曲面上の孤立臍点の指数

安藤直也 (東大数理, 学振特別研究員)

S を R^{3} の滑らかな曲面とし Umb(S) を S の臍点全体からなる集合とし, Reg(S) := S \ Umb(S) とおく. もし Reg(S) ≠ ∅ ならば Reg(S) 上の一次元連続分布で Reg(S) の各点に主方向を与えるものが存在する. そのような分布を\underline{S 上の主分布}という. Reg(S) の点の周りでの主分布のふるまいを描写するのは容易である: その点で零ならざるベクトル場を用いて主分布を (局所的に) 表すことができる. 一方臍点の周りでの主分布のふるまいは非常に複雑な場合があり, また一般にはいかなるベクトル場を用いても主分布を表すことができない場合がある. p_{0} を孤立臍点とするとき, 二つの主分布の共通の孤立特異点である p_{0} の指数は互いに等しいが, この共通の数を\underline{S 上での p_{0} の指数}といい ind_{p_{0}}(S) で表す. (x, y) を p_{0} の周りの局所座標系で p_{0} が (0, 0) に対応するものとし, r_{0} は正の実数で {0 < x^{2} + y^{2} < r_{0}^{2}} ∩ Umb(S) = ∅ をみたすものとする. また ϕ_{S;p_{0}} は (0, r_{0}) × R 上の連続関数で各 (r, θ) ∈ (0, r_{0}) × R に対し点 (r cos θ, r sin θ) における接ベクトル

cos ϕ_{S;p_{0}}(r, θ)\frac{∂}{∂x} + sin ϕ_{S;p_{0}}(r, θ)\frac{∂}{∂y}

が主方向に含まれるものとする. このとき p_{0} の指数 ind_{p_{0}}(S) は次のように表される:

ind_{p_{0}}(S) = \frac{ϕ_{S;p_{0}}(r, θ + 2π) − ϕ_{S;p_{0}}(r, θ)}{2π}.

l を N∪{∞} の元とし, F を R^{2} における (0, 0) の連結な近傍上定義された滑らかな関数で\frac{∂^{m+n}F}{∂x^{m}∂y^{n}} (0, 0) = 0 が 0 ≦ m + n < l なる非負整数 m,

n に対しなりたつものとし, F のような関数全体からなる集合を C_{o}^{(∞,l)} で表す. このとき l ∈ N に対して次がなりたつ:

C_{o}^{(∞,l)} ⊃ C_{o}^{(∞,l+1)} ⊃ C_{o}^{(∞,∞)} ⫌ {0}.

S の各点 p に対して R^{3} 上の直交座標系 (x, y, z) および C_{o}^{(∞,2)} の元 F があって次がなりたつ:

(1) p は R^{3} の原点 o := (0, 0, 0) に対応する;

(2) xy 平面は p で S に接している; (3) F の graph G_{F} は S における p の近傍である.

自然数 l に対し C_{o}^{(∞,l)} の部分集合 C_{o}^{⟨∞,l⟩} を次のように定義する:

C_{o}^{⟨∞,l⟩} := {F ∈ C_{o}^{(∞,l)} ; o ∈ Umb(G_{F}), Reg(G_{F −f}) ≠ ∅, ∀f ∈ C_{o}^{(∞,∞)}}.

すると C_{o}^{⟨∞,2⟩} の各元 F に対し C_{o}^{⟨∞,3⟩} の元 f_{F} があって Reg(G_{F −f_{F}}) = ∅ がなりたつ. 非負整数 k に対し P^{k} を次数 k の二変数同次多項式全体からなる集合とする. このとき C_{o}^{⟨∞,2⟩} の各元 F に対し 3 以上の整数 k_{F} および P^{k_{F}} の元 g_{F} があって f_{F} − g_{F} ∈ C_{o}^{(∞,k_{F} +1)} がなりたつ. P^{k} の元 g および各実数 θ に対し Hess_{g}(θ) を点 (cos θ, sin θ) での g の Hessian とし, η_{g} を R 上の連続関数で各実数 θ に対しベクトル^{t}(cos η_{g}(θ), sin η_{g}(θ)) は Hess_{g}(θ) の固有ベクトルであるものとし, また

S_{g} := {θ_{0} ∈ R ; Hess_{g}(θ_{0}) = λE, ∃λ ∈ R}

とおく. C_{o}^{⟨∞,2⟩} の元でその graph 上 R^{3} の原点 o が孤立臍点であるもの全体からなる集合を C_{o}^{∞,2} で表し, また

P_{o}^{k} := P^{k} ∩ C_{o}^{∞,2}, C_{oo}^{∞,2} := {F ∈ C_{o}^{∞,2} ; g_{F} ∈ P_{o}^{k_{F}} }

とおく. また C_{o}^{∞,2} の各元 F に対し ϕ_{F} は R^{3} の xy 平面上の標準的な座標系 (x, y) に関する関数 ϕ_{G_{F};o} を表すことにする. このとき次がなりたつ:

命題１ F を C_{o}^{∞,2} の元とする. このとき

(1) R\S_{g_{F}} の各元 θ_{0} に対し,

(a) 実数 ϕ_{F,o}(θ_{0}) が存在して lim_{r→0} ϕ_{F} (r, θ_{0}) = ϕ_{F,o}(θ_{0}) がなりたつ,

(b) ベクトル^{t}(cos ϕ_{F,o}(θ_{0}), sin ϕ_{F,o}(θ_{0})) は Hess_{g_{F}} (θ_{0}) の固有ベクトルである;

(2) 各実数 θ_{0} に対し,

(a) 二つの実数 ϕ_{F,o}(θ_{0} + 0), ϕ_{F,o}(θ_{0} − 0) が存在して次がなりたつ:

lim_{θ→θ_{0}±0} ϕ_{F,o}(θ) = ϕ_{F,o}(θ_{0} ± 0),

(b) Γ_{F,o}(θ_{0}) := ϕ_{F,o}(θ_{0} + 0) − ϕ_{F,o}(θ_{0} − 0) は {nπ/2}_{n∈Z} の元である;

(3) o の指数 ind_{o}(G_{F}) は次のように表される:

ind_{o}(G_{F}) = \frac{η_{g_{F}} (θ + 2π) − η_{g_{F}} (θ)}{2π} + \frac{1}{2π} ∑_{θ_{0}∈S_{g_{F}} ∩[θ,θ+2π)} Γ_{F,o}(θ_{0}).

特に次がなりたつ:

命題２ F は C_{o}^{⟨∞,2⟩} の元で S_{g_{F}} = ∅ をみたすものとする. このとき F ∈ C_{oo}^{∞,2} でありかつ次がなりたつ :

ind_{o}(G_{F}) = ind_{o} (G_{g_{F}} ) = \frac{η_{g_{F}} (θ + 2π) − η_{g_{F}} (θ)}{2π}.

命題１や命題２における同次多項式 g_{F} から得られる量 η_{g_{F}} (θ + 2π) − η_{g_{F}} (θ) の計算手順は既に見い出されている. 一方命題１における Γ_{F,o}(θ_{0}) なる量を把握することは一般的には難しい. 次の二つの定理はこの問題に対する部分解答を与える:

定理３ k を３以上の自然数とし g を P_{o}^{k} の元とする. このとき

(1) S_{g} の各元 θ_{0} に対し Γ_{g,o}(θ_{0}) = −π/2 がなりたつ;

(2) ind_{o}(G_{g}) ∈ {1 − k/2 + i}_{i=0}^{[k/2]} がなりたつ.

定理４ F を C_{oo}^{∞,2} の元とする. このとき

(1) S_{g_{F}} の各元 θ_{0} に対し −π/2 ≦ Γ_{F,o}(θ_{0}) ≦ π/2 がなりたつ;

(2) ind_{o} (G_{g_{F}} ) ≦ ind_{o}(G_{F}) ≦ 1 がなりたつ.

一般に, 孤立臍点 p_{0} を有する滑らかな曲面 S に対し ind_{p_{0}}(S) ≦ 1 という不等式が期待されてきた. この予想に関連して二つの予想が知られている: Carathéodory 予想と Loewner 予想である. Carathéodory 予想とは compact かつ強凸なる曲面には二つ以上臍点が存在するのではというものである. もし ind_{p_{0}}(S) ≦ 1 ならば compact, 向き付け可能で genus 0 の曲面には二つ以上臍点が存在することが Hopf-Poincaré の定理を用いてわかり, compact かつ強凸なる曲面は向き付け可能かつ genus 0 なので結局 Carathéodory 予想を肯定的に解決することができる. F を二実変数の実数値をとる滑らかな関数とし, ∂\overline{z} := \frac{1}{2}(\frac{∂}{∂x} + \sqrt{−1}\frac{∂}{∂y} ) とおく. このとき自

然数 n に対する Loewner 予想とはベクトル場 Re(∂n ; \overline{z}F)\frac{∂}{∂x} + Im(∂n ; \overline{z}F)\frac{∂}{∂y} の孤立零点の指数は n 以下なのではというものである ([4], [6]). n = 2 に対する Loewner 予想は上に述べた予想 ind_{p_{0}}(S) ≦ 1 と同値である ([5]). これらの予想に関連して次の定理がなりたつ:

定理５ F は C_{o}^{∞,2} の元で S_{g_{F}} の各元 θ_{0} に対し Γ_{F,o}(θ_{0}) ≦ π がなりたつものとする. このとき ind_{o}(G_{F}) ≦ 1 がなりたつ.

参考６ C_{o}^{∞,2} の任意の元 F および S_{g_{F}} の各元 θ_{0} に対し Γ_{F,o}(θ_{0}) ≦ π を示し, さらに C_{o}^{(∞,∞)} の元 F′ で G_{F′} 上 o が孤立臍点であるものに対し ind_{o}(G_{F′}) ≦ 1 を示すことができれば ind_{p_{0}}(S) ≦ 1 を一般的に示すことができる.

S を滑らかな Weingarten 曲面とする. また w_{S} は滑らかな二変数関数で S の Gauss 曲率 K_{S} および平均曲率 H_{S} に対し w_{S}(K_{S}, H_{S}) ≡ 0 をみたすものとする.

定義７ Weingarten 曲面 S が\underline{特別である}とは w_{S} として次の条件をみたすものを見い出すことができるときにいう: Umb(S) の各点で

H_{S} \frac{∂w_{S}}{∂X} (K_{S}, H_{S}) + \frac{1}{2} \frac{∂w_{S}}{∂Y} (K_{S}, H_{S}) ≠ 0  (1)

がなりたつ.

参考８ S から R^{2} への写像 Φ_{S} を S の各点 p に対して

Φ_{S}(p) := (K_{S}(p), H_{S}(p))

により定義する. このとき

Φ_{S}(S) ⊂ {X ≦ Y^{2}}, Φ_{S}(Umb(S)) ⊂ {X = Y^{2}}

がなりたつ. もし Umb(S) の元 p_{0} で(1) がなりたつとすると, 方程式 w_{S} = 0 は Φ_{S}(p_{0}) を通る滑らかな曲線を定めることが陰関数定理を用いてわかり, さらに(1) からその曲線は Φ_{S}(p_{0}) で {X = Y^{2}} に横断的に交わることがわかる.

次の定理がなりたつ:

定理９ F は C_{o}^{⟨∞,2⟩} の元で G_{F} が特別な Weingarten 曲面であるものとする. このとき S_{g_{F}} = ∅, F ∈ C_{oo}^{∞,2} および ind_{o}(G_{F}) = 1 − k_{F} /2 がなりたつ.

参考 10 k_{F} ≧ 3 なので F が定理９におけるようなものであれば特に ind_{o}(G_{F}) < 0 がわかる. Hartman-Wintner は S が全臍的ならざる特別な Weingarten 曲面であるとき各臍点 p_{0} は孤立していてかつその指数は負であることを示した ([2]).

参考 11 特別な Weingarten 曲面の例として平均曲率一定曲面があげられる. S を平均曲率一定曲面とするとき Umb(S) は S 上の Hopf 微分 Ω_{S} の零点全体からなる集合として与えられる. Ω_{S} は等温座標系について正則なので S が全臍的でなければ各臍点 p_{0} は孤立していることがわかる. p_{0} での Ω_{S} の位数を ord_{p_{0}}(S) とするとき p_{0} の指数は −\frac{ord_{p_{0}}(S)}{2} で与えられる ([3]).

参考文献

[1] N.Ando, The index of an isolated umbilical point on a surface, preprint.

[2] P.Hartman and A.Wintner, Umbilical points and W-surfaces, Amer. J. Math., 76(1954) 502-508.

[3] H.Hopf, Lectures on differential geometry in the large, Lecture Notes in Math.,vol.1000, Springer-Verlag.

[4] T.Klotz, On Bol’s proof of Carathéodory’s conjecture, Comm. Pure Appl. Math., 12(1959) 277-311.

[5] B.Smyth and F.Xavier, Real solvability of the equation ∂2 ; \overline{z}ω = ρg and the topology of isolated umbilics, J. Geom. Anal., 8(1998), 655-671.

[6] C.J.Titus, A proof of a conjecture of Loewner and of the conjecture of Carathéodory on umbilic points, Acta Math., 131(1973), 43-77.