部分多様体論・湯沢 1996

C.Olmosの仕事について

講演者：田崎博之 (筑波大助教授)

記録者：佐藤尊文 (筑波大数学) ，

廣橋大悟 (筑波大数学)

1996 年 11 月 20 日

概要

C. Olmos の 3 つの論文

(1) The normal holonomy group, Proc.Amer.Math.Soc., 110(1990), 813-818

(2) Normal holonomy groups and s-representation (with E.Heitze), Indiana Univ.M.J., 41(1992), 869-874

(3) Homogeneous submanifolds of higher rank and parallel mean curvature, J.D.G., 39(1994), 605-627

について解説する．

1 第１の論文について

この節では、 C.Olmos の論文『The normal holonomy group』について解説する．接ベクトル束以外のホロノミー群については、それほど知られていなかったのではないだろうか．その意味でも興味深い論文だと思われる．

1.1 制限法ホロノミー群

この論文の中で扱う法ホロノミー群は、一般の Riemann 多様体におけるホロノミー群と似た概念である．これらを対比して理解する為、先ず、一般の Riemann 多様体のホロノミー群について復習する．

(M, g) を一般の Riemann 多様体とし、その Levi-Civita 接続を ∇ とする． M 上の点 x を基点とする閉曲線 c を考える．任意の接ベクトル X ∈ T_{x}M を c に沿って ∇ に関して平行移動することにより、 T_{x}M の等長変換が誘導される．このような変換全体は群をなし、しかも点 x のとり方に依存しない．この群を (M, g) のホロノミー群という．

特に、 1 点に可縮な閉曲線 c についてだけ考えたとき、これを (M, g) の制限ホロノミー群という．

(M, g) の制限ホロノミー群は、 O(T_{x}M) の連結な Lie 部分群であり、かつ SO(T_{x}M) のコンパクトな部分群である．さらに、 (M, g) のホロノミー群は、制限ホロノミー群が単位元の連結成分となるような Lie 群の構造を持つ．

一方、法ホロノミー群は次のように定義される．

M をある Riemann 多様体 Q^{N} の部分多様体とし、自然に定まる法ベクトル束の接続を ∇^{⊥} とする． M 上の点 x を基点とする閉曲線 c をとり、これに沿って任意の法ベクトル ξ ∈ T_{x}^{⊥}M を ∇^{⊥} に関して平行移動することにより、 T_{x}^{⊥}M の等長変換が誘導される．このような変換全体は群をなし、点 x のとり方に依存しない．こうして得られる群を部分多様体 M の法ホロノミー群という．

特に、 1 点に可縮な c についてだけ考えたとき、制限法ホロノミー群という．

1.2 Simons の代数的定式化

Ambrose-Singer の定理は、大雑把に言って、「(M, g) の曲率テンソル R から、 (M, g) のホロノミー群の Lie 環が構成できる」と主張している．

これと同様なことを、部分多様体の法ホロノミー群についても考えたい．その際、 Simons による代数的定式化を使用する． Simons は、次のようなホロノミー系という代数系を定めた．

V を内積を持つベクトル空間、 R をその上の (1, 3)-テンソルとする．次の性質

(1) R(X, Y) = −R(Y, X)
(2) R(X, Y)Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0
(3) ⟨ R(X, Y)Z, W ⟩ = −⟨ R(X, Y)W, Z ⟩
(4) ⟨ R(X, Y)Z, W ⟩ = ⟨ R(Z, W)X, Y ⟩

を満たす R を曲率という．このとき、 Riemann 多様体の場合と同様にして、スカラー曲率が定義される． G を O(V) のコンパクトで連結な部分群とし、 𝔤 を G の Lie 環とする．任意の X, Y ∈ V に対し、 R(X, Y) ∈ 𝔤 となるとき、 G を R のホロノミー群といい、 [V, R, G] をホロノミー系という．任意の g ∈ G に対し、 g(R) = R となるとき、ホロノミー系 [V, R, G] は対称であるという．また、 G の V への作用が既約なとき、ホロノミー系 [V, R, G] は既約であるという．

ここで、 Simons は、次のような定理を述べている．定理 1.1 (J.Simons)

ホロノミー系 [V, R, G] が既約、かつスカラー曲率が 0 でないならば、

\begin{matrix}(1) & [V, R, G] は対称，または \\ (2) & {G ⊂ O(V) は、階数 1 の対称空間 (i.e. S^{n},P^{n}(ℂ),P^{n}(ℍ),P^{2}(ℂay)) \atop のホロノミー群と同型} \end{matrix}

定理 1.2 (J.Simons)

ホロノミー系 [V, R, G] は既約とする． G の部分群で R のホロノミー群となる最小なものを G^{R} とする．このとき、 G^{R} が V の単位球面に推移的に作用しないならば、 [V, R, G] は対称である．

1.3 Olmos の曲率型テンソル

ここからは、 M が定曲率空間 Q^{N} の部分多様体の場合を考える． ν(M) を M の法ベクトル束、 ∇^{⊥} をその自然な接続とし、 ∇^{⊥} の曲率を R^{⊥} とする．

一般の Riemann 多様体の場合の R に相当するものとして、安直に R^{⊥} を採用したとすると、 R^{⊥}( · , ·) の括弧の中に代入される X, Y 等は T M の元であるのに対し、これらを代入して得られる R^{⊥}(X, Y) は End(ν(M)) の元である為、 Simons の定式化は使えない．そこで、 R^{⊥} に代わるものとして、 Olmos は、以下で述べるようなテンソル ℛ^{⊥} を導入した．

A を M のシェイプ作用素とし、 { e_{j} }_{j=1,···,n} を T M の正規直交局所標構場とする．このとき、任意の ξ_{i} ∈ ν(M), i = 1, 2, 3 に対し、

ℛ^{⊥}(ξ_{1}, ξ_{2})ξ_{3} = ∑_{j=1}^{n} R^{⊥}(A_{ξ_{1}}e_{j}, A_{ξ_{2}}e_{j})ξ_{3}

とすることにより、 M 上のテンソル ℛ^{⊥} を定義する． ℛ^{⊥} は 𝔬(ν(M)) の元を誘導する． ℛ^{⊥} は、曲率と同様の代数的性質、すなわち、

(1) ℛ^{⊥}(ξ_{1}, ξ_{2}) = −ℛ^{⊥}(ξ_{2}, ξ_{1})
(2) ℛ^{⊥}(ξ_{1}, ξ_{2})ξ_{3} + ℛ^{⊥}(ξ_{2}, ξ_{3})ξ_{1} + ℛ^{⊥}(ξ_{3}, ξ_{1})ξ_{2} = 0
(3) ⟨ ℛ^{⊥}(ξ_{1}, ξ_{2})ξ_{3}, ξ_{4} ⟩ = −⟨ ℛ^{⊥}(ξ_{1}, ξ_{2})ξ_{4}, ξ_{3} ⟩
(4) ⟨ ℛ^{⊥}(ξ_{1}, ξ_{2})ξ_{3}, ξ_{4} ⟩ = ⟨ ℛ^{⊥}(ξ_{3}, ξ_{4})ξ_{1}, ξ_{2} ⟩

を満たす．これを示すのに「外の空間が定曲率である」ことを使う．もう少し詳しく言うと、 R̄ を Q^{N} の曲率とすると、 Ricci の公式は

⟨ R̄(X, Y)ξ, η ⟩ = ⟨ R^{⊥}(X, Y)ξ, η ⟩ − ⟨ [A_{ξ}, A_{η}]X, Y ⟩

と表せる．ただし、 X, Y ∈ T_{x}M、 ξ, η ∈ ν_{x}(M) である．今、 Q^{N} は定曲率なので、左辺は 0 である．したがって、

⟨ R^{⊥}(X, Y)ξ, η ⟩ = ⟨ [A_{ξ}, A_{η}]X, Y ⟩

が成り立つ．さらに、 R^{⊥} と ℛ^{⊥} とには、次のような関係があることが分かる．

(1) R^{⊥} = 0 ⟺ ℛ^{⊥} = 0
(2) R^{⊥} ≠ 0 ⟺ ℛ^{⊥}のスカラー曲率> 0
(3) span{ R^{⊥}(X, Y) : X, Y ∈ T_{x}M } = span{ ℛ^{⊥}(ξ, η) : ξ, η ∈ ν_{x}M }

特に、 (3) が重要である． (3) を示す際にも、先程の Ricci の公式を使う．

1.4 定理と証明の概略

この論文の主定理は、次のようなものである．

定理 1.3 (C.Olmos)

M^{n} を定曲率空間内の連結な部分多様体、 ν(M) を M の法ベクトル束、 ∇^{⊥} をその自然な接続とする． M の制限法ホロノミー群を Φ とすると、

Φ = Φ_{0}×Φ_{s} , ν(M) = ν^{0} ⊕ ν^{s}

と分解される．ここで、 Φ_{0} = { 1 } であり、 Φ_{s} ⊂ O(ν^{s}) は、ある半単純対称空間の線形イソトロピー群である．

証明には、先程の Simons の結果と Ambrose-Singer の結果が使われる．テンソル ℛ^{⊥} を導入し、 R^{⊥}( ·, ·) が生成する群と ℛ^{⊥}( ·, ·) が生成する群が等しいこ

と、すなわち、先程の関係式 (3)) については既に述べた．

Olmos は、さらに、 ℛ^{⊥} のスカラー曲率が 0 でないことを示し、 Simons の結果を使って定理を証明している．

この定理は、定曲率空間内の部分多様体についてのものである．これを一般の空間内の部分多様体の話に拡張するには、途中で使っている Ricci の公式が複雑で難しいであろう．

2 第２の論文について

この節では、 C.Olmos と E.Heitze の共著論文『Normal holonomy groups and s-representation』について解説する．この論文の議論は、ある意味で第 1 の論文の逆、すなわち「対称空間の線形イソトロピー群が全て、制限法ホロノミー群として現れるかどうか」ということである．

2.1 対称空間の線形イソトロピー表現の軌道の法ホロノミー群

G/K を非コンパクト型の対称空間とし、 G, K の Lie 環をそれぞれ 𝔤,𝔨 とすると、 𝔤 は 𝔤 = 𝔨 + 𝔭 と分解され、 𝔭 は自然に T_{o}(G/K) と同一視される． v ∈ 𝔭 に対して、部分多様体 K·v ⊂ 𝔭 について考える．ただし、「 · 」は K の 𝔭 への作用を表す．

Olmos は、 K·v の法ホロノミー群について調べた．

制限ルート系から決まる Dynkin 図形を考える． K ·v の法ホロノミーは、その部分図形 Dynkin 図形としてを持つような対称空間の線形イソトロピー表現と自明な表現との直和になっている．

古典型の場合は、系列があるのでよい．例外型の場合、系列があっても有限個で止まるので、系列内で最大のものは、この形では議論できない．そのようなものについてどうなっているかということは、まだ知られていないようである．

3 第３の論文について

この節では、 C.Olmos の論文『Homogenious submanifolds of higher rank and parallel mean curvature』の内容について解説する．

M ⊂ R^{N} は Riemann 多様体、 ν(M) は M の法ベクトル束、 ∇^{⊥} を M の法接続として、 M の区分的に滑らかな曲線 c に沿った ∇^{⊥} に関する平行移動を τ_{c} と表わす．

等長的挿入 ι : M → R^{N} は、 M = M_{1} × M_{2} (Rimann 積)、 ι_{j} : M_{j} → R^{N_{j}} (等長的挿入)、 j = 1, 2、 N = N_{1} + N_{2} によって ι = ι_{1} × ι_{2} と表わされるときに、可約であるという．可約でない M を既約であるという．

K ⊂ I(R^{n})(コンパクト、連結) の orbit で表わされる M をコンパクト等質という．

p ∈ M に対して、 ϕ_{p}^{⋆} を制限法ホロノミ−群とする．このとき、

ν_{0}(M)_{p} := { ξ ∈ ν(M)_{p} : ϕ_{p}^{∗}ξ = ξ }

とすれば、 ν(M) の部分ベクトル束 ν_{0}(M)_{p} が定まる．これは、 ∇^{⊥} に平行で平坦な部分束で極大なものになっている．

そこで、 ν(M) := ν_{0}(M)+ν_{s}(M)、 (ν_{s}(M) := ν_{0}^{⊥}(M))、 rank (M) := rank (ν_{0}(M))、と表わすことにする．特に、 M がコンパクト等質のとき、 rank (M) ≥ 1 であることが簡単に分かる．

定義 3.1

ν(M) が平坦であり、任意の局所平行ベクトル場 ξ に対して、シェイプ作用素 A_{ξ} の固有値が一定のとき、 M は等径であるという．

M = k · v ⊂ S^{N−1} はコンパクト等質、 r := rank (M) ≥ 2、 U ⊂ M は一点可縮とする． ν_{0}(M) = span{ ξ_{1} … ξ_{r} }、 (ξ_{i} は ν_{0}(M) の平行な断面)、のとき、 Ricci の公式より、任意の ξ, η ∈ C^{∞}(U, ν_{0}(U))、 X, Y ∈ C^{∞}(U, T (M)) に対して、

⟨ [A_{ξ}, A_{η}]X, Y ⟩ = ⟨ R^{⊥}(X, Y)ξ, η ⟩ = 0

となることが分かる．よって、 {A_{ξ}} は同時対角化可能で、 E_{1} … E_{g} を { a_{ξ} } の同時固有空間による分布とすれば、 ξ ∈ C^{∞}(U, ν_{0}(U))、 X_{i} ∈ C^{∞}(U, E_{i}) に対して、

A_{ξ}(X_{i}) = λ_{i}(ξ)X_{i}

となる．

更に、 Olmos は、この論文の中で、 M がコンパクト等質既約充満のとき、ある n_{1}, …, n_{g} ∈ C^{∞}(U, ν_{0}(U)) が、 A_{ξ}(Xi) = λ_{i}(ξ)Xi = ⟨ n_{i}, ξ ⟩Xi、 (ξ ∈ C^{∞}(U, ν_{0}(U)), X_{i} ∈ C^{∞}(U, E_{i}))、を満足させていれば、

(1) ∇^{⊥}n_{i} = 0
(2) ν_{0}(U) = span{ n_{1}, …, n_{g} }

が成り立つ事を証明している．

定義 3.2

N が R^{m} の部分多様体のとき、 g ∈ I(R^{m}) が N の ∇^{⊥} に関する transvection とは、 g(N) = N、かつ、 p ∈ N に対して、 c(0) = p、 c(1) = g · p、 dg|_{ν(N)_{p}} = τ_{c}、となる N の曲線 c が存在している場合をいう． Tr (N, ∇^{⊥}) で N の transvection の全体を表わすことにする．同様に、上での ν(N) をそれぞれ ν_{0}(N)、 ν_{s}(N) に変えて、 Tr_{0}(N, ∇^{⊥})、 Tr_{s}(N, ∇^{⊥}) を定義する．

特に、 Tr(N, ∇^{⊥}) ⊂ Tr_{0}(N, ∇^{⊥}) ∩ Tr_{s}(N, ∇^{⊥}) が成り立つ．

定理 3.3 K は連結、 M = K · v ⊂ R^{N} は n 次元コンパクト等質とする．このとき、

(1) K ⊂ Tr_{s}(M, ∇^{⊥})
(2) M が既約充満で、 n ≥ 2 ならば、 K ⊂ Tr(M, ∇^{⊥}) が成り立つ．

この事から、定理が得られる．

定理 3.4 (Theorem C)

M = K · v ⊂ R^{N} がコンパクト等質既約充満のとき、任意の k ∈ K、 p ∈ M に対して M 内の区分的に滑らかな曲線 c : [0, 1] ⟶ M で、 c(0) = p、 c(1) = k · p、 dk∥_{ν(M)_{p}} = τ_{c}^{⊥} を満たすものが存在する．

補題 3.5 (Lemma 5.2)

H ⊂ SO(N) は連結 Lie 部分群で、 R^{N} への作用が半単純対称空間の線形イソトロピ−表現と同値になっているとする．このとき、 N(H)_{0} を SO(N) 内の H の正規化部分群の単位連結成分とすれば、 N(H)_{0} = H となる．

定理 3.6 (Theorem A)

M ⊂ R^{N} が n 次元 (n ≥ 2) コンパクト等質既約充満で、 rank (M) ≥ 2 のとき、 M は既約対称空間の線形イソトロピ−表現の orbit になる．

この定理の証明には、論文「 E.Heintze, C.Olmos, G.Thorbergsson, Submanifolds with constant principal curvature and normal holonomy group, Intern.J.Math., Vol.2 (1991)」の次の結果が使われる．：

” R^{N} の部分多様体 M は、等長的挿入 ι : M ⟶ R^{N} があるとき、 M が一定の主曲率をもつならば、等径部分多様体か、その焦点多様体内の開集合のどちらかであり、その逆も成り立つ．”

M が等径部分多様体ならば、法ベクトル束 ν(M) の ∇^{⊥} に関する曲率テンソルは 0 であり、その場合に限る．一方、 M が一定の主曲率をもてば、 M 内の任意の曲線 c(t) 上の平行法ベクトル場 ξ(t) に対して、シェイプ作用素 A_{ξ} の固有値は一定なので、

M_{ξ} := \{ ξ(1) | \begin{matrix}c : [0, 1] ⟶ M \\ ξ : [0, 1] ⟶ ν(M) は c に沿って平行 \end{matrix}\}

とおけば、 π : M_{ξ} ⟶ M により、 M_{ξ} が等径部分多様体であることが分かるからである．

\underline{定理の証明} M = K · v ⊂ R^{N} とする．任意の ξ ∈ ν_{0}(M)_{v} に対して、

M_{ξ} := \{ c(1) + ξ̃(1) | \begin{matrix}c : [0, 1] ⟶ M, c(0) = v \\ ξ̃は c に沿って ∇^{⊥} 平行で、 ξ̃(0) = ξ \end{matrix} \}

とおいたとき、 M_{ξ} = K(v + ξ) となり、 ν_{0}(M_{ξ}) が、大域的に平坦となることが分かる．

M は一定の主曲率を持つので、 M は、

(1) 等径部分多様体、又は、 (2) 等径部分多様体の焦点多様体

のいずれかである．

(1) の場合、 M は等径等質なので、既約対称空間の線形イソトロピ−表現の orbit となる．

(2) の場合も、これの等径部分多様体を M̃ とすれば、 codim (M) ≥ 3 なので、 Thorbergsson の結果 ( 「 G.Thorbergsson, Isoparametric foliations and their buildings Ann. of Math.(2) 133 (1991) 429-446 」 ) より、 M̃ は既約対称空間の線形イソトロピ−表現の orbit となる．したがって、この場合も M は既約対称空間の線形イソトロピ−表現の orbit となる． (証明終)

定理 3.7 (Theorem B)

M ⊂ R^{N} を n 次元コンパクト既約等質 (n ≥2) で、平均曲率ベクトルが平行、 M は M を含む最も小さい球面内で極小でないものとする．このとき、 M は既約対称空間の線形イソトロピ−表現の orbit となる．

\underline{証明} rank (ν_{0}(M)) ≥ 2 が分かるので、上の定理から導かれる． (証明終)