極小 R 空間上の面積最小錐

{首都大学東京大学院理工学研究科博士後期課程 \atop 大野 晋司}

1 導入

Euclid 空間に一般化された Plateau 問題の解は, 一般に特異点を許容する整カレントとして得られる. 面積最小部分多様体の特異点が錐状特異点であるとき, 接モデルとなる接錐はまた面積最小となる. 面積最小部分多様体の特異点の近傍の挙動を調べるためには, 面積最小錐の研究が基本的になる. 本研究では面積非増加レトラクションを構成する方法によって, 球面に極小に埋め込まれた R 空間上の錐の面積最小性について調べた. 本講演は首都大学東京の酒井高司氏との共同研究に基づく.

S^{n−1} ⊂ ℝ^{n} を単位球面とし, B を S^{n−1} のコンパクト部分多様体とする. このとき

C_{B} = {tx ∈ ℝ^{n} | 0 ≤ t, x ∈ B}
C_{B}^{1} = {tx ∈ ℝ^{n} | 0 ≤ t ≤ 1, x ∈ B}

と定義し, C_{B} を B 上の錐と呼ぶ. C_{B}, C_{B}^{1} はともに原点において唯一の孤立特異点を持つ.

定義 1 C_{B}^{1} が, B を境界に持つ整カレントの中で面積最小であるとき, C_{B} は面積最小であるという.

定義 2 可微分レトラクション Φ : ℝ^{n} → C_{B} が面積非増加であることを, 任意の x ∈ ℝ^{n} において, Φ の Jacobian が J(dΦ)_{x} ≤ 1 となることで定義する.

次の命題が成り立つ.

命題 1 B を S^{n−1} のコンパクト部分多様体とする. このとき, 面積非増加レトラクション Φ : ℝ^{n} → C_{B} が存在するならば, C_{B} は面積最小錐である.

2 面積非増加レトラクションと極小 R 空間上の錐の面積最小性

(G, K) をコンパクト型の対称対とし, M = G/K に G 不変 Riemann 計量を一つ定めると, M は対称空間となる. M の原点 o における接空間 T_{o}M 内の超球面を S とする. A ∈ S を通る線型イソトロピー表現 (s 表現) の軌道 Ad(K)A は S の部分多様体になり, R 空間と呼ばれる. s 表現の軌道空間は Weyl 領域 C の閉包\overline{C} で表される. M の制限ルート系 R の基本系 F を, F = \{λ_{1}, …, λ_{l}\} とし, 部分集合 Δ ⊂ F に対して, C^{Δ} = \{H ∈ \overline{C} | ⟨λ, H⟩ > 0 (^{∀}λ ∈ Δ) , ⟨μ, H⟩ = 0 (^{∀}μ ∈ F \ Δ)\} と定める.

定理 1 ([2]) 空でない任意の部分集合 Δ ⊂ F に対して, 唯一つ A ∈ C^{Δ} ∩ S が存在して, Ad(K)A は S の極小部分多様体になる.

各 Δ ⊂ F に対して得られる極小 R 空間上の錐に対して, 次の補題 1 と定理 2 によって錐へのレトラクションが構成される. 定理 2 は, [1] で示されたレトラクションの構成定理の拡張である.

補題 1 ([1]) 任意の部分集合 Δ ⊂ F について ϕ(C^{Δ}) ⊂ \overline{C^{Δ}} を満たすような写像 ϕ : \overline{C} → \overline{C} に対して, 写像 Φ : 𝔪 → 𝔪 ; Φ(X) = Ad(k)ϕ(H) が矛盾なく定義される. ただし, k ∈ K, H ∈ \overline{C} であり, X = Ad(k)H を満たす.

定理 2 A ∈ \overline{C} に対して, Δ = \{α ∈ F | ⟨α, A⟩ > 0\} と定める. C^{1} 級関数 f : \overline{C} → ℝ_{≥0} が

(1) 任意の t ≥ 0 に対して, f(tA) = t

(2) Δ を含まない F の任意の部分集合 Δ′ について, f|_{C^{Δ′}} = 0

を満たすとき, ϕ : \overline{C} → ℝ_{≥0}·A を, ϕ(x) = f(x)A で定め, Φ : 𝔪 → C_{Ad(K)A} を Φ(X) = Ad(k)ϕ(H) と, 補題 1 のように定める. この時, Φ は C_{Ad(K)A} への可微分レトラクションとなる. 更に, 任意の x ∈ C に対して, J(dΦ)_{x} ≤ 1 であれば, Φ は面積非増加レトラクションになる.

このように構成されたレトラクションの Jacobian は以下のように計算される.

命題 2 任意の x ∈ C に対して,

J(dΦ)_{x} = ∥(gradf)_{x}∥ ∏_{λ∈R_{+}\R_{+}^{Δ}} (\frac{⟨λ, A⟩}{⟨λ, x⟩}f(x))^{m(λ)}

ただし, m(λ) は正の制限ルート λ ∈ R_{+} の重複度で, R_{+}^{Δ} = {λ ∈ R_{+} | ⟨λ, A⟩ = 0}.

本研究では, 関数 f を具体的に与え, 定理 2 によって構成される Φ の Jacobian J(dΦ_{x}) を評価することにより, 対称 R 空間とは限らないいくつかの極小 R 空間上の錐の面積最小性を示した.

定理 3 階数 2 の既約な対称空間の s 表現の孤立軌道上の錐の中で面積最小となるものを決定した.

定理 4 対称空間 SU(10)/Sp(5) (A_{3} 型, m = 4) の s 表現の A^{{λ_{1},λ_{3}}} を通る軌道上の錐は面積最小である.

2 つの極小 R 空間 M_{i} = Ad(K_{i})A_{i} (i = 1, 2) を考える. k_{i} = dim M_{i} とし k = k_{1} + k_{2} とおく. このとき, M = \sqrt{\frac{k_{1}}{k}} M_{1} × \sqrt{\frac{k_{2}}{k}} M_{2} は極小 R 空間になる.

定理 5 各 i に対して, 関数 f_{i} と定理 2 によって C_{M_{i}} への面積非増加レトラクションが構成され, さらに,

∏_{λ∈R_{i+}\R_{i+}^{Δ_{i}}} (\frac{⟨λ, A_{i}⟩}{⟨λ, x⟩}f_{i}(x_{i}))^{m(λ)} ≤ 1

が満たされるとする. このとき, k_{1} ≥ 3 かつ k_{2} ≥ 3 ならば M 上の錐 C_{M} への面積非増加レトラクションが構成される. したがって C_{M} は面積最小である.

参考文献

[1] D. Hirohashi, T. Kanno and H. Tasaki, Area-minimising of the cone over symmetric Rspaces, Tsukuba J. Math. 24 (2000), no. 1, 171–188.

[2] D. Hirohashi, H. Tasaki, H. J. Song and R. Takagi, Minimal orbits of the isotropy groups of symmetric spaces of compact type, Differential Geom. Appl. 13 (2000), no. 2, 167–177.