H^{3} 内の平均曲率一定曲面の構成について

東京電機大学小林真平

1 H^{3} 内の平均曲率一定曲面

4 次元ミンコフスキー空間 E^{3,1} をエルミート行列 Herm(2) と同一視すると、 3 次元双曲空間は H^{3} = {a ∈ Herm(2) | det a = 1, tr a > 0} と実現できる。 D を ℂ 内の単連結領域とし f を D から H^{3} への共形的な等長はめ込みとする。この同一視を用いると、曲面 f の動標構 F = (f, e^{−u/2}f_{x}, e^{−u/2}f_{y}, N), (ここで N は f, f_{x}, f_{y} に直交する単位法線ベクトル) は SL(2, ℂ) に値を持つ事が分かる。

曲面 f の動標構 F は z = x + iy, ∂_{z} = (∂_{x} − i∂_{y})/2、 ∂z̄ = (∂_{x} + i∂_{y})/2、計量 ds^{2} = e^{u(z,z̄)}dzdz̄、平均曲率 H、ホップ微分 Q = ⟨f_{zz}, N⟩ を用いると、次の式を満たす事がわかる [1]。

(1.1)  F_{z} = F U, Fz̄ = F V,

U = (\begin{matrix}u_{z}/4 & \frac{1}{2}(H + 1)e^{u/2} \\ −Qe^{−u/2} & −u_{z}/4 \end{matrix}) , V = (\begin{matrix}−uz̄/4 & Q̄e^{−u/2} \\ −\frac{1}{2}(H − 1)e^{u/2} & uz̄/4 \end{matrix}) .

また構造方程式は次の様に書ける。

u_{zz̄} + \frac{1}{2}(H^{2} − 1)e^{u} − 2|Q|^{2}e^{−u} = 0,

Qz̄ = \frac{1}{2}H_{z}e^{u}.

よく知られている様に、平均曲率 H が一定である時、曲面 f に対して平均曲率 H_{λ} = H, 計量 ds_{λ}^{2} = e^{u}dzdz̄, ホップ微分 Q_{λ} = λQ, (λ ∈ S^{1}) である曲面の族 f_{λ}, (λ ∈ S^{1}) が存在する。方程式 (1.1) において、 Q を λQ, Q̄ を λ^{−1}Q に置き換えた動標構を F_{λ} で表す。 F_{λ} は D から ΛSL(2, ℂ) = {g : S^{1} → SL(2, ℂ); 滑らかな写像 } への写像と考える事ができる。 F_{λ} を extended framing と呼ぶ。 Remark. 平均曲率 H は、 N の向きを取り換える事によって一般性を失わずに H ≥ 0 と仮定できる。以下の節では、平均曲率 H = 1 の場合の考察は除く。 Remark. Extended framing F_{λ} を F̃_{λ} = F_{λ^{−2}} ( \begin{matrix}\sqrt{λ} & 0 \\ 0 & \sqrt{λ}^{−1} \end{matrix} ) で置き換えると F̃_{λ} ∈ ΛSL(2, ℂ)_{σ} := {g(λ) ∈ ΛSL(2, ℂ) | σg(λ) = g(−λ)} である。以下の節では ΛSL(2, ℂ) の代わりに ΛSL(2, ℂ)_{σ}、 F_{λ} の代わりに F̃_{λ} を用いて議論する。

2 H^{3}内の平均曲率一定曲面の generalized Gauss maps

曲面 f に対して、 H^{3} の単位接束 T_{1}H^{3} = {(x; v) ∈ T H^{3} | |v| = 1} = SL(2, ℂ)/U(1) への写像 Φ で π ∘ Φ = f となるものを考える (π は T_{1}H^{3} から H^{3} への射影)。これを generalized Gauss map と呼ぶ。この時、平均曲率一定曲面の特徴付けとして次の定理が知られている。

定理 2.1 ([3]). H^{3} 内の曲面とその generalized Gauss map について次の事は同値である。

(1) 平均曲率 H が一定である。

(2) Generalized Gauss map はルジャンドル調和写像である。

Remark. (1) T_{1}H^{3} の計量は、 SL(2, ℂ) の killing metric から定まる不定値計量を考る。

(2) Generalized Gauss mapがルジャンドルであるという条件は⟨df, N⟩ = 0 と書くことができる。従って、 f が曲面である限り generalized Gauss map はルジャンドルである。

(3) SL(2, ℂ)/U(1) は 4-対称空間である。従って平均曲率一定曲面の generalized Gauss map は 4-対称空間 SL(2, ℂ)/U(1) へのルジャンドル調和写像を定めている。

ΛSL(2, ℂ)_{σ} に対して、対合 𝔠_{1}, 𝔠_{2} を次で定義する:

\begin{matrix}𝔠_{1} : g(λ) ∈ ΛSL(2, ℂ)_{σ} → \overline{g (1/λ̄)}^{t−1} ∈ ΛSL(2, ℂ)_{σ}, \\ 𝔠_{1} : g(λ) ∈ ΛSL(2, ℂ)_{σ} → Ad ( \begin{matrix}1/\sqrt{i} & 0 \\ 0 & \sqrt{i} \end{matrix} ) \overline{g(i/λ̄)}^{t−1} ∈ ΛSL(2, ℂ)_{σ}. \end{matrix}

定理 2.2 ([4], [2]). H^{3} 内の平均曲率一定曲面とその extended framing F_{λ} をゲージ変換した F̂_{λ} について次が成立する。

(1) 平均曲率が H > 1 である時、 𝔠_{1}F̂_{λ} = F̂_{λ}.

(2) 平均曲率が 0 ≤ H < 1 である時、 𝔠_{2}F̂_{λ} = F̂_{λ}.

Remark. extended framing F_{λ} をゲージ変換したF̂_{λ} もextended framing と呼ぶ事にする。

3 Generalized Weierstrass type representation

最後に H^{3} 内の平均曲率一定曲面 (0 ≤ H < 1, H > 1) に対する generalized Weierstrass type representation を簡単に紹介する。

Step1 η(z, λ) を次で定める単連結領域 D ⊂ ℂ 上の微分形式とする。

(3.1)  η(z, λ) = ( ∑_{k=−1}^{∞} η_{k}(z)λ^{k}) ,

ここで λ ∈ ℂ^{∗}、 η_{k}(z) は 𝔰𝔩(2, ℂ) に値を持つ正則一形式とする。また k が偶数 (resp. 奇数) の時、 η_{k}(z) を対角 (resp. 非対角) 行列とする。さらに η_{−1}(z) の右上の成分は D 上で消えないと仮定する。

Step2 C を次の線形常微分方程式の解とする。

(3.2)  dC = Cη, C(z_{∗}, λ) = id,
ここで z_{∗} ∈ D を初期点とする。

Step3 対合 𝔠_{1}、 𝔠_{2} を用いると C は次の様に二通りに分解できる。

(3.3)  C = F_{j}V_{+j},

ここで 𝔠_{j}F_{j} = F_{j}, V_{+j} ∈ Λ^{+}SL(2, ℂ)_{σ} := {g(λ) ∈ ΛSL(2, ℂ)_{σ} | g(λ) は単位円盤内で λ に関して正則 }。

定理 3.1 ([2]). F_{1}(resp. F_{2}) は H^{3} 内の平均曲率が一定 H > 1 (resp. 0 ≤ H < 1) である曲面の extended framing になる。 Step4 実際、平均曲率一定曲面は次の写像 f_{j} で構成する事ができる (f_{1}

は平均曲率 H > 1、 f_{2} は平均曲率 0 ≤ H < 1)。

f_{j} := F_{j}F_{j}^{∗}.

参考文献

[1] M. Babich and A. Bobenko. Willmore tori with umbilic lines and minimal surfaces in hyperbolic space. Duke Math. J., 72(1):151–185, 1993.

[2] J. Dorfmeister, J. Inoguchi, and S.-P. Kobayashi. Constant mean curvature surfaces in hyperbolic 3-space via loop group approach. In preparation, 2008.

[3] T. Ishihara. The harmonic Gauss maps in a generalized sense. J. London Math. Soc. (2), 26(1):104–112, 1982.

[4] Shimpei Kobayashi. Real forms of complex surfaces of constant mean curvature. Submitted, 2007.