_{2} は Q_{n}(ℂ) の大対蹠集合になる。

注意 6.5.10 複素二次超曲面の実形の交叉に関する論文 [11] を書いた時点では二つの実形の交叉が対蹠集合になることはあらかじめわかっていなかったため、複素二次超曲面の二つの極に関する最小軌跡の交叉が極地になるという特殊性を利用して定理 6.5.2 を証明した。それに対して上記の証明は実形の交叉の対蹠性があらかじめわかっているので、議論を数学的帰納法にのせる部分が [11] の証明よりも簡単になっている。

例 6.1.3 でみたように、既約コンパクト型 Hermite 対称空間の極地は一般には既約にはならない。実形の交叉を極地における実形の交叉に帰着させるためには、たとえ既約コンパクト型 Hermite 対称空間を対象とする場合でも、極地に現れる既約ではないコンパクト型 Hermite 対称空間の実形の交叉に関する情報が必要になる。それらを扱うために次の補題 6.5.11 と命題 6.5.12 を準備しておく。

補題 6.5.11 M をコンパクト型 Hermite 対称空間とし、 τ : M → M を対合的反正則等長変換とする。 (x, y) ↦ (τ(y), τ(x)) は M × M の対合的反正則等長変換になり、不動点集合である実形は次で与えられる。

D_{τ}(M) = {(x, τ(x)) | x ∈ M}.

コンパクト型 Hermite 対称空間 M は M × M の実形になることを補題 6.5.11 は示している。 Leung [5] の 4. Classification of real forms of Hermitian symmetric spaces と Sánchez [6] の Proposition 3 では補題 6.5.11 の実形を想定していないように思われる。命題 6.5.12 (1) M_{1}, M_{2} をコンパクト型 Hermite 対称空間とし、 L_{1}, L′_{1} を M_{1} の

二つの実形、 L_{2}, L′_{2} を M_{2} の二つの実形とする。このとき、 L_{1} ×L_{2} と L′_{1} ×L′_{2} は M_{1}×M_{2} の二つの実形になり、 (L_{1}×L_{2})∩(L′_{1}×L′_{2}) = (L_{1}∩L′_{1})×(L_{2}∩L′_{2}) が成り立つ。 L_{1}, L′_{1} が横断的に交わり L_{2}, L′_{2} が横断的に交わるならば、 L_{1}×L_{2} と L′_{1}×L′_{2} も横断的に交わり #{(L_{1}×L_{2})∩(L′_{1}×L′_{2})} = #(L_{1}∩L′_{1})#(L_{2}∩L′_{2}) が成り立つ。

(2) L_{1}, L_{2} をコンパクト型 Hermite 対称空間 M の実形とし、 τ : M → M を対合的反正則等長変換とすると、次が成り立つ。

(L_{1} × L_{2}) ∩ D_{τ}(M) = {(x, τ(x)) | x ∈ L_{1} ∩ τ^{−1}(L_{2})}.

M × M 内の実形 L_{1} × L_{2} と D_{τ}(M) が横断的に交わることと L_{1} と τ^{−1}(L_{2}) が横断的に交わることは同値になり、このとき

#{(L_{1} × L_{2}) ∩ D_{τ}(M)} = #{L_{1} ∩ τ^{−1}(L_{2})}.

ここで、 L_{2} = (τ_{2}, M) とすると、 τ^{−1}(L_{2}) = F (ττ_{2}τ^{−1}, M) となり τ^{−1}(L_{2}) も M の実形である。

(3) M をコンパクト型 Hermite 対称空間とし、 τ_{1}, τ_{2} : M → M を M の正則等長変換全体の単位連結成分の元によって共役な対合的反正則等長変換とすると、 D_{τ_{1}}(M) と D_{τ_{2}}(M) は合同になる。さらに、 D_{τ_{1}}(M) と D_{τ_{2}}(M) が横断的に交われば、 #(D_{τ_{1}}(M) ∩ D_{τ_{2}}(M)) = #_{2}M が成り立つ。

既約コンパクト型 Hermite 対称空間内の実形の交叉を調べる際に、極地における実形の交叉は命題 6.5.12 の (1) と (2) の場合しか現れないが、今後一般のコンパクト型 Hermite 対称空間内の実形の交叉を調べるために必要になる (3) も掲載した。

定理 6.5.3 の証明 q, m に関する帰納法で証明する。 q = m = 1 のとき、 G_{2}^{ℂ}(ℂ^{4}) は複素二次超曲面 Q_{4}(ℂ) に同型であり、 G_{2}^{ℂ}(ℂ^{4}) 内の実形 G_{1}^{ℍ}(ℍ^{2}) と G_{2}^{ℝ}(ℝ^{4}) はそれぞれ Q_{4}(ℂ) 内の実形 S^{0,4} と S^{2,2} と同型になる。したがって、定理 6.5.2 より L_{1} ∩L_{2} は L_{1} の大対蹠集合になり、次が成り立つ。

#(L_{1} ∩ L_{2}) = #_{2}L_{1} = 2 < 6 = #_{2}L_{2}.

次に一般の q, m について考える。 G_{2q}^{ℂ}(ℂ^{2m+2q}) の極地は

M_{j}^{+} = G_{j}^{ℂ}(ℂ^{2q}) × G_{2q−j}^{ℂ}(ℂ^{2m}) (0 ≤ j ≤ 2q)

となる。さらに、 0 ≤ j ≤ 2q について

G_{q}^{ℍ}(ℍ^{m+q}) ∩ M_{j}^{+} = \{ \begin{matrix}∅ & (j : 奇数) \\ G_{k}^{ℍ}(ℍ^{q}) × G_{q−k}^{ℍ}(ℍ^{m}) & (j = 2k) \end{matrix}
G_{2q}^{ℝ}(ℝ^{2m+2q}) ∩ M_{j}^{+} = G_{j}^{ℝ}(ℝ^{2q}) × G_{2q−j}^{ℝ}(ℝ^{2m}).

したがって、帰納法の仮定より

#\{(L_{1} ∩ M_{2k}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{2k}^{+})\} = \binom{q}{k}\binom{m}{q − k}.

補題 6.4.4 と例 6.2.6 で示した二項係数の関係式より

#(L_{1} ∩ L_{2}) = ∑_{k=0}^{q} #\{(L_{1} ∩ M_{2k}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{2k}^{+})\} = ∑_{k=0}^{q} \binom{q}{k}\binom{m}{q − k}

= \binom{m + q}{q} = #_{2}L_{1} < \binom{2m + 2q}{2q} = #_{2}L_{2}.

定理 6.5.4 の証明 G_{n}^{ℂ}(ℂ^{2n}) の極地は

M_{j}^{+} = G_{j}^{ℂ}(ℂ^{n}) × G_{n−j}^{ℂ}(ℂ^{n}) (0 ≤ j ≤ n)

となる。 G_{j}^{ℂ}(ℂ^{n}) と G_{n−j}^{ℂ}(ℂ^{n}) は正則等長的であることに注意する。 0 ≤ j ≤ n について

U(n) ∩ M_{j}^{+} = D_{τ_{j}}(G_{j}^{ℂ}(ℂ^{n}))
G_{n}^{ℝ}(ℝ^{2n}) ∩ M_{j}^{+} = G_{j}^{ℝ}(ℝ^{n}) × G_{n−j}^{ℝ}(ℝ^{n}).

したがって、補題 6.5.11 と定理 6.4.7 より

#{(L_{1} ∩ M_{j}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{j}^{+})} = #{(G_{j}^{ℝ}(ℝ^{n}) × G_{n−j}^{ℝ}(ℝ^{n})) ∩ D_{τ_{j}}(G_{j}^{ℂ}(ℂ^{n}))}

= #_{2}G_{j}^{ℝ}(ℝ^{n}) = \binom{n}{j}.

補題 6.4.4 より

#(L_{1} ∩ L_{2}) = ∑_{j=0}^{n} #\{(L_{1} ∩ M_{j}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{j}^{+})\} = ∑_{j=0}^{n} \binom{n}{j} = 2^{n}

= #_{2}U(n) ≤ \binom{2n}{n} = #_{2}G_{n}^{ℝ}(ℝ^{2n}).

定理 6.5.5 の証明 G_{2m}^{ℂ}(ℂ^{4m}) の極地は

M_{j}^{+} = G_{j}^{ℂ}(ℂ^{2m}) × G_{2m−j}^{ℂ}(ℂ^{2m}) (0 ≤ j ≤ 2m)

である。 G_{j}^{ℂ}(ℂ^{2m}) と G_{2m−j}^{ℂ}(ℂ^{2m}) は正則等長的であることに注意する。 0 ≤ j ≤ 2m について

G_{m}^{ℍ}(ℍ^{2m}) ∩ M_{j}^{+} = \{ \begin{matrix}∅ & (j : 奇数) \\ G_{k}^{ℍ}(ℍ^{m}) × G_{m−k}^{ℍ}(ℍ^{m}) & (j = 2k) \end{matrix}
U(2m) ∩ M_{j}^{+} = D_{τ_{j}}(G_{j}^{ℂ}(ℂ^{2m})).

したがって、補題 6.5.11 と定理 6.4.7 より

#{(L_{1} ∩ M_{2k}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{2k}^{+})} = #{(G_{k}^{ℍ}(ℍ^{m}) × G_{m−k}^{ℍ}(ℍ^{m})) ∩ D_{τ_{2k}}(G_{2k}^{ℂ}(ℂ^{2m}))}

= #_{2}G_{k}^{ℍ}(ℍ^{m}) = \binom{m}{k}.

補題 6.4.4 より

#(L_{1} ∩ L_{2}) = ∑_{k=0}^{m} #\{(L_{1} ∩ M_{2k}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{2k}^{+})\} = ∑_{k=0}^{m} \binom{m}{k} = 2^{m}

≤ \binom{2m}{m} = #_{2}G_{m}^{ℍ}(ℍ^{2m}) ≤ 2^{2m} = #_{2}U(2m).

ここで、 m = 1 のときは

#(L_{1} ∩ L_{2}) = 2^{1} = \binom{2}{1} = #_{2}G_{1}^{ℍ}(ℍ^{2}) < 2^{2} = #_{2}U(2).

m ≥ 2 のときは

#(L_{1} ∩ L_{2}) = 2^{m} < \binom{2m}{m} = #_{2}G_{m}^{ℍ}(ℍ^{2m}) < 2^{2m} = #_{2}U(2m).

定理 6.5.6 の証明 Sp(2m)/U(2m) の極地は

M_{j}^{+} = G_{j}^{ℂ}(ℂ^{2m}) × G_{2m−j}^{ℂ}(ℂ^{2m}) (0 ≤ j ≤ 2m)

である。 0 ≤ j ≤ 2m について

Sp(m) ∩ M_{j}^{+} = \{ \begin{matrix}∅ & (j : 奇数) \\ G_{k}^{ℍ}(ℍ^{m}) & (j = 2k) \end{matrix}
(U(2m)/O(2m)) ∩ M_{j}^{+} = G_{j}^{ℝ}(ℝ^{2m}).

したがって、定理 6.4.7 より

#{(L_{1} ∩ M_{2k}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{2k}^{+})} = #{G_{k}^{ℍ}(ℍ^{m}) ∩ G_{2k}^{ℝ}(ℝ^{2m})}

= #_{2}G_{k}^{ℍ}(ℍ^{m}) = \binom{m}{k}.

補題 6.4.4 と例 6.2.9、 6.2.10 より

#(L_{1} ∩ L_{2}) = ∑_{k=0}^{m} #\{(L_{1} ∩ M_{2k}^{+}) ∩ (L_{2} ∩ M_{2k}^{+})\} = ∑_{k=0}^{m} \binom{m}{k} = 2^{m}
= #_{2}Sp(m) ≤ 2^{2m} = #_{2}U(2m)/O(2m).

定理 6.5.7 を証明するために、 SO(4m)/U(2m) の極地を求めると、これらの極地はすべて複素 Grassmann 多様体になり、定理 6.5.3、 6.5.4、 6.5.5 の結果を適用できる。これによって、今までと同様な手法で定理 6.5.7 を証明できる。

定理 6.5.8 と 6.5.9 を証明するためには、極地を求めそれらの性質を調べる準備が必要になるので、ここではその詳細は省略する。

参考文献

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[11] H. Tasaki, The intersection of two real forms in the complex hyperquadric, Tohoku Math. J., 62 no.3 (2010), 375–382.

[12] 田崎博之、対称空間入門、対称空間入門 (第 2 回) 大阪市立大学数学研究所

連続講義、 2010 年度、 http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tasaki/lecture
/ln2010/osaka cu.html