コンパクトリーマン対称空間の対蹠集合について

東京理科大学理工学研究科数学専攻 2 年 鈴木絢人

リーマン多様体 M がリーマン対称空間であるとは, M の各点 p に対して点対称とよばれる対合的等長変換で p が孤立固定点となるものが存在することである. リーマン対称空間 M の対蹠集合とは, その集合の元同士は互いに点対称で固定される集合のことであり, M の対蹠集合の位数の上限を M の 2-number という. 2-number を与える対蹠集合を M の大対蹠集合という. 今回特殊直交群 SO(n) の 2-number と大対蹠集合について考察したので紹介する.

定義 1. M をリーマン対称空間とし, s_{p} を点 p ∈ M における点対称とする. M の部分集合 A が対蹠集合であるとは, 任意の 2 点 a, b ∈ A に対して s_{a}(b) = b が成立することである. M の対蹠集合の位数の上限を 2-number といい ♯_{2}M と表す. 2-number は有限である ([3]). 2-number を与える対蹠集合を M の大対蹠集合という.

対蹠集合の概念は Chen-Nagano によって [1] で導入された. 一般に非コンパクト型リーマン対称空間の 2-number は 1 であることが知られている.

例 1. S^{n} = {x ∈ ℝ^{n+1}||x| = 1} の任意の点 x に対して, {x, −x} は S^{n} の大対蹠集合である.

補題 1. G をコンパクトリー群とする. G の任意の対蹠集合 A と任意の g ∈ G に対して, L_{g}(A), R_{g}(A), A_{g}(A) は G の対蹠集合である. ここで L_{g} を g による G の左移動, R_{g} を g による G の右移動, A_{g} を g による G の内部自己同型写像とする.

補題 2. G をコンパクトリー群とする. G の任意の対蹠集合 A に対して, ある g ∈ G が存在して, L_{g}(A) は単位元を含む対蹠集合となる.

補題 3. G をコンパクトリー群とし, A を G の単位元を含む対蹠集合とする.

(1) 任意の a ∈ A に対して, a = a^{−1} である.

(2) A の任意の 2 つの元は互いに可換である.

補題 4. G をコンパクトリー群とすると, G の単位元を含む大対蹠集合は G の可換部分群である.

命題 1. ♯_{2}SO(n) = 2^{n−1} である.

上の命題を証明する過程で次のことが証明できた.

命題 2. (1) X := \{(\begin{matrix}±1 \\ & . & . & . \\ & & & & ±1 \end{matrix}) ∈ SO(n)\} は SO(n) の大対蹠集合である.

(2) SO(n) の任意の対蹠集合に対して, その対蹠集合を含む SO(n) の大対蹠集合が存在する.

(3) SO(n) の単位元を含む任意の大対蹠集合は (1) の X と共役である.

この命題 2 の類似はより一般に対称 R 空間と呼ばれるコンパクトリーマン対称空間で成り立つことが知られている. 詳しくは [3] を参照して頂きたい.

参考文献

[1] B.-Y. Chen and T. Nagano, A Riemannian geometric invariant and its applications to a problem of Borel and Serre, Trans. Amer. Math. Soc., 308(1988), 273–297.

[2] S. Helgason, Differential Geometry, Lie Groups, and Symmetric Spaces, Amer. Math. Soc., 2001.

[3] M. S. Tanaka and H. Tasaki, Antipodal sets of symmetric R-spaces, Osaka J. Math., 50(2013), 161–169.