実グラスマン型分岐則における安定性

塚本千秋 (京都工芸繊維大学工芸科学部)

§1 序.

湯沢 2004 において, SO(n + 3)/SO(3) × SO(n) の分岐則について, お話をさせていただきました. それは, コンパクト・リー群 G = SO(n + 3) の既約表現を部分群 K = SO(3) × SO(n) の表現と考える時, どのような既約表現の和に分岐するか, をなるべく幾何学的な計算に使いやすい形で提供しようとするものです. 実はそのとき, その分岐則の有用性について私自身今ひとつ確信が持てないでおりましたが, 間下克哉さんから, 分岐の安定性 (stability) についての情報がそれから得られるだろうか, との御質問を受け, なるほどそれが有用性の指標になるかと思いました.

安定性とは, G の既約表現の最高重みを球表現の最高重みだけ増加させて行く時, K の既約表現の和への分解中に現れる特定の K 既約表現の重複度がある値で一定となる現象です. この現象は一般的に存在することが, 佐藤文広 [1] 等で知られていますが, それをこの場合に直接示し, 一定となる範囲を明確に評価できれば, 幾何学的な計算に役立てることが出来ます.

今回, 安定性が成立する範囲を具体的に評価することが出来ましたので, 御報告する次第です. 要するに, 4 年前の公式を使って, 分岐の状態を計算するだけなのですが, その計算には大分「慣れ」が必要でした. 公式の応用の多少の工夫の中身は論文 [4] にも書いたのですが, 慣れというのは論文にちょっとしにくいところでもあります. ともあれ, 安定性の結論よりも, その慣れの獲得の方が, 私にとっては重要で, それを今後の計算で役立てたいものだと思っております. (最大の問題は, 2-グラスマンの場合と違い, 3-グラスマンでは面白そうな幾何学的問題が見つからないことかも知れません.)

§2 基礎知識.

以下では表現は複素ベクトル空間で考える. 群 G の表現空間は G-module と呼んでおく. 連結なコンパクト・リー群 G の極大トーラス群 T に作用を制限すると, G-module V_{G} は 1 次元づつの T -modules に分解し, それぞれへの T の作用は, T のリー環 𝔱 上の複素数値線形関数 λ で定まり, それを重み (weight) と呼ぶ. 重みの空間には辞書式の順序が入り, 既約 G-module V_{G} の重みの集まりには, その順序で最大の重みが唯一つあり, それを Λ_{G} とすると, それを最大重み (highest weight) とする既約 G-module が (同型を除いて) 定まる. Λ_{G} を最大重みとして持つ G-module を V_{G}(Λ_{G}) とする. 既約 G-module の最大重みとなる重みの全体を D(G) と表す.

G の閉部分群 K の極大トーラス群 T′ を含むように T をとり, 重みの空間が対応するようにして, 辞書式順序もその対応に従うように入れておく.

既約 G-module V_{G}(Λ_{G}) を K-module と考えると, いくつかの既約 K-module V_{K}(Λ_{K}) の直和に分解する.

V_{G}(Λ_{G}) = _{Λ_{K}∈D(K)}^{∑} mult(Λ_{G}, Λ_{K}) V_{K}(Λ_{K}).

ここで mult(Λ_{G}, Λ_{K}) は V_{G}(Λ_{G}) の K-既約分解中に V_{K}(Λ_{K}) がいくつの直和として現れるか, という重複度である. mult(Λ_{G}, Λ_{K}) を与えるのが分岐則である.

一つの既約 K-module V_{K}(Λ_{K}) を固定した時, 主束 G → G/K の随伴束 G×_{K} V_{K}(Λ_{K}) の滑らかな切断の全体 C^{∞}(G ×_{K} V_{K}(Λ_{K})) を自然に G-module と考えた時, どのような既約 G-modules の直和に分解するか, が幾何学的な問題として基本的なものである. Frobenius reciprocity theorem によって,

Hom_{G}(V_{G}(Λ_{G}), C^{∞}(G ×_{K} V_{K}(Λ_{K}))) ≅ Hom_{K}(V_{G}(Λ_{G}), V_{K}(Λ_{K}))

の同型があり, 一方 Schur’s Lemma によって,

dim Hom_{K}(V_{G}(Λ_{G}), V_{K}(Λ_{K})) = mult(Λ_{G}, Λ_{K})

であるから, 随伴束の切断の空間に既約 G-module V_{G}(Λ_{G}) がどのような重複度で現れるかは mult(Λ_{G}, Λ_{K}) を計算することにより分かる. このように, 幾何学的には, Λ_{K} を固定した時に, mult(Λ_{G}, Λ_{K}) が Λ_{G} ∈ D(G) についてどう与えられるか, が知りたいところである.

(G, K) が対称対である場合, 関数の空間 C^{∞}(G/K) = C^{∞}(G ×_{K} V_{K}(0)) の既約 Gmodules への分解は球関数の理論として知られている. 対 (G, K) の階数 r 個の基本重み Λ_{i} (1 ≤ i ≤ r) があって, その非負整数係数の一次結合 Λ_{0} = ∑_{i=1}^{r} s_{i}Λ_{i} に対して mult(Λ_{0}, 0) = 1 となり, それ以外の Λ_{G} ∈ D(G) に対しては mult(Λ_{G}, 0) = 0 である.

随伴束の切断に対して, その関数倍も又切断となる. 積 C^{∞}(G/K)×C^{∞}(G×_{K}V_{K}(Λ_{K})) → C^{∞}(G × V_{K}(Λ_{K})) は G-equivariant である. Hom_{G}(V_{G}(Λ_{0}), C^{∞}(G/K)) の零でない元 Φ を固定すれば, Ψ ∈ Hom_{G}(V_{G}(Λ_{G}), C^{∞}(G ×_{K} V_{K}(Λ_{K}))) に対して Φ ⊗ Ψ は Hom_{G}(V_{G}(Λ_{0}) ⊗ V_{G}(Λ_{G}), C^{∞}(G ×_{K} V_{K}(Λ_{K}))) の元だと考えられる.

V_{G}(Λ_{0}) の最大重み Λ_{0} に対応する元 v_{Λ_{0}} と V_{G}(Λ_{G}) の最大重み Λ_{G} に対応する元 v_{Λ_{G}} のテンソル積 v_{Λ_{0}} ⊗ v_{Λ_{G}} ∈ V_{G}(Λ_{0}) ⊗ V_{G}(Λ_{G}) から生成される既約 G-module は V_{G}(Λ_{G} + Λ_{0}) であるから, V_{G}(Λ_{0}) ⊗ V_{G}(Λ_{G}) ⊃ V_{G}(Λ_{G} + Λ_{0}) となっている. 従って, Φ ⊗ Ψ は Hom_{G}(V_{G}(Λ_{G} + Λ_{0}), C^{∞}(G ×_{K} V_{K}(Λ_{K}))) の元を定める. V_{G}(Λ_{0}) の C^{∞}(G/K) 内での実現で v_{Λ_{0}} に対応する関数が殆ど至る所で零でないことを用いれば, この対応

Hom_{G}(V_{G}(Λ_{G}), C^{∞}(G ×_{K} V_{K}(Λ_{K}))) → Hom_{G}(V_{G}(Λ_{G} + Λ_{0}), C^{∞}(G ×_{K} V_{K}(Λ_{K})))

は単射的であり,

mult(Λ_{G}, Λ_{K}) ≤ mult(Λ_{G} + Λ_{0}, Λ_{K})

となる.

ここで Λ_{G} が十分に大きいとき, mult(Λ_{G} + Λ_{0}, Λ_{K}) = mult(Λ_{G}, Λ_{K}) となる, つまり, 安定性が存在する, ということが知られている. 幾何学的な問題を考える時, Λ_{G} ∈ D(G) の中で mult(Λ_{G}, Λ_{K}) が正となるものを見つけ出して, その値を定めることになるが, 正となるものを見つけ出すには, まず安定性が成立するところで考えるのが有用である. そこで, 安定性が成立するような Λ_{G} の大きさを具体的に評価することが問題となる.

以下では [3] で与えた分岐則によって導かれた評価について述べよう.

§3 結果.

SO(n + 3), SO(3) × SO(n) の表現は, n が偶数か奇数かで様相が異なっている.

(a) SO(2n + 3)/SO(3) × SO(2n) (n ≥ 2) の場合.

通常の行列群としての G = SO(2n + 3) の極大トーラス群 T は n + 1 個の SO(2) の直積であり, 対角線に沿って右下詰めで取っておくことにする. 重みの空間の基底を左上から順に λ_{0}, λ_{1}, …, λ_{n} が対応するように取り, その順での辞書式順序を入れる. 既約 G-module の最大重み Λ_{G} は Λ_{G} = h_{0}λ_{0} + h_{1}λ_{1} + ⋯ + h_{n}λ_{n} と書ける. 但し, h_{0}, h_{1}, …, h_{n} は非負整数で, h_{0} ≥ h_{1} ≥ ⋯ ≥ h_{n} を満たすものである.

SO(2n + 3) の複素既約表現は全て実既約表現の複素化になっている. 作用を K = SO(3)×SO(2n) に制限すると, 実既約表現の直和の複素化になる. SO(3)×SO(2n) の実既約表現には複素化すると共役な複素既約表現の直和になるものがある. それらは常に組で理解しておく方が分かりやすい. 既約 K-module の最大重みは Λ_{K} = p_{0}λ_{0}+p_{1}λ_{1}+⋯+ϵp_{n}λ_{n} と書ける. 但し, ϵ = ±1, p_{0}, p_{1}, …, p_{n} は非負整数で, p_{1} ≥ ⋯ ≥ p_{n} を満たすものである. Λ_{K} で ϵ の符号を変えたものを\overline{Λ_{K}} とすれば, p_{n} > 0 のとき, V_{K}(Λ_{K}) ⊕ V_{K}(\overline{Λ_{K}}) が実既約表現の複素化である. p_{n} = 0 のときは\overline{Λ_{K}} = Λ_{K} で, V_{K}(Λ_{K}) 自身が実既約表現の複素化である. mult(Λ_{G}, Λ_{K}) = mult(Λ_{G}, \overline{Λ_{K}}) である. 以下では ϵ = 1 の時だけを考えることにする.

対 (G, K) の基本重みは, Λ_{1} = 2λ_{0}, Λ_{2} = 2λ_{0} + 2λ_{1}, Λ_{3} = λ_{0} + λ_{1} + λ_{2} で与えられる. 非負整数 s_{1}, s_{2}, s_{3} について, Λ_{0} = p_{1}Λ_{1} + p_{2}Λ_{2} + p_{3}Λ とし, これを Λ_{G} に加えると, h_{2} が非負整数だけ, h_{0} − h_{1}, h_{1} − h_{2} が非負の偶数だけ, 増加することに注意する.

定理 3.1. h_{0} − h_{1} ≥ p_{0} + p_{1}, h_{1} − h_{2} ≥ p_{0} + p_{1}, h_{2} ≥ p_{1} であれば, 任意の Λ_{0} について, mult(Λ_{G} + Λ_{0}, Λ_{K}) = mult(Λ_{G}, Λ_{K}) である.

分岐則については [3] 或いは湯沢 2004 の記録集を御覧いただきたい.

(b) SO(2n + 4)/SO(3) × SO(2n + 1) (n ≥ 2) の場合.

通常の行列群としての G = SO(2n + 4) の極大トーラス群 T を対角線に沿って並んだ n + 2 個の SO(2) の直積とする. 重みの空間の基底を左上から順に λ_{−1}, λ_{0}, λ_{1}, …, λ_{n} が対応するように取り, その順での辞書式順序を入れる. 既約 G-module の最大重み Λ_{G} は h_{−1}λ_{−1} + h_{0}λ_{0} + h_{1}λ_{1} + ⋯ + ϵh_{n}λ_{n} と書ける. 但し, h_{−1}, h_{0}, h_{1}, …, h_{n} は非負整数, ϵ = ±1 で, h_{−1} ≥ h_{0} ≥ h_{1} ≥ ⋯ ≥ h_{n} を満たすものである. Λ_{G} で ϵ の符号を変えたものを\overline{Λ_{G}} とすれば, 常に mult(\overline{Λ_{G}}, Λ_{K}) = mult(Λ_{G}, Λ_{K}) となるので, 以下では ϵ = 1 としておく.

一方, K = SO(3) × SO(2n + 1) の極大トーラス群 T′ は左上から二番目の SO(2) を除いた n + 1 個の SO(2) の直積であり, その重みの空間の基底は λ_{0} を除いたものになる. 既約 K-module の最大重みは p_{−1}λ_{−1} + p_{1}λ_{1} + ⋯ + p_{n}λ_{n} と書ける. 但し, p_{−1}, p_{1}, …, p_{n} は非負整数で, p_{1} ≥ ⋯ ≥ p_{n} を満たすものである.

対 (G, K) の基本重みは, Λ_{1} = 2λ_{−1}, Λ_{2} = 2λ_{−1} + 2λ_{0}, Λ_{3} = λ_{−1} + λ_{0} + λ_{1} で与えられる. 非負整数 s_{1}, s_{2}, s_{3} について, Λ_{0} = s_{1}Λ_{1} + s_{2}Λ_{2} + s_{3}Λ_{3} とし, これを Λ_{G} に加えると, h_{1} が非負整数だけ, h_{−1} − h_{0}, h_{0} − h_{1} が非負の偶数だけ, 増加することに注意する.

定理 3.2. h_{−1} − h_{0} ≥ p_{−1} + p_{1}, h_{0} − h_{1} ≥ p_{−1} + p_{1}, h_{1} ≥ p_{1} であれば, 任意の Λ_{0} について, mult(Λ_{G} + Λ_{0}, Λ_{K}) = mult(Λ_{G}, Λ_{K}) である.

(c) SO(6)/SO(3) × SO(3) の場合.

(b) では n = 1 の場合が除かれている. G-module の重みの空間が λ_{−1}, λ_{0}, λ_{1} を基底としていて, この順序で辞書式順序を入れる時, 既約 G-module, 又は共役な既約 G-modules の組の最高重み Λ_{G} は Λ_{G} = h_{−1}λ_{−1} + h_{0}λ_{0} + ϵh_{1}λ_{1} と書ける. 但し, h_{−1}, h_{0}, h_{1} は非負整数, ϵ = ±1 で, h_{−1} ≥ h_{0} ≥ h_{1} を満たすものである. (b) でと同様に, Λ_{G} で ϵ の符号を変えたものを\overline{Λ_{G}} とすれば, mult(\overline{Λ_{G}}, Λ_{K}) = mult(Λ_{G}, Λ_{K}) となる. ϵ = 1 としておく.

一方, K-module の重みの空間は λ_{−1}, λ_{1} を基底としていて, これらを正とする辞書式順序を入れるとき, 既約 K-module の最高重み Λ_{K} は Λ_{K} = p_{−1}λ_{−1} + p_{1}λ_{1} と書ける. 但し, p_{−1}, p_{1} は非負整数である.

(b) と違うのは, 対 (G, K) の基本重みが, Λ_{1} = 2λ_{−1}, Λ_{2} = λ_{−1} + λ_{0} + λ_{1}, Λ_{3} = λ_{−1} + λ_{0} − λ_{1} で与えられることである. 非負整数 s_{1}, s_{2}, s_{3} について, Λ_{0} = s_{1}Λ_{1} + s_{2}Λ_{2} + s_{3}Λ_{3} とし, これを Λ_{G} に加えると, h_{0} が非負整数だけ, h_{−1} − h_{0}, h_{0} − h_{1} が非負の偶数だけ, 増加することに注意する. h_{1} は負になることもあるが, それは ϵ = −1 とすることなので, 先に注意したように |h_{1}| に置き換えて良い.

定理 3.3. h_{−1} − h_{0} ≥ p_{−1} + p_{1}, h_{0} − h_{1} ≥ p_{−1} + p_{1}, h_{1} ≥ (3/2)(p_{−1} + p_{1}) であれば, 任意の Λ_{0} について, mult(Λ_{G} + Λ_{0}, Λ_{K}) = mult(Λ_{G}, Λ_{K}) である.

§4 注意.

§3 の結果はいずれも与えられた条件下での mult(Λ_{G}, Λ_{K}) の変化を詳しく計算して得られる. (a), (b) については [3] での分岐則を用いているが, (c) についてはそれを少し書き換えたものを用いている. 念の為にそれを示しておこう. 重み λ について, 指数関数 exp(λ) を考え, s(λ) = exp(λ) − exp(−λ) とする.

定理 4.1. G = SO(6), K = SO(3) × SO(3) において. Λ_{G} = h_{−1}λ_{−1} + h_{0}λ_{0} + h_{1}λ_{1}, Λ_{K} = p_{−1}λ_{−1} + p_{1}Λ_{1} について, mult(Λ_{G}, Λ_{K}) > 0 となるのは,

\begin{aligned}∑ ; \begin{matrix}h_{0}≤q_{0}≤h_{−1} \\ h_{1}≤q_{1}≤h_{0} \end{matrix} & (q_{0}−q_{1} ; ∑ ; p=0 q_{1} ; ∑ ; q=0 s((q_{0} − q_{1} − p + q + \frac{1}{2}) λ_{−1}) s((p + q + \frac{1}{2}) λ_{1}) \\ & + q_{0}−q_{1}−1 ; ∑ ; q=0 q ; ∑ ; p=0(−1)^{q_{0}−q_{1}−q} s((q − p + \frac{1}{2}) λ_{−1}) s((p + \frac{1}{2}) λ_{1})) \end{aligned}

を, 非負整数 r_{−1}, r_{1} についての s((r_{−1} + 1/2)λ_{−1}) s((r_{1} + 1/2)λ_{1}) の一次結合として表す時, s((p_{−1} + 1/2)λ_{−1}) s((p_{1} + 1/2)λ_{1}) の係数が正となることである. その係数が mult(Λ_{G}, Λ_{K}) を与える.

実際にはこれから次の mult(Λ_{G}, Λ_{K}) の公式が得られる.

非負整数の並び (ℓ_{0}, ℓ_{1}, p, q) の集合 S を

S = \{ (ℓ_{0}, ℓ_{1}, p, q) | \begin{matrix}0 ≤ ℓ_{0} ≤ h_{−1} − h_{0}, 0 ≤ ℓ_{1} ≤ h_{0} − h_{1}, \\ 0 ≤ p ≤ ℓ_{0} + ℓ_{1}, 0 ≤ q ≤ h_{0} − ℓ_{1}, \\ p_{−1} = ℓ_{0} + ℓ_{1} − p + q, p_{1} = p + q \end{matrix} \} .

とし, その個数を #S とすれば,

m(Λ_{G}, Λ_{K}) = #S + ∑ ; \begin{matrix}0≤ℓ_{0}≤h_{−1}−h_{0} \\ 0≤ℓ_{1}≤h_{0}−h_{1} \\ p_{−1}+p_{1}<ℓ_{0}+ℓ_{1} \end{matrix} (−1)^{(ℓ_{0}+ℓ_{1})−(p_{−1}+p_{1})}

となる. これから定理 3.3 が証明される.

題名は実グラスマン型としていますが, 3-グラスマンだけの話でした. SO(n+1)/SO(n) の場合は, 分岐則も簡単で, mult(Λ_{G}, Λ_{K}) は 1 か 0 ですので, 安定性は自明です. SO(n + 2)/SO(2)×SO(n) の場合は, [2] で与えた分岐則が十分に有用で, 安定性を示すことも直ぐに出来ます. 階数が大きい方は, 幾何学的な問題に有用な分岐則, つまり, 固定した Λ_{K} に対して, mult(Λ_{G}, Λ_{K}) を Λ_{G} ∈ D(G) についてきちんと計算できるような分岐則は, 中々難しいのではないかと思います.

複素グラスマンでも, 四元数グラスマンでも, 階数が 1 の時は出来ていますが, 階数が 2 以上の場合は, きれいなものは出来ていないと思います. U(n + 2)/U(2) × U(n) がなんとか扱える限界かも知れません. 良い結果があれば, お教えいただきたいと存じます.

[1] Sato, Fumihiro: On the stability of branching coefficients of rational representations of reductive groups, Comment. Math. Univ. St. Pauli 42 (1993), 189–207.

[2] Tsukamoto, C.: Spectra of Laplace-Beltrami operators on SO(n + 2)/SO(2) × SO(n) and Sp(n + 1)/Sp(1) × Sp(n), Osaka J. Math. 18 (1981), 407–426.

[3] Tsukamoto, C.: Branching rules for SO(n + 3)/SO(3) × SO(n), Bulletin of the Faculty of Textile Science, Kyoto Institute of Technology 30 (2005), 11–20. <http://hdl.handle.net/10212/1686>

[4] Tsukamoto, C.: Stability in SO(n + 3)/SO(3) × SO(n) branching, preprint.

mailto: chiaki@kit.ac.jp