対称空間の全測地的部分多様体の分類問題

へのコンピュータ活用− S. Klein の仕事の紹介−

平成２１年１１月湯沢研究会 内藤博夫（山口大理）

参考文献

[1] S. Klein, Totally geodesic submanifolds of complex quadric, Differ. Geom. Appl. 26(2008), 79-96.

[2] S. Klein, Totally geodesic submanifolds of the complex and the quaternionic 2-Grassmannians, Trans. Amer. Math. Soc. 361(2009), 4927-4967.

[3] S. Klein, Reconstructing the geometric structure of a Riemannian symmetric space from its Satake diagram, Geom. Dedicata 138(2009), 25-50.

[4] S. Klein, Totally geodesic submanifolds of the exceptional Riemannian symmetric spaces of rank 2, to appear in Osaka J. of Math.

目的 階数 2 の単連結コンパクトリーマン対称空間のすべての（完備）全測地的部分多様体を等長変換による合同を除いて分類する:

(1) G_{2}^{+}(ℝ^{n}), G_{2}(ℂ^{n}), G_{2}(ℍ^{n}) (2-Grassmannians) ⟶ [1], [2]

(2) SU(3)/SO(3) ⟶ [3]

(3) SO(10)/U(5), E_{6}/U(1)·Spin(10), SU(6)/Sp(3), E_{6}/F_{4},G_{2}/SO(4), SU(3), Sp(2), G_{2} (G_{2}, E_{6}, F_{4}: compact, simply connected) ⟶ [4]

方法 M をコンパクト型単連結既約リーマン対称空間， G を M の等長変換群の単位元連結成分, o を M の固定点， K を点 o における G の中のイソトロピー部分群（連結）とし， G, K のリー代数をそれぞれ 𝔤, 𝔨 とする． 𝔤 上のある ad(𝔤) 不変な内積 <, > をとり，等質空間 G/K に G-不変リーマン計量を導入し， M をリーマン等質空間 G/K と同一視する. <, > は 𝔤 のキリング形式の定数倍． 𝔤 = 𝔨 ⊕ 𝔪 を <, > による直交分解とし, T_{o}M を 𝔪 と同一視する．このとき， M の点 o における曲率テンソル R_{o} は

R_{o}(x, y)z = −[[x, y], z], x, y, z ∈ 𝔪

と表され, M の全測地的部分多様体 N の分類問題は局所的に次の問題に帰着する： o ∈ N, 𝔪′ = T_{o}N ⊂ T_{o}M = 𝔪 と置くとき， [[𝔪′, 𝔪′], 𝔪′] ⊂ 𝔪′. このような性質を満たす 𝔪 の部分空間 𝔪′ を 𝔪 の Lie triple system といい，三項積 [[x, y], z] を Lie triple product という．逆に， 𝔪 の Lie triple system 𝔪′ が与えられると， o ∈ N, T_{o}N = 𝔪′ となる M の完備全測地的部分多様体 N が一意に定まる．完備全測地的部分多様体 N の合同類は， Lie triple system 𝔪′ の Ad(K)-同値類に対応する．また， N のリーマン計量は, Ad(K)-不変内積 <, >_{𝔪} の 𝔪′ への制限によって決まる．

Klein のアイディアは， Lie triple product [[x, y], z], 内積 < x, y >_{𝔪} に関する情報を，リーマン対称空間 M に対応する佐竹図形 (Satake diagram) から出発して， Maple の計算機システムを用いて，具体的に計算する計算機代数システムを構築することにある．リーマン対称空間の幾何学はリーマン計量と曲率テンソルによって支配されるから，この計算機代数システムは有益だと考えられる． Klein の論文では，これら２つのテンソル [[x, y], z] 及び < x, y >_{𝔪} を fundamental geometric tensors と呼んでいる．計算機代数システムは以下で公開されている．

http://satake.sourceforge.net (Maple package Ver. 10)

階数２のコンパクト単連結既約リーマン対称空間 M の全測地的部分多様体の分類問題では， Lie triple systems の各同値類から代表元を見つけ出すときに必要な Lie triple product の具体的計算に計算機代数システムが用いられる．また， N の断面曲率の計算, すなわち， < [[x, y], y], x >_{𝔪} の具体的計算にも用いられる．

1 佐竹図形から fundamental geometric tensors の具体的再構築

へ ([3])

𝔪 の極大可換部分空間 𝔞 をとり， 𝔞 を含む 𝔤 の可換部分代数を 𝔱 とする． 𝔱 の双対空間\sqrt{−1}𝔱^{∗} の元 α に対して， 𝔤_{α} = \{X ∈ 𝔤 ; ad(H)^{2}X = α(H)^{2}X (H ∈ 𝔱)\} とおき， Δ = {α ∈ 𝔱^{∗}; 𝔤_{α} ≠ {0}} とする．全ての α ∈ Δ に対して， α(H_{0}) ≠ 0 となる H_{0} をとり， Δ_{+} = \{α ∈ Δ; α(H_{0}) ∈ \sqrt{−1}ℝ_{+}\} とおく．このとき，

𝔤 = 𝔱 ⊕ ∑_{α∈Δ_{+}} 𝔤_{α}.

Δ を 𝔤 の root system， Δ_{+} の元を positive root, 上の分解を 𝔤 の root space 分解という． Π (⊂ Δ_{+}) を simple roots の集合とする．\sqrt{−1}𝔱 上の内積を 𝔤 のキリング形式 κ でとり， \sqrt{−1}𝔱^{∗} 上に自然に内積 <, > を導入する．以下， 𝔤 上の内積も −κ から導入されるものとする． σ を分解 𝔤 = 𝔨 ⊕ 𝔪 に付随する involution とするとき， σ は 𝔱, Δ， root space 分解を保つ．

[1] 佐竹図形 α, β ∈ Π に対して, n_{α,β} = 2 < α, β > / < β, β > とおく． Π の各元 α を○ (σ(α) ≠ α のとき) あるいは● (σ(α) = α のとき）で表し， α, β ∈ Π に対して n_{α,β}n_{β,α} 本（= 0, 1, 2, 3) の線で結ぶ． ∥α∥ > ∥β∥ のとき，さらに α から β へ向かって矢印をつける．また，○で表される異なる２つの α と β が σ(α) ≡ −β mod(●の１次結合) となるとき，これらの○を両向き矢印の弧で結ぶ．矢印の無い○で表される α は σ(α) = −α となる．このようにして作られたものを佐竹図形といい，コンパクト型リーマン対称空間とリーマン計量の違いを除いて一対一に対応している．

例（AIII(n,q); SU(n)/S(U(q) × U(n − q)))

α_{q}  α_{q−1}  α_{2}  α_{1}  β_{1}
∘ −  ∘  ⋯ ∘ − ∘ − •
↕  ↕  ↕  ↕  ⋮
∘ −  ∘  ⋯ ∘ − ∘ − •
α_{π(q)}  α_{π(q−1)}  α_{π(2)}  α_{π(1)}  β_{s}

[2] Cartan 行列の復元 Π = {α_{1}, ⋯, α_{r}} とするとき，正則行列 (n_{α_{i},α_{j}}) を Cartan 行列という． α_{i}, α_{j} が k 本の線で結ばれているとする． k = 0, 1 ならば， n_{α_{i},α_{j}} = n_{α_{j},α_{i}} = 0, 1. k = 2, 3 で α_{i} > α_{j} ならば， n_{α_{i},α_{j}} = 1, n_{α_{j},α_{i}} = k となる．したがって，佐竹図形から Cartan 行列を復元できる．さらに， n_{α,β} = 2 < α, β > / < β, β >, ∥β∥/∥α∥ = \sqrt{n_{β,α}/n_{α,β}} より，定数倍を除いて\sqrt{−1}𝔱 上の内積 <, > を復元できる．

[3] root system Δ の復元 α ∈ Δ_{+} を α = ∑_{i} k_{i}α_{i} と書き， ℓ(α) = ∑_{i} k_{i} とおく． Δ_{j} = {α ∈ Δ_{+}; ℓ(α) = j} とする．このとき， Δ_{+} = ∑_{j} Δ_{j} で Δ_{1} = Π. α ∈ Π ,β ∈ Δ に対して， β を通る roots の α-系列 {β+kα; −p ≤ k ≤ q} をとると， p−q = 2 < β, α > / < α, α > となる．これを用いて, Δ_{+} の元を求めるアルゴリズム (R) をつくる． Δ_{1} ∋ β から出発して β をとおる α-系列（α ∈ Π, 1 ≤ k ≤ q) を求める． (このとき， p = 0 に注意) 得られたものを階列 j ごとに各 Δ_{j} に配分する.(このとき，階列 2 のすべての roots は Δ_{2} に配分されていることに注意）次に, Δ_{2} ∋ β の α-系列をつくる. β − α ∈ Δ_{1} ならスキップ． β − α ∉ Δ_{1} ならば， 1 ≤ k ≤ q なる k に対して得られたものを各 Δ_{j} に配分．（このときも p = 0 に注意．また，得られたものが既に配分されているときはスキップ.）この操作を階列 ℓ に従って実行すれば， Δ_{+}，従って， Δ が復元される．

[4] 𝔤^{ℂ} の Lie bracket の復元 𝔤^{ℂ} の Lie bracket の復元のためには， 𝔤^{ℂ} の root space 分解に沿う基底 (Chevalley basis) の決定とその基底間の bracket relations (Chevalley constants ) の具体的計算のアルゴリズム (C) を構成する必要がある． 𝔤_{α}^{ℂ} = {X ∈ 𝔤^{ℂ}; ad(H)X = α(H)X (H ∈ 𝔱)} とおくとき， 𝔤^{ℂ} の root space 分解 𝔤^{ℂ} = 𝔱^{ℂ} ⊕ ∑_{α∈Δ} 𝔤_{α}^{ℂ} を得る．

\underline{Def.} \{X_{α}\}_{α∈Δ}, (X_{α} ∈ 𝔤_{α}^{ℂ}) は次の条件を満たす実数の組 (c_{α,β})_{α∈Δ} が存在するとき， 𝔤^{ℂ} の Chevalley basis, その実数の組 (c_{α,β})_{α∈Δ} を Chevalley constants という．

c_{−α,−β} = −c_{α,β}  and  [X_{α}, X_{β}] = \{ \begin{matrix}c_{α,β}X_{α+β} & if α + β ∈ Δ \\ α^{#} & if α + β = 0 \\ 0 & otherwise \end{matrix}

ここで α^{#} ∈ \sqrt{−1}𝔱 で α ∈ \sqrt{−1}𝔱^{∗} にキリング形式を通して対応するものとする．

このとき， V_{α}(c) = \frac{1}{\sqrt{2}}(cX_{α} + c̄X̄_{α}) とおくとき， 𝔤_{α} = \{V_{α}(c); c ∈ ℂ\}. また， c_{α,β}^{2} = \frac{q(1+p)}{2} · ∥α∥^{2} が成り立つ．また， κ(X_{α}, X_{−α}) = 1 が成り立つ.

\underline{Prop.} 各 positive root α ∈ Δ/Π に対して， α = ξ_{α} + η_{α} (ξ_{α}, η_{α} ∈ Δ_{+}) となる分解の組 (ξ_{α}, η_{α}) を与える．このとき，次の条件を満たす Chevalley basis (X_{α}) と Chevalley constants (c_{α,β}) が存在し，そのような Chevalley basis をとる限り Chevalley constants は一意的である: (i) X̄_{α} = −X_{−α} for α ∈ Δ_{+} (ii) c_{ξ_{α},η_{α}} > 0 for α ∈ Δ_{+}/Π.

この prop. の意味は，各 α ∈ Δ_{+}/Π に対して上のような分解の組を１つ指定すれば，すべての Chevalley constants を決定するアルゴリズム (C) があることを示している．（c_{α,β}^{2} は Cartan 行列から分かるので， c_{α,β} は一般に ±1 の違いしかないことに注意．）アルゴリズム (C) は Jacobi の恒等式から得られる Chevalley constants 間の関係式

(a) α + β + γ = 0 ⇒ c_{α,β} = c_{β,γ} = c_{γ,α}

(b) α + β + γ + δ = 0 ⇒ c_{α,β}c_{γ,δ} + c_{β,γ}c_{α,δ} + c_{γ,α}c_{β,δ} = 0 を用いて，階列 ℓ に関する帰納法によって構成される．

[5] σ の Δ への作用の復元 佐竹図形の作り方より， Π の両側矢印で結ばれている○表示の α_{i}, α_{π(i)} に対して， σ(α_{i}) = −α_{π(i)} + [∑_{j} n_{ij}β_{j}] ([ ] 部分は●表示の１次結合）における [ ] 部分が復元できればよい．係数 n_{ij} は simple roots 間の内積と Cartan 行列の逆行列を用いて具体的に求めることができる．従って， Δ への σ の作用を復元できる．

[6] σ の 𝔤^{ℂ} の root space 分解への作用の復元 [4] で復元された Chevalley basis (X_{α}) と Chevalley constants (c_{α,β}) に対して， σ(X_{α}) = s_{α}X_{σ(α)} (s_{α} ∈ ℂ) とおくとき， constants (s_{α}) を復元するアルゴリズム (S) を構成する.

\underline{Prop.} σ を同値な 𝔤 の invoution σ̃ （σ̃ = exp(ad(H)) ∘ σ ∘ exp(ad(−H)), ^{∃}H ∈ 𝔱) にとりかえれば， constants (s_{α}) は次のようにとることができる： Π = {α_{k}} とおけば

(i) M が AIII(n, q) = SU(n)/S(U(q)×U(n−q)), 2q < n−1; DIII(n) = SO(2n)/U(n), n : odd; EIII= E_{6}/(U(1) · SO(10)) のどれかのとき，

s_{π(1)} = \frac{c_{β,α_{1}}}{c_{α_{π(1),β}}} s_{α_{k}} = 1 for k ≠ π(1)

但し， α_{1}, α_{π(1)}, β は下の例のとおりとする．

(ii) M が (i) 以外のとき，すべての k に対して s_{α_{k}} = 1. また，これらの場合において, すべての α ∈ Δ に対して s_{α} = ±1 が成り立つ．

\underline{例} AIII(n,q)

\begin{matrix}α_{q} & & α_{q−1} & & α_{2} & & α_{1} & & β_{1} \\ ∘ & − & ∘ & ⋯ & ∘ & − & ∘ & − & • \\ ↕ & & ↕ & & ↕ & & ↕ & & ⋮ \\ ∘ & − & ∘ & ⋯ & ∘ & − & ∘ & − & • \\ α_{π(q)} & & α_{π(q−1)} & & α_{π(2)} & & α_{π(1)} & & β_{s} \end{matrix} β = β_{1} + ⋯ + β_{s}

\underline{例} DIII(n)

α_{1}
∘
β ↗
• − ∘ − • − ∘ ⋯ ∘ − •  ↕
↘
∘
α_{π(1)}

\underline{例} EIII

\overleftrightarrow{\begin{aligned}α_{1} & & β_{1} & & β_{2} & & β_{3} & & α_{π(1)} \\ ∘ & − & • & − & • & − & • & − & ∘ \\ & & & & | \\ & & & & ∘ & α_{2} \end{aligned}} β = β_{1} + β_{2} + β_{3}

上のようにとりかえられた σ に対して， constants (s_{α})_{α∈Δ} を求めるアルゴリズム (S) を構成する：アルゴリズムは， [4] で構成された Chevalley constants (c_{α,β}) を読み込んで， σ が自己同型 (σ[X_{α}, X_{β}] = [σ(X_{α}), σ(X_{β})]) であることより得られる関係式

s_{α}s_{−α} = 1, s_{α+β} = \frac{c_{σ(α),σ(β)}}{c_{α,β}} s_{α}s_{β}

を用いて， (s_{α})_{α∈Π} を初期データとして階列 ℓ に関する帰納法で (s_{α})_{α∈Δ_{+}}, さらに， (s_{α})_{α∈Δ} の順で求める．従って， σ の 𝔤^{ℂ} への作用が復元される．

[7] 𝔤 の root space 分解及びそれに沿う Lie bracket, 内積の復元 α ∈ Δ, z ∈ ℂ に対して, V_{α}(z) = \frac{1}{\sqrt{2}}(zX_{α} − z̄X_{−α}) とおく．このとき次が成り立つ.

\underline{Prop.} α ∈ Δ に対して, 𝔤_{α} = \{V_{α}(z); z ∈ ℂ\}. さらに [H, V_{α}(z)] = V_{α}(α(H)z) (H ∈ 𝔱, z, z′ ∈ ℂ),

[V_{α}(z), V_{β}(z′)] = \{ \begin{matrix}\frac{1}{\sqrt{2}}(c_{α,β}V_{α+β}(zz′) − c_{α,−β}V_{α−β}(zz̄′) & for β ≠ ±α \\ Im(z̄z′)\sqrt{−1}α^{#} & for β = α \\ Im(zz′)\sqrt{−1}α^{#} & for β = −α, \end{matrix}

< V_{α}(z), V_{α}(z′) >= Re(zz̄′) σ(V_{α}(z)) = s_{α}V_{σ(α)}(z). これによって， 𝔤 上の Lie bracket 及び内積が具体的に計算できる.

[8] 分解 𝔤 = 𝔨⊕𝔪 とこの分解に沿う Lie bracket と内積の復元（fundamental geometric tensors の具体的計算公式） 𝔟 = 𝔱 ∩ 𝔨, さらに， α ∈ Δ に対して 𝔨_{α} = (𝔤_{α} + 𝔤_{σ(α)}) ∩ 𝔨, 𝔪_{α} = (𝔤_{α} + 𝔤_{σ(α)}) ∩ 𝔪 とおく．このとき， Δ_{+} のある部分集合 Δ_{+}^{σ} をとれば

𝔨 = 𝔟 ⊕ ∑_{α∈Δ_{+}^{σ}} 𝔨_{α} 𝔪 = 𝔞 ⊕ ∑_{α∈Δ_{+}^{σ}} 𝔪_{α}

と分解できる． α ∈ Δ に対して， K_{α}(z), M_{α}(z), K̃_{α}(t), M̃_{α}(t) を以下の場合に分けて定義する： (i) σ(α) ≠ ±α の場合

K_{α}(z) = \frac{1}{\sqrt{2}}(V_{α}(z) + s_{α}V_{σ(α)}(z)) M_{α}(z) = \frac{1}{\sqrt{2}}(V_{α}(z) − s_{α}V_{σ(α)}(z)). このとき 𝔨_{α} = {K_{α}(z); z ∈ ℂ}, 𝔪_{α} = {M_{α}(z); z ∈ ℂ}.

(ii) σ(α) = α の場合

このとき 𝔨_{α} = {V_{α}(z); z ∈ ℂ}, 𝔪_{α} = {0}. (iii) σ(α) = −α の場合

K̃_{α}(t) = \{ \begin{matrix}V_{α}(\sqrt{−1}t) & for s_{α} = 1 \\ V_{α}(t) & for s_{α} = −1 \end{matrix} M̃_{α}(t) = \{ \begin{matrix}V_{α}(t) & for s_{α} = 1 \\ V_{α}(\sqrt{−1}t) & for s_{α} = −1 \end{matrix} .

このとき 𝔨_{α} = {K̃_{α}(t); t ∈ ℝ}, 𝔪_{α} = {M̃_{α}(t); t ∈ ℝ}. \underline{Prop.} (a) 内積に関して次の計算公式が成り立つ：

< K_{α}(z), K_{α}(z′) >=< M_{α}(z), M_{α}(z′) >=< V_{α}(z), V_{α}(z′) >=Re(zz̄′), < K̃_{α}(t), K̃_{α}(t′) >=< M̃_{α}(t), M̃_{α}(t′) >= tt′.

(b) σ, − 作用に関して次の計算公式が成り立つ： K_{σ(α)}(z) = s_{α}K_{α}(z), M_{σ(α)}(z) = −s_{α}M_{α}(z), K_{−α}(z) = −K_{α}(z̄), M_{−α}(z) = −M_{α}(z̄).

(c) すべての Lie bracket を計算する公式がある（詳細は [3]) ： [K_{α}(z), K_{β}(z′)], [K_{α}(z), M_{β}(z′)], [M_{α}(z), M_{β}(z′)]， [V_{α}(z), K_{β}(z′)], [V_{α}(z), M_{β}(z′)], [K_{α}(z), K_{β}(z′)], [K̃_{α}(t), K_{β}(z)], [K̃_{α}(t), K̃_{β}(s)], e.t.c.

2 階数２のコンパクト単連結リーマン対称空間の全測地的部分多様体

の分類問題への応用 ([1],[2],[3],[4])

λ ∈ 𝔞^{∗} に対して， 𝔪_{λ} = {X ∈ 𝔪; ad(Z)^{2}X = −λ(Z)^{2}X (Z ∈ 𝔞)} とおき， Δ(𝔪, 𝔞) = {λ ∈ 𝔞^{∗}/{0}; 𝔪_{λ} ≠ {0} } とする． Δ(𝔪, 𝔞) を 𝔞 ∈ 𝔪 に関する restricted root system といい， §.1 の Δ_{+}^{σ} ∋ α → λ = α|_{𝔞} ∈ Δ(𝔪, 𝔞) は全射で, m_{λ} = ∑_{α:α|𝔞=λ} m_{α} である． restricted root sistem Δ(𝔪, 𝔞) は σ の 𝔤 の root system Δ への作用が分かっているので復元できる. Δ(𝔪, 𝔞) の１つの system of positive roots を Δ_{+} とおく．以下， Δ_{+}, 𝔪_{λ} は restricted root system に対応する記号とし， 𝔪 = 𝔞 ⊕ ∑_{λ∈Δ_{+}} 𝔪_{λ} を restricted root system に関する root space 分解とする．また， dim 𝔪_{λ} = n_{λ} とおき， root λ の multiplicity という．

𝔪′ ⊂ 𝔪 を Lie triple system ， 𝔞′ を 𝔪′ の極大可換部分代数， 𝔞 を 𝔞′ を含む 𝔪 の極大可換部分代数として取り直す. 𝔪′ = 𝔞′ ⊕ ∑_{α∈Δ_{+}(𝔪′,𝔞′)} 𝔪′_{α} を 𝔪′ の 𝔞′ に関する root space 分解とする．ここで， Δ(𝔪′, 𝔞′) ⊂ {λ|_{𝔞′}; λ ∈ Δ(𝔪, 𝔞), λ|_{𝔞′} ≠ 0}, 𝔪′_{α} = (∑_{λ∈Δ(𝔪,𝔞):λ|_{𝔞′}=α} 𝔪_{λ}) ∩ 𝔪′ となる．とくに， λ|_{𝔞′} = 0 ⇒ 𝔪_{λ} ⊥ 𝔪′. また， 𝔞′ = 𝔞 ⇒ Δ(𝔪′, 𝔞′) ⊂ Δ(𝔪, 𝔞), 𝔪′_{α} = 𝔪_{α} ∩ 𝔪′.

以下， rank 𝔪 = 2 と仮定する． restricted root system Δ(𝔪, 𝔞) の type は A_{2}, B_{2}, BC_{2}, G_{2} のどれかになる．

\underline{Prop.} (a) α ∈ Δ(𝔪′, 𝔞′) が λ|_{𝔞′} = α となる λ ∈ Δ(𝔪, 𝔞) を唯１つ持つならば， λ^{#} ∈ 𝔞′. (このような α を elementary root という．）この場合， 𝔪′_{α} ⊂ 𝔪_{λ}.

(b) α ∈ Δ(𝔪′, 𝔞′) が λ|_{𝔞′} = μ|_{𝔞′} = α となる２つの λ, μ ∈ Δ(𝔪, 𝔞) を持つならば， (λ^{#} − μ^{#}) ⊥ 𝔞′. (このような α を composite root という．）この場合， α^{#} = aλ^{#}+bμ^{#} (a ≠ 0, b ≠ 0) と表すとき， a > 0, b > 0 で, さらに， 𝔪_{λ} の部分空間 𝔪′_{λ} と linear isometry Φ : 𝔪′_{λ} → 𝔪_{μ} を用いて， 𝔪′_{α} を 𝔪′_{α} = \{x + \sqrt{b/a}Φ(x); x ∈ 𝔪′_{λ}\} と表すことができる．とくに， n′_{α} ≤ n_{λ}, n_{μ}.

(c) Δ′ ⊂ Δ(𝔪, 𝔞) が closed root subsystem ならば， 𝔪′ =span_{ℝ}{λ^{#}; λ ∈ Δ′} ⊕ ∑_{λ∈Δ′_{+}} 𝔪_{λ} は 𝔪 の Lie triple system. （これを Δ′ に付随する Lie triple system という．）

次に， 𝔞 の Weyl chamber 𝔠 をとり，その壁を R_{1}, R_{2} (R_{1} が shorter root に対応）とする． v ∈ 𝔪′ − {0} に対して， isotropy action によって， v を 𝔠 の元に移し， R_{1} からこの元までの角度を φ(v) とおく． rank 𝔪′ = 1 よりこの値は 𝔪′ によって決まる．これを 𝔪′ の isotropy angle といい， φ(𝔪′ − {0}) = t で表す． ristricted root system の型から t の動く範囲を [0, φmax] とおくとき， A_{2}, B_{2}, BC_{2}, G_{2} に従って， φmax = π/3, π/4, π/4, π/6. M の全測地的部分多様体の分類方針

(a) 𝔪 の Lie triple system 𝔪′ の具体的決定： rank 𝔪 = 2 だから， rank 𝔪′ = 1 と rank 𝔪′ = 2 の場合に分ける．

(a-1) \underline{rank 𝔪′ = 1 の場合}: Prop. の (a),(b) の前半によって， 𝔞 における 𝔞′ の可能な位置が決まり，その位置を isotropy angle によってパラメータ表示することができる．（パラメータの値 t を分類できる）さらに (a), (b) の後半によって， 𝔪′_{α} の大雑把な 𝔪 への入り方が分かる． 𝔞′ の可能な位置が決まれば，それから Δ(𝔪, 𝔞) の 𝔞′ への制限が具体的に求まり, Δ′(𝔪′, 𝔞′) (⊂ {λ|_{𝔞′} : λ ∈ Δ(𝔪, 𝔞)}) の可能性をリストアップできる． rank 𝔪′ = 1 だから， root spaces 𝔪′_{α} の multiplicity n′_{α} がわかるので，より詳細な可能性に絞ることができる. 𝔪′ の 𝔪 への大雑把な入り方が分かるので，その入り方が Lie triple system の条件を満たしているかどうかを調べる．このとき， Lie triple product のコンピュータ計算を使う． Case by Case の詳細な議論が必要であるが， root spaces を使った具体的な Lie triple system の形を分類することができる．得られた形が具体的なので，これらの同型関係もチェックできる．

(a-2) \underline{rank 𝔪′ = 2 の場合}: Prop. (c) によって，その restricted root system の可能性をリストアップすることができる．さらには， root spaces 𝔪′_{α} の 𝔪_{α} への大雑把な入り方が分かる． rank 2 の restricted root system の multiplicity が知られている（例えば， Araki の分類）ので，それを使いながら 𝔪′ の 𝔪 への大雑把な入り方が分かる. (a-1) と同様に，この入り方が Lie triple system の条件を満たすかどうか調べて，このタイプの全ての Lie triple system 𝔪′ を具体的な形で分類する. 分類プロセスの詳細は case by case である．

(b) M の完備全測地的部分多様体の分類： (a) の Lie triple system 𝔪′ の分類は, 𝔪 への入り方もこめて，具体的な形で分類されているので, 𝔪′ の “maximality ”の決定や断面曲率の計算も具体的にできる．また， 𝔪′ に対応する M の global な全測地的部分多様体の構成も予想ができる． Klein の論文には対応する全測地的部分多様体の具体的な isometric imbedding が与えられている．

\underline{注意} (1) この分類方針は exceptional type のときには有益. また， M が group type のときは， 𝔤 の root system から出発できるので，コンピュータ計算はより簡便になる.

(2) 2-Grassmannians と SU(3)/SO(3) の場合の 𝔪′ の分類は個別に行われた ([1],[2],[3]) が，他の場合の分類には, 上記の分類結果と，つぎの自然な inclusions が利用される．大雑把な分類プロセスは次のとおり： E_{6}/(U(1)·Spin(10)) の inclusion Sp(2)/ℤ ⊂ SO(10)/U(5) ⊂ E_{6}/(U(1)·Spin(10)) を利用する．先ず, E_{6}/(U(1)·Spin(10)) の場合の 𝔪′ を分類し，その中から Sp(2)/ℤ, SO(10)/U(5) に含まれる 𝔪′ を見つける．このとき， Sp(2) と SO(10)/U(5) における同型関係に注意する．同様に， SU(3)/SO(3) ⊂ SU(3) ⊂ SU(6)/Sp(3), (SU(6)/Sp(3))/ℤ_{3} ⊂ E_{6}/F_{4} を使えば， E_{6}/F_{4} の場合を考えればよい．また， G_{2}/SO(4) ⊂ G_{2} を使えば， G_{2} の場合を考えればよい．

SU(3)/SO(3) の場合

𝔤 = 𝔨 ⊕ 𝔪 は same rank, i.e., 𝔞 = 𝔱. 従って， 𝔤 の root system は 𝔪 の restricted root system, i.e., Δ = Δ(𝔤, 𝔞) で A_{2} 型. Δ = {±α_{1}, ±α_{2}, ±α_{3}}, Π = {α_{1}, α_{2}}, α_{3} = α_{1} + α_{2} とおくと，佐竹図形及び 𝔪 の root space 分解は

\begin{matrix}α_{1} & & α_{2} \\ ∘ & ― & ∘ \end{matrix} 𝔪 = 𝔞 ⊕ ∑_{k=1}^{3} 𝔪_{α_{k}}, 𝔪_{α_{k}} = ℝM̃_{α_{k}}(1)

H_{k} = −\sqrt{−1}α_{k}^{#} ∈ 𝔞 とおく．このとき， 𝔪 の Lie triple system 𝔪′ ≠ \{0\}, 𝔪 は以下のとおり． \underline{Prop.} (G) 𝔪′ = ℝH, H ∈ 𝔞 (T) 𝔪′ = 𝔞 (S) 𝔪′ = ℝH_{3} ⊕ ℝM̃_{α_{3}}(1) (M) 𝔪′ = ℝH_{3} ⊕ ℝ(M̃_{α_{1}}(1) + M̃_{α_{2}}(1)) (P) 𝔪′ = 𝔞 ⊕ ℝM̃_{α_{3}}(1)

ここで， inclusions (G) ⊂ (T) ⊂ (P) と (S) ⊂ (P) の２系列があり，さらに (P) と (M) は maximal. また，各 Lie triple system に対応する SU(3)/SO(3) の全測地的部分多様体の isometry type は次のとおり．ただし， 𝔤 上の内積 <, > は， < A, B >=Re(tr(B^{∗}A)), A, B ∈ 𝔤 = 𝔰𝔲(3) でとるとする．

\underline{𝔪′}

isometry type

(G)  ℝ or S_{r}^{1}
(T) (S_{r=\sqrt{3/2}}^{1} × S_{r=\sqrt{1/2}}^{1})/\{±id\}
(S)  S_{r=\sqrt{1/2}}^{2}
(M)  ℝP_{κ=1/2}^{2}
(P) (S_{r=\sqrt{3/2}}^{1} × S_{r=\sqrt{1/2}}^{2})/\{±id\}

ここで r は半径， κ は曲率とする．