球面内のクリフォード極小超曲面の特徴付け

前田定廣 (佐賀大学理工学部)

球面内の (全測地的ではないが) 全せい的な超曲面に対する特徴付けは数多くあるが, 本講演では “超曲面上の測地線” を観察してみよう。次の事は容易に示せる。

Fact. M^{n} ↪ S^{n+1}(c) が等長はめ込みで, しかも M^{n} 上の\underline{任意の}測地線は S^{n+1}(c) 上の小円に写る。 ⟺_{必・十}M^{n} =_{local} S^{n}(c_{1}) ↪_{全せい的}S^{n+1}(c), c_{1} > c, よって, 全測地的では

ない。

そこで, 前述の statement における測地線の本数を減らしてみよう。超曲面 M^{n} 上の点の数は減らせないが, 次が示せる。

命題. 等長はめ込み M^{n} ↪ S^{n+1}(c) に対して, 次が成り立つ。 ∀x ∈ M^{n} において次の２条件を満たす（T_{x}M^{n} の）正規直交基底 {v_{1}, …, v_{n}} が存在する。

(1) 初期条件: γ_{i}(0) = x, γ̇_{i}(0) = v_{i} (1 ≦ i ≦ n) を満たす M^{n} 上の測地線 γ_{i} = γ_{i}(s) は S^{n+1}(c) 上の小円。

(2) 初期条件: γ_{ij}(0) = x, γ̇_{ij}(0) = (v_{i} + v_{j})/\sqrt{2} (1 ≦ i < j ≦ n) を満たす M^{n} 上の測地線 γ_{ij} = γ_{ij}(s) は S^{n+1}(c) 上の小円。

⟺_{必・十}M^{n} =_{local} S^{n}(c_{1}) ↪_{全せい的}S^{n+1}(c), c_{1} > c, よって, 全測地的ではない。

命題の条件（２）を取ると次が成り立つ。

定理 1. 等長はめ込み M_{連結}^{n} ↪ S^{n+1}(c) に対して次が成り立つ。

∀x ∈ M^{n} において次の条件を満たす（T_{x}M^{n} の）正規直交基底 {v_{1}, …, v_{n}} が存在する。初期条件: γ_{i}(0) = x, γ̇_{i}(0) = v_{i} (1 ≦ i ≦ n) を満たす M^{n} 上の測地線 γ_{i} = γ_{i}(s) は S^{n+1}(c) 上の小円。 ⟺_{必・十}M^{n} は S^{n+1}(c) 内の\underline{零主曲率を持たない}等径超曲面。

証明については, M. Kimura and S. Maeda: Canad. Math. Bull. 43 (2000), 74-78 を参照されたい。

そこで, 主曲率２個を持つ等径超曲面であるクリフォード超曲面を考える。

M_{r,n−r}(c_{1}, c_{2}) := S^{r}(c_{1}) × S^{n−r}(c_{2}) ↪ S^{n+1}(c),

ここで (1/c_{1}) + (1/c_{2}) = 1/c, 1 ≦ r ≦ n − 1 であり, クリフォード超曲面 M_{r,n−r}(c_{1}, c_{2}) は, ２つの異なる主曲率 c_{1}/\sqrt{c_{1} + c_{2}} (重複度 r), −c_{2}/\sqrt{c_{1} + c_{2}} (重複度 n − r) を持つ。しかも球面内の超曲面で型作用素 A が平行（即ち, 第二基本形式が平行）になるものは, 全せい超曲面かクリフォード超曲面であることが, よく知られている。

定理１の系としてクリフォード超曲面を特徴付ける次の定理が得られる。定理 2. 等長はめ込み M_{連結}^{n} ↪ S^{n+1}(c) に対して次が成り立つ。

M^{n} =_{local} M_{r,n−r}(c_{1}, c_{2}), 1 ≦ r ≦ n − 1, (1/c_{1}) + (1/c_{2}) = 1/c.

⟺_{必・十}∀x ∈ M^{n} において次の２条件を満たす（T_{x}M^{n} の）正規直交基底 {v_{1}, …, v_{n}}

が存在する。

(1) 初期条件: γ_{i}(0) = x, γ̇_{i}(0) = v_{i} (1 ≦ i ≦ n) を満たす M^{n} 上の測地線 γ_{i} = γ_{i}(s) は S^{n+1}(c) 上の\underline{小円}。

(2) ^{∃}d : M → ℕ, 0 <^{∃} α(: 定数) < 1 に対して, 初期条件: γ_{ij}(0) = x, γ̇_{ij}(0) = αv_{i}+\sqrt{1 − α^{2}} v_{j} (1 ≦ i ≦ d_{x} < j ≦ n) を満たす M^{n} 上の測地線 γ_{ij} = γ_{ij}(s) は S^{n+1}(c) 上の\underline{大円}。

このとき, d ≡ r となり M = M_{r,n−r}(c/α^{2}, c/(1 − α^{2})).

定理２は T. Adachi and S. Maeda: Colloquium Math. 105 (2006), 143-148 に掲載された結果であるが, 証明は容易である。まず, 条件 (1) から超曲面 M^{n} は等径的 (即ち, M^{n} の S^{n+1}(c) における主曲率はすべてそれぞれ一定) だということが分かる。次に条件 (2) を使うと異なる主曲率の個数は２個という事になり, 超曲面 M^{n} は M_{r,n−r}(c_{1}, c_{2}) と合同になる。

そこで, 任意のクリフォード超曲面がこの条件 (2) を満たすことをここで確かめる。そのために M_{r,n−r}(c_{1}, c_{2}) 上の測地線 γ = γ(s) で, S^{n+1}(c) 上の大円になるものを見つけよう。 ∇, ˜∇ をそれぞれ M_{r,n−r}(c_{1}, c_{2}), S^{n+1}(c) のリーマン接続, A を M_{r,n−r}(c_{1}, c_{2}) の S^{n+1}(c) における型作用素, N を単位法ベクトル場とすると次が成り立つ。

˜∇γ̇γ̇ = ∇γ̇γ̇ + ⟨Aγ̇, γ̇⟩N = ⟨Aγ̇, γ̇⟩N .

一方,

∇γ̇⟨Aγ̇, γ̇⟩ = ⟨(∇γ̇A)γ̇, γ̇⟩ + 2⟨Aγ̇, ∇γ̇γ̇⟩ = 0.

よって M_{r,n−r}(c_{1}, c_{2}) 上の測地線 γ = γ(s) で, S^{n+1}(c) 上の大円になるものが存在するための必要十分条件は, ⟨Aγ̇(0), γ̇(0)⟩ = 0 が成り立つことである。そこで, γ̇(0) = (cos t)u + (sin t)v とおく。ただし, Au = (c_{1}/\sqrt{c_{1} + c_{2}} )u, Av =

( − c_{2}/\sqrt{c_{1} + c_{2}} )v, ∥u∥ = ∥v∥ = 1 とする。故に ⟨Aγ̇(0), γ̇(0)⟩ = 0 より

cos^{2} t · \frac{c_{1}}{\sqrt{c_{1} + c_{2}}} − sin^{2} t · \frac{c_{2}}{\sqrt{c_{1} + c_{2}}} = 0.

よって, tan t = \sqrt{c_{1}/c_{2}} (0 < t < π/2) を得る。従って,

γ̇(0) = \sqrt{\frac{c_{2}}{c_{1} + c_{2}}} u + \sqrt{\frac{c_{1}}{c_{1} + c_{2}}} v とすれば, M_{r,n−r}(c_{1}, c_{2}) 上の測地線 γ = γ(s) は

S^{n+1}(c) 上の大円になることが分かる。

次に, この超曲面 M_{r,n−r}(c_{1}, c_{2}) が S^{n+1}(c) において, 特に極小としよう。 Tr A = 0

より rc_{1} − (n − r)c_{2} = 0. 一方, 1/c_{1} + 1/c_{2} = 1/c であるから, c_{1} = \frac{nc}{r}, c_{2} = \frac{nc}{n − r}

を得るから\sqrt{\frac{c_{2}}{c_{1} + c_{2}}} = \sqrt{\frac{r}{n}} , \sqrt{\frac{c_{1}}{c_{1} + c_{2}}} = \sqrt{\frac{n − r}{n}} となる。従って, M_{r,n−r}(c_{1}, c_{2})

が S^{n+1}(c) において極小であるための必要十分条件は, γ̇(0) = \sqrt{\frac{r}{n}} u + \sqrt{\frac{n − r}{n}} v

となる M_{r,n−r} 上の測地線 γ = γ(s) が S^{n+1}(c) 上の大円になることである。

よって, 定理２の系としてクリフォード\underline{極小}超曲面を特徴付ける次の定理が得られる。

定理 3. 等長はめ込み M_{連結}^{n} ↪ S^{n+1}(c) に対して次が成り立つ。

M^{n}: クリフォード\underline{極小}超曲面, 即ち

M^{n} =_{local} M_{r,n−r}(nc/r, nc/(n − r)), 1 ≦ r ≦ n − 1.

⟺_{必・十}適当な整数 r (1 ≦ r ≦ n − 1) と ∀x ∈ M^{n} において次の２条件を満たす

（T_{x}M^{n} の）正規直交基底 {v_{1}, …, v_{n}} が存在する。

(1) 初期条件: γ_{i}(0) = x, γ̇_{i}(0) = v_{i} (1 ≦ i ≦ n) を満たす M^{n} 上の測地線 γ_{i} = γ_{i}(s) は S^{n+1}(c) 上の\underline{小円}。

(2) ^{∃}d : M → ℕ に対して, 初期条件: γ_{ij}(0) = x, γ̇_{ij}(0) = \sqrt{r/n} v_{i}+(\sqrt{(n − r)/n} )v_{j} (1 ≦ i ≦ d_{x} < j ≦ n) を満たす M^{n} 上の測地線 γ_{ij} = γ_{ij}(s) は S^{n+1}(c) 上の \underline{大円}。

このとき, d ≡ r となる。

注意 1.

1) 定理１, ２, ３において, M^{n}: 完備とするとそれらは皆大域的な結果になる。 2) 定理２, ３の条件 (2) は M^{n} 上の各点で成り立つ必要はない。ある一点で成

り立てばよい。

参考. \underline{すべての}クリフォード\underline{極小}超曲面を特徴付けているその他のよく知られた定理を紹介する。

定理 A. M^{n} ↪_{極小} S^{n+1}(c), ρ ≡ n(n − 2)c (ここで, ρ : M^{n} のスカラー曲率) ⟺_{必・十}

M^{n} =_{local} M_{r,n−r}(nc/r, nc/(n − r)), 1 ≦ r ≦ n − 1.

S.S. Chern, M.P. doCarmo and S. Kobayashi: Functional analysis and related fields, Springer (1970), 59-75 または, H.B. Lawson: Ann. Math. 89 (1969), 187-197 を参照されたい。

定理 B. M^{n}_{コンパクト} ↪_{極小} S^{n+1}(c), K ≧ 0 (ここで, K : M^{n} の断面曲率)

⟺_{必・十}M^{n} = \begin{cases}S^{n}(c) & (: 全測地的) \\ M_{r,n−r}(nc/r, nc/(n − r)), & 1 ≦ r ≦ n − 1. \end{cases}

K. Nomizu and B. Smyth: J. Diff. Geom. 3 (1969), 367-377 を参照。なお, 定理 B の仮定で, “コンパクト” を “スカラー曲率が一定” に置き換えると対応する局所定理が得られる。

定理 C. M^{n} ↪_{極小} S^{n+1}(c), ∇S = 0 (ここで, S : M^{n} のリッチテンソル)

⟺_{必・十}M^{n} =_{local} \begin{cases}S^{n}(c) & (: 全測地的) \\ M_{r,n−r}(nc/r, nc/(n − r)), & 1 ≦ r ≦ n − 1. \end{cases}

H.B. Lawson: Ann. Math. 89(1969), 187-197 を参照。次の結果は, \underline{すべての}クリフォード極小超曲面を特徴付けている訳ではないが, 有名な定理である。定理 D. M^{n} ↪_{極小} S^{n+1}(c), 主曲率が２個でそれぞれの重複度が, r(≧ 2), n−r(≧ 2).

⟺_{必・十}M^{n} =_{local} M_{r,n−r}(nc/r, nc/(n − r)), 2 ≦ r ≦ n − 2.

主曲率が２個でも片方の重複度が１の場合は, 様相が一変する。定理 E. M^{n} ↪_{極小} S^{n+1}(c), n ≧ 3, ２個の主曲率 λ (重複度 n − 1), −(n − 1)λ (重複度１) を持つ。 ⟹ M =_{local} 平面曲線に沿って動く S^{n−1} の平行族。定理 F. 定理 E の仮定を満たすコンパクトな極小超曲面が可算無限個存在する。その中で埋め込まれているものは M_{1,n−1}(nc, nc/(n − 1)) のみである。定理 D, E, F に関して, T. Otsuki: Amer. J. Math. 92 (1970), 145-173; Proc. Symp. Pure. Math. 27 (1975), 327-337 を参照されたい。注意 2. 定理 F の極小超曲面の中で等径超曲面は, M_{1,n−1}(nc, nc/(n − 1)) のみである。それ以外の（等径的でない）極小超曲面を\underline{大槻多様体}と呼ぶ。

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